William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Problemas Adicionales

72.

Un campo vectorial $\vec{E}$ (no necesariamente un campo eléctrico; observe las unidades) viene dado por $\vec{E} = 3 x^{2} \hat{k} .$ Calcule $\int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d a,$ donde S es el área que se muestra a continuación. Supongamos que $\hat{n} = \hat{k} .$

Un cuadrado S con longitud de cada lado igual a se muestra en el plano xy.

73.

Repita el problema anterior, con $\vec{E} = 2 x \hat{i} + 3 x^{2} \hat{k} .$

74.

Un área circular S es concéntrica con el origen, tiene radio a y se encuentra en el plano yz. Calcule $\int_{S} \vec{E} \cdot \hat{n} d A$ para $\vec{E} = 3 z^{2} \hat{i} .$

75.

(a) Calcule el flujo eléctrico que atraviesa la superficie semiesférica abierta debido al campo eléctrico $\vec{E} = E_{0} \hat{k}$ (vea más adelante). (b) Si la semiesfera gira en $90 °$ alrededor del eje x, ¿cuál es el flujo que lo atraviesa?

Se muestra una semiesfera de radio R con su base en el plano xy y el centro de la base en el origen. A su lado se muestra una flecha, marcada como vector E igual a E0 vector k.

76.

Supongamos que el campo eléctrico de una carga puntual aislada fuera proporcional a $1 / r^{2 + σ}$ en lugar de $1 / r^{2} .$ Determine el flujo que atraviesa la superficie de una esfera de radio R centrada en la carga. ¿Seguiría siendo válida la ley de Gauss?

77.

El campo eléctrico en una región viene dado por $\vec{E} = a / (b + c x) \hat{i},$ donde $a = 200 N \cdot m/C,$ $b = 2,0 m,$ y $c = 2,0 .$ ¿Cuál es la carga neta que encierra el volumen sombreado que se muestra a continuación?

La figura muestra un cuboide con una esquina en el origen de los ejes de coordenadas. Su longitud a lo largo del eje x es de 2 m, a lo largo del eje y es de 1,5 m y a lo largo del eje z es de 1 m. Una flecha fuera del cubo apunta a lo largo del eje x. Está marcada como vector E.

78.

Dos cargas iguales y opuestas de magnitud Q están situadas en el eje x en los puntos +a y –a, como se muestra a continuación. ¿Cuál es el flujo neto debido a estas cargas a través de una superficie cuadrada de lado 2a que se encuentra en el plano yz y está centrada en el origen? (Pista: Determine el flujo debido a cada carga por separado, y luego utilice el principio de superposición. Es posible que pueda usar un argumento de simetría).

Se muestra un cuadrado sombreado en el plano yz con su centro en el origen. Su lado paralelo al eje z se marca como de longitud 2a. Una carga marcada como más Q se muestra en el eje x positivo a una distancia a del origen. Una carga marcada como menos Q se muestra en el eje x negativo a una distancia a del origen.

79.

Un compañero calculó el flujo a través del cuadrado para el sistema del problema anterior y obtuvo 0. ¿Qué falló?

80.

Una pieza de papel de aluminio de $10 cm \times 10 cm$ de 0,1 mm de espesor tiene una carga de $20 μ C$ que se extiende en ambas superficies laterales anchas de manera uniforme. Puede ignorar las cargas en los lados delgados de los bordes. (a) Calcule la densidad de carga. (b) Calcule el campo eléctrico a 1 cm del centro, suponiendo una simetría plana aproximada.

81.

Dos piezas de papel de aluminio de $10 cm \times 10 cm$ de 0,1 mm de grosor se enfrentan con una separación de 5 mm. Una de las láminas tiene una carga de $+30 μ C$ y el otro tiene $− 30 μ C$ . (a) Calcule la densidad de carga en todas las superficies, es decir, en las que están enfrentadas y en las que están alejadas. (b) Calcule el campo eléctrico entre las placas cercanas al centro suponiendo simetría plana.

82.

Dos grandes placas de cobre enfrentadas tienen densidades de carga $\pm 4,0 {C/m}^{2}$ en la superficie que da a la otra placa, y el cero entre las placas. Calcule el flujo eléctrico a través de un área rectangular de $3 cm \times 4 cm$ entre las placas, como se muestra a continuación, para las siguientes orientaciones del área. (a) Si el área es paralela a las placas, y (b) si el área está inclinada $θ = 30 °$ desde la dirección paralela. Tenga en cuenta que este ángulo también puede ser $θ = 180 ° + 30 ° .$

La figura muestra dos placas paralelas y una línea de puntos exactamente entre las dos, paralela a ellas. Una tercera placa forma un ángulo theta con la línea de puntos.

83.

La losa infinita entre los planos definidos por $z = − a / 2$ y $z = a / 2$ contiene un volumen de densidad de carga uniforme $ρ$ (vea más adelante). ¿Cuál es el campo eléctrico producido por esta distribución de carga, tanto dentro como fuera de la distribución?

