Problemas
4.1 Difracción de una rendija
(a) ¿A qué ángulo se sitúa el primer mínimo de la luz de 550 nm que incide sobre una rendija con un ancho de ? (b) ¿Habrá un segundo mínimo?
(a) Calcule el ángulo en el que una rendija de de ancho produce su primer mínimo para la luz violeta de 410 nm. (b) ¿Dónde está el primer mínimo para la luz roja de 700 nm?
(a) ¿Cuál es el ancho de una rendija que produce su primer mínimo para la luz de 633 nm con un ángulo de ? (b) ¿A qué ángulo estará el segundo mínimo?
(a) ¿Cuál es el ancho de una rendija que produce su primer mínimo a para la luz de 600 nm? (b) Calcule la longitud de onda de la luz que tiene su primer mínimo en .
Calcule la longitud de onda de la luz que tiene su tercer mínimo a un ángulo de cuando incide en una rendija con un ancho de .
(a) La luz de vapor de sodio con una longitud de onda media de 589 nm incide en una rendija con un ancho de . ¿A qué ángulo produce su segundo mínimo? (b) ¿Cuál es el mínimo de mayor orden producido?
Consideremos un patrón de difracción por una rendija para , proyectada en una pantalla que está a 1,00 m de una rendija de 0,25 mm de ancho. ¿A qué distancia del centro del patrón están los centros de la primera y la segunda franja oscura?
(a) Calcule el ángulo entre los primeros mínimos para las dos líneas de vapor de sodio que tienen longitudes de onda de 589,1 y 589,6 nm cuando inciden sobre una rendija con un ancho de . (b) ¿Cuál es la distancia entre estos mínimos si el patrón de difracción incide en una pantalla a 1,00 m de la rendija? (c) Discuta la facilidad o dificultad de medir dicha distancia.
(a) ¿Cuál es el ancho mínimo de una rendija (en múltiplos de ) que producirá un primer mínimo para una longitud de onda ? (b) ¿Cuál es su ancho mínimo si produce 50 mínimos? (c) ¿1000 mínimos?
(a) Si una rendija produce un primer mínimo a ¿a qué ángulo se encuentra el mínimo de segundo orden? (b) ¿Cuál es el ángulo del mínimo de tercer orden? (c) ¿Existe un mínimo de cuarto orden? (d) Utilice sus respuestas para ilustrar cómo el ancho angular del máximo central es aproximadamente el doble del ancho angular del siguiente máximo (que es el ángulo entre el primer y el segundo mínimo).
Si la separación entre el primer y el segundo mínimo de un patrón de difracción por una rendija es de 6,0 mm, ¿cuál es la distancia entre la pantalla y la rendija? La longitud de onda de la luz es de 500 nm y el ancho de la rendija es de 0,16 mm.
Un rompeolas en la entrada de un puerto consiste en una barrera de roca con una abertura de 50,0 m de ancho. Las olas del mar, de 20,0 m de longitud de onda, se acercan a la abertura en línea recta. ¿A qué ángulos de la dirección de incidencia están más protegidos los barcos dentro del puerto contra la acción de las olas?
Un técnico de mantenimiento de aeronaves pasa por delante de una puerta alta de hangar que actúa como una rendija para el sonido que entra en este. Fuera de la puerta, en una línea perpendicular a la abertura de la puerta, un motor a reacción emite un sonido de 600 Hz. ¿A qué ángulo con la puerta observará el técnico el primer mínimo de intensidad sonora si la abertura vertical tiene un ancho de 0,800 m y la velocidad del sonido es de 340 m/s?
4.2 Intensidad en la difracción de una rendija
Una rendija con un ancho de se ilumina con una luz amarilla de sodio de longitud de onda de 589 nm. Halle la intensidad en un ángulo de con respecto al eje en función de la intensidad del máximo central.
Una rendija de 0,1 mm de ancho se ilumina con una luz de mercurio de longitud de onda de 576 nm. Halle la intensidad en un ángulo de con respecto al eje en función de la intensidad del máximo central.
El ancho del pico central en un patrón de difracción por una sola rendija es de 5,0 mm. La longitud de onda de la luz es de 600 nm, y la pantalla está a 2,0 m de la rendija. (a) ¿Cuál es el ancho de la rendija? (b) Determine la relación entre la intensidad a 4,5 mm del centro del patrón y la intensidad en el centro.
Consideremos el patrón de difracción por una rendija para , , y . Halle la intensidad en términos de en , , , , y .
4.3 Difracción de doble rendija
Dos rendijas con un ancho de cada una en un material opaco, están separadas por una distancia de centro a centro de Una luz monocromática de longitud de onda 450 nm incide en la doble rendija. Se encuentra un patrón combinado de interferencia y difracción en la pantalla.
