7.5 El oscilador armónico cuántico

El oscilador armónico clásico

Un oscilador armónico simple es una partícula o sistema que experimenta un movimiento armónico en torno a una posición de equilibrio, como un objeto con masa que vibra sobre un resorte. En esta sección, consideramos las oscilaciones en una sola dimensión. Supongamos que una masa se mueve de un lado a otro a lo largo de una

dirección x alrededor de la posición de equilibrio, $x=0$. En la mecánica clásica, la partícula se mueve en respuesta a una fuerza lineal restauradora dada por $F_x=\text{−}kx,$ donde la x es el desplazamiento de la partícula desde su posición de equilibrio. El movimiento tiene lugar entre dos puntos de inflexión, $x=\text{±}A$, donde A denota la amplitud del movimiento. La posición del objeto varía periódicamente en el tiempo con una frecuencia angular $\omega =\sqrt{k\text{/}m},$ que depende de la masa m del oscilador y de la constante de fuerza k de la fuerza neta, y puede escribirse como

La energía total E de un oscilador es la suma de su energía cinética $K=m{u}^2\text{/}2$ y la energía potencial elástica de la fuerza $U(x)=k{x}^2\text{/}2,$

En los puntos de inflexión $x=\text{±}A$, la velocidad del oscilador es de cero; por lo tanto, en estos puntos la energía de oscilación está únicamente en forma de energía potencial $E=k{A}^2\text{/}2$. El gráfico de la energía potencial U(x) del oscilador en función de su posición x es una parábola (Figura 7.13). La función de energía potencial es una función cuadrática de la x, medida con respecto a la posición de equilibrio. En el mismo gráfico, también trazamos la energía total E del oscilador, como una línea horizontal que intercepta la parábola en $x=\text{±}A$. Entonces la energía cinética K se representa como la distancia vertical entre la línea de energía total y la parábola de energía potencial.

Figura 7.13 El pozo de energía potencial de un oscilador armónico clásico: El movimiento está confinado entre los puntos de inflexión en $x=\text{−}A$ y en $x=+A$. La energía de las oscilaciones es $E=k{A}^2\text{/}2.$

En este gráfico, el movimiento de un oscilador clásico está confinado a la región donde su energía cinética es no negativa, que es lo que dice la Ecuación 7.53 de relación de energía. Físicamente, significa que un oscilador clásico nunca puede encontrarse más allá de sus puntos de inflexión, y su energía solo depende de lo lejos que estén los puntos de inflexión de su posición de equilibrio. La energía de un oscilador clásico cambia de forma continua. La energía más baja que puede tener un oscilador clásico es cero, lo que corresponde a una situación en la que un objeto está en reposo en su posición de equilibrio. El estado de energía cero de un oscilador clásico significa simplemente que no hay oscilaciones ni movimiento alguno (una partícula clásica sentada en el fondo del pozo de potencial en la Figura 7.13). Cuando un objeto oscila, por muy grande o pequeña que sea su energía, pasa el mayor tiempo cerca de los puntos de inflexión, porque es ahí donde frena e invierte su dirección de movimiento. Por lo tanto, la probabilidad de encontrar un oscilador clásico entre los puntos de giro es mayor cerca de los puntos de inflexión y menor en la posición de equilibrio. (Observe que esto no es una declaración de preferencia del objeto por ir a una energía más baja. Es una declaración sobre la rapidez con la que el objeto se mueve a través de varias regiones).

El oscilador armónico cuántico

Un problema de esta formulación clásica es que no es general. No podemos utilizarla, por ejemplo, para describir las vibraciones de las moléculas diatómicas, donde los efectos cuánticos son importantes. Un primer paso hacia una formulación cuántica es utilizar la expresión clásica $k=m{\omega }^2$ para limitar la mención de una constante de "resorte" entre los átomos. De este modo, la función de energía potencial puede escribirse en una forma más general,

Combinando esta expresión con la ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo se obtiene

Para resolver la Ecuación 7.55(es decir, para encontrar las energías permitidas E y sus funciones de onda correspondientes $\psi (x)$) necesitamos que las funciones de onda sean simétricas respecto a $x=0$ (el fondo del pozo potencial) y normalizables. Estas condiciones garantizan que la densidad de probabilidad $|\psi (x){|}^2$ deba ser finita cuando se integre en todo el rango de x desde $\text{−}\infty$ hasta $+\infty$. Cómo resolver la Ecuación 7.55 es tema de un curso más avanzado de mecánica cuántica; aquí simplemente citamos los resultados. Las energías permitidas son

Las funciones de onda que corresponden a estas energías (los estados estacionarios o de energía definida) son

donde $\beta =\sqrt{m\omega \text{/}\hslash }$, $N_n$ es la constante de normalización, y $H_n(y)$ es un polinomio de grado n llamado Polinomio de Hermite. Los cuatro primeros polinomios de Hermite son

Algunos ejemplos de funciones de onda figuran en la Figura 7.14. A medida que aumenta el valor del número principal, las soluciones alternan entre funciones pares e impares alrededor de $x=0$.

