5.3 Ley de Coulomb

Cargas de origen múltiple

El análisis que hemos hecho para dos partículas puede extenderse a un número arbitrario de partículas; simplemente repetimos el análisis, dos cargas a la vez. En concreto, nos preguntamos: dadas N cargas (a las que nos referimos como carga fuente), ¿cuál es la fuerza eléctrica neta que ejercen sobre alguna otra carga de puntos (a la que llamamos carga de prueba)? Observe que utilizamos estos términos porque podemos pensar que la carga de prueba se utiliza para probar la fuerza proporcionada por las cargas fuente.

Como todas las fuerzas que hemos visto hasta ahora, la fuerza eléctrica neta sobre nuestra carga de prueba es simplemente la suma vectorial de cada fuerza eléctrica individual ejercida sobre ella por cada una de las cargas fuente individuales. Así, podemos calcular la fuerza neta sobre la carga de prueba Q calculando la fuerza sobre ella de cada carga fuente, tomada de una en una, y luego sumando todas esas fuerzas (como vectores). Esta capacidad de sumar simplemente las fuerzas individuales de esta manera se conoce como el principio de superposición, y es una de las características más importantes de la fuerza eléctrica. En forma matemática, esto se convierte en

En esta expresión, Q representa la carga de la partícula que experimenta la fuerza eléctrica $\overrightarrow{\text{F}}$, y se encuentra en $\overrightarrow{\text{r}}$ desde el origen; los $q_i\text{’s}$ son las N cargas fuente, y los vectores ${\overrightarrow{\text{r}}}_i=r_i{\widehat{\text{r}}}_i$ son los desplazamientos desde la posición de la i-ésima carga hasta la posición de Q. Cada uno de los N vectores unitarios apunta directamente desde su carga fuente asociada hacia la carga de prueba. Todo esto está representado en la Figura 5.16. Tenga en cuenta que no hay ninguna diferencia física entre Q y $q_i$; la diferencia en las marcas es simplemente para permitir una discusión clara, siendo Q la carga sobre la que estamos determinando la fuerza.

Figura 5.16 Cada una de las ocho cargas fuente aplica una fuerza sobre la única carga de prueba Q. Cada fuerza puede calcularse independientemente de las otras siete fuerzas. Esta es la esencia del principio de superposición.

(Observe que el vector fuerza ${\overrightarrow{\text{F}}}_i$ no apunta necesariamente en la misma dirección que el vector unitario ${\widehat{\text{r}}}_i$; puede apuntar en la dirección opuesta, $\text{−}{\widehat{\text{r}}}_i$. Los signos de la carga fuente y de la carga de prueba determinan la dirección de la fuerza sobre la carga de prueba).

Sin embargo, hay una complicación. Al igual que las cargas fuente ejercen cada una de ellas una fuerza sobre la carga de prueba, también (por la tercera ley de Newton) la carga de prueba ejerce una fuerza igual y opuesta sobre cada una de las cargas fuente. Como consecuencia, cada carga de la fuente cambiaría de posición. Sin embargo, según la Ecuación 5.2, la fuerza sobre la carga de prueba es una función de la posición; por lo tanto, a medida que las posiciones de las cargas fuente cambian, la fuerza neta sobre la carga de prueba cambia necesariamente, lo que cambia la fuerza, que a su vez cambia las posiciones. Así, todo el análisis matemático se vuelve rápidamente intratable. Más adelante, aprenderemos técnicas para manejar esta situación, pero por ahora, hacemos la suposición simplificadora de que las cargas fuente están fijadas en su lugar de alguna manera, de modo que sus posiciones son constantes en el tiempo (la carga de prueba puede moverse). Con esta restricción, el análisis de las cargas se conoce como electrostática, donde "estática" se refiere a las posiciones constantes (es decir, estáticas) de las cargas fuente y la fuerza se denomina fuerza electrostática.

Ejemplo 5.2

La fuerza neta de dos cargas de origen

Se colocan tres pequeños objetos cargados diferentes como se muestra en la Figura 5.17. Las cargas $q_1$ y $q_3$ están fijadas en su lugar; $q_2$ es libre de moverse. Dado que $q_1=2e$, $q_2=\mathrm{-3}e$, y $q_3=\mathrm{-5}e$, y que $d=\mathrm{2,0}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{m}$, ¿cuál es la fuerza neta sobre la carga central $q_2$?

