13.4 Campos eléctricos inducidos

Campo eléctrico inducido en una bobina circular

¿Cuál es el campo eléctrico inducido en la bobina circular del Ejemplo 13.2 (y la Figura 13.9) en los tres momentos indicados?

Estrategia

Al utilizar la simetría cilíndrica, la integral del campo eléctrico se simplifica en el campo eléctrico por la circunferencia de un círculo. Como ya conocemos la emf inducida, podemos conectar estas dos expresiones mediante la ley de Faraday para resolver el campo eléctrico inducido.

Solución

El campo eléctrico inducido en la bobina es de magnitud constante sobre la superficie cilíndrica, de forma similar a como se resuelven los problemas de la ley de Ampere con cilindros. Dado que $\overrightarrow{E}$ es tangente a la bobina,

Cuando se combina con la Ecuación 13.12, se obtiene

La dirección de $\epsilon$ es en sentido contrario a las agujas del reloj, y $\overrightarrow{E}$ circula en la misma dirección alrededor de la bobina. Los valores de E son

Importancia

Cuando el flujo magnético a través de un circuito cambia, se induce un campo eléctrico no conservativo, que impulsa la corriente a través del circuito. Pero, ¿qué pasa si $dB\text{/}dt\ne 0$ en el espacio libre donde no hay un camino conductor? La respuesta es que este caso puede tratarse como si existiera una vía conductora; es decir, se inducen campos eléctricos no conservativos allí donde $dB\text{/}dt\ne 0,$ si hay o no un camino conductor presente.

Estos campos eléctricos no conservativos siempre satisfacen la Ecuación 13.12. Por ejemplo, si se eliminara la bobina circular de la Figura 13.9, un campo eléctrico en el espacio libre a $r=\mathrm{0,50}\text{m}$ seguiría dirigiéndose en sentido contrario a las agujas del reloj, y su magnitud seguiría siendo de 1,9 V/m en $t=0$, 1,5 V/m en $t=\mathrm{5,0}\times 10^{\text{−}2}\text{s},$ etc. La existencia de campos eléctricos inducidos no se limita a los cables de los circuitos.

Campo eléctrico inducido por el campo magnético cambiante de un solenoide

La parte (a) de la Figura 13.18 muestra un solenoide largo con radio R y n vueltas por unidad de longitud; su corriente disminuye con el tiempo según $I=I_0{e}^{\text{−}\alpha t}.$ ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico inducido en un punto a una distancia r del eje central del solenoide (a) cuando $r>R$ y (b) cuando $r<R$ (vea la parte [b] de la Figura 13.18). (c) ¿Cuál es la dirección del campo inducido en ambos lugares? Supongamos que la aproximación del solenoide infinito es válida en todas las regiones de interés.

Estrategia

Al utilizar la fórmula del campo magnético dentro de un solenoide infinito y la ley de Faraday, calculamos la emf inducida. Como tenemos simetría cilíndrica, la integral del campo eléctrico se reduce al campo eléctrico por la circunferencia de la trayectoria de integración. A continuación, resolvemos el campo eléctrico.

Solución

1. El campo magnético está confinado en el interior del solenoide donde
   $$B={\mu }_{0}nI={\mu }_{0}n{I}_0{e}^{\text{−}\alpha t}.$$
   Así, el flujo magnético que atraviesa una trayectoria circular cuyo radio r es mayor que R, el radio del solenoide, es
   $${\text{Φ}}_{\text{m}}=BA={\mu }_{0}n{I}_0\pi R^2{e}^{\text{−}\alpha t}.$$
   El campo inducido $\overrightarrow{E}$ es tangente a esta trayectoria, y debido a la simetría cilíndrica del sistema, su magnitud es constante en la trayectoria. Por lo tanto, tenemos
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \left|{\displaystyle \oint \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{l}}\right|& =\hfill & \left|\frac{d{\text{Φ}}_{\text{m}}}{dt}\right|,\hfill \\ \\ \\ \hfill E(2\pi r)& =\hfill & \left|\frac{d}{dt}({\mu }_{0}n{I}_0\pi R^2{e}^{\text{−}\alpha t})\right|=\alpha {\mu }_{0}n{I}_0\pi R^2{e}^{\text{−}\alpha t},\hfill \\ \\ \\ \hfill E& =\hfill & \frac{\alpha {\mu }_{0}n{I}_0{R}^2}{2r}{e}^{\text{−}\alpha t}(r>R).\hfill \end{array}$$
2. Para una trayectoria de radio r dentro del solenoide, ${\text{Φ}}_{\text{m}}=B\pi r^2,$ así que
   $$E(2\pi r)=\left|\frac{d}{dt}({\mu }_{0}n{I}_0\pi r^2{e}^{\text{−}\alpha t})\right|=\alpha {\mu }_{0}n{I}_0\pi r^2{e}^{\text{−}\alpha t},$$
   y el campo inducido es
   $$E=\frac{\alpha {\mu }_{0}n{I}_{0}r}{2}{e}^{\text{−}\alpha t}(r<R).$$
3. El campo magnético apunta hacia la página como se muestra en la parte (b) y está disminuyendo. Si cualquiera de las trayectorias circulares estuviera ocupada por anillos conductores, las corrientes inducidas en ellos circularían como se muestra, de conformidad con la ley de Lenz. El campo eléctrico inducido también debe estar dirigido así.

Importancia

En la parte (b), observe que $\left|\overrightarrow{E}\right|$ aumenta con r en el interior y disminuye como 1/r en el exterior del solenoide, como se muestra en la Figura 13.19.