Capítulo 9

Para alcanzar una rapidez final de $v_{\text{f}}=\frac{1}{4}\left(\mathrm{3,0}\times {10}^8\text{m/s}\right)$ a una aceleración de 10g, el tiempo
requerido es
$\begin{array}{ccc}\hfill 10g& =\hfill & \frac{v_{\text{f}}}{\text{Δ}t}\hfill \\ \hfill \text{Δ}t& =\hfill & \frac{v_{\text{f}}}{10g}\frac{\frac{1}{4}\left(\mathrm{3,0}\times {10}^8\text{m/s}\right)}{10g}=\mathrm{7,7}\times {10}^5\text{s}=\mathrm{8,9}\text{d}\hfill \end{array}$

Si el teléfono rebota hacia arriba aproximadamente a la misma rapidez inicial que su rapidez de impacto, el cambio de momento del teléfono será $\text{Δ}\overrightarrow{p}=m\text{Δ}\overrightarrow{v}-\left(\text{-}m\text{Δ}\overrightarrow{v}\right)=2m\text{Δ}\overrightarrow{v}$. Esto supone el doble de cambio de momento que cuando el teléfono no rebota, por lo que el teorema del momento-impulso nos indica que hay que aplicar más fuerza al teléfono.

Si el carro más pequeño rodara a 1,33 m/s hacia la izquierda, entonces la conservación del momento da
$\begin{array}{ccc}\hfill \left(m_1+m_2\right){\overrightarrow{v}}_f& =\hfill & m_1{v}_1\widehat{i}-m_2{v}_2\widehat{i}\hfill \\ \hfill {\overrightarrow{v}}_f& =\hfill & \left(\frac{m_1{v}_1-m_2{v}_2}{m_1+m_2}\right)\widehat{i}\hfill \\ & =\hfill & \left[\frac{\left(\mathrm{0,675}\text{kg}\right)\left(\mathrm{0,75}\text{m/s}\right)-\left(\mathrm{0,500}\text{kg}\right)\left(\mathrm{1,33}\text{m/s}\right)}{\mathrm{1,175}\text{kg}}\right]\widehat{i}\hfill \\ & =\hfill & \text{-}\left(\mathrm{0,135}\text{m/s}\right)\widehat{i}\hfill \end{array}$
Por lo tanto, la velocidad final es de 0,135 m/s hacia la izquierda.

Si la pelota no rebota, su momento final ${\overrightarrow{p}}_2$ es cero, por lo que
$\begin{array}{cc}\hfill \text{Δ}\overrightarrow{p}& ={\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\hfill \\ & =\left(0\right)\widehat{j}-\left(\mathrm{-1,4}\text{kg}·\text{m/s}\right)\widehat{j}\hfill \\ & =+\left(\mathrm{1,4}\text{kg}·\text{m/s}\right)\widehat{j}\hfill \end{array}$

Consideremos la teoría del momento impulso, que es $\overrightarrow{J}=\text{Δ}\overrightarrow{p}$. Si $\overrightarrow{J}=0$, tenemos la situación descrita en el ejemplo. Si una fuerza actúa sobre el sistema, entonces $\overrightarrow{J}={\overrightarrow{F}}_{\text{ave}}\text{Δ}t$. Así, en lugar de ${\overrightarrow{p}}_f={\overrightarrow{p}}_i$, tenemos
${\overrightarrow{F}}_{\text{ave}}\text{Δ}t=\text{Δ}\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_{\text{f}}-{\overrightarrow{p}}_{\text{i}}$
donde ${\overrightarrow{F}}_{\text{ave}}$ es la fuerza debida a la fricción.

