5.4 Contracción de longitud

Longitud propia

Dos observadores que pasan uno al lado del otro ven siempre el mismo valor de su velocidad relativa. Aunque la dilatación del tiempo implica que el pasajero del tren y el observador que se encuentra junto a las vías miden tiempos diferentes para el paso del tren, siguen coincidiendo en que la velocidad relativa, que es la distancia dividida por el tiempo transcurrido, es la misma. Si un observador en tierra y otro en el tren miden un tiempo diferente para que la longitud del tren pase por el observador terrestre, estar de acuerdo con su velocidad relativa significa que también deben ver diferentes distancias recorridas.

El muón que se discute en la Ejemplo 5.3 ilustra este concepto (Figura 5.9). Para un observador en la Tierra, el muón viaja a 0,950c durante 7,05 μs desde que se produce hasta que se desintegra. Por lo tanto, viaja una distancia relativa a la Tierra de:

En el marco del muón, el tiempo de vida del muón es de 2,20 μs. En este marco de referencia, la Tierra, el aire y el suelo solo tienen el tiempo suficiente para viajar:

La distancia entre los dos sucesos iguales (producción y desintegración de un muón) depende de quién lo mida y de cómo se mueva respecto a él.

El observador terrestre mide la longitud propia $L_0$ porque los puntos en los que se produce y se desintegra el muón son estacionarios con respecto a la Tierra. Para el muón, la Tierra, el aire y las nubes se mueven, por lo que la distancia L que ve no es la longitud propia.

Figura 5.9 (a) El observador terrestre ve al muón recorrer 2,01 km. (b) La misma trayectoria tiene una longitud de 0,627 km vista desde el marco de referencia del muón. La Tierra, el aire y las nubes se mueven en relación con el muón en su marco, y tienen longitudes menores a lo largo de la dirección del viaje.

Contracción de longitud

Para relacionar las distancias medidas por diferentes observadores, tenga en cuenta que la velocidad relativa al observador terrestre en nuestro ejemplo del muón viene dada por

El tiempo con respecto al observador terrestre es $\text{Δ}t,$ porque el objeto cronometrado se mueve con respecto a este observador. La velocidad relativa al observador en movimiento viene dada por

El observador en movimiento viaja con el muón y, por tanto, observa el tiempo propio $\text{Δ}\tau .$ Las dos velocidades son idénticas; por lo tanto,

Sabemos que $\text{Δ}t=\gamma \text{Δ}\tau .$ Al sustituir esta ecuación en la relación anterior se obtiene

Al sustituir $\gamma$ da una ecuación que relaciona las distancias medidas por diferentes observadores.

Si medimos la longitud de cualquier cosa que se mueva con respecto a nuestro marco, hallamos que su longitud L es menor que la longitud propia $L_0$ que se mediría si el objeto estuviera inmóvil. Por ejemplo, en el marco de reposo del muón, la distancia que recorre la Tierra entre el lugar en el que se produjo el muón y el lugar en el que se desintegra es más corta que la distancia recorrida vista desde el marco de la Tierra. Esos puntos están fijos respecto a la Tierra, pero se mueven respecto al muón. Las nubes y otros objetos también se contraen a lo largo de la dirección del movimiento visto desde el marco de reposo del muón.

Así, dos observadores miden distancias diferentes a lo largo de su dirección de movimiento relativo, dependiendo de cuál de ellos esté midiendo distancias entre objetos en reposo.

¿Pero qué pasa con las distancias medidas en una dirección perpendicular al movimiento relativo? Imagine que dos observadores se mueven a lo largo de sus ejes x y se cruzan mientras sostienen unas reglas de madera verticalmente en la dirección y. La Figura 5.10 muestra dos reglas de madera M y $\text{M}\prime$ que están en reposo en los marcos de referencia de dos niños S y $\text{S}\prime ,$ respectivamente. Una pequeña brocha se fija en la parte superior (en marca de 100 cm) de la regla de madera $\text{M}\prime \text{.}$ Supongamos que $\text{S}\prime$ se mueve hacia la derecha a una velocidad muy alta v en relación con S, y las reglas de madera están orientadas de manera que son perpendiculares, o transversales, a su vector de velocidad relativa. Las reglas de madera se sujetan de forma que, al pasar uno por otro, sus extremos inferiores (las marcas de 0 cm) coincidan. Supongamos que cuando S mira su regla de madera M posteriormente, halla una línea pintada en ella, justo debajo de la parte superior de esta. Porque la brocha está unida a la parte superior de la regla de madera del otro niño $\text{M}\prime \text{,}$ S solo puede concluir que la regla de madera $\text{M}\prime$ tiene menos de 1,0 m de longitud.