Figura 7.14 Las cinco primeras funciones de onda del oscilador armónico cuántico. Los límites clásicos del movimiento del oscilador se indican con líneas verticales, correspondientes a los puntos de inflexión clásicos en $x=\text{±}A$ de una partícula clásica con la misma energía que la de un oscilador cuántico en el estado indicado en la figura.

En esta solución aparecen varias características interesantes. A diferencia de un oscilador clásico, las energías medidas de un oscilador cuántico solo pueden tener valores energéticos dados por la Ecuación 7.56. Además, a diferencia del caso de una partícula cuántica en una caja, los niveles de energía permitidos están espaciados de manera uniforme,

Cuando una partícula ligada a un sistema de este tipo hace una transición de un estado de mayor energía a un estado de menor energía, el cuanto de menor energía transportado por el fotón emitido es necesariamente hf. Del mismo modo, cuando la partícula hace una transición de un estado de menor energía a un estado de mayor energía, el cuanto de menor energía que puede ser absorbido por la partícula es el hf. Un oscilador cuántico solo puede absorber o emitir energía en múltiplos de este cuanto de energía más pequeño. Esto coincide con la hipótesis de Planck para los intercambios de energía entre la radiación y las paredes de la cavidad en el problema de la radiación de cuerpo negro.

El oscilador cuántico difiere del oscilador clásico en tres aspectos:

En primer lugar, el estado fundamental de un oscilador cuántico es $E_0=\hslash \omega \text{/}2,$ diferente a cero. En la visión clásica, la energía más baja es cero. La inexistencia de un estado de energía cero es común a todos los sistemas mecánicos cuánticos debido a las fluctuaciones omnipresentes que son consecuencia del principio de incertidumbre de Heisenberg. Si una partícula cuántica estuviera inmóvil en el fondo del pozo de potencial, tanto su momento como su posición tendrían que ser simultáneamente exactos, lo que violaría el principio de incertidumbre de Heisenberg. Por lo tanto, el estado de menor energía debe estar caracterizado por incertidumbres en el momento y en la posición, por lo que el estado fundamental de una partícula cuántica debe estar por encima del fondo del pozo de potencial.

En segundo lugar, una partícula en un potencial de oscilador armónico cuántico puede encontrarse con probabilidad diferente a cero fuera del intervalo $\text{−}A\le x\le +A$. En una formulación clásica del problema, la partícula no tendría ninguna energía para estar en esta región. La probabilidad de encontrar una partícula cuántica en estado fundamental en la región prohibida de manera clásica es de aproximadamente el 16 %.

En tercer lugar, las distribuciones de densidad de probabilidad $|{\psi }_n(x){|}^2$ para un oscilador cuántico en el estado fundamental de baja energía, ${\psi }_0(x)$, es mayor en el centro del pozo $(x=0)$. Para que la partícula se encuentre con mayor probabilidad en el centro del pozo, esperamos que pase el mayor tiempo allí mientras oscila. Esto se opone al comportamiento de un oscilador clásico, en el que la partícula pasa la mayor parte del tiempo moviéndose con velocidades relativamente pequeñas cerca de los puntos de inflexión.

Las distribuciones de densidad de probabilidad cuántica cambian de carácter en los estados excitados, pareciéndose más a la distribución clásica cuando el número cuántico es mayor. Observamos este cambio efectivamente en el primer estado excitado de un oscilador cuántico porque la distribución $|{\psi }_1(x){|}^2$ alcanza su punto máximo alrededor de los puntos de inflexión y desaparece en la posición de equilibrio, como se ve en la Figura 7.13. De acuerdo con el principio de correspondencia de Bohr, en el límite de números cuánticos altos, la descripción cuántica de un oscilador armónico converge a la descripción clásica, como se ilustra en la Figura 7.15. La distribución de densidad de probabilidad clásica correspondiente a la energía cuántica del estado $n=12$ es una aproximación razonablemente buena de la distribución de probabilidad cuántica para un oscilador cuántico en este estado excitado. Esta concordancia es cada vez mejor para los estados altamente excitados.

Figura 7.15 La distribución de densidad de probabilidad para encontrar el oscilador armónico cuántico en su estado cuántico $n=12$. La curva discontinua muestra la distribución de densidad de probabilidad de un oscilador clásico con la misma energía.