(a) ¿Cuántos picos de la interferencia se observarán en el máximo central del patrón de difracción?
(b) ¿Cuántos picos de interferencia se observarán si se duplica el ancho de la rendija manteniendo la misma distancia entre estas?
(c) ¿Cuántos picos de interferencia se observarán si las rendijas están separadas el doble de la distancia, es decir, manteniendo el mismo ancho de las rendijas?
(d) ¿Qué ocurrirá en (a) si en lugar de la luz de 450 nm se utiliza otra luz de longitud de onda de 680 nm?
(e) ¿Cuál es el valor de la relación entre la intensidad del pico central y la intensidad del siguiente pico brillante en (a)?
(f) ¿Depende esta relación de la longitud de onda de la luz?
(g) ¿Depende esta relación del ancho o de la separación de las rendijas?
Una doble rendija produce un patrón de difracción que es una combinación de interferencia de una rendija y de doble rendija. Halle la relación entre el ancho de las rendijas y la separación entre ellas, si el primer mínimo del patrón de una rendija incide sobre el quinto máximo del patrón de doble rendija. (Esto reducirá en gran medida la intensidad del quinto máximo)
Para una configuración de doble rendija en la que la separación de las rendijas es cuatro veces su ancho, ¿cuántas franjas de interferencia se encuentran en el pico central del patrón de difracción?
La luz de longitud de onda de 500 nm incide normalmente en 50 rendijas que tienen de ancho y un espaciado de ¿Cuántas franjas de interferencia se encuentran en el pico central del patrón de difracción?
Una luz monocromática de longitud de onda de 589 nm incide en una doble rendija con un ancho de rendija de y una separación desconocida da lugar a un patrón de difracción que contiene nueve picos de interferencia dentro del máximo central. Halle la separación de las rendijas.
Cuando una luz monocromática de longitud de onda de 430 nm incide en una doble rendija que están separadas una de otra, producen 11 franjas de interferencia en su máximo central. ¿Cuántas franjas de interferencia habrá en el máximo central de una luz de la misma longitud de onda y ancho de rendija, pero con una nueva separación de rendija de ?
Determine las intensidades de dos picos de interferencia distintos del pico central en el máximo central de la difracción, si es posible, cuando una luz de longitud de onda de 628 nm incide sobre una doble rendija de ancho de 500 nm y una separación de 1500 nm. Utilice la intensidad del punto central que es de .
4.4 Rejillas de difracción
Una rejilla de difracción tiene 2000 líneas por centímetro. ¿A qué ángulo se encontrará el máximo de primer orden para la luz verde de 520 nm de longitud de onda?
Halle el ángulo para el máximo de tercer orden para la luz amarilla de 580 nm de longitud de onda que incide sobre una rejilla de difracción que tiene 1500 líneas por centímetro.
¿Cuántas líneas por centímetro hay en una rejilla de difracción que da un máximo de primer orden para la luz azul de 470 nm con un ángulo de ?
¿Cuál es la distancia entre líneas en una rejilla de difracción que produce un máximo de segundo orden para la luz roja de 760 nm con un ángulo de ?
Calcule la longitud de onda de la luz que tiene su máximo de segundo orden en al incidir sobre una rejilla de difracción que tiene 5000 líneas por centímetro.
Una corriente eléctrica a través del gas hidrógeno produce varias longitudes de onda distintas de luz visible. ¿Cuáles son las longitudes de onda del espectro del hidrógeno, si forman máximos de primer orden en ángulos de y cuando se proyecta en una rejilla de difracción que tiene 10 000 líneas por centímetro?
(a) ¿En qué se convierten los cuatro ángulos del problema anterior si se utiliza una rejilla de difracción de 5000 líneas por centímetro? (b) Si se utiliza esta rejilla, ¿cuáles serían los ángulos de los máximos de segundo orden? (c) Discuta la relación entre las reducciones integrales en líneas por centímetro y los nuevos ángulos de los distintos máximos de orden.
¿Cuál es el espaciado entre las estructuras de una pluma que actúa como una rejilla de reflexión, dado que producen un máximo de primer orden para la luz de 525 nm a una ángulo?
Un ópalo como el que se muestra en la Figura 4.15 actúa como una rejilla de reflexión con filas separadas por unos Si el ópalo se ilumina normalmente, (a) ¿con qué ángulo se verá la luz roja y (b) con qué ángulo se verá la luz azul?
¿A qué ángulo una rejilla de difracción produce un máximo de segundo orden para una luz que tiene un máximo de primer orden a ?
