Problemas

Un campo eléctrico uniforme de magnitud $\mathrm{1,1}\times {10}^4\text{N/C}$ es perpendicular a una hoja cuadrada de 2,0 m de lado. ¿Cuál es el flujo eléctrico que atraviesa la lámina?

Halle el flujo eléctrico a través de un área rectangular $3\text{cm}\times 2\text{cm}$ entre dos placas paralelas donde hay un campo eléctrico constante de 30 N/C para las siguientes orientaciones del área: (a) paralela a las placas, (b) perpendicular a las placas, y (c) la normal al área haciendo un ángulo de $30\text{°}$ con la dirección del campo eléctrico. Observe que este ángulo también puede darse como $180\text{°}+30\text{°}.$

Dos grandes placas rectangulares de aluminio de área $150{\text{cm}}^2$ se enfrentan con una separación de 3 mm entre ellos. Las placas están cargadas con igual cantidad de cargas opuestas, $\pm 20\mu \text{C}$. Las cargas de las placas se enfrentan entre sí. Halle el flujo que atraviesa un círculo de 3 cm de radio entre las placas cuando la normal al círculo forma un ángulo de $5\text{°}$ con una línea perpendicular a las placas. Observe que este ángulo también puede darse como $180\text{°}+5\text{°}.$

Un campo vectorial apunta a lo largo del eje z, $\overrightarrow{\text{v}}=\frac{\alpha }{x^2+y^2}\widehat{\text{z}}.$ (a) Halle el flujo del campo vectorial a través de un rectángulo en el plano xy entre $a<x<b$ y $c<y<d$. (b) Haga lo mismo a través de un rectángulo en el plano yz entre $a<z<b$ y $c<y<d$. (Deje su respuesta como una integral)

Repita el problema anterior, dado que el área circular es (a) en el plano yz y (b) $45\text{°}$ sobre el plano xy.

Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie cerrada donde la sección transversal dentro de la superficie se muestra a continuación.

Una carga puntual q está situada en el centro de un cubo cuyos lados son de longitud a. Si no hay otras cargas en este sistema, ¿cuál es el flujo eléctrico que atraviesa una cara del cubo?

Un flujo neto de $\mathrm{1,0}\times {10}^4\text{N}·{\text{m}}^2\text{/C}$ pasa hacia el interior de la superficie de una esfera de radio 5 cm. (a) ¿Cuánta carga hay dentro de la esfera? (b) ¿Con qué precisión podemos determinar la ubicación de la carga a partir de esta información?

El flujo eléctrico que atraviesa una caja cúbica de 8,0 cm de lado es $\mathrm{1,2}\times {10}^3\text{N}·{\text{m}}^2\text{/C}\text{.}$ ¿Cuál es la carga total que encierra la caja?

Un cubo cuyos lados son de longitud d se coloca en un campo eléctrico uniforme de magnitud $E=\mathrm{4,0}\times {10}^3\text{N/C}$ para que el campo sea perpendicular a dos caras opuestas del cubo. ¿Cuál es el flujo neto a través del cubo?

Una carga total de $\mathrm{5,0}\times {10}^{\mathrm{-6}}\text{C}$ se distribuye uniformemente por un volumen cúbico cuyas aristas miden 8,0 cm. (a) ¿Cuál es la densidad de carga en el cubo? (b) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de un cubo con aristas de 12,0 cm que es concéntrico con la distribución de carga? (c) Haga el mismo cálculo para cubos cuyas aristas miden 10,0 cm y 5,0 cm. (d) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una superficie esférica de radio 3,0 cm que también es concéntrica con la distribución de carga?

Supongamos que la densidad de carga de la distribución de carga esférica mostrada en la Figura 6.23 es $\rho (r)={\rho }_{0}r\text{/}R$ para $r\le R$ y cero para $r>R.$ Obtenga expresiones para el campo eléctrico tanto dentro como fuera de la distribución.

Una carga de $\mathrm{-30}\mu \text{C}$ se distribuye uniformemente en un volumen esférico de 10,0 cm de radio. Determine el campo eléctrico debido a esta carga a una distancia de (a) 2,0 cm, (b) 5,0 cm y (c) 20,0 cm del centro de la esfera.

Una carga total Q se distribuye uniformemente en una envoltura esférica de radios interior y exterior $r_1\text{y}{r}_2,$ respectivamente. Demuestre que el campo eléctrico debido a la carga es

$\begin{array}{cccc}\overrightarrow{\text{E}}=\overrightarrow{0}\hfill & & & (r\le r_1);\hfill \\ \overrightarrow{\text{E}}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\left(\frac{r^3-r_1{}^3}{r_2{}^3-r_1{}^3}\right)\widehat{\text{r}}\hfill & & & (r_1\le r\le r_2);\hfill \\ \overrightarrow{\text{E}}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\widehat{\text{r}}\hfill & & & (r\ge r_2).\hfill \end{array}$

Una gran lámina de carga tiene una densidad de carga uniforme de $10\mu {\text{C/m}}^2\text{.}$ ¿Cuál es el campo eléctrico debido a esta carga en un punto justo por encima de la superficie de la lámina?

