5.7 Efecto Doppler para la luz

Como se ha comentado en el capítulo sobre el sonido, si una fuente de sonido y un oyente se alejan, el oyente encuentra menos ciclos de una onda en cada segundo, y por lo tanto una frecuencia más baja, que si su separación permanece constante. Por la misma razón, el oyente detecta una frecuencia más alta si la fuente y el oyente se acercan. El corrimiento Doppler resultante en la frecuencia detectada se produce para cualquier forma de onda. Sin embargo, en el caso de las ondas sonoras, las ecuaciones del corrimiento Doppler difieren notablemente en función de si es la fuente, el observador o el aire, lo que se mueve. La luz no necesita ningún medio, y el corrimiento Doppler de la luz que viaja en el vacío solo depende de la velocidad relativa del observador y de la fuente.

El efecto Doppler relativista

Supongamos que un observador en S ve la luz de una fuente en $S\prime$ alejándose a una velocidad v (Figura 5.22). La longitud de onda de la luz podría medirse en $S\prime$, por ejemplo, utilizando un espejo para establecer ondas estacionarias y midiendo la distancia entre los nodos. Estas distancias son longitudes adecuadas con $S\prime$ como su marco de reposo, y cambian por un factor $\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}$ cuando se mide en el marco S del observador, donde la regla que mide la longitud de onda en $S\prime$ se ve en movimiento.

Figura 5.22 (a) Cuando una fuente fija emite una onda luminosa en el marco inercial móvil $S\prime ,$ el observador en S ve la longitud de onda medida en $S\prime .$ como más corta por un factor de $\sqrt{1-v^2\text{/}{c}^2}.$ (b) Como el observador ve que la fuente se aleja dentro de S, el patrón de onda que llega al observador en S también se estira por el factor$\left(c\text{Δ}t+v\text{Δ}t\right)\text{/}\left(c\text{Δ}t\right)=1+v\text{/}c.$

Si la fuente estuviera estacionaria en S, el observador vería una longitud $c\text{Δ}t$ del patrón de ondas en el tiempo $\text{Δ}t.$ Pero debido al movimiento de $S\prime$ con respecto a S, considerado únicamente dentro de S, el observador ve el patrón de onda, y por tanto la longitud de onda, estirada por un factor de

$$\frac{c\text{Δ}{t}_{\text{período}}+v\text{Δ}{t}_{\text{período}}}{c\text{Δ}{t}_{\text{período}}}=1+\frac{v}{c}$$

como se ilustra en (b) de la Figura 5.22. El aumento global de ambos efectos da

$${\lambda }_{\text{obs}}={\lambda }_{\text{src}}\left(1+\frac{v}{c}\right)\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}={\lambda }_{\text{src}}\left(1+\frac{v}{c}\right)\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)}}={\lambda }_{\text{src}}\sqrt{\frac{\left(1+\frac{v}{c}\right)}{\left(1-\frac{v}{c}\right)}}$$

donde ${\lambda }_{\text{src}}$ es la longitud de onda de la luz vista por la fuente en $S\prime$ y ${\lambda }_{\text{obs}}$ es la longitud de onda que el observador detecta dentro de S.