4.1 Difracción de una rendija

Difracción a través de una rendija

La luz que pasa a través de una rendija forma un patrón de difracción algo diferente a los formados por rendijas dobles o rejillas de difracción, de los que hablamos en el capítulo sobre interferencia. La Figura 4.3 muestra un patrón de difracción por una rendija. Observe que el máximo central es mayor que los máximos a ambos lados y que la intensidad disminuye rápidamente a ambos lados. En cambio, una rejilla de difracción (Rejillas de difracción) produce líneas espaciadas uniformemente que se atenúan lentamente a ambos lados del centro.

Figura 4.3 Patrón de difracción por una rendija. (a) La luz monocromática que pasa por una rendija tiene un máximo central y muchos máximos más pequeños y tenues a ambos lados. El máximo central es seis veces mayor que el mostrado. (b) El diagrama muestra el máximo central brillante, y los máximos más tenues y delgados a ambos lados.

En la Figura 4.4 se ilustra el análisis de la difracción de una rendija. En este caso, la luz llega a la rendija, la ilumina uniformemente y está en fase en todo su ancho. A continuación, consideramos la luz que se propaga hacia adelante desde distintas partes de la misma rendija. Según el principio de Huygens, cada parte del frente de onda en la rendija emite ondas, tal y como comentamos en La naturaleza de la luz. Son como rayos que comienzan en fase y se dirigen en todas las direcciones. (Cada rayo es perpendicular al frente de onda de una ondícula) Suponiendo que la pantalla esté muy lejos en comparación con el tamaño de la rendija, los rayos que se dirigen a un destino común son casi paralelos. Cuando se desplazan en línea recta, como en la parte (a) de la figura, permanecen en fase, y observamos un máximo central. Sin embargo, cuando los rayos viajan en ángulo $\theta$ respecto a la dirección original del haz, cada rayo recorre una distancia diferente hasta un lugar común, y pueden llegar en fase o fuera de fase. En la parte (b), el rayo de la parte inferior recorre una distancia de una longitud de onda $\lambda$ más lejos que el rayo de la parte superior. Así, un rayo desde el centro recorre una distancia $\lambda \text{/}2$ menor que la del borde inferior de la rendija, llega desfasado e interfiere destructivamente. Un rayo procedente del centro y otro de la parte inferior también se anulan mutuamente. De hecho, cada rayo de la rendija interfiere destructivamente con otro rayo. En otras palabras, una cancelación por pares de todos los rayos da como resultado un mínimo oscuro de intensidad en este ángulo. Por simetría, se produce otro mínimo en el mismo ángulo a la derecha de la dirección de incidencia (hacia la parte inferior de la figura) de la luz.

Figura 4.4 La luz que pasa por una rendija se difracta en todas las direcciones y puede interferir de forma constructiva o destructiva, según el ángulo. La diferencia en la longitud de la trayectoria de los rayos desde ambos lados de la rendija se ve como a sen $\theta$.

En el ángulo mayor mostrado en la parte (c), las longitudes de las trayectorias difieren en $3\text{λ}\text{/}2$ para los rayos de la parte superior e inferior de la rendija. Un rayo recorre una distancia $\lambda$ diferente del rayo del fondo y llega en fase, interfiriendo constructivamente. Dos rayos, cada uno de ellos ligeramente por encima de esos dos, también se suman constructivamente. La mayoría de los rayos procedentes de la rendija tienen otro rayo con el que interferir constructivamente, y en este ángulo se produce un máximo de intensidad. Sin embargo, no todos los rayos interfieren constructivamente para esta situación, por lo que el máximo no es tan intenso como el máximo central. Finalmente, en la parte (d), el ángulo mostrado es lo suficientemente grande como para producir un segundo mínimo. Como se ve en la figura, la diferencia en la longitud de la trayectoria de los rayos desde ambos lados de la rendija es a sen $\theta$, y vemos que se obtiene un mínimo destructivo cuando esta distancia es un múltiplo entero de la longitud de onda.

Así, para obtener una interferencia destructiva para una rendija,

donde a es el ancho de la rendija, $\text{λ}$ es la longitud de onda de la luz, $\theta$ es el ángulo relativo a la dirección original de la luz, y m es el orden del mínimo. La Figura 4.5 muestra un gráfico de la intensidad para la interferencia de una rendija, y es evidente que los máximos a ambos lados del máximo central son mucho menos intensos y no tan amplios. Este efecto se explora en Difracción de doble rendija.

Figura 4.5 Un gráfico de la intensidad de difracción de una rendija que muestra que el máximo central es más amplio y mucho más intenso que los de los lados. De hecho, el máximo central es seis veces mayor que el mostrado aquí.

Ejemplo 4.1

Cálculo de la difracción de una rendija

La luz visible de longitud de onda 550 nm incide en una rendija y produce su segundo mínimo de difracción con un ángulo de $\mathrm{45,0}\text{°}$ respecto a la dirección de incidencia de la luz, como en la Figura 4.6. (a) ¿Cuál es el ancho de la rendija? (b) ¿A qué ángulo se produce el primer mínimo?

Figura 4.6 En este ejemplo, analizamos un gráfico del patrón de difracción por una rendija.

Estrategia

A partir de la información dada, y suponiendo que la pantalla está lejos de la rendija, podemos utilizar la ecuación $a\text{sen}\theta =m\lambda$ primero para encontrar D, y de nuevo para encontrar el ángulo para el primer mínimo ${\theta }_1.$

Solución

1. Dado que $\text{λ}=550\text{nm}$, $m=2$, y ${\theta }_2=\mathrm{45,0}\text{°}$. Al resolver la ecuación $a\text{sen}\theta =m\lambda$ para a y al sustituir los valores conocidos se obtiene
   
   $$a=\frac{m\lambda }{\text{sen}{\theta }_2}=\frac{2(550\text{nm})}{\text{sen}\mathrm{45,0}\text{°}}=\frac{1.100\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{m}}{\mathrm{0,707}}=\mathrm{1,56}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{m}.$$
2. Al resolver la ecuación $a\text{sen}\theta =m\lambda$ para $\text{sen}{\theta }_1$ y al sustituir los valores conocidos se obtiene
   
   $$\text{sen}{\theta }_1=\frac{m\lambda }{a}=\frac{1(550\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{m})}{\mathrm{1,56}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{m}}.$$
   
   Así, el ángulo ${\theta }_1$ es
   
   $${\theta }_1={\text{sen}}^{\mathrm{-1}}\mathrm{0,354}=\mathrm{20,7}\text{°}.$$

Importancia

Vemos que la rendija es estrecha (es solo unas pocas veces mayor que la longitud de onda de la luz). Esto es coherente con el hecho de que la luz debe interactuar con un objeto de tamaño comparable a su longitud de onda para mostrar efectos de onda significativos como este patrón de difracción por una rendija. También vemos que el máximo central se extiende $\mathrm{20,7}\text{°}$ a cada lado del haz original, para un ancho de aproximadamente $41\text{°}$. El ángulo entre el primer y el segundo mínimo es solo de aproximadamente $24\text{°}$$\left(\mathrm{45,0}\text{°}-\mathrm{20,7}\text{°}\right)$. Así, el segundo máximo es solo la mitad de ancho que el máximo central.