7.3 La ecuación de Schrӧdinger

En las dos secciones anteriores, describimos cómo utilizar una función de onda mecánica cuántica y hemos discutido el principio de incertidumbre de Heisenberg. En esta sección, presentamos una teoría completa y formal de la mecánica cuántica que puede utilizarse para hacer predicciones. Para desarrollar esta teoría, es útil revisar la teoría ondulatoria de la luz. Para una onda luminosa, el campo eléctrico E(x,t) obedece a la relación

donde c es la velocidad de la luz y el símbolo $\partial$ representa una derivada parcial. (Recordemos de Oscilaciones que una derivada parcial está estrechamente relacionada con una derivada ordinaria, pero implica funciones de más de una variable. Cuando se toma la derivada parcial de una función por una determinada variable, todas las demás variables se mantienen constantes) Una onda luminosa está formada por un número muy grande de fotones, por lo que la cantidad ${\left|E(x,t)\right|}^2$ puede interpretarse como una densidad de probabilidad de encontrar un solo fotón en un punto concreto del espacio (por ejemplo, en una pantalla de visualización).

Hay muchas soluciones para esta ecuación. Una solución de especial importancia es

donde A es la amplitud del campo eléctrico, k es el número de onda y $\omega$ es la frecuencia angular. Combinando esta ecuación con la Ecuación 7.17 se obtiene

Según las ecuaciones de De Broglie, tenemos $p=\hslash k$ y $E=\hslash \omega$. Sustituyendo estas ecuaciones en la Ecuación 7.19 se obtiene

o

Por lo tanto, según la ecuación general de energía-momento de Einstein (Ecuación 5.11), la Ecuación 7.17 describe una partícula con una masa en reposo igual a cero. Esto es consistente con nuestro conocimiento de un fotón.

Este proceso puede invertirse. Podemos empezar con la ecuación energía-momento de una partícula y luego preguntar qué ecuación de onda le corresponde. La ecuación energía-momento de una partícula no relativista en una dimensión es

donde p es el momento, m es la masa y U es la energía potencial de la partícula. La ecuación de onda que la acompaña resulta ser una ecuación clave en la mecánica cuántica, llamada ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo.

Como se describe en Energía potencial y conservación de la energía, la fuerza sobre la partícula descrita por esta ecuación viene dada por

Esta ecuación desempeña un papel en la mecánica cuántica similar al de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Una vez que se especifica la energía potencial de una partícula o lo que es lo mismo, una vez que se precisa la fuerza sobre la partícula, podemos resolver esta ecuación diferencial para la función de onda. La solución de la ecuación de la segunda ley de Newton (también una ecuación diferencial) en una dimensión es una función x(t) que especifica dónde se encuentra un objeto en cualquier tiempo t. La solución de la ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo proporciona una herramienta (la función de onda) que puede utilizarse para determinar dónde es probable que esté la partícula. Esta ecuación también puede escribirse en dos o tres dimensiones. La resolución de la ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo suele requerir la ayuda de un ordenador.

Consideremos el caso especial de una partícula libre. Una partícula libre no experimenta ninguna fuerza $(F=0).$ Con base en la Ecuación 7.24, esto solo requiere que

Para simplificar, establecemos $U_0=0$. La ecuación de Schrӧdinger se reduce entonces a

Una solución válida para esta ecuación es

No es sorprendente que esta solución contenga un número imaginario $(i=\sqrt{\mathrm{-1}})$ porque la propia ecuación diferencial contiene un número imaginario. Sin embargo, como se enfatizó anteriormente, las predicciones de la mecánica cuántica solo dependen de ${\left|\text{Ψ}\left(x,t\right)\right|}^2$, que produce valores completamente reales. Observe que las soluciones reales de onda plana, $\text{Ψ}\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx-\omega t\right)$ y $\text{Ψ}\left(x,t\right)=A\text{cos}\left(kx-\omega t\right),$ no obedecen a la ecuación de Schrödinger. La tentación de pensar que una función de onda puede verse, tocarse y sentirse en la naturaleza se elimina con la aparición de un número imaginario. En la teoría de la mecánica cuántica de Schrӧdinger, la función de onda no es más que una herramienta para calcular cosas.

Si la función de energía potencial (U) no depende del tiempo, es posible demostrar que

satisface la ecuación de Schrӧdinger dependiente del tiempo, donde $\psi \left(x\right)$ es una función independiente del tiempo y $e^{\text{−}i\omega t}$ es una función independiente del espacio. En otras palabras, la función de onda es separable en dos partes: una parte espacial y otra temporal. El factor $e^{\text{−}i\omega t}$ se denomina a veces factor de modulación del tiempo, ya que modifica la función espacial. Según De Broglie, la energía de una onda de materia viene dada por $E=\hslash \omega$, donde E es su energía total. Así, la ecuación anterior también puede escribirse como

Cualquier combinación lineal de dichos estados (estado mixto de energía o momento) es también una solución válida para esta ecuación. Estos estados pueden, por ejemplo, describir una partícula localizada (vea la Figura 7.9)

Al combinar la Ecuación 7.23 y la Ecuación 7.28, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se reduce a

donde E es la energía total de la partícula (un número real). Esta ecuación se llama ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo. Observe que usamos "psi grande" $(\text{Ψ})$ para la función de onda dependiente del tiempo y la "psi pequeña" $(\psi )$ para la función de onda independiente del tiempo. La solución de la función de onda de esta ecuación debe multiplicarse por el factor de modulación del tiempo para obtener la función de onda dependiente del tiempo.

En las siguientes secciones, resolvemos la ecuación de Schrӧdinger independiente del tiempo en tres casos: una partícula cuántica en una caja, un oscilador armónico simple y una barrera cuántica. Estos casos proporcionan importantes lecciones que pueden utilizarse para resolver sistemas más complicados. Las soluciones de la función de onda independiente del tiempo $\psi \left(x\right)$ deben cumplir tres condiciones:

• $\psi \left(x\right)$ debe ser una función continua.
• La primera derivada de $\psi \left(x\right)$ con respecto al espacio, $d\psi \left(x\right)\text{/}dx$, debe ser continua, a menos que $V\left(x\right)=\infty$.
• $\psi \left(x\right)$ no debe divergir ("estallar") en $x=\text{±}\infty .$

La primera condición evita los saltos bruscos o brechas en la función de onda. La segunda condición requiere que la función de onda sea suave en todos los puntos, excepto en casos especiales. (En un curso más avanzado de mecánica cuántica, por ejemplo, se utilizan picos de potencial de profundidad y altura infinitas para modelar sólidos). La tercera condición requiere que la función de onda sea normalizable. Esta tercera condición se desprende de la interpretación de Born de la mecánica cuántica. Garantiza que ${\left|\psi \left(x\right)\right|}^2$ es un número finito, por lo que podemos utilizarlo para calcular probabilidades.