9.5 Teoría de bandas de los sólidos

El modelo de electrones libres explica muchas propiedades importantes de los conductores, pero es débil en al menos dos áreas. En primer lugar, asume una energía potencial constante dentro del sólido. (Recordemos que una energía potencial constante está asociada a la ausencia de fuerzas). La Figura 9.14 compara la suposición de una energía potencial constante (línea punteada) con el potencial periódico de Coulomb, que cae como $\mathrm{-1}\text{/}r$ en cada punto de la red, donde r es la distancia al núcleo de iones (línea sólida). En segundo lugar, el modelo de electrones libres supone una barrera impenetrable en la superficie. Esta suposición no es válida, porque en determinadas condiciones, los electrones pueden escapar de la superficie, como en el efecto fotoeléctrico. Además de estas suposiciones, el modelo de electrones libres no explica las dramáticas diferencias en las propiedades electrónicas de los conductores, semiconductores y aislantes. Por lo tanto, se necesita un modelo más completo.

Podemos producir un modelo mejorado resolviendo la ecuación de Schrödinger para el potencial periódico que se muestra en la Figura 9.14. Sin embargo, la solución requiere una matemática técnica que está fuera de nuestro alcance. Volvemos a buscar un argumento cualitativo con base en la mecánica cuántica para encontrar una vía.

En primer lugar, repasamos el argumento utilizado para explicar la estructura energética de un enlace covalente. Considere dos átomos de hidrógeno idénticos tan alejados que no existe interacción alguna entre ellos. Supongamos además que el electrón de cada átomo se encuentra en el mismo estado fundamental: un electrón 1s con una energía de $\mathrm{-13,6}\text{eV}$ (ignore el espín). Cuando los átomos de hidrógeno se acercan, las funciones de onda individuales de los electrones se superponen y, por el principio de exclusión, ya no pueden estar en el mismo estado cuántico, lo que divide los niveles de energía equivalentes originales en dos niveles de energía diferentes. Las energías de estos niveles dependen de la distancia interatómica, $\alpha$ (Figura 9.15).

Si se juntan cuatro átomos de hidrógeno, se forman cuatro niveles a partir de las cuatro simetrías posibles: una sola "joroba" de onda sinusoidal en cada pozo, alternando arriba y abajo, y así sucesivamente. En el límite de un número muy grande N de átomos, esperamos una propagación de bandas casi continuas de niveles de energía electrónica en un sólido (vea la Figura 9.15(c)). Cada una de estas bandas se conoce como banda de energía. (Los estados permitidos de energía y número de onda siguen siendo técnicamente cuantizados, pero en un gran número de átomos estos estados están tan cerca entre sí que se consideran continuos o "en el continuo").

Las bandas de energía se diferencian por el número de electrones que contienen. En las bandas de energía 1s y 2s, cada nivel de energía contiene hasta dos electrones (espín arriba y espín abajo), por lo que esta banda tiene una ocupación máxima de 2N electrones. En la banda de energía 2p, cada nivel de energía tiene hasta seis electrones, por lo que esta banda tiene una ocupación máxima de 6N electrones (Figura 9.16).

Cada banda de energía está separada de la otra por una brecha energética. Las propiedades eléctricas de los conductores y los aislantes pueden entenderse en términos de bandas y brechas de energía. La banda de mayor energía que se llena se conoce como banda de valencia. La siguiente banda disponible en la estructura energética se conoce como banda de conducción. En un conductor, la banda de energía más alta que contiene electrones está parcialmente llena, mientras que en un aislante, la banda de energía más alta que contiene electrones está completamente llena. La diferencia entre un conductor y un aislante se ilustra en la Figura 9.17.

Un conductor se diferencia de un aislante en la forma en que sus electrones responden a un campo eléctrico aplicado. Si un número significativo de electrones se pone en movimiento por el campo, el material es un conductor. En términos del modelo de banda, los electrones en la banda de conducción parcialmente llena ganan energía cinética del campo eléctrico llenando estados de mayor energía en la banda de conducción. Por el contrario, en un aislante, los electrones pertenecen a las bandas completamente llenas. Cuando se aplica el campo, los electrones no pueden realizar dichas transiciones (adquirir energía cinética del campo eléctrico) debido al principio de exclusión. Como resultado, el material no conduce la electricidad.

Un semiconductor tiene una estructura energética similar a la de un aislante, salvo que tiene una brecha energética relativamente pequeña entre la banda más baja completamente llena y la siguiente banda disponible sin llenar. Este tipo de material constituye la base de la electrónica moderna. En $T=0\text{K}$, el semiconductor y el aislante tienen bandas completamente llenas. La única diferencia está en el tamaño de la brecha energética (o brecha de banda) E_g entre la banda de energía más alta que se llena (la banda de valencia) y la banda vacía inmediatamente superior (la banda de conducción). En un semiconductor, este hueco es lo suficientemente pequeño como para que un número importante de electrones de la banda de valencia se excite térmicamente hacia la banda de conducción a temperatura ambiente. Estos electrones se encuentran entonces en una banda casi vacía y pueden responder a un campo aplicado. Como regla general, la brecha de banda de un semiconductor es de aproximadamente 1 eV. (Vea la Tabla 9.4 para la silicona). Una brecha de banda superior a aproximadamente 1 eV se considera un aislante. A modo de comparación, la brecha energética del diamante (un aislante) es de varios electronvoltios.