El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la izquierda de x. Esta área está representada por la probabilidad P(X < x). Las tablas normales, las computadoras y las calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad P(X < x).
El área a la derecha es entonces P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ). Recuerde que P ( X < x ) = Área a la izquierda de la línea vertical que pasa por x . P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ) = Área a la derecha de la línea vertical que pasa por x . P ( X < x ) es lo mismo que P ( X ≤ x ) y P ( X > x ) es lo mismo que P ( X ≥ x ) para distribuciones continuas.
Cálculo de probabilidades
Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84.
NOTA
Para calcular la probabilidad, utilice las tablas de probabilidad proporcionadas en H - TABLASsin utilizar la tecnología. Las tablas incluyen instrucciones para su uso.
Ejemplo 6.7
Si el área de la izquierda es 0,0228, el área de la derecha es 1 - 0,0228 = 0,9772.
Inténtelo 6.7
Si el área a la izquierda de x es 0,012, ¿cuál es el área a la derecha?
Ejemplo 6.8
Las calificaciones del examen final de una clase de estadística se distribuyeron normalmente, con una media de 63 y una desviación típica de cinco.
Translation missing: es.problem
a. Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga más de 65 puntos en el examen.
Solución
a. Supongamos que X = una calificación en el examen final. X ~ N(63, 5), donde μ = 63 y σ = 5.
Dibuje un gráfico.
Entonces, calcule P(x > 65).
P(x > 65) = 0,3446
La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación superior a 65 es de 0,3446.
Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+
Entra en 2nd DISTR.
Después de pulsar 2nd DISTR, pulse 2:normalcdf.
La sintaxis de las instrucciones es la siguiente:
normalcdf(valor inferior, valor superior, media, desviación típica). Para este problema: normalcdf(65,1E99,63,5) = 0,3446. Se obtiene 1E99 (= 1099) al pulsar 1, la EE tecla (una segunda tecla) y luego 99. O bien, puede ingresar 10^99 en su lugar. El número 1099 está en la cola derecha de la curva normal. Estamos calculando el área entre 65 y 1099. En algunos casos, el número inferior del área puede ser -1E99 (= -1099). El número -1099 está en la cola izquierda de la curva normal.
Nota histórica
El programa de probabilidad de TI calcula una puntuación z y luego la probabilidad a partir de la puntuación z. Antes de la tecnología, la puntuación z se buscaba en una tabla de probabilidad normal (porque la matemática implicada es demasiado engorrosa) para calcular la probabilidad. En este ejemplo, se utilizó una tabla normal estándar con el área a la izquierda de la puntuación z. Se calcula la puntuación z y se busca el área a la izquierda. La probabilidad es el área de la derecha.
z = = 0,4
El área de la izquierda es 0,6554.
P(x > 65) = P(z > 0,4) = 1 - 0,6554 = 0,3446
Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+
Calcule el percentil de un estudiante con una puntuación de 65:
* Pulse 2nd Distr
* Pulse 2:normalcdf(
* Ingrese el límite inferior, límite superior, media, desviación típica seguido de )
* Pulse ENTER.
Para este ejemplo, los pasos son 2nd Distr
2:normalcdf(65,1,2nd EE,99,63,5) ENTER
La probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65 es de 0,3446.
Para hallar la probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65, reste el percentil a 1.
Translation missing: es.problem
b. Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación inferior a 85.
Solución
b. Dibuje un gráfico.
Luego calcule P(x < 85), y sombree el gráfico.
Con una computadora o una calculadora, calcule P(x < 85) = 1.
normalcdf(0,85,63,5) = 1 (redondee a uno)
La probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación inferior a 85 es aproximadamente uno (o el 100 %).
Translation missing: es.problem
c. Calcule el percentil 90 (es decir, halle la puntuación k que tiene el 90 % de las puntuaciones por debajo de k y el 10 % de las puntuaciones por encima de k).
Solución
c. Calcule el percentil 90. Para cada problema o parte de un problema, dibuje un nuevo gráfico. Dibuje el eje x. Sombree el área que corresponde al percentil 90.
Supongamos que k = el percentil 90. La variable k se sitúa en el eje x. P(x < k) es el área a la izquierda de k. El percentil 90 k separa las puntuaciones del examen en las que son iguales o inferiores a k y las que son iguales o superiores. El noventa por ciento de los resultados de las pruebas son iguales o inferiores a k, y el diez por ciento son iguales o superiores. La variable k suele llamarse valor crítico.
k = 69,4
El percentil 90 es de 69,4. Esto significa que el 90 % de las puntuaciones de las pruebas se sitúan en un nivel igual o inferior a 69,4 y el 10 % en un nivel igual o superior. Para obtener esta respuesta en la calculadora, siga este paso:
Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+
invNorm pulgada 2nd DISTR. invNorm(área a la izquierda, media, desviación típica)
Para este problema, invNorm(0,90;63;5) = 69,4
Translation missing: es.problem
d. Calcule el percentil 70 (es decir, halle la puntuación k tal que el 70 % de las puntuaciones esté por debajo de k y el 30 % de las puntuaciones esté por encima de k).
