2.7 Medidas de la dispersión de los datos

La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos

La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación.

Supongamos que estudiamos el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B. El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A, la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B, la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos.

Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B. En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio.

La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media.

Supongamos que Rosa y Binh compran en el supermercado A. Rosa espera en la caja siete minutos y Binh espera un minuto. En el supermercado A, el tiempo medio de espera es de cinco minutos y la desviación típica es de dos minutos. La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media.

Rosa espera siete minutos:

• Siete son dos minutos más que el promedio de cinco; dos minutos equivalen a una desviación típica.
• El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, es dos minutos más largo que el promedio de cinco minutos.
• El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, está una desviación típica por encima del promedio de cinco minutos.

Binh espera un minuto.

• Uno es cuatro minutos menos que el promedio de cinco; cuatro minutos equivalen a dos desviaciones típicas.
• El tiempo de espera de Binh, de un minuto, es cuatro minutos menos que el promedio de cinco minutos.
• El tiempo de espera de Binh, de un minuto, está dos desviaciones típicas por debajo del promedio de cinco minutos.
• Un valor de los datos que está a dos desviaciones típicas del promedio está justo en el límite de lo que muchos estadísticos considerarían alejado del promedio. Plantearse que los datos están lejos de la media si están a más de dos desviaciones típicas es más una "regla general" aproximada que una regla rígida. En general, la forma de la distribución de los datos afecta a la cantidad de datos que se encuentran más allá de dos desviaciones típicas. (En los capítulos siguientes aprenderá más sobre este punto).

La recta numérica puede ayudarlo a entender la desviación típica. Si ponemos el cinco y el siete en una recta numérica, el siete está a la derecha del cinco. Decimos, entonces, que siete está una desviación típica a la derecha de cinco porque 5 + (1)(2) = 7.

Si el número uno también formara parte del conjunto de datos, entonces estaría dos desviaciones típicas a la izquierda de cinco porque 5 + (-2)(2) = 1.

Figura 2.24

• En general, un valor = media + (n.º de STDEV) (número de STandard DEViation, o desviación típica)
• donde n.º de STDEV = el número de desviaciones típicas
• El n.º de STDEV no tiene que ser un número entero
• Uno es dos desviaciones típicas menos que la media de cinco porque: 1 = 5 + (-2)(2).

La ecuación valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica) puede expresarse para una muestra y para una población.

• muestra: $x\text{ = }\overline{x}\text{ + }(n.ºoeSTDEV)(s)$
• Población: $x=\mu +(n.ºoeSTDEV)(\sigma )$

La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población.

El símbolo $\overline{x}$ es la media muestral y el símbolo griego $\mu$ es la media de la población.

Cálculo de la desviación típica

Si x es un número, la diferencia "x – media" se llama su desviación. En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ. Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x – $\overline{x}$.

El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ.

Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x – $\overline{x}$ para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ² representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s² representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones.

Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N, el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre n – 1, uno menos que el número de elementos de la muestra.

Fórmulas para la desviación típica de la muestra

• $s=\sqrt{\frac{\Sigma {(x–\overline{x})}^2}{n–1}}$ o $s=\sqrt{\frac{\Sigma e{(x–\overline{x})}^2}{n–1}}$
• Para la desviación típica de la muestra, el denominador es n – 1, es decir, el tamaño de la muestra MENOS 1.

Fórmulas para la desviación típica de la población

• $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma {(x–\mu )}^2}{N}}$ o $\sigma = \sqrt{\frac{\Sigma e{(x–\mu )}^2}{N}}$
• Para la desviación típica de la población el denominador es N, el número de elementos de la población.

En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres.

Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla

Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el Ejemplo 2.32, hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado.

La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos.

Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra, se divide entre el tamaño de la muestra menos uno (n – 1). ¿Por qué no dividir entre n? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre (n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población.

La desviación típica, s o σ, es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes.

La desviación típica, cuando se presenta por primera vez, puede parecer poco clara. Al graficar los datos, puede tener una mejor "percepción" de las desviaciones y la desviación típica. Encontrará que en las distribuciones simétricas la desviación típica puede ser muy útil, pero en las distribuciones sesgadas, es posible que la desviación típica no sea de mucha ayuda. La razón es que los dos lados de una distribución sesgada tienen diferentes márgenes. En una distribución sesgada, es mejor fijarse en el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, el valor más pequeño y el valor más grande. Como los números pueden ser confusos, siempre hay que hacer un gráfico de los datos. Visualice sus datos en un histograma o un diagrama de caja y bigotes.

Ejemplo 2.33

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Utilice los siguientes datos (calificaciones del primer examen) de la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean:

33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100

1. Cree un gráfico que contenga los datos, las frecuencias, las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas con tres decimales.
2. Calcule lo siguiente con un decimal utilizando una calculadora TI-83+ o TI-84:
   1. La media muestral
   2. La desviación típica de la muestra
   3. La mediana
   4. El primer cuartil
   5. El tercer cuartil
   6. IQR
3. Construya un diagrama de caja y bigotes y un histograma en el mismo conjunto de ejes. Comente sobre el diagrama de caja y bigotes, el histograma y el gráfico.

Solución

1. Vea la Tabla 2.30
2. 1. La media muestral = 73,5
   2. La desviación típica de la muestra = 17,9
   3. La mediana = 73
   4. El primer cuartil = 61
   5. El tercer cuartil = 90
   6. IQR = 90 – 61 = 29
3. El eje x va de 32,5 a 100,5; el eje y va de –2,4 a 15 en el histograma. El número de intervalos es cinco, por lo que la anchura de un intervalo es (100,5 – 32,5) dividida entre cinco, es igual a 13,6. Los puntos finales de los intervalos son los siguientes: el punto de partida es 32,5, 32,5 + 13,6 = 46,1, 46,1 + 13,6 = 59,7, 59,7 + 13,6 = 73,3, 73,3 + 13,6 = 86,9, 86,9 + 13,6 = 100,5 = el valor final; ningún valor de los datos cae en un límite de intervalo.

Figura 2.25

Datos	Frecuencia	Frecuencia relativa	Frecuencia relativa acumulada
33	1	0,032	0,032
42	1	0,032	0,064
49	2	0,065	0,129
53	1	0,032	0,161
55	2	0,065	0,226
61	1	0,032	0,258
63	1	0,032	0,29
67	1	0,032	0,322
68	2	0,065	0,387
69	2	0,065	0,452
72	1	0,032	0,484
73	1	0,032	0,516
74	1	0,032	0,548
78	1	0,032	0,580
80	1	0,032	0,612
83	1	0,032	0,644
88	3	0,097	0,741
90	1	0,032	0,773
92	1	0,032	0,805
94	4	0,129	0,934
96	1	0,032	0,966
100	1	0,032	0,998 (¿Por qué este valor no es 1?)

Tabla 2.30

El largo bigote izquierdo del diagrama de caja y bigotes se refleja en la parte izquierda del histograma. La dispersión de las calificaciones del examen en el 50 % inferior es mayor (73 - 33 = 40) que la dispersión en el 50 % superior (100 - 73 = 27). El histograma, el diagrama de caja y bigotes y el gráfico lo reflejan. Hay un número considerable de notas A y B (80, 90 y 100). El histograma lo muestra claramente. El diagrama de caja y bigotes nos muestra que el 50 % de las calificaciones del examen (IQR = 29) son D, C y B. El diagrama de caja también nos muestra que el 25 % inferior de las puntuaciones del examen son D y F.