(a) Halle el número máximo de líneas por centímetro que puede tener una rejilla de difracción y produzca un máximo para la menor longitud de onda de la luz visible. (b) ¿Sería útil una rejilla de este tipo para los espectros ultravioletas? (c) ¿Para los espectros infrarrojos?
(a) Demuestre que una rejilla de 30 000 líneas por centímetro no producirá un máximo para la luz visible. (b) ¿Cuál es la mayor longitud de onda para la que sí produce un máximo de primer orden? (c) ¿Cuál es el mayor número de líneas por centímetro que puede tener una rejilla de difracción y producir un espectro completo de segundo orden para la luz visible?
El análisis que se muestra a continuación también se aplica a las rejillas de difracción con líneas separadas por una distancia d. ¿Cuál es la distancia entre las franjas producidas por una rejilla de difracción que tiene 125 líneas por centímetro para una luz de 600 nm, si la pantalla está a 1,50 m de distancia? (Pista: La distancia entre franjas adyacentes es asumiendo que la separación de la rendija d es comparable a )
4.5 Aberturas circulares y resolución
El radiotelescopio de Arecibo, de 305 m de diámetro, que se muestra en la Figura 4.20, detecta ondas de radio con una longitud de onda media de 4,00 cm. (a) ¿Cuál es el ángulo entre dos fuentes puntuales que son apenas resolubles para este telescopio? (b) ¿A qué distancia podrían estar estas fuentes puntuales a 2 millones de años luz de la galaxia de Andrómeda?
Al asumir la resolución angular encontrada para el telescopio Hubble en la Ejemplo 4.6, ¿cuál es el detalle más pequeño que podría observarse en la Luna?
La dispersión por difracción de una linterna es insignificante en comparación con otras limitaciones de su óptica, como las aberraciones esféricas de su espejo. Para demostrarlo, calcule la dispersión angular mínima de un haz de luz de linterna que tenga originalmente 5,00 cm de diámetro con una longitud de onda media de 600 nm.
(a) ¿Cuál es la dispersión angular mínima de un rayo láser de He-Ne de 633 nm de longitud de onda que tiene originalmente 1,00 mm de diámetro? (b) Si este láser se dirige a un acantilado de una montaña situada a 15,0 km de distancia, ¿qué tamaño tendrá el área iluminada? (c) ¿Qué tamaño tendrá el área iluminada en la Luna, sin tener en cuenta los efectos atmosféricos? (Esto podría hacerse para golpear un reflector de esquina para medir el tiempo de ida y vuelta y, por lo tanto, la distancia)
Se puede utilizar un telescopio para ampliar el diámetro de un rayo láser y limitar la dispersión por difracción. El rayo láser se envía a través del telescopio en dirección opuesta a la normal y luego puede proyectarse sobre un satélite o la Luna. (a) Si esto se hace con el telescopio del Monte Wilson, produciendo un rayo de 2,54 m de diámetro de luz de 633 nm, ¿cuál es la dispersión angular mínima del rayo? (b) Dejando a un lado los efectos atmosféricos, ¿cuál es el tamaño del área que este rayo haría en la Luna, suponiendo una distancia lunar de ?
El límite de la agudeza del ojo está en realidad relacionado con la difracción por parte de la pupila. (a) ¿Cuál es el ángulo entre dos puntos de luz que son apenas resolubles para una pupila de 3,00 mm de diámetro, al asumir una longitud de onda media de 550 nm? (b) Considere que su resultado es el límite práctico para el ojo. ¿Cuál es la mayor distancia posible a la que puede estar un automóvil si puede distinguir sus dos faros, dado que están a 1,30 m de distancia? (c) ¿Cuál es la distancia entre dos puntos que son apenas resolubles y que están a un brazo de distancia (0,800 m) de su ojo? (d) ¿Cómo se compara su respuesta a (c) con los detalles que observa normalmente en circunstancias cotidianas?
¿Cuál es el diámetro mínimo del espejo de un telescopio que permitiría ver detalles tan pequeños como 5,00 km en la Luna, a unos 384.000 km de distancia? Suponga una longitud de onda media de 550 nm para la luz recibida.
Halle el radio de la imagen de una estrella en la retina de un ojo si la pupila está abierta a 0,65 cm y la distancia de la pupila a la retina es de 2,8 cm. Supongamos que .
(a) El planeta enano Plutón y su luna, Caronte, están separados por 19 600 km. ¿Sin tener en cuenta los efectos atmosféricos, el telescopio de Palomar Mountain, de 5,08 m de diámetro, debería ser capaz de distinguir estos cuerpos cuando están a de la Tierra? Supongamos que la longitud de onda media es de 550 nm. (b) En la actualidad, apenas es posible discernir que Plutón y Caronte son cuerpos separados utilizando un telescopio terrestre. ¿Cuáles son los motivos?
