Capítulo 16

La longitud de onda de las ondas depende de la frecuencia y la velocidad de la onda. La frecuencia de la onda sonora es igual a la frecuencia de la onda en la cuerda. Las longitudes de onda de las ondas sonoras y de las ondas de la cuerda son iguales solo si las velocidades de las ondas son las mismas, lo que no siempre ocurre. Si la velocidad de la onda sonora es diferente de la velocidad de la onda en la cuerda, las longitudes de onda son diferentes. Esta velocidad de las ondas sonoras se analizará en la sección Sonido.

En una onda transversal, la onda puede moverse a una velocidad de propagación constante a través del medio, pero el medio oscila perpendicularmente al movimiento de la onda. Si la onda se mueve en la dirección x positiva, el medio oscila hacia arriba y hacia abajo en la dirección y. Por tanto, la velocidad del medio no es constante, pero la velocidad y la aceleración del medio son similares a las del movimiento armónico simple de una masa sobre un resorte.

Sí, una función coseno es igual a una función seno con un deslizamiento de fase, y cualquiera de las dos funciones se puede usar en una función de onda. Cuál función es más conveniente usar depende de las condiciones iniciales. En la Figura 16.11, la onda tiene una altura inicial de $\text{y}(\mathrm{0,00},\mathrm{0,00})=0$ y luego la altura de la onda aumenta hasta la altura máxima en la cresta. Si la altura inicial en el tiempo inicial era igual a la amplitud de la onda $\text{y}(\mathrm{0,00},\mathrm{0,00})=\text{+}A,$ entonces podría ser más conveniente modelar la onda con una función coseno.

Esta onda, con amplitud $A=\mathrm{0,5}\text{m},$ longitud de onda $\lambda =\mathrm{10,00}\text{m},$ periodo $T=\mathrm{0,50}\text{s},$ es una solución de la ecuación de onda con una velocidad de la onda $v=\mathrm{20,00}\text{m/s}.$

Dado que la rapidez de una onda en una cuerda tensada es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión dividida entre la densidad lineal, la rapidez de onda aumentaría por $\sqrt{2}.$

A primera vista, la potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal en una cuerda puede parecer proporcional a la densidad lineal de la cuerda porque $P=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^{2}v;$ sin embargo, la velocidad de la onda depende de la densidad lineal. Al sustituir la rapidez de onda con $\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}$ se muestra que la potencia es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión y proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal de masa
$P=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^{2}v=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}=\frac{1}{2}{A}^2{\omega }^2\sqrt{\mu F_T}.$

Sí, las ecuaciones funcionarían igualmente bien para condiciones de frontera simétricas de un medio libre de oscilar en cada extremo donde hubiera un antinodo en cada extremo. A continuación se muestran los modos normales de los tres primeros modos. La línea punteada muestra la posición de equilibrio del medio.

Observe que el primer modo tiene dos cuartos, o sea, la mitad de una longitud de onda. El segundo modo es un cuarto de longitud de onda, seguido de la mitad de una longitud de onda, seguido de un cuarto de longitud de onda o una longitud de onda completa. El tercer modo es de una longitud de onda y media. El resultado es el mismo que el de la cuerda con un nodo en cada extremo. Las ecuaciones para condiciones de frontera fija funcionan igualmente bien para condiciones de frontera fijas y condiciones de frontera libres. Estos resultados se retomarán en el próximo capítulo cuando se hable de la onda sonora en un tubo abierto.

Una onda en una cuerda de guitarra es un ejemplo de onda transversal. La alteración de la cuerda se mueve perpendicularmente a la propagación de la onda. El sonido producido por la cuerda es una onda longitudinal en la que la alteración del aire se mueve en paralelo a la propagación de la onda.

La velocidad de propagación es la rapidez de la onda que se propaga a través del medio. Si la rapidez de onda es constante, la velocidad se puede calcular por $v=\frac{\lambda }{T}=\lambda f.$ La frecuencia es el número de ondas que pasan por un punto por unidad de tiempo. La longitud de onda es directamente proporcional a la rapidez de onda e inversamente proporcional a la frecuencia.

No, la distancia a la que mueva la mano hacia arriba y hacia abajo determinará la amplitud de la onda. La longitud de onda dependerá de la frecuencia con la que mueva la mano hacia arriba y hacia abajo y de la velocidad de la onda a través del resorte.