El impulso es el cambio de momento multiplicado por el tiempo necesario para que se produzca el cambio. Por conservación del momento, los cambios de momento de la sonda y el momento son de la misma magnitud, pero en direcciones opuestas, y el tiempo de interacción para cada uno es también el mismo. Por consiguiente, el impulso que recibe cada uno es de la misma magnitud, pero en direcciones opuestas. Ya que actúan en direcciones opuestas, los impulsos no son los mismos. En cuanto al impulso, la fuerza sobre cada cuerpo actúa en direcciones opuestas, por lo que las fuerzas sobre cada uno no son iguales. Sin embargo, el cambio en la energía cinética difiere para cada uno, porque la colisión no es elástica.

Esta solución representa el caso en el que no se produce ninguna interacción: el primer disco no alcanza al segundo y continúa con una velocidad de 2,5 m/s hacia la izquierda. Este caso no ofrece ninguna perspectiva física significativa.

Si la fricción que actúa sobre el auto es cero, entonces seguirá deslizándose indefinidamente ($d\to \infty$), por lo que no podemos utilizar el teorema de trabajo-energía cinética como se hace en el ejemplo. Así, no pudimos resolver el problema a partir de la información proporcionada.

Si las velocidades iniciales no estuvieran en ángulo recto, habría que expresar una o ambas velocidades en forma de componentes. El análisis matemático del problema sería algo más complicado, pero el resultado físico no cambiaría.

El volumen de un tanque de buceo es de unos 11 L. Suponiendo que el aire es un gas ideal, el número de moléculas de gas en el tanque es
$\begin{array}{ccc}\hfill PV& =\hfill & NRT\hfill \\ \hfill N& =\hfill & \frac{PV}{RT}=\frac{\left(2.500\text{psi}\right)\left(\mathrm{0,011}{\text{m}}^3\right)}{\left(\mathrm{8,31}\text{J/mol}·\text{K}\right)\left(300\text{K}\right)}\left(\frac{\mathrm{6894,8}\text{Pa}}{1\text{psi}}\right)\hfill \\ & =\hfill & \mathrm{7,59}\times {10}^1\text{mol}\hfill \end{array}$
La masa molecular media del aire es de 29 g/mol, por lo que la masa de aire contenida en el tanque es de unos 2,2 kg. Esto es unas 10 veces menos que la masa del tanque, por lo que es seguro descartarlo. Además, la fuerza inicial de la presión del aire es aproximadamente proporcional a la superficie de cada pedazo, que a su vez es proporcional a la masa de cada pedazo (suponiendo un grosor uniforme). Así, la aceleración inicial de cada pedazo cambiaría muy poco si consideramos explícitamente el aire.

El radio medio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es $\mathrm{1,496}\times {10}^9\text{m}$. Tomando el Sol como origen, y al observar que la masa del Sol es aproximadamente la misma que las masas del Sol, la Tierra y la Luna combinadas, el centro de masa del sistema Tierra + Luna y el Sol es
$\begin{array}{cc}\hfill R_{\text{CM}}& =\frac{m_{\mathrm{Sol}}{R}_{\mathrm{Sol}}+m_{\text{em}}{R}_{\text{em}}}{m_{\mathrm{Sol}}}\hfill \\ & =\frac{\left(\mathrm{1,989}\times {10}^{30}\text{kg}\right)\left(0\right)+\left(\mathrm{5,97}\times {10}^{24}\text{kg}+\mathrm{7,36}\times {10}^{22}\text{kg}\right)\left(\mathrm{1,496}\times {10}^9\text{m}\right)}{\mathrm{1,989}\times {10}^{30}\text{kg}}\hfill \\ & =\mathrm{4,6}\text{km}\hfill \end{array}$
Así, el centro de masa del sistema Sol, Tierra, Luna está a 4,6 km del centro del Sol.