La figura muestra un cuboide con su centro en el origen de los ejes de coordenadas. Las flechas perpendiculares a las superficies del cubo apuntan hacia afuera. Las flechas a lo largo de los ejes x y y positivos se marcan como infinito y las flechas a lo largo de los ejes x y y negativos se marcan como menos infinito. El cubo está marcado como rho. Su superficie superior está marcada como z igual a más a por 2 y su superficie inferior está etiquetada como z igual a menos a por 2.

84.

Una carga total Q se distribuye uniformemente en un volumen esférico centrado en $O_{1}$ y tiene un radio R. Sin perturbar la carga restante, se elimina la carga del volumen esférico que está centrado en $O_{2}$ (vea más adelante). Demuestre que el campo eléctrico en toda la región vacía viene dado por

$\vec{E} = \frac{Q \vec{r}}{4 π ε_{0} R^{3}},$

donde $\vec{r}$ es el vector de desplazamiento dirigido desde $O_{1} a O_{2} .$

La figura muestra un círculo con centro O1 y radio R. Dentro de él se muestra otro círculo más pequeño con centro O2. Una flecha que va de O1 a O2 está marcada como vector r.

85.

Una capa esférica no conductora de radio interior $a_{1}$ y radio exterior $b_{1}$ está cargada uniformemente con una densidad de carga $ρ_{1}$ dentro de otra capa esférica no conductora de radio interior $a_{2}$ y radio exterior $b_{2}$ que también está cargada uniformemente con densidad de carga $ρ_{2}$ . Vea más adelante. Calcule el campo eléctrico en el punto espacial P a una distancia r del centro común tal que (a) $r > b_{2},$ (b) $a_{2} < r < b_{2},$ (c) $b_{1} < r < a_{2},$ (d) $a_{1} < r < b_{1},$ y (e) $r < a_{1}$ .

La figura muestra dos capas circulares concéntricas. Los radios interior y exterior de la capa interior son a1 y a2 respectivamente. Los radios interior y exterior de la capa exterior son a2 y b2 respectivamente. La distancia del centro a un punto P entre las dos capas se denomina r.

86.

Dos esferas no conductoras de radios $R_{1}$ y $R_{2}$ están cargadas uniformemente con densidades de carga $ρ_{1}$ y $ρ_{2},$ respectivamente. Están separadas a una distancia a de centro a centro (vea más adelante). Calcule el campo eléctrico en el punto P situado a una distancia r del centro de la esfera 1 y que está en la dirección $θ$ de la línea que une las dos esferas suponiendo que sus densidades de carga no se ven afectadas por la presencia de la otra esfera. (Pista: Trabaje una esfera a la vez y utilice el principio de superposición).

Se muestran dos círculos uno al lado del otro con la distancia entre sus centros siendo a. El círculo mayor tiene un radio R1 y el menor un radio R2. Se muestra una flecha r desde el centro del círculo mayor hasta un punto P fuera de los círculos. r forma un ángulo theta con a.

87.

Un disco de radio R se corta en una placa grande no conductora que está cargada uniformemente con densidad de carga $σ$ (culombios por metro cuadrado). Vea más adelante. Calcule el campo eléctrico a una altura h sobre el centro del disco. $(h > > R, h < < l o w).$ (Pista: Rellene el agujero con $\pm σ .)$

Una placa de longitud l y anchura w tiene un agujero en el centro. Un punto P sobre la placa está a una distancia h de su centro.

88.

Las capas esféricas conductoras concéntricas transportan cargas Q y –Q, respectivamente (vea a continuación). La capa interior tiene un grosor insignificante. Determine el campo eléctrico para (a) $r < a;$ (b) $a < r < b;$ (c) $b < r < c;$ y (d) $r > c .$

Se muestra la sección de dos capas esféricas concéntricas. La capa interior tiene un radio a. Está marcada como Q y tiene signos de más alrededor. La capa exterior tiene un radio interior b y un radio exterior c. Está marcada como menos Q y tiene signos de menos alrededor.

89.

A continuación se muestran dos capas esféricas conductoras concéntricas de radios $R_{1}$ y $R_{2}$ , cada una de ellas con un grosor finito mucho menor que cualquiera de los radios. La capa interior y exterior llevan cargas netas $q_{1}$ y $q_{2},$ respectivamente, donde ambas $q_{1}$ y $q_{2}$ son positivas. ¿Cuál es el campo eléctrico para (a) $r < R_{1};$ (b) $R_{1} < r < R_{2};$ y (c) $r > R_{2} ?$ (d) ¿Cuál es la carga neta en la superficie interna de la capa interna, la superficie externa de la capa interna, la superficie interna de la capa externa y la superficie externa de la capa externa?

La figura muestra la sección de dos capas esféricas concéntricas. El interior tiene un radio R1 y el exterior un radio R2.

90.

Una carga puntual de $q = 5,0 \times 10^{−8} C$ se coloca en el centro de una capa conductora esférica sin carga de radio interior 6,0 cm y radio exterior 9,0 cm. Calcule el campo eléctrico en (a) $r = 4,0 cm$ , (b) $r = 8,0 cm$ , y (c) $r = 12,0 cm$ . (d) ¿Cuáles son las cargas inducidas en las superficies interior y exterior de la capa?