La luz del Sol y de las estrellas llega a la Tierra a través del espacio vacío, donde no hay ningún medio.

La longitud de onda es igual a la velocidad de la onda por la frecuencia, y el número de onda es igual a $k=\frac{2\pi }{\lambda },$ así que sí, el número de onda dependerá de la frecuencia y también de la velocidad de la onda que se propaga a través del resorte.

El medio presenta un movimiento armónico simple mientras la onda se propaga a través del medio, y cambia continuamente de velocidad, por lo que se acelera. La aceleración del medio se debe a su fuerza restauradora, la cual actúa en dirección opuesta al desplazamiento.

La rapidez de onda es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión, por lo que la velocidad se duplica.

Como la velocidad de una onda en una cuerda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal de masa, la velocidad sería mayor en la densidad lineal de masa baja de la cuerda.

La tensión en el cable se debe al peso del cable eléctrico.

La potencia promediada en el tiempo es $P=\frac{E_{\lambda }}{T}=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\frac{\lambda }{T}=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^{2}v.$ Si la frecuencia o la amplitud se reducen a la mitad, la potencia disminuye en un factor de 4.

Cuando una porción de la cuerda se mueve verticalmente, ejerce una fuerza sobre la porción vecina de la cuerda, realiza un trabajo sobre la porción y transfiere la energía.

La intensidad de una onda esférica es $I=\frac{P}{4\pi r^2},$ si no se disipa energía, la intensidad disminuirá en un factor de nueve a tres metros.

En la interfase, el pulso incidente produce un pulso reflejado y un pulso transmitido. El pulso reflejado estaría desfasado con respecto al pulso incidente, y se movería a la misma velocidad de propagación que el pulso incidente, pero lo haría en la dirección opuesta. El pulso transmitido se desplazaría en la misma dirección que el pulso incidente, pero a la mitad de velocidad. El pulso transmitido estaría en fase con el pulso incidente. Tanto el pulso reflejado como el transmitido tendrían amplitudes menores que la del pulso incidente.

Puede ser tan fácil como cambiar la longitud o la densidad una pequeña cantidad para que las piezas no resuenen a la frecuencia del motor.

La energía se suministra a la copa por el trabajo realizado por la fuerza del dedo sobre la copa. Cuando se suministra a la frecuencia adecuada, se forman ondas estacionarias. La copa resuena y las vibraciones producen sonido.

Para la ecuación $y\left(x,t\right)=\mathrm{4,00}\text{cm}\text{sen}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)\text{cos}\left(4{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right),$ hay un nodo porque cuando $x=\mathrm{0,00}\text{m}$, $\text{sen}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}\left(\mathrm{0,00}\text{m}\right)\right)=\mathrm{0,00},$ así que $y\left(\mathrm{0,00}\text{m},t\right)=\mathrm{0,00}\text{m}$ todo el tiempo. Para la ecuación $y\left(x,t\right)=\mathrm{4,00}\text{cm}\text{sen}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+\frac{\pi }{2}\right)\text{cos}\left(4{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right),$ hay un antinodo porque cuando $x=\mathrm{0,00}\text{m}$, $\text{sen}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}\left(\mathrm{0,00}\text{m}\right)+\frac{\pi }{2}\right)=+\mathrm{1,00}$, así que $y\left(\mathrm{0,00}\text{m},t\right)$ oscila entre +A y −A como el término del coseno oscila entre +1 y –1.

$2d=vt\Rightarrow d=\mathrm{11,25}\text{m}$

$\begin{array}{ccc}\hfill v& =\hfill & f\lambda ,\text{por lo que}f=\mathrm{0,125}\text{Hz, por lo que}\hfill \\ \hfill N& =\hfill & \mathrm{7,50}\text{veces}\hfill \end{array}$

$v=f\lambda \Rightarrow \lambda =\mathrm{0,400}\text{m}$

$v=f\lambda \Rightarrow f=\mathrm{2,50}\times {10}^9\text{Hz}$

a. Las ondas P superan a las ondas S en una velocidad de $v=\mathrm{3,20}\text{km/s;}$ por lo tanto, $\text{Δ}d=\mathrm{0,320}\text{km}.$ b. Dado que la incertidumbre en la distancia es inferior a un kilómetro, nuestra respuesta a la parte (a) no parece limitar la detección de las detonaciones de bombas nucleares. Sin embargo, si las velocidades son inciertas, la incertidumbre en la distancia aumentaría y podría dificultar la identificación de la fuente de las ondas sísmicas.