A escala macroscópica, el tamaño de una celda unitaria es despreciable y se puede considerar que la masa del cristal se distribuye homogéneamente por todo el cristal. Así,
${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}{\displaystyle \sum _{j=1}^N{m}_j{\overrightarrow{r}}_j}=\frac{1}{M}{\displaystyle \sum _{j=1}^{N}m}{\overrightarrow{r}}_j=\frac{m}{M}{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\overrightarrow{r}}_j}=\frac{Nm}{M}\frac{{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\overrightarrow{r}}_j}}{N}$
donde sumamos sobre el número N de celdas unitarias en el cristal y m es la masa de una celda unitaria. Como Nm = M, podemos escribir
${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}=\frac{m}{M}{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\overrightarrow{r}}_j}=\frac{Nm}{M}\frac{{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\overrightarrow{r}}_j}}{N}=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{j=1}^N{\overrightarrow{r}}_j}.$
Esta es la definición del centro geométrico del cristal, por lo que el centro de masa está en el mismo punto que el centro geométrico.

Las explosiones serían esencialmente esféricamente simétricas, porque la gravedad no actuaría para distorsionar las trayectorias de los proyectiles en expansión.

La notación $m_g$ representa la masa del combustible y m la masa del cohete más la masa inicial del combustible. Observe que $m_g$ cambia con el tiempo, por lo que la escribimos como $m_g\left(t\right)$. Utilizando $m_R$ como la masa del cohete sin combustible, la masa total del cohete más el combustible es $m=m_R+m_g\left(t\right)$. La diferenciación con respecto al tiempo da como resultado
$\frac{dm}{dt}=\frac{d{m}_R}{dt}+\frac{d{m}_g\left(t\right)}{dt}=\frac{d{m}_g\left(t\right)}{dt}$
donde utilizamos $\frac{d{m}_R}{dt}=0$ porque la masa del cohete no cambia. Así, la tasa de cambio de la masa del cohete es la misma que la del combustible.

Dado que $K=p^2\text{/}2m$, entonces, si el momento es fijo, el objeto con menor masa tiene más energía cinética.

Sí; el impulso es la fuerza aplicada multiplicada por el tiempo durante el cual se aplica ($J=F\text{Δ}t$), por lo que, si una fuerza pequeña actúa durante mucho tiempo, puede dar lugar a un impulso mayor que una fuerza grande que actúe durante poco tiempo.

Mediante la fricción, la carretera ejerce una fuerza horizontal sobre los neumáticos, lo que modifica el momento del auto.

El momento se conserva cuando la masa del sistema de interés permanece constante durante la interacción en cuestión y cuando ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema durante la interacción.

Para acelerar las moléculas de aire en la dirección del movimiento del auto, este deberá ejercer una fuerza sobre estas moléculas por la segunda ley de Newton $\overrightarrow{F}=d\overrightarrow{p}\text{/}dt$. Según la tercera ley de Newton, las moléculas de aire ejercen una fuerza de igual magnitud, aunque en sentido contrario sobre el auto. Esta fuerza actúa en la dirección opuesta al movimiento del auto y constituye la fuerza debida a la resistencia del aire.

No, no es un sistema cerrado porque una fuerza externa neta diferente de cero actúa sobre este en forma de bloques de partida que empujan sus pies.

Sí, toda la energía cinética puede perderse si las dos masas entran en reposo debido a la colisión (es decir, se pegan).

El ángulo entre las direcciones debe ser de 90°. Cualquier sistema que tenga una fuerza externa neta de cero en una dirección y una fuerza externa neta diferente de cero en una dirección perpendicular satisfará estas condiciones.

Sí, la rapidez del cohete puede superar la de los gases que expulsa. El empuje del cohete no depende de las velocidades relativas de los gases y del cohete, simplemente depende de la conservación del momento.

a. magnitud: $25\text{kg}·\text{m/s;}$ b. igual que a.

