3.5 El interferómetro de Michelson

El interferómetro de Michelson (inventado por el físico estadounidense Albert A. Michelson, 1852-1931) es un instrumento de precisión que produce franjas de interferencia al dividir un haz de luz en dos partes que recombina después de haber recorrido caminos ópticos diferentes. La Figura 3.16 representa el interferómetro y la trayectoria de un haz de luz desde un único punto de la fuente extendida S, que es una lámina de vidrio esmerilado que difunde la luz de una lámpara monocromática de longitud de onda ${\lambda }_0$. El haz incide en un espejo semitransparente M, donde la mitad se refleja hacia un lado y la otra mitad atraviesa el espejo. La luz reflejada viaja hasta el espejo plano móvil ${\text{M}}_1$, donde se refleja a través de M hacia el observador. La mitad transmitida del haz original es reflejada por el espejo estacionario ${\text{M}}_2$ y luego hacia el observador por M.

Figura 3.16 (a) El interferómetro de Michelson. La fuente de luz extendida es una lámina de vidrio esmerilado que difunde la luz de un láser. (b) Vista plana del interferómetro.

Como ambos haces se originan en el mismo punto de la fuente, son coherentes y, por tanto, interfieren. Observe en la figura que un rayo pasa tres veces por M y el otro solo una. Para asegurar que ambos haces atraviesen el mismo grosor de vidrio, se coloca una lámina compensadora C de vidrio transparente en el brazo que contiene ${\text{M}}_2$. Esta lámina es un duplicado de M (sin el plateado) y suele cortarse de la misma pieza de vidrio utilizada para producir M. Con el compensador colocado, cualquier diferencia de fase entre los dos haces se debe únicamente a la diferencia en las distancias que recorren.

La diferencia de trayectoria de los dos haces cuando se recombinan es $2d_1-2d_2$, donde $d_1$ es la distancia entre M y ${\text{M}}_1$, y $d_2$ es la distancia entre M y ${\text{M}}_2$. Supongamos que esta diferencia de trayectoria es un número entero de longitudes de onda $m{\lambda }_0$. Entonces, se produce una interferencia constructiva y el observador ve una imagen brillante del punto de la fuente. Ahora, la luz procedente de cualquier otro punto de la fuente cuyos dos haces tienen esta misma diferencia de trayectoria también sufre una interferencia constructiva y produce una imagen brillante. El conjunto de estas imágenes puntuales es una franja brillante que corresponde a una diferencia de trayectoria de $m{\lambda }_0$ (Figura 3.17). Cuando ${\text{M}}_1$ se desplaza una distancia $\text{Δ}d={\lambda }_0\text{/}2$, esta diferencia de trayectoria cambia por ${\lambda }_0$, y cada franja se desplaza a la posición previamente ocupada por una franja adyacente. En consecuencia, contando el número de franjas m que pasan por un punto determinado mientras ${\text{M}}_1$ se mueve, un observador puede medir desplazamientos minúsculos con una precisión de una fracción de longitud de onda, como muestra la relación

Figura 3.17 Franjas producidas con un interferómetro de Michelson (crédito: "SILLAGESvideos"/YouTube)

Ejemplo 3.6

Medición del índice de refracción de un gas

En uno de los brazos de un interferómetro de Michelson se coloca una cámara de vidrio con aditamentos para evacuar el interior e introducir gases en ella. El espacio dentro del contenedor es de 2 cm de ancho. Inicialmente, el contenedor está vacío. Al dejar entrar lentamente el gas en la cámara, se observa que las franjas oscuras pasan por una línea de referencia en el campo de observación. En el momento en que la cámara se llena hasta la presión deseada, ha contado 122 franjas que se mueven más allá de la línea de referencia. La longitud de onda de la luz utilizada es de 632,8 nm. ¿Cuál es el índice de refracción de este gas?

Estrategia

Las franjas $m=122$ observadas componen la diferencia entre el número de longitudes de onda que caben en la cámara vacía (vacío) y el número de longitudes de onda que caben en la misma cámara cuando está llena de gas. La longitud de onda en la cámara llena es más corta por un factor n, el índice de refracción.

Solución

El rayo recorre una distancia $t=2\text{cm}$ a la derecha a través de la cámara de vidrio y otra distancia t a la izquierda al reflejarse. El recorrido total es $L=2t$. Cuando está vacía, el número de longitudes de onda que caben en esta cámara es

$$N_0=\frac{L}{{\lambda }_0}=\frac{2t}{{\lambda }_0}$$

donde ${\lambda }_0=\mathrm{632,8}\text{nm}$ es la longitud de onda en el vacío de la luz utilizada. En cualquier otro medio, la longitud de onda es $\lambda ={\lambda }_0\text{/}n$ y el número de longitudes de onda que caben en la cámara llena de gas es

$$N=\frac{L}{\lambda }=\frac{2t}{{\lambda }_0\text{/}n}.$$

El número de franjas observadas en la transición es

$$\begin{array}{cc}m& =N-N_0,\hfill \\ & =\frac{2t}{{\lambda }_0\text{/}n}-\frac{2t}{{\lambda }_0},\hfill \\ & =\frac{2t}{{\lambda }_0}\left(n-1\right).\hfill \end{array}$$

Al resolver para $\left(n-1\right)$ se obtiene

$$n-1=m\left(\frac{{\lambda }_0}{2t}\right)=122\left(\frac{\mathrm{632,8}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{m}}{2(2\times {10}^{\mathrm{-2}}\text{m})}\right)=\mathrm{0,0019}$$

y $n=\mathrm{1,0019}$.

Importancia

Los índices de refracción de los gases son tan cercanos al del vacío que normalmente los consideramos iguales a 1. La diferencia entre 1 y 1,0019 es tan pequeña que para medirla se necesita una técnica muy sensible, como la interferometría. Por ejemplo, no podemos esperar medir este valor utilizando técnicas basadas simplemente en la ley de Snell.