$\begin{array}{ccc}\hfill v& =\hfill & 1.900\text{m/s}\hfill \\ \hfill \text{Δ}t& =\hfill & \mathrm{1,05}\mu \text{s}\hfill \end{array}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{-0,037}\text{cm}$

a. $A=\mathrm{0,25}\text{m};$ b. $k=\mathrm{0,30}{\text{m}}^{\mathrm{-1}};$ c. $\omega =\mathrm{0,90}{\text{s}}^{\mathrm{-1}};$ d. $v=\mathrm{3,0}\text{m/s};$ e. $\varphi =\pi \text{/}3\text{rad};$ f. $\lambda =\mathrm{20,93}\text{m}$; g. $T=\mathrm{6,98}\text{s}$

$A=\mathrm{0,30}\text{m},\lambda =\mathrm{4,50}\text{m},v=\mathrm{18,00}\text{m/s},f=\mathrm{4,00}\text{Hz},T=\mathrm{0,25}\text{s}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{0,23}\text{m}\text{sen}\left(\mathrm{3,49}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x–\mathrm{0,63}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

Tienen la misma frecuencia angular, la misma frecuencia y el mismo periodo. Están desplazándose en direcciones opuestas y $y_2\left(x,t\right)$ tiene el doble de longitud de onda que $y_1\left(x,t\right)$ y se mueve a la mitad de la rapidez de onda.

Cada partícula del medio se desplaza una distancia de 4A en cada periodo. El periodo se puede calcular al dividir la velocidad entre la longitud de onda: $t=\mathrm{10,42}\text{s}$

a. $\mu =\mathrm{0,040}\text{kg/m;}$ b. $v=\mathrm{15,75}\text{m/s}$

$v=180\text{m/s}$

$v=\mathrm{547,723}\text{m/s},\text{Δ}t=\mathrm{5,48}\text{ms}$

0,707

$v_{1}t+v_{2}t=\mathrm{2,00}\text{m},t=\mathrm{1,69}\text{ms}$

$v=\mathrm{288,68}\text{m/s},\lambda =\mathrm{0,73}\text{m}$

a. $A=\mathrm{0,0125}\text{cm;}$ b. $F_T=\mathrm{0,96}\text{N}$

$v=\mathrm{74,54}\text{m/s,}$ $P_{\lambda }=\mathrm{91,85}\text{W}$

a. $I=\mathrm{20,0}{\text{W/m}}^2;$ b. $\begin{array}{}\\ \\ I=\frac{P}{A},A=\mathrm{10,0}{\text{m}}^2\hfill \\ A=4\pi r^2,r=\mathrm{0,892}\text{m}\hfill \end{array}$

$I=650{\text{W/m}}^2$

$\begin{array}{}\\ \\ P\propto E\propto I\propto X^2\Rightarrow \frac{P_2}{P_1}={\left(\frac{X_2}{X_1}\right)}^2\hfill \\ P_2=\mathrm{2,50}\text{kW}\hfill \end{array}$

$\begin{array}{}\\ \\ I\propto X^2\Rightarrow \frac{I_1}{I_2}={\left(\frac{X_1}{X_2}\right)}^2\Rightarrow \hfill \\ I_2=\mathrm{3,38}\times {10}^{\mathrm{-5}}{\text{W/m}}^2\hfill \end{array}$

$f=\mathrm{100,00}\text{Hz},A=\mathrm{1,10}\text{cm}$

a. $I_2=\mathrm{0,063}{I}_1$; b. $\begin{array}{}\\ \\ \hfill I_{1}4\pi r_1^2& =\hfill & I_{2}4\pi r_2^2\hfill \\ \hfill r_2& =\hfill & \mathrm{3,16}\text{m}\hfill \end{array}$

$2\pi r_1{A}_1^2=2\pi r_2{A}_2^2,A_1={\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^{1\text{/}2}{A}_1=\mathrm{0,17}\text{m}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{0,63}\text{m}$

$A_R=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),\varphi =\mathrm{1,17}\text{rad}$

$y_R=\mathrm{1,90}\text{cm}$

$\begin{array}{ccc}\hfill \omega & =\hfill & \mathrm{6,28}{\text{s}}^{\mathrm{-1}},k=\mathrm{3,00}{\text{m}}^{\mathrm{-1}},\varphi =\frac{\pi }{8}\text{rad,}\hfill \\ \hfill A_R& =\hfill & 2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),A=\mathrm{0,37}\text{m}\hfill \end{array}$

a.