$\mathrm{1,78}\times {10}^{29}\text{kg}·\text{m/s}$

$\mathrm{1,3}\times {10}^9\text{kg}·\text{m/s}$

a. $\mathrm{1,50}\times {10}^6\text{N}$; b. $\mathrm{1,00}\times {10}^5\text{N}$

$\mathrm{4,69}\times {10}^5\text{N}$

$\mathrm{2,10}\times {10}^3\text{N}$

$\overrightarrow{p}(t)=\left(10\widehat{i}+20t\widehat{j}\right)\text{kg}·\text{m}\text{/}\text{s}$;$\overrightarrow{F}=\left(20\text{N}\right)\widehat{j}$

Supongamos que el eje de la x positiva está en la dirección del momento original. Entonces $p_x=\mathrm{1,5}\text{kg}·\text{m/s}$ y $p_y=\mathrm{7,5}\text{kg}·\text{m/s}$

$(\mathrm{0,122}\text{m/s})\widehat{i}$

a. 47 m/s en la dirección de la bala al bloque; b.$\mathrm{70,6}\text{N}·\text{s}$, hacia la bala; c. $\mathrm{70,6}\text{N}·\text{s}$, hacia el bloque; d. la magnitud es $\mathrm{2,35}\times {10}^4\text{N}$

2:5

5,9 m/s

a. 6,80 m/s, 5,33°; b. sí (calcule la relación entre las energías cinéticas inicial y final)

2,5 cm

la rapidez del auto de choque de adelante es de 6,00 m/s y la del auto de choque que lo sigue es de 5,60 m/s

6,6 %

1,8 m/s

22,1 m/s a $\mathrm{32,2}\text{°}$ por debajo de la horizontal

a. 33 m/s y 110 m/s; b. 57 m; c. 480 m

$\left(732\text{m/s}\right)\widehat{i}+\left(\mathrm{-79,6}\text{m/s}\right)\widehat{j}$

$\text{-}\left(\mathrm{0,21}\text{m/s}\right)\widehat{i}+\left(\mathrm{0,25}\text{m/s}\right)\widehat{j}$

341 m/s a 86,8° con respecto al eje $\widehat{i}$.

Con el origen definido en la posición de la masa de 150 g, $x_{\text{CM}}=\mathrm{-1,23}\text{cm}$ y $y_{\text{CM}}=\mathrm{0,69}\text{cm}$

$y_{\text{CM}}=\{\begin{array}{c}\hfill \frac{h}{2}-\frac{1}{4}g{t}^2,t<T\hfill \\ \hfill h-\frac{1}{2}g{t}^2-\frac{1}{4}g{T}^2+\frac{1}{2}gtT,t\ge T\hfill \end{array}$

a. $R_1=4\text{m}$, $R_2=2\text{m}$; b. $X_{\text{CM}}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2},Y_{\text{CM}}=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}$; c. sí, con $R=\frac{1}{m_1+m_2}\sqrt{16m_1^2+4m_2^2}$

$x_{cm}=\frac{3}{4}L\left(\frac{{\rho }_1+{\rho }_0}{{\rho }_1+2{\rho }_0}\right)$

$\left(\frac{2a}{3},\frac{2b}{3}\right)$

$(x_{\text{CM}},y_{\text{CM}},z_{\text{CM}})=(0.0,h\text{/}4)$

$(x_{\text{CM}},y_{\text{CM}},z_{\text{CM}})=(0,4R\text{/}(3\pi ),0)$

(a) 0,413 m/s, (b) aproximadamente 0,2 J

1.551 kg

4,9 km/s

El elefante tiene un mayor momento.

Las respuestas pueden variar. La primera cláusula es verdadera, pero la segunda cláusula no es verdadera en general porque la velocidad de un objeto con una masa pequeña puede ser lo suficientemente grande como para que el momento del objeto sea mayor que el de un objeto de mayor masa con una velocidad menor.