Figura 5.17 Cargas de la fuente $q_1$ y $q_3$ cada uno aplica una fuerza sobre $q_2$.

Estrategia

Volvemos a utilizar la ley de Coulomb. La forma en que se formula la pregunta indica que $q_2$ es nuestra carga de prueba, por lo que $q_1$ y $q_3$ son cargas de origen. El principio de superposición dice que la fuerza sobre $q_2$ de cada una de las otras cargas no se ve afectada por la presencia de la otra carga. Por lo tanto, escribimos la fuerza sobre $q_2$ de cada uno y sumamos como vectores.

Solución

Tenemos dos cargas de origen $(q_1$ y $q_3),$ una carga de prueba $(q_2),$ distancias $(r_{21}$ y $r_{23}),$ y se nos pide que encontremos una fuerza. Esto requiere la ley de Coulomb y la superposición de fuerzas. Hay dos fuerzas:

$$\overrightarrow{\text{F}}={\overrightarrow{\text{F}}}_{21}+{\overrightarrow{\text{F}}}_{23}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\left[\frac{q_2{q}_1}{r_{21}^2}\widehat{\text{j}}+\left(-\frac{q_2{q}_3}{r_{23}^2}\widehat{\text{i}}\right)\right].$$

No podemos sumar estas fuerzas directamente porque no apuntan en la misma dirección ${\overrightarrow{\text{F}}}_{23}$ apunta solo en la dirección –x, mientras que ${\overrightarrow{\text{F}}}_{21}$ apunta solo en la dirección +y. La fuerza neta se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes x y y:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

donde

$$\begin{array}{cc}\hfill F_x& =\text{−}{F}_{23}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2{q}_3}{r_{23}^2}\hfill \\ & =\text{−}\left(\mathrm{8,99}\times {10}^9\frac{\text{N}·{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\right)\frac{\left(\mathrm{4,806}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)\left(\mathrm{8,01}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)}{{\left(\mathrm{4,00}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{m}\right)}^2}\hfill \\ & =\text{−}\mathrm{2,16}\times {10}^{\text{−14}}\text{N}\hfill \end{array}$$

y

$$\begin{array}{cc}\hfill F_y& =F_{21}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_2{q}_1}{r_{21}^2}\hfill \\ & =\left(\mathrm{8,99}\times {10}^9\frac{\text{N}·{\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}\right)\frac{\left(\mathrm{4,806}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)\left(\mathrm{3,204}\times {10}^{\mathrm{-19}}\text{C}\right)}{{\left(\mathrm{2,00}\times {10}^{\mathrm{-7}}\text{m}\right)}^2}\hfill \\ & =\mathrm{3,46}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}.\hfill \end{array}$$

Hallamos que

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\mathrm{4,08}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}$$

en un ángulo de

$$\varphi ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{F_y}{F_x}\right)={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\mathrm{3,46}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}}{\mathrm{-2,16}\times {10}^{\mathrm{-14}}\text{N}}\right)=-58\text{°},$$

es decir, $58\text{°}$ por encima del eje –x, como se muestra en el diagrama.

Importancia

Observe que al sustituir los valores numéricos de las cargas, no incluimos el signo negativo de ninguna de ellas $q_2$ o $q_3$. Recordemos que los signos negativos de las cantidades vectoriales indican una inversión de la dirección del vector en cuestión. Pero en el caso de las fuerzas eléctricas, la dirección de la fuerza viene determinada por los tipos (signos) de las dos cargas que interactúan; determinamos las direcciones de las fuerzas teniendo en cuenta si los signos de las dos cargas son iguales o son opuestos. Si además incluye los signos negativos de las cargas negativas al sustituir los números, corre el riesgo de invertir matemáticamente el sentido de la fuerza que está calculando. Por lo tanto, lo más seguro es calcular solo la magnitud de la fuerza, utilizando los valores absolutos de las cargas, y determinar las direcciones físicamente.

También vale la pena señalar que el único concepto nuevo en este ejemplo es cómo calcular las fuerzas eléctricas; todo lo demás (obtener la fuerza neta a partir de sus componentes, descomponer las fuerzas en sus componentes, hallar la dirección de la fuerza neta) es lo mismo que los problemas de fuerzas que ha hecho antes.