Figura 5.10 Las reglas de madera M y $\text{M}\prime$ son estacionarias en los marcos de referencia de los observadores S y $\text{S}\prime ,$ respectivamente. A medida que pasan las reglas de madera, una pequeña brocha fijada en la marca de 100 cm de $\text{M}\prime$ pinta una línea en M.

Ahora cuando los niños se acercan, $\text{S}\prime \text{,}$ como S, ve una regla de madera de un metro que se mueve hacia él con velocidad v. Como sus situaciones son simétricas, cada niño debe hacer la misma medición de la regla de madera en el otro fotograma. Por lo tanto, si S mide la regla de madera $\text{M}\prime$ a menos de 1,0 m de longitud, $\text{S}\prime$ debe medir la regla de madera M para que sea también menos de 1,0 m de longitud, y $\text{S}\prime$ debe ver su brocha pasar por encima de la regla de madera M y no pintar una línea en ella. En otras palabras, después del mismo evento, ¡un niño ve una línea pintada en una regla de madera, mientras que el otro no ve tal línea en esa misma regla de madera!

El primer postulado de Einstein exige que las leyes de la física (aplicadas, por ejemplo, a la pintura) predigan que S y $\text{S}\prime \text{,}$ que están ambos en marcos inerciales, hacen las mismas observaciones; es decir, S y $\text{S}\prime$ deben ver ambos una línea pintada en la regla de madera M, o ambos no ver esa línea. ¡Por lo tanto, nos vemos obligados a concluir que nuestra suposición original de que S vio una línea pintada debajo de la parte superior de su bastón era errónea! En cambio, S halla la línea pintada justo en la marca de 100 cm en M. Entonces ambos niños estarán de acuerdo en que hay una línea pintada en M, y también estarán de acuerdo en que ambas reglas de madera miden exactamente 1 m. Concluimos entonces que las mediciones de una longitud transversal deben ser las mismas en diferentes marcos inerciales.

Ejemplo 5.5

Cálculo de contracción de longitud

Supongamos que un astronauta, como la gemela en la discusión de la paradoja de los gemelos, viaja tan rápido que $\gamma =\mathrm{30,00}.$ (a) El astronauta viaja desde la Tierra hasta el sistema estelar más cercano, Alfa Centauri, a 4300 años luz (light-years, ly) de distancia medidos por un observador terrestre. ¿A qué distancia se encuentran la Tierra y Alfa Centauri, medida por el astronauta? (b) Con relación a c, ¿cuál es la velocidad del astronauta con respecto a la Tierra? Es posible que se olvide del movimiento de la Tierra con respecto al Sol (Figura 5.11).

Figura 5.11 (a) El observador terrestre mide la distancia propia entre la Tierra y Alfa Centauri. (b) El astronauta observa una contracción de longitud porque la Tierra y Alfa Centauri se mueven respecto a su nave. Puede recorrer esta distancia más corta en un tiempo menor (su tiempo propio) sin superar la velocidad de la luz.

Estrategia

En primer lugar, hay que tener en cuenta que un año luz (ly) es una unidad de distancia conveniente a escala astronómica: es la distancia que recorre la luz en un año. Para la parte (a), la distancia de 4300 ly entre Alfa Centauri y la Tierra es la distancia adecuada $L_0,$ porque está medido por un observador terrestre para el que ambas estrellas son (aproximadamente) estacionarias. Para el astronauta, la Tierra y Alfa Centauri pasan a la misma velocidad, por lo que la distancia entre ellas es la longitud contraída L. En la parte (b), se nos da $\gamma ,$ por lo que podemos hallar v reordenando la definición de $\gamma$ para expresar v en términos de c.

