16.3 Energía transportada por las ondas electromagnéticas

Cualquiera que haya utilizado un horno microondas sabe que hay energía en las ondas electromagnéticas. A veces esta energía es evidente, como en el calor del Sol de verano. Otras veces, es sutil, como la energía no percibida de los rayos gamma, que puede destruir células vivas.

Las ondas electromagnéticas aportan energía a un sistema en virtud de sus campos eléctricos y magnéticos. Estos campos pueden ejercer fuerzas y mover cargas en el sistema y, por tanto, realizar un trabajo sobre ellas. Sin embargo, hay energía en una onda electromagnética en sí misma, tanto si es absorbida o no. Una vez creados, los campos transportan energía que se aleja de una fuente. Si posteriormente se absorbe algo de energía, las intensidades de campo disminuyen y todo lo que queda se desplaza.

Evidentemente, cuanto mayor sea la fuerza de los campos eléctricos y magnéticos, más trabajo podrán realizar y mayor será la energía que transporte la onda electromagnética. En las ondas electromagnéticas, la amplitud es la intensidad máxima de los campos eléctrico y magnético (Figura 16.10). La energía de las ondas viene determinada por su amplitud.

Figura 16.10 La energía transportada por una onda depende de su amplitud. En el caso de las ondas electromagnéticas, la duplicación de los campos E y B cuadruplica la densidad de energía u y el flujo de energía uc.

Para una onda plana que viaja en la dirección del eje x positivo con la fase de la onda elegida para que el máximo de la onda esté en el origen en $t=0$, los campos eléctricos y magnéticos obedecen a las ecuaciones

La energía de cualquier parte de la onda electromagnética es la suma de las energías de los campos eléctrico y magnético. Esta energía por unidad de volumen, o densidad de energía u, es la suma de la densidad de energía del campo eléctrico y la densidad de energía del campo magnético. Las expresiones para ambas densidades de energía de campo se discutieron anteriormente ($u_E$ en la sección Capacitancia y $u_B$ en la sección Inductancia). Combinando estas contribuciones, obtenemos

La expresión $E=cB=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}B$ muestra entonces que la densidad de energía magnética $u_B$ y la densidad de energía eléctrica $u_E$ son iguales, a pesar de que los campos eléctricos cambiantes generalmente solo producen pequeños campos magnéticos. La igualdad de las densidades de energía eléctrica y magnética conduce a

La densidad de energía se mueve con los campos eléctricos y magnéticos de forma similar a las propias ondas.

Podemos calcular la tasa de transporte de energía considerando un pequeño intervalo de tiempo $\text{Δ}t$. Como se muestra en la Figura 16.11, la energía contenida en un cilindro de longitud $c\text{Δ}t$ y la sección transversal A pasa por el plano de la sección transversal en el intervalo $\text{Δ}t.$

Figura 16.11 La energía $uAc\text{Δ}t$ contenida en los campos eléctricos y magnéticos de la onda electromagnética en el volumen $Ac\text{Δ}t$ pasa por la zona A en el tiempo $\text{Δ}t$.

La energía que pasa por el área A en el tiempo $\text{Δ}t$ es

La energía por unidad de superficie y por unidad de tiempo que pasa por un plano perpendicular a la onda, llamada flujo de energía y denotada con una S, puede calcularse dividiendo la energía por la superficie A y el intervalo de tiempo $\text{Δ}t$.

De forma más general, el flujo de energía atraviesa cualquier superficie también depende de la orientación de la misma. Para tener en cuenta la dirección, introducimos un vector $\overrightarrow{S}$, llamado vector de Poynting, con la siguiente definición:

El producto cruzado de $\overrightarrow{E}$ y $\overrightarrow{B}$ apunta en la dirección perpendicular a ambos vectores. Para confirmar que la dirección de $\overrightarrow{S}$ es la de la propagación de las ondas, y no su negativo, vuelva a la Figura 16.7. Tenga en cuenta que las leyes de Lenz y Faraday implican que cuando el campo magnético mostrado es creciente en el tiempo, el campo eléctrico es mayor en x que en $x+\text{Δ}x$. El campo eléctrico disminuye con el aumento de x en un momento y lugar determinados. La proporcionalidad entre los campos eléctricos y magnéticos requiere que el campo eléctrico aumente en el tiempo junto con el campo magnético. Esto solo es posible si la onda se propaga hacia la derecha en el diagrama, en cuyo caso, las orientaciones relativas muestran que $\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{B}$ es específicamente en la dirección de propagación de la onda electromagnética.

