Barbara Illowsky; Susan Dean

Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal. Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población (o desviación típica de la población). El estadístico de prueba es:

\frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}}

donde:

n = el número total de datos
s² = varianza de la muestra
σ² = varianza de la población

Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El Ejemplo 11.10 le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población.

Ejemplo 11.10

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A los instructores de Matemáticas no solo les interesa saber cómo les va a sus estudiantes en los exámenes, en promedio, sino cómo varían las calificaciones. Para muchos instructores, la varianza (o desviación típica) puede ser más importante que el promedio.

Supongamos que un instructor de Matemáticas cree que la desviación típica de su examen final es de cinco puntos. Uno de sus mejores estudiantes piensa otra cosa. El estudiante afirma que la desviación típica es superior a cinco puntos. Si el estudiante tuviera que realizar una prueba de hipótesis, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa?

Solución

Aunque se nos da la desviación típica de la población podemos establecer la prueba utilizando la varianza de la población de la siguiente manera.

H₀: σ² = 5²
H_a: σ² > 5²

Inténtelo 11.10

Un instructor de buceo quiere registrar las profundidades colectivas a las que se sumerge cada uno de sus estudiantes durante su entrenamiento. Se interesa por cómo varían las profundidades, aunque todos deberían estar a la misma profundidad. Cree que la desviación típica es de tres pies. Su asistente cree que la desviación típica es de menos de tres pies. Si el instructor tuviera que realizar una prueba, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa?

Ejemplo 11.11

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Con filas individuales en sus distintas ventanillas, una oficina de correos descubre que la desviación típica de los tiempos de espera de los clientes distribuidos normalmente el viernes por la tarde es de 7,2 minutos. La oficina de correos experimenta con una única fila principal de espera y descubre que, para una muestra aleatoria de 25 clientes, los tiempos de espera de los clientes tienen una desviación típica de 3,5 minutos.

Con un nivel de significación del 5 %, pruebe la afirmación de que una fila única provoca una menor variación entre los tiempos de espera (tiempos de espera más cortos) para los clientes.

Solución

Dado que la afirmación es que una sola fila causa menos variación, esta es una prueba de una sola varianza. El parámetro es la varianza de la población, σ², o la desviación típica de la población, σ.

Variable aleatoria: La desviación típica de la muestra, s, es la variable aleatoria. Supongamos que s = desviación típica de los tiempos de espera.

H₀: σ² = 7,2²
H_a: σ² < 7,2²

La palabra “menos” indica que se trata de una prueba de cola izquierda.

Distribución para la prueba: $χ_{24}^{2}$ , donde:

n = el número de clientes muestreados
df = n – 1 = 25 – 1 = 24

Calcule el estadístico de prueba:

$χ^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}} = \frac{(25 - 1) {(3,5)}^{2}}{{7,2}^{2}} = 5,67$

donde n = 25, s = 3,5 y σ = 7,2.

Gráfico:

Se trata de una curva de chi-cuadrado no simétrica con valores de 0 y 5,67 identificados en el eje horizontal. El punto 5,67 está a la izquierda del pico de la curva. Una línea vertical ascendente se extiende desde 5,67 hasta la curva y la región a la izquierda de esta línea está sombreada. El área sombreada es igual al valor p.

Figura 11.8

Declaración de probabilidad: valor p = P ( χ² < 5,67) = 0,000042

Compare α y el valor p:
α = 0,05; valor p = 0,000042; α > valor p

Tome una decisión: Dado el valor de α > p, se rechaza H₀. Esto significa que rechaza σ² = 7,2². En otras palabras, no cree que la variación de los tiempos de espera sea de 7,2 minutos; cree que la variación de los tiempos de espera es menor.

Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que una sola fila provoca una menor variación entre los tiempos de espera o que con una sola fila, los tiempos de espera de los clientes varían menos de 7,2 minutos.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

En 2nd DISTRUtilice 7:χ2cdf. La sintaxis es (inferior, superior, df) para la lista de parámetros. Para el Ejemplo 11.11, χ2cdf(-1E99,5,67,24). El valor p = 0,000042.

Inténtelo 11.11

La Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) hace pruebas de velocidad de banda ancha para medir cuántos datos por segundo pasan entre la computadora de un consumidor e internet. En agosto de 2012, la desviación típica de las velocidades de internet entre los proveedores de servicios de internet (PSI) era del 12,2 %. Supongamos que se toma una muestra de 15 PSI y que la desviación típica es de 13,2. Un analista afirma que la desviación típica de las velocidades es mayor que la comunicada. Plantee las hipótesis nula y alternativa, calcule los grados de libertad, el estadístico de prueba, dibuje el gráfico del valor p y saque una conclusión. Prueba al nivel de significación del 1 %.

11.6 Prueba de una sola varianza

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Solución

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Solución