Solución para (a)

Para la parte (a):

1. Identifique los datos conocidos $L_0=\mathrm{4,300}\text{ly;}\gamma =\mathrm{30,00}.$
2. Identifique la incógnita: L.
3. Exprese la respuesta en forma de ecuación: $L=\frac{L_0}{\gamma }.$
4. Haga el cálculo:
   $$\begin{array}{cc}\hfill L& =\frac{L_0}{\gamma }\hfill \\ & =\frac{\mathrm{4,300}\text{ly}}{\mathrm{30,00}}\hfill \\ & =\mathrm{0,1433}\text{ly.}\hfill \end{array}$$

Solución para (b)

Para la parte (b):

1. Identifique los datos conocidos: $\gamma =\mathrm{30,00}.$
2. Identifique la incógnita: v en términos de c.
3. Exprese la respuesta en forma de ecuación. Empiece con:
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.$$
   A continuación, resuelva la incógnita v/c elevando primero al cuadrado ambos lados y luego reordenando:
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\gamma }^2& =\hfill & \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\hfill \\ \hfill \frac{v^2}{c^2}& =\hfill & 1-\frac{1}{{\gamma }^2}\hfill \\ \hfill \frac{v}{c}& =\hfill & \sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}.\hfill \end{array}$$
4. Haga el cálculo:
   $$\begin{array}{cc}\hfill \frac{v}{c}& =\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}\hfill \\ & =\sqrt{1-\frac{1}{{\left(\mathrm{30,00}\right)}^2}}\hfill \\ & =\mathrm{0,99944}\hfill \end{array}$$
   o
   $$v=\mathrm{0,9994}c.$$

Importancia

Recuerde no redondear los cálculos hasta la respuesta final o podría obtener resultados erróneos. Esto es especialmente cierto en el caso de los cálculos de relatividad especial, en los que las diferencias podrían revelarse solo después de varios decimales. El efecto relativista es grande aquí $\left(\gamma =\mathrm{30,00}\right),$ y vemos que v se acerca (no es igual) a la velocidad de la luz. Como la distancia medida por el astronauta es mucho menor, puede recorrerla en mucho menos tiempo en su propio marco.

Las personas que viajan a velocidades extremadamente altas podrían cubrir distancias muy grandes (miles o incluso millones de años luz) y envejecer solo unos pocos años en el camino. Sin embargo, al igual que los emigrantes de siglos pasados que abandonaron su hogar, estas personas dejarían la Tierra que conocen para siempre. Incluso si regresaran, en la Tierra habrían pasado entre miles y millones de años, lo que causaría la desaparición de la mayor parte de lo que ahora existe. También hay un obstáculo práctico más serio para viajar a tales velocidades; se necesitarían energías inmensamente mayores para alcanzar tales velocidades de lo que la física clásica predice que puede lograrse. Esto se discutirá más adelante en el capítulo.

¿Por qué no notamos la contracción de longitud en la vida cotidiana? La distancia a la tienda de comestibles no parece depender de si nos movemos o no. Al analizar la ecuación $L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$ vemos que a bajas velocidades $(v\text{<}\text{<}c),$ las longitudes son casi iguales, que es la expectativa clásica. Pero la contracción de longitud es real, aunque no se experimente con frecuencia. Por ejemplo, una partícula cargada, como un electrón que viaja a velocidad relativista, tiene líneas de campo eléctrico que se comprimen a lo largo de la dirección del movimiento visto por un observador estacionario (Figura 5.12). Cuando el electrón pasa por un detector, como una bobina de alambre, su campo interactúa mucho más brevemente, un efecto observado en aceleradores de partículas como el acelerador lineal de Stanford (Stanford Linear Accelerator, SLAC), de 3 km de longitud. De hecho, para un electrón que se desplaza por el tubo del haz en el SLAC, el acelerador y la Tierra se desplazan y se contraen en longitud. El efecto relativista es tan grande que el acelerador solo mide 0,5 m hasta el electrón. En realidad, es más fácil hacer descender el haz de electrones por la tubería, ya que el haz no tiene que dirigirse con tanta precisión para descender por una tubería corta como para hacerlo por una de 3 km de longitud. Esto, de nuevo, es una verificación experimental de la teoría especial de la relatividad.

Figura 5.12 Las líneas de campo eléctrico de una partícula cargada a alta velocidad se comprimen a lo largo de la dirección del movimiento por contracción de longitud, lo que produce una señal observable diferente cuando la partícula atraviesa una bobina.