Un satélite espía orbita la Tierra a una altura de 180 km. ¿Cuál es el diámetro mínimo de la lente objetivo de un telescopio que debe utilizarse para distinguir columnas de tropas que marchan a 2,0 m de distancia? Supongamos que
¿Cuál es la separación angular mínima de dos estrellas que son apenas distinguibles por el telescopio Gemini South de 8,1 m, si los efectos atmosféricos no limitan la resolución? Utilice 550 nm para la longitud de onda de la luz de las estrellas.
Los faros de un automóvil están a 1,3 m de distancia. ¿Cuál es la distancia máxima a la que el ojo puede distinguir estos dos faros? Tome el diámetro de la pupila como 0,40 cm.
Cuando los puntos se colocan en una página de una impresora láser, deben estar lo suficientemente cerca como para que no se vean los puntos de tinta individuales. Para ello, la separación de los puntos debe ser menor que el criterio de Raleigh. Suponga que la pupila del ojo es de 3,0 mm y la distancia del papel al ojo de 35 cm; halle la separación mínima de dos puntos tal que no se puedan distinguir. ¿A cuántos puntos por pulgada (ppp o dots per inch, dpi) corresponde?
Suponga que está mirando una carretera desde un avión de pasajeros que vuela a una altura de 6,0 km. ¿A qué distancia deben estar dos automóviles para poder distinguirlos? Supongamos que y que el diámetro de las pupilas es de 4,0 mm.
¿Puede un astronauta que orbita la Tierra en un satélite a una distancia de 180 km de la superficie distinguir dos rascacielos que están a 20 m de distancia? Supongamos que las pupilas de los ojos del astronauta tienen un diámetro de 5,0 mm y que la mayor parte de la luz se centra en torno a los 500 nm.
Los caracteres del marcador de un estadio están formados por bombillas poco espaciadas que irradian principalmente luz amarilla. (Utilice ) ¿Qué distancia deben tener las bombillas para que un observador a 80 m de distancia vea una pantalla de líneas continuas en lugar de las bombillas individuales? Supongamos que la pupila del ojo del observador tiene un diámetro de 5,0 mm.
Si un microscopio puede aceptar la luz de objetos en ángulos tan grandes como , ¿Cuál es la estructura más pequeña que se puede distinguir cuando se ilumina con luz de longitud de onda de 500 nm y (a) la muestra está en el aire? (b) cuando la muestra está sumergida en aceite, con índice de refracción de 1,52?
Una cámara utiliza un objetivo con una abertura de 2,0 cm. ¿Cuál es la resolución angular de una fotografía tomada a una longitud de onda de 700 nm? ¿Se puede distinguir las marcas milimétricas de una regla colocada a 35 m de distancia?
4.6 Difracción de rayos X
Los rayos X de longitud de onda de 0,103 nm se reflejan en un cristal y se registra un máximo de segundo orden con un ángulo de Bragg de . ¿Cuál es el espacio entre los planos de dispersión en este cristal?
Se observa un máximo de reflexión de Bragg de primer orden cuando un rayo X monocromático incide sobre un cristal en un ángulo de con respecto a un plano reflectante. ¿Cuál es la longitud de onda de estos rayos X?
Se realiza un experimento de dispersión de rayos X en un cristal cuyos átomos forman planos separados por 0,440 nm. Al utilizar una fuente de rayos X de longitud de onda 0,548 nm, ¿cuál es el ángulo (con respecto a los planos en cuestión) con el que el experimentador necesita iluminar el cristal para observar un máximo de primer orden?
La estructura del cristal de NaCl forma planos reflectantes con 0,541 nm de separación. ¿Cuál es el ángulo más pequeño, medido desde estos planos, en el que se puede observar la difracción de rayos X, si se utilizan rayos X de longitud de onda de 0,085 nm?
Al utilizar una fuente de rayos X de longitud de onda desconocida en un cristal determinado, se observa un máximo de difracción de rayos X de primer orden en un ángulo de en relación con su superficie. Además, cuando se ilumina con otro rayo, esta vez de una longitud de onda conocida de 0,137 nm, se detecta un máximo de segundo orden en Determine (a) la separación entre los planos reflectantes, y (b) la longitud de onda desconocida.
Los cristales de calcita contienen planos de dispersión con 0,30 nm de separación. ¿Cuál es la separación angular entre los máximos de difracción de primer y segundo orden cuando se utilizan rayos X de 0,130 nm de longitud de onda?
El ángulo de Bragg de primer orden para un determinado cristal es . ¿Cuál es el ángulo de segundo orden?