Una varilla larga de plata de 3 cm de radio tiene una carga de $\text{−}5\mu \text{C/cm}$ en su superficie. (a) Calcule el campo eléctrico en un punto a 5 cm del centro de la varilla (un punto exterior). (b) Calcule el campo eléctrico en un punto a 2 cm del centro de la varilla (un punto interior).

Una capa cilíndrica larga de cobre de radio interior 2 cm y radio exterior 3 cm rodea concéntricamente una varilla larga de aluminio cargada de radio 1 cm con una densidad de carga de 4 pC/m. Todas las cargas de la varilla de aluminio residen en su superficie. La superficie interior de la capa de cobre tiene una carga exactamente opuesta a la de la varilla de aluminio, mientras que la superficie exterior de la capa de cobre tiene la misma carga que la varilla de aluminio. Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico en los puntos que están a las siguientes distancias del centro de la varilla de aluminio: (a) 0,5 cm, (b) 1,5 cm, (c) 2,5 cm, (d) 3,5 cm y (e) 7 cm.

La carga se distribuye a lo largo de un volumen cilíndrico muy largo de radio R, de forma que la densidad de carga aumenta con la distancia r desde el eje central del cilindro según $\rho =\alpha r,$ donde $\alpha$ es una constante. Demuestre que el campo de esta distribución de carga está dirigido radialmente con respecto al cilindro y que

$\begin{array}{}\\ \\ E=\frac{\alpha r^2}{3{\epsilon }_0}\hfill & & & (r\le R);\hfill \\ E=\frac{\alpha R^3}{3{\epsilon }_{0}r}\hfill & & & (r\ge R).\hfill \end{array}$

La carga se distribuye en una capa esférica de radio interior $r_1$ y radio exterior $r_2$ con una densidad de volumen dada por $\rho ={\rho }_0{r}_1\text{/}r,$ donde ${\rho }_0$ es una constante. Determine el campo eléctrico debido a esta carga en función de r, la distancia desde el centro de la capa.

Considere que un núcleo de uranio es una esfera de radio $R=\mathrm{7,4}\times {10}^{\mathrm{-15}}\text{m}$ con una carga de 92e distribuida uniformemente en su volumen. (a) ¿Cuál es la fuerza eléctrica ejercida sobre un electrón cuando es $\mathrm{3,0}\times {10}^{\mathrm{-15}}\text{m}$ desde el centro del núcleo? (b) ¿Cuál es la aceleración del electrón en este punto?

En la siguiente figura se muestra un conductor sin carga con una cavidad interna. Utilice la superficie cerrada S junto con la ley de Gauss para demostrar que cuando se coloca una carga q en la cavidad se induce una carga total –q en la superficie interior del conductor. ¿Cuál es la carga en la superficie exterior del conductor?

Figura 6.46 Una carga dentro de una cavidad de un metal. Las cargas en la superficie exterior no dependen de cómo se distribuyen las cargas en la superficie interior, ya que el campo E dentro del cuerpo del metal es cero.

Una carga puntual positiva se coloca en la bisectriz del ángulo de dos conductores planos sin carga que forman un ángulo de $45\text{°}.$ Vea a continuación. Dibuje las líneas de campo eléctrico.

Una bola esférica de aluminio de radio 4 cm se carga con $5\mu \text{C}$ de carga. Lo rodea una capa esférica de cobre de radio interior de 6 cm y exterior de 8 cm. Una carga total de $\mathrm{-8}\mu \text{C}$ se coloca en la capa de cobre. (a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio, incluso los puntos dentro de la capa de aluminio y de cobre cuando la capa de cobre y la esfera de aluminio son concéntricas. (b) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio, incluso los puntos dentro de la capa de aluminio y de cobre cuando los centros de la capa de cobre y de la esfera de aluminio están a 1 cm de distancia.

En la superficie de cualquier conductor en equilibrio electrostático, $E=\sigma \text{/}{\epsilon }_0.$ Demuestre que esta ecuación es consistente con el hecho de que $E=kq\text{/}{r}^2$ en la superficie de un conductor esférico.

Dos placas conductoras paralelas, cada una de ellas con una sección transversal ${400\text{cm}}^2$, están a 2,0 cm de distancia y sin carga. Si $\mathrm{1,0}\times {10}^{12}$ electrones se transfieren de una placa a la otra, ¿cuáles son (a) la densidad de carga en cada placa (b) el campo eléctrico entre las placas?

Una carga puntual $q=\mathrm{-5,0}\times {10}^{\mathrm{-12}}\text{C}$ se coloca en el centro de una capa conductora esférica de radio interior 3,5 cm y radio exterior 4,0 cm. El campo eléctrico justo por encima de la superficie del conductor está dirigido radialmente hacia fuera y tiene una magnitud de 8,0 N/C. (a) ¿Cuál es la densidad de carga en la superficie interior de la capa? (b) ¿Cuál es la densidad de carga en la superficie exterior de la capa? (c) ¿Cuál es la carga neta en el conductor?