Solución
d. Calcule el percentil 70.
Dibuje un nuevo gráfico y márquelo adecuadamente. k = 65,6
El percentil 70 es de 65,6. Esto significa que el 70 % de las puntuaciones de las pruebas se sitúan en un nivel igual o inferior a 65,5 y el 30 % en un nivel igual o superior.
invNorm(0,70;63;5) = 65,6
Inténtelo 6.8
Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres.
Calcule la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar obtenga una puntuación inferior a 65.
Ejemplo 6.9
Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora.
Translation missing: es.problem
a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día.
Solución
a. Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento. X ~ N(2, 0,5) donde μ = 2 y σ = 0,5.
Calcule P(1,8 < x < 2,75).
La probabilidad que se busca es el área entre x = 1,8 y x = 2,75. P(1,8 < x < 2,75) = 0,5886
normalcdf(1,8;2,75;2;0,5) = 0,5886
La probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice entre 1,8 y 2,75 horas al día para el entretenimiento es de 0,5886
Translation missing: es.problem
b. Calcule el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse.
Solución
b. Para hallar el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse, calcule el percentil 25, k, donde P(x < k) = 0,25.
invNorm(0,25;2;0,5) = 1,66
El número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse es de 1,66 horas.
Inténtelo 6.9
Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista obtenga una puntuación entre 66 y 70.
Ejemplo 6.10
En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente.
Translation missing: es.problem
a. Determine la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfono inteligente en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga entre 23 y 64,7 años.
b. Determine la probabilidad de que un usuario de teléfono inteligente seleccionado al azar en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga como máximo 50,8 años.
c. Calcule el percentil 80 de esta distribución e interprételo en una frase completa.
Solución
a. normalcdf(23;64,7;36,9;13,9) = 0,8186
b. normalcdf(-1099;50,8;36,9;13,9) = 0,8413
c.
- invNorm(0,80;36,9;13,9) = 48,6
- El percentil 80 es de 48,6 años.
- El 80 % de los usuarios de teléfonos inteligentes en el rango de edad de 13 a 55+ años tienen 48,6 años o menos.
Inténtelo 6.10
Utilice la información del Ejemplo 6.10 para responder las siguientes preguntas.
- Calcule el percentil 30, e interprételo en una frase completa.
- ¿Cuál es la probabilidad de que la edad de un usuario de un teléfono inteligente seleccionado aleatoriamente en el rango de 13 a 55+ sea inferior a 27 años?
Ejemplo 6.11
En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. Con esta información, responda a las siguientes preguntas (redondee las respuestas a un decimal)
Translation missing: es.problem
a. Calcule el rango intercuartil (IQR).
b. ¿Qué edad tiene el 40 % de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55 años?
Solución
a.
- IQR = Q3 – Q1
- Calcule el Q3 = percentil 75 y Q1 = percentil 25.
- invNorm(0,75;36,9;13,9) = Q3 = 46,2754
- invNorm(0,25;36,9;13,9) = Q1 = 27,5246
- IQR = Q3 – Q1 = 18,8
b.
- Calcule k donde P(x ≥ k) = 0,40 ("al menos" se traduce en "mayor o igual que")
- 0,40 = la zona de la derecha.
- Área a la izquierda = 1 - 0,40 = 0,60.
- El área a la izquierda de k = 0,60.
- invNorm(0,60;36,9;13,9) = 40,4215.
- k = 40,4.
- El 40 % de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55 años tienen al menos 40,4 años.
Inténtelo 6.11
Dos mil estudiantes hicieron un examen. Las puntuaciones del examen tienen una distribución normal aproximada con una media μ = 81 puntos y una desviación típica σ = 15 puntos.
- Calcule las puntuaciones del primer y tercer cuartil de este examen.
- ¿El 50 % de las puntuaciones del examen se encuentran entre qué dos valores?
Ejemplo 6.12
Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas comprueba que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su finca siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5,85 cm y una desviación típica de 0,24 cm.
Translation missing: es.problem
a. Calcule la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro superior a 6,0 cm. Dibuje el gráfico.
b. El 20 % de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______.
c. Calcule el percentil 90 de los diámetros de las mandarinas e interprételo en una frase completa.
Solución
a. normalcdf(6;10^99;5,85;0,24) = 0,2660
b.
- 1 – 0,20 = 0,80
- Las colas del gráfico de la distribución normal tienen un área de 0,40 cada una.
- Calcule k1, el percentil 40, y k2, el percentil 60 (0,40 + 0,20 = 0,60).
- k1 = invNorm(0,40;5,85;0,24) = 5,79 cm
- k2 = invNorm(0,60;5,85;0,24) = 5,91 cm
c. 6,16: El 90 % del diámetro de las mandarinas es como máximo de 6,16 cm.
Inténtelo 6.12
Utilizando la información del Ejemplo 6.12, responda a lo siguiente:
- El 40 % medio de las mandarinas de esta finca está entre ______ y ______.
- Calcule el percentil 16 e interprételo en una frase completa.