El flujo de energía en cualquier lugar también varía en el tiempo, como puede verse sustituyendo la Ecuación 16.23 en la Ecuación 16.27para obtener la u

Como la frecuencia de la luz visible es muy alta, del orden de ${10}^{14}\text{Hz,}$ el flujo de energía de la luz visible a través de cualquier área es una cantidad que varía muy rápidamente. La mayoría de los dispositivos de medición, incluidos nuestros ojos, solo detectan una media de muchos ciclos. El promedio temporal del flujo de energía es la intensidad I de la onda electromagnética y es la potencia por unidad de superficie. Se puede expresar promediando la función coseno en la Ecuación 16.29 a lo largo de un ciclo completo, que es lo mismo que promediar el tiempo a lo largo de muchos ciclos (aquí, T es un periodo):

Podemos evaluar la integral, o bien observar que como el seno y el coseno difieren simplemente en la fase, la media sobre un ciclo completo para ${\text{cos}}^2\left(\xi \right)$ es el mismo que para ${\text{sen}}^2\left(\xi \right)$, para obtener

donde los paréntesis angulares $\langle \text{⋯}\rangle$ representan la operación de promediación del tiempo. La intensidad de la luz que se mueve a la velocidad c en el vacío es entonces

en función de la intensidad máxima del campo eléctrico $E_0,$ que es también la amplitud del campo eléctrico. La manipulación algebraica produce la relación

donde _{$B_0$} es la amplitud del campo magnético, que es igual a la intensidad máxima del campo magnético. Una expresión más para $I_{\text{avg}}$ en términos de intensidad de campo eléctrico y magnético es útil. Sustituyendo el hecho de que $c{B}_0=E_0,$ la expresión anterior se convierte en

Podemos utilizar cualquiera de las tres ecuaciones anteriores que nos resulte más conveniente, porque las tres ecuaciones son en realidad diferentes versiones del mismo resultado: La energía de una onda está relacionada con la amplitud al cuadrado. Además, como estas ecuaciones se basan en la suposición de que las ondas electromagnéticas son sinusoidales, la intensidad máxima es el doble de la intensidad media; es decir, $I_0=2I.$

Ejemplo 16.4

Campos de bombillas

Una bombilla emite 5,00 W de potencia como luz visible. ¿Cuáles son los campos eléctricos y magnéticos medios de la luz a una distancia de 3,0 m?

Estrategia

Supongamos que la potencia disipada P de la bombilla, que se encuentra en el interior de una esfera de radio 3,0 m, se distribuye uniformemente, calcule la intensidad de la potencia en la superficie y, a partir de estos datos, calcule el campo eléctrico.

Solución

La potencia radiada como luz visible es entonces

$$\begin{array}{ccc}\hfill I& =\hfill & \frac{P}{4\pi r^2}=\frac{c{\epsilon }_0{E}_0^2}{2},\hfill \\ \hfill E_0& =\hfill & \sqrt{2\frac{P}{4\pi r^{2}c{\epsilon }_0}}=\sqrt{2\frac{\mathrm{5,00}\text{W}}{4\pi {\left(\mathrm{3,0}\text{m}\right)}^2\left(\mathrm{3,00}\times {10}^8\text{m/s}\right)\left(\mathrm{8,85}\times {10}^{\mathrm{-12}}{\text{C}}^2\text{/N}·{\text{m}}^2\right)}}=\mathrm{5,77}\text{N/C,}\hfill \\ \hfill B_0& =\hfill & E_0\text{/}c=\mathrm{1,92}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{T}.\hfill \end{array}$$

Importancia

La intensidad I disminuye con la distancia al cuadrado si la radiación se dispersa uniformemente en todas las direcciones.

Ejemplo 16.5

Alcance de la radio

Un transmisor de radio de 60 kW en la Tierra envía su señal a un satélite situado a 100 km (Figura 16.12). ¿A qué distancia en la misma dirección la señal tendría la misma intensidad de campo máxima si la potencia de salida del transmisor se aumentara a 90 kW?

Figura 16.12 En tres dimensiones, una señal se propaga en un ángulo sólido a medida que se desplaza hacia el exterior desde su fuente.

Estrategia

El área sobre la que se dispersa la potencia en una dirección determinada aumenta con la distancia al cuadrado, como se ilustra en la figura. Cambie la potencia de salida P por un factor de (90 kW/60 kW) y cambie el área por el mismo factor para mantener $I=\frac{P}{A}=\frac{c{\epsilon }_0{E}_0^2}{2}$ son iguales. A continuación, utilice la proporción entre el área A del diagrama y la distancia al cuadrado para calcular la distancia que produce el cambio calculado en el área.

Solución

Utilizando la proporcionalidad de las áreas a los cuadrados de las distancias, y resolviendo, obtenemos del diagrama

$$\begin{array}{ccc}\hfill \frac{r_2^2}{r_1^2}& =\hfill & \frac{A_2}{A_1}=\frac{90\text{W}}{60\text{W}},\hfill \\ \hfill r_2& =\hfill & \sqrt{\frac{90}{60}}\left(100\text{km}\right)=122\text{km}.\hfill \end{array}$$

Importancia

El alcance de una señal de radio es la distancia máxima entre el emisor y el receptor que permite un funcionamiento normal. En ausencia de complicaciones como las reflexiones de los obstáculos, la intensidad sigue una ley del cuadrado inverso, y para duplicar el alcance habría que multiplicar la potencia por cuatro.