Barbara Illowsky; Susan Dean

Aunque esta situación no es probable (conocer las desviaciones típicas de la población no es probable), el siguiente ejemplo ilustra la prueba de hipótesis para medias independientes, conociendo las desviaciones típicas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal y ambas poblaciones deben ser normales. La variable aleatoria es $\bar{X_{1}} - \bar{X_{2}}$ . La distribución normal tiene el siguiente formato:

La distribución normal es:

{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} ~ N [μ_{1} - μ_{2}, \sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}}]

La desviación típica es:

\sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}}

El estadístico de prueba (puntuaciónz) es:

z = \frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - (μ_{1} - μ_{2})}{\sqrt{\frac{{(σ_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(σ_{2})}^{2}}{n_{2}}}}

Ejemplo 10.6

Grupos independientes, desviaciones típicas de la población conocidas: Se va a comparar el tiempo medio de duración de dos ceras para suelos de la competencia. Se asignan al azar veinte pisos para probar cada cera. Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Los datos se registran en la Tabla 10.8.

Cera	Muestra del número medio de meses que dura la cera del suelo	Desviación típica de la población
1	3	0,33
2	2,9	0,36

Tabla 10.8

Translation missing: es.problem

¿Los datos indican que la cera 1 es más eficaz que la cera 2? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Solución

Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales, desviaciones típicas poblacionales conocidas.

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_{1} – {\bar{X}}_{2}$ = diferencia en el número medio de meses que duran las ceras para suelos de la competencia.

H₀: μ₁ ≤ μ₂

H_a: μ₁ > μ₂

La expresión “es más eficaz” dice que la cera 1 dura más que la cera 2, en promedio. “Más que” es el símbolo “>” y entra en H_a. Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha.

Distribución para la prueba: Las desviaciones típicas de la población son conocidas, por lo que la distribución es normal. Utilizando la fórmula, la distribución es:

${\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} ~ N (0, \sqrt{\frac{{0,33}^{2}}{20} + \frac{{0,36}^{2}}{20}})$

Como μ₁ ≤ μ₂ entonces μ₁ - μ₂ ≤ 0 y la media de la distribución normal es cero.

Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,1799

Gráfico:

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Los valores 0 y 0,1 están marcados en el eje horizontal. Una línea vertical se extiende desde 0,1 hasta la curva. La región debajo de la curva a la derecha de la línea está sombreada para representar el valor p = 0,1799.

Figura 10.5

${\bar{X}}_{1}$ – ${\bar{X}}_{2}$ = 3 – 2,9 = 0,1

Compare α y el valor p: α = 0,05 y valor p = 0,1799. Por lo tanto, α < valor p.

Tome una decisión: Dado que α < valor p, no se rechaza H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de duración de la cera 1 sea mayor (la cera 1 es más eficaz) que el tiempo medio de duración de la cera 2.

Uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84, 84+

Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 3:2-SampZTest. Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo y presione ENTER 0,33 para sigma1, 0,36 para sigma2, 3 para la primera media muestral, 20 para n1, 2,9 para la segunda media muestral, y 20 para n2. Desplace la flecha hacia abajo hasta μ1: y la flecha hacia > μ₂. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER. El valor p es p = 0,1799 y el estadístico de prueba es 0,9157. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate presione Dibujar.

Inténtelo 10.6

Hay que comparar las medias del número de revoluciones por minuto de dos motores en competencia. Treinta motores son asignados al azar para ser probados. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. La Tabla 10.9 muestra el resultado. ¿Los datos indican que el motor 2 tiene más RPM que el motor 1? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Motor	Número de media de RPM de la muestra	Desviación típica de la población
1	1.500	50
2	1.600	60

Tabla 10.9

Ejemplo 10.7

Un ciudadano interesado quería saber si los senadores estadounidenses demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio. El 26 de mayo de 2013, la edad media de 30 senadores republicanos seleccionados al azar era de 61 años y 247 días (61,675 años) con una desviación típica de 10,17 años. La edad media de los 30 senadores demócratas seleccionados al azar era de 61 años y 257 días (61,704 años), con una desviación típica de 9,55 años.

Translation missing: es.problem

¿Los datos indican que los senadores demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio? Pruebe con un nivel de significación del 5 %.

Solución

Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales. Se desconocen las desviaciones típicas de la población, pero la suma de los tamaños de las muestras es 30 + 30 = 60, que es mayor que 30, por lo que podemos utilizar la aproximación normal a la distribución t de Student. Subíndices: 1: Senadores demócratas 2: Senadores republicanos

Variable aleatoria: ${\bar{X}}_{1} – {\bar{X}}_{2}$ = diferencia en la edad media de los senadores estadounidenses demócratas y republicanos.

H₀: µ₁ ≤ µ₂ H₀: µ₁ – µ₂ ≤ 0

H_a: µ₁ > µ₂ H_a: µ₁ – µ₂ > 0

Las palabras “mayor que” se traducen en un símbolo “>” y entran en H_a. Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha.

Distribución para la prueba: la distribución es la aproximación normal a la t de Student para medias, grupos independientes. Utilizando la fórmula, la distribución es: ${\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} \sim N [0, \sqrt{\frac{{(9,55)}^{2}}{30} + \frac{{(10,17)}^{2}}{30}}]$

Como µ₁ ≤ µ₂, µ₁ - µ₂ ≤ 0 y la media de la distribución normal es cero.

(Calcular el valor p utilizando la distribución normal da un valor p = 0,4955)

Gráfico:

Se trata de una curva de distribución normal con media igual a cero. Una línea vertical a la derecha del cero se extiende desde el eje hasta la curva. La región debajo de la curva a la derecha de la línea está sombreada y representa un valor p = 0,4955.

Figura 10.6

Compare α y el valor p: α = 0,05 y valor p = 0,4955. Por lo tanto, α < valor p.

Tome una decisión: Dado que α < valor p, no se rechaza H₀.

Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la edad media de los senadores demócratas sea mayor que la de los republicanos.

10.2 Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas

Translation missing: es.problem

Solución

Translation missing: es.problem

Solución