;
b. $\lambda =\mathrm{2,0}\text{m},A=4\text{m}$; c. ${\lambda }_R=\mathrm{2,0}\text{m},A_R=\mathrm{6,93}\text{m}$

$y_R\left(x,t\right)=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(kx–\omega t+\frac{\varphi }{2}\right);$ El resultado no es sorprendente porque $\text{cos}\left(\theta \right)=\text{sen}\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right).$

$\begin{array}{}\\ \\ {\lambda }_n=\frac{\mathrm{2,00}}{n}L,f_n=\frac{v}{{\lambda }_n}\hfill \\ {\lambda }_1=\mathrm{4,00}\text{m},f_1=\mathrm{12,5}\text{Hz}\hfill \\ {\lambda }_2=\mathrm{2,00}\text{m},f_2=\mathrm{25,00}\text{Hz}\hfill \\ {\lambda }_3=\mathrm{1,33}\text{m},f_3=\mathrm{37,59}\text{Hz}\hfill \end{array}$

$\begin{array}{}\\ \\ v=\mathrm{158,11}\text{m/s,}\lambda =\mathrm{4,44}\text{m,}f=\mathrm{35,61}\text{Hz}\hfill \\ {\lambda }_s=\mathrm{9,63}\text{m}\hfill \end{array}$

$y\left(x,t\right)=\left[\mathrm{0,60}\text{cm}\text{sen}\left(3{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)\right]\text{cos}\left(4{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

$\begin{array}{}\\ \\ {\lambda }_{100}=\mathrm{0,06}\text{m}\hfill \\ \\ v=\mathrm{56,8}\text{m/s,}{f}_n=n{f}_1,n=1,2,3,4,5\text{...}\hfill \\ f_{100}=947\text{Hz}\hfill \end{array}$

$T=2\text{Δ}t,v=\frac{\lambda }{T},\lambda =\mathrm{2,12}\text{m}$

$\begin{array}{}\\ \\ {\lambda }_1=\mathrm{6,00}\text{m},{\lambda }_2=\mathrm{3,00}\text{m},{\lambda }_3=\mathrm{2,00}\text{m},{\lambda }_4=\mathrm{1,50}\text{m}\hfill \\ v=\mathrm{258,20}\text{m/s}=\lambda f\hfill \\ f_1=\mathrm{43,03}\text{Hz},f_2=\mathrm{86,07}\text{Hz},f_3=\mathrm{129,10}\text{Hz},f_4=\mathrm{172,13}\text{Hz}\hfill \end{array}$

$v=\mathrm{134,16}\text{ms},\lambda =\mathrm{1,4}\text{m},f=\mathrm{95,83}\text{Hz},T=\mathrm{0,0104}\text{s}$

$\lambda =\mathrm{0,10}\text{m}$

a. $f=\mathrm{4,74}\times {10}^{14}\text{Hz;}$ b. $\lambda =422\text{nm}$

$\lambda =\mathrm{16,00}\text{m},f=\mathrm{0,10}\text{Hz},T=\mathrm{10,00}\text{s},v=\mathrm{1,6}\text{m/s}$

$\lambda =\left(v_b+v\right)t_b,v=\mathrm{3,75}\text{m/s,}\lambda =\mathrm{3,00}\text{m}$