$\mathrm{4,5}\times {10}^3\text{N}$

$\overrightarrow{J}={\displaystyle {\int }_0^{\tau }\left[m\overrightarrow{g}-m\overrightarrow{g}\left(1-e^{\text{-}bt\text{/}m}\right)\right]dt}=\frac{m^2}{b}\overrightarrow{g}\left(e^{\text{-}b\tau \text{/}m}-1\right)$

a. $\text{-}\left(\mathrm{2,1}\times {10}^3\text{kg}·\text{m/s}\right)\widehat{i}$, b. $\text{-}\left(24\times {10}^3\text{N}\right)\widehat{i}$

a. $\left(\mathrm{1,1}\times {10}^3\text{kg}·\text{m/s}\right)\widehat{i}$, b. $\left(\mathrm{0,010}\text{kg}·\text{m/s}\right)\widehat{i}$, c. $\text{-}\left(\mathrm{0,00093}\text{m/s}\right)\widehat{i}$, d. $\text{-}\left(\mathrm{0,0012}\text{m/s}\right)\widehat{i}$

$\text{-}\left(\mathrm{7,2}\text{m/s}\right)\widehat{i}$

$v_{\text{1,f}}=v_{\text{1,i}}\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2},v_{\text{2,f}}=v_{\text{1,i}}\frac{2m_1}{m_1+m_2}$

2,8 m/s

0,094 m/s

la velocidad final de la bola blanca es $\text{-}\left(\mathrm{0,76}\text{m/s}\right)\widehat{i}$, la velocidad final de las otras dos bolas es de 2,6 m/s a ±30° con respecto a la velocidad inicial de la bola blanca

bola 1: $\text{-}\left(\mathrm{1,4}\text{m/s}\right)\widehat{i}-\left(\mathrm{0,4}\text{m/s}\right)\widehat{j}$, bola 2: $\left(\mathrm{2,2}\text{m/s}\right)\widehat{i}+\left(\mathrm{2,4}\text{m/s}\right)\widehat{j}$

bola 1: $\left(\mathrm{1,4}\text{m/s}\right)\widehat{i}-\left(\mathrm{1,7}\text{m/s}\right)\widehat{j}$, bola 2: $\text{-}\left(\mathrm{2,8}\text{m/s}\right)\widehat{i}+\left(\mathrm{0,012}\text{m/s}\right)\widehat{j}$

$\left(r,\theta \right)=\left(2R\text{/}3,\pi \text{/}8\right)$

Las respuestas pueden variar. Los gases que empujan sobre la superficie de la Tierra no impulsan el cohete, sino la conservación del momento. El momento del gas que se expulsa por la parte trasera del cohete deberá compensarse con un aumento del momento hacia delante del cohete.

a. $617\text{N}·\text{s}$, 108°; b. $F_x=\mathrm{2,91}\times {10}^4\text{N}$, $F_y=\mathrm{2,6}\times {10}^5\text{N}$; c. $F_x=5.850\text{N}$, $F_y=5.265\text{N}$

La conservación del momento exige $m_1{v}_{\text{1,i}}+m_2{v}_{\text{2,i}}=m_1{v}_{\text{1,f}}+m_2{v}_{\text{2,f}}$. Se nos da que $m_1=m_2$, $v_{\text{1,i}}=v_{\text{2,f}}$, y $v_{\text{2,i}}=v_{\text{1,f}}=0$. Al combinar estas ecuaciones con la ecuación dada por la conservación del momento se obtiene $v_{\text{1,i}}=v_{\text{1,i}}$, lo cual es cierto, por lo que se cumple la conservación del momento. La conservación de la energía exige $\frac{1}{2}{m}_1{v}_{\text{1,i}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{\text{2,i}}^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_{\text{1,f}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{\text{2,f}}^2$. De nuevo, al combinar esta ecuación con las condiciones dadas anteriormente, se obtiene $v_{\text{1,i}}=v_{\text{1,i}}$, por lo que se cumple la conservación de la energía.

Supongamos que el origen está en la línea central y en el suelo, entonces $\left(x_{\text{CM}},y_{\text{CM}}\right)=\left(0.86\text{cm}\right)$