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Introducción a la estadística

5.2 La distribución uniforme

Introducción a la estadística5.2 La distribución uniforme

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o exclusivos de los extremos.

Ejemplo 5.2

Los datos en la Tabla 5.1 son 55 tiempos de sonrisa, en segundos, de un bebé de ocho semanas.

10,4 19,6 18,8 13,9 17,8 16,8 21,6 17,9 12,5 11,1 4,9
12,8 14,8 22,8 20,0 15,9 16,3 13,4 17,1 14,5 19,0 22,8
1.3 0,7 8,9 11,9 10,9 7,3 5,9 3,7 17,9 19,2 9,8
5,8 6,9 2,6 5,8 21,7 11,8 3,4 2,1 4,5 6,3 10,7
8,9 9,4 9,4 7,6 10,0 3,3 6,7 7,8 11,6 13,8 18,6
Tabla 5.1

La media muestral = 11,49 y la desviación típica de la muestra = 6,23.

Supondremos que los tiempos de sonrisa, en segundos, siguen una distribución uniforme entre cero y 23 segundos, ambos inclusive. Esto significa que cualquier tiempo de sonrisa desde cero hasta 23 segundos inclusive es igualmente probable. El histograma que se construyó a partir de la muestra es una distribución empírica que se acerca mucho a la distribución uniforme teórica.

Supongamos que X = la duración, en segundos, de la sonrisa de un bebé de ocho semanas.

La notación para la distribución uniforme es

X ~ U(a, b) donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x.

La función de densidad de probabilidad es f(x) = 1 ba 1 ba para axb.

En este ejemplo, X ~ U(0, 23) y f(x) = 1 230 1 230 para 0 ≤ X ≤ 23.

Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son

μ= a+b 2 μ= a+b 2 y σ= (ba) 2 12 σ= (ba) 2 12

En este problema, la media teórica y la desviación típica son

μ = 0 + 23 2 0 + 23 2 = 11,50 segundos y σ = (23  0) 2 12 (23  0) 2 12 = 6,64 segundos.

Observe que en este ejemplo la media teórica y la desviación típica se aproximan a la media muestral y a la desviación típica.

Inténtelo 5.2

Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b. Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica.

1 12 4 10 4 14 11
7 11 4 13 2 4 6
3 10 0 12 6 9 10
5 13 4 10 14 12 11
6 10 11 0 11 13 2
Tabla 5.2

Ejemplo 5.3

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a. Consulte el Ejemplo 5.2. ¿Cuál es la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría entre dos y 18 segundos?

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b. Halle el percentil 90 para el tiempo de sonrisa de un bebé de ocho semanas.

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c. Halle la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría más de 12 segundos SABIENDO que el bebé sonríe MÁS DE OCHO SEGUNDOS.

Inténtelo 5.3

Una distribución está dada como X ~ U (0, 20). ¿Cuál es la P(2 < X < 18)? Calcule el percentil 90.

Ejemplo 5.4

La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive.

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a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos?

b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ, y la desviación típica, σ.

c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces?

Esto pide calcular el percentil 90.

Inténtelo 5.4

La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive.

  1. Calcule a y b y describa lo que representan.
  2. Escriba la distribución.
  3. Calcule la media y la desviación típica.
  4. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas?
  5. ¿Cuál es el percentil 65 de la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011?

Ejemplo 5.5

Supongamos que el tiempo que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla está entre 0,5 y 4 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla. Entonces X ~ U (0,5, 4).

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a. La probabilidad de que un niño de nueve años seleccionado al azar se coma una rosquilla en al menos dos minutos es _______.

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b. Halle la probabilidad de que otro niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos.

La segunda pregunta tiene una probabilidad condicional. Se le pide que halle la probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya lleva comiendo la rosquilla más de 1,5 minutos. Resuelva el problema de dos formas diferentes (vea el Ejemplo 5.3). Debe reducir el espacio de la muestra. Primera forma: Como sabe que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos, ya no empieza en a = 0,5 minutos. Su punto de partida es 1,5 minutos.

Escriba una nueva f(x):

f(x) = 1 41,5 1 41,5 = 2 5 2 5 para 1,5 ≤ x ≤ 4.

Halle P(X > 2|x > 1,5). Dibuje un gráfico.

Gráfico f(X) = 2/5 que muestra una región delimitada formada por una línea horizontal que se extiende hacia la derecha desde el punto 2/5 del eje y, una línea vertical ascendente desde los puntos 1,5 y 4 del eje x, y el eje x. La región sombreada de los puntos 2-4 se encuentra dentro de esa región.
Figura 5.17

P(X > 2|x > 1,5) = (base)(nueva altura) = (4 - 2) ( 2 5 ) =45 ( 2 5 ) =45

La probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiendo la rosquilla durante más de 1,5 minutos, es 4545.

Segunda forma: Dibuje el gráfico original para X ~ U (0,5, 4). Utilice la fórmula condicional

P(x > 2|x > 1,5) =   P(x>2 Y x>1,5) P(x>10,5) = P(x>2) P(x>1,5) = 2 3,5 2,5 3,5 =00,8= 4 5   P(x>2 Y x>1,5) P(x>10,5) = P(x>2) P(x>1,5) = 2 3,5 2,5 3,5 =00,8= 4 5

Inténtelo 5.5

Supongamos que el tiempo que tarda un estudiante en terminar un examen se distribuye uniformemente entre 6 y 15 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un estudiante en terminar un examen. Entonces X ~ U (6, 15).

Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar necesite al menos ocho minutos para completar la prueba. A continuación, halle la probabilidad de que otro estudiante necesite al menos ocho minutos para terminar el cuestionario, dado que ya se ha tomado más de siete minutos.

Ejemplo 5.6

La compañía Ace Heating and Air Conditioning Service considera que el tiempo que necesita un técnico para arreglar un horno se distribuye uniformemente entre 1,5 y 4 horas. Supongamos que x = el tiempo necesario para arreglar un horno. Entonces X ~ U (1,5, 4).

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  1. Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera más de dos horas.
  2. Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera menos de tres horas.
  3. Halle el percentil 30 de los tiempos de reparación de hornos.
  4. El 25 % de los tiempos más largos de reparación de hornos ¿cuánto tiempo toma al menos? (En otras palabras: halle el tiempo mínimo para el 25 % más largo de los tiempos de reparación). ¿Qué percentil representa esto?
  5. Halle la desviación media y la típica

Inténtelo 5.6

El tiempo que necesita un técnico de servicio para cambiar el aceite de un auto se distribuye uniformemente entre 11 y 21 minutos. Supongamos que X = el tiempo necesario para cambiar el aceite de un auto.

  1. Escriba en palabras la variable aleatoria X. X = __________________.
  2. Escriba la distribución.
  3. Grafique la distribución.
  4. Halle P (x > 19).
  5. Calcule el percentil 50.
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