$\begin{array}{}\\ \\ \frac{{\partial }^2\left(y_1+y_2\right)}{\partial t^2}=\text{–}A{\omega }^2\text{sen}\left(kx–\omega t\right)–A{\omega }^2\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)\hfill \\ \frac{{\partial }^2\left(y_1+y_2\right)}{\partial x^2}=\text{–}A{k}^2\text{sen}\left(kx–\omega t\right)–A{k}^2\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)\hfill \\ \frac{{\partial }^{2}y\left(x,t\right)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}y\left(x,t\right)}{\partial t^2}\hfill \\ \\ –A{\omega }^2\text{sen}\left(kx–\omega t\right)–A{\omega }^2\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)=\left(\frac{1}{v^2}\right)\left(\text{–}A{k}^2\text{sen}\left(kx–\omega t\right)–A{k}^2\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)\right)\hfill \\ v=\frac{\omega }{k}\hfill \end{array}$

$y\left(x,t\right)=\mathrm{0,40}\text{m}\text{sen}\left(\mathrm{0,015}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+\mathrm{1,5}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

$v=\mathrm{223,61}\text{m/s},k=\mathrm{1,57}{\text{m}}^{\mathrm{-1}},\omega =\mathrm{142,43}{\text{s}}^{\mathrm{-1}}$

$\begin{array}{}\\ \\ P=\frac{1}{2}{A}^2{\left(2\pi f\right)}^2\sqrt{\mu F_T}\hfill \\ \mu =\mathrm{2,00}\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{kg/m}\hfill \end{array}$

$P=\frac{1}{2}\mu A^2{\omega }^2\frac{\lambda }{T},\mu =\mathrm{0,0018}\text{kg/m}$

a. $A_R=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right)=1,\varphi =0,2\pi ,4\pi \text{,...}$; b. $A_R=2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right),\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right)=0,\varphi =0,\pi ,3\pi ,5\pi \text{...}$

$y_R\left(x,t\right)=\mathrm{0,6}\text{m}\text{sen}\left(4{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x\right)\text{cos}\left(3{\text{s}}^{\mathrm{-1}}t\right)$

a. $\begin{array}{}\\ \\ \left(1\right)F_T–\mathrm{20,00}\text{kg}\left(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2\right)\text{cos}45\text{°}=0\hfill \\ \left(2\right)m\left(\mathrm{9,80}{\text{m/s}}^2\right)–F_T=0\hfill \\ m=\mathrm{14,14}\text{kg}\hfill \end{array}$; b. $\begin{array}{}\\ \\ \hfill F_T& =\hfill & \mathrm{138,57}\text{N}\hfill \\ \hfill v& =\hfill & \mathrm{74,45}\text{m/s}\hfill \end{array}$

$F_T=2\text{N,}v=\mathrm{6,73}\text{m/s}$

a. $\begin{array}{}\\ \\ f_n=\frac{nv}{2L},v=\frac{2L{f}_{n+1}}{n+1},\frac{n+1}{n}=\frac{2L{f}_{n+1}}{2L{f}_n},1+\frac{1}{n}=\mathrm{1,2},n=5\hfill \\ {\lambda }_n=\frac{2}{n}L,{\lambda }_5=\mathrm{1,6}\text{m},{\lambda }_6=\mathrm{1,33}\text{m}\hfill \end{array}$; b. $F_T=\mathrm{245,76}\text{N}$

a. Se mueve en la dirección x negativa con una velocidad de propagación de $v=\mathrm{2,00}\text{m/s}$. b. $\text{Δ}x=\mathrm{-6,00}\text{m;}$ c

$\begin{array}{}\\ \\ \text{sen}\left(kx–\omega t\right)=\text{sen}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)–\text{cos}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{sen}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \\ \text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)=\text{sen}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)+\text{cos}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{sen}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \\ \text{sen}\left(kx–\omega t\right)+\text{sen}\left(kx+\omega t+\varphi \right)=2\text{sen}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \\ y_R=2A\text{sen}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)\text{cos}\left(\omega t+\frac{\varphi }{2}\right)\hfill \end{array}$

$\begin{array}{}\\ \\ \text{sen}\left(kx+\frac{\varphi }{2}\right)=0,kx+\frac{\varphi }{2}=0,\pi ,2\pi ,\mathrm{1,26}{\text{m}}^{\mathrm{-1}}x+\frac{\pi }{20}=\pi ,2\pi ,3\pi \hfill \\ x=\mathrm{2,37}\text{m},\mathrm{4,86}\text{m},\mathrm{7,35}\text{m}\hfill \end{array}$;