Capítulo 10

a. $\mathrm{40,0}\text{rev}\text{/}\text{s}=2\pi (\mathrm{40,0})\text{rad}\text{/}\text{s}$, $\bar{\alpha }=\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}=\frac{2\pi (\mathrm{40,0})-0\text{rad/s}}{\mathrm{20,0}\text{s}}=2\pi (\mathrm{2,0})=\mathrm{4,0}\pi \text{rad/}{\text{s}}^2$; b. Dado que la velocidad angular aumenta linealmente, tiene que haber aceleración constante a lo largo del tiempo indicado. Por lo tanto, la aceleración angular instantánea en cualquier momento es la solución de $\mathrm{4,0}\pi \text{rad/}{\text{s}}^2$.

a. Utilizando la Ecuación 10.11, tenemos $7.000\text{rpm}=\frac{\mathrm{7000,0}(2\pi \text{rad})}{\mathrm{60,0}\text{s}}=\mathrm{733,0}\text{rad}\text{/}\text{s},$
$\alpha =\frac{\omega -{\omega }_0}{t}=\frac{\mathrm{733,0}\text{rad}\text{/}\text{s}}{\mathrm{10,0}\text{s}}=\mathrm{73,3}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$;
b. Utilizando la Ecuación 10.13, tenemos
${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \text{Δ}\theta \Rightarrow \text{Δ}\theta =\frac{{\omega }^2-{\omega }_0^2}{2\alpha }=\frac{0-{(\mathrm{733,0}\text{rad}\text{/}\text{s})}^2}{2(\mathrm{73,3}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2)}=\mathrm{3665,2}\text{rad}$

La aceleración angular es $\alpha =\frac{(\mathrm{5,0}-0)\text{rad}\text{/}\text{s}}{\mathrm{20,0}\text{s}}=\mathrm{0,25}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$. Por lo tanto, el ángulo total que atraviesa el niño es
$\text{Δ}\theta =\frac{{\omega }^2-{\omega }_0^2}{2\alpha }=\frac{{(\mathrm{5,0})}^2-0}{2(\mathrm{0,25})}=50\text{rad}$.
Así, calculamos
$s=r\theta =\mathrm{5,0}\text{m}(\mathrm{50,0}\text{rad})=\mathrm{250,0}\text{m}$.

La energía cinética rotacional inicial de la hélice es
$K_0=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}(\mathrm{800,0}{\text{kg-m}}^2)(\mathrm{4,0}\times 2\pi \text{rad}\text{/}{\text{s})}^2=\mathrm{2,53}\times {10}^5\text{J}$.
A los 5,0 s la nueva energía cinética rotacional de la hélice es
$K_{\text{f}}=\mathrm{2,03}\times {10}^5\text{J}$.
y la nueva velocidad angular es
$\omega =\sqrt{\frac{2(\mathrm{2,03}\times {10}^5\text{J})}{\mathrm{800,0}{\text{kg-m}}^2}}=\mathrm{22,53}\text{rad}\text{/}\text{s}$
que es de 3,58 rev/s.

$I_{\text{eje paralelo}}=I_{\text{centro de masa}}+m{d}^2=m{R}^2+m{R}^2=2m{R}^2$

El ángulo entre el brazo de palanca y el vector de fuerza es $80\text{°};$ por lo tanto, $r_{\perp }=100\text{m(sen80}\text{°})=\mathrm{98,5}\text{m}$.

El producto cruz $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$ da un torque negativo o en el sentido de las agujas del reloj.

El torque es entonces $\tau =\text{-}{r}_{\perp }F=\mathrm{-98,5}\text{m}(\mathrm{5,0}\times {10}^5\text{N})=\mathrm{-4,9}\times {10}^7\text{N}·\text{m}$.

a. La aceleración angular es $\alpha =\frac{\mathrm{20,0}(2\pi )\text{rad}\text{/}\text{s}-0}{\mathrm{10,0}\text{s}}=\mathrm{12,56}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$. Al resolver el torque, tenemos ${\displaystyle \sum _i{\tau }_i}=I\alpha =(\mathrm{30,0}\text{kg}·{\text{m}}^2)(\mathrm{12,56}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2)=\mathrm{376,80}\text{N}·\text{m}$; b. La aceleración angular es $\alpha =\frac{0-\mathrm{20,0}(2\pi )\text{rad}\text{/}\text{s}}{\mathrm{20,0}\text{s}}=\mathrm{-6,28}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$. Al resolver el torque, tenemos ${\displaystyle \sum _i{\tau }_i}=I\alpha =(\mathrm{30,0}{\text{kg-m}}^2)(\mathrm{-6,28}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2)=\mathrm{-188,50}\text{N}·\text{m}$

3 MW

El segundero rota en el sentido de las agujas del reloj, por lo que, según la regla de la mano derecha, el vector de velocidad angular es hacia la pared.

Tienen la misma velocidad angular. Los puntos más alejados del bate tienen mayor rapidez tangencial.

línea recta, lineal en la variable tiempo

constante

El vector de aceleración centrípeta es perpendicular al vector de velocidad.

a. ambas; b. aceleración centrípeta distinta de cero; c. ambas

La esfera hueca, dado que la masa se distribuye más lejos del eje de rotación.

a. Disminuye. b. Los brazos podrían calcularse aproximadamente como varillas y el disco como un disco. El torso está cerca del eje de rotación, por lo que no contribuye mucho al momento de inercia.

Porque el momento de inercia varía como el cuadrado de la distancia al eje de rotación. La masa de la varilla situada a distancias superiores a L/2 aportaría la mayor contribución para que su momento de inercia fuera mayor que la masa puntual en L/2.

magnitud de la fuerza, longitud del brazo de palanca y ángulo del brazo de palanca y del vector de fuerza

El momento de inercia de las ruedas se reduce, por lo que se necesita un torque menor para acelerarlas.

sí

$\left|\overrightarrow{r}\right|$ puede ser igual al brazo de palanca, pero nunca menor.

Si las fuerzas están a lo largo del eje de rotación, o si tienen el mismo brazo de palanca y se aplican en un punto de la varilla.

$\omega =\frac{2\pi \text{rad}}{\mathrm{45,0}\text{s}}=\mathrm{0,14}\text{rad/s}$

a. $\theta =\frac{s}{r}=\frac{\mathrm{3,0}\text{m}}{\mathrm{1,5}\text{m}}=\mathrm{2,0}\text{rad}$; b. $\omega =\frac{\mathrm{2,0}\text{rad}}{\mathrm{1,0}\text{s}}=\mathrm{2,0}\text{rad/s}$; c. $\frac{v^2}{r}=\frac{{(\mathrm{3,0}\text{m/s})}^2}{\mathrm{1,5}\text{m}}=\mathrm{6,0}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.$

La hélice solo necesita $\text{Δ}t=\frac{\text{Δ}\omega }{\alpha }=\frac{0\text{rad/s}-\mathrm{10,0}(2\pi )\text{rad/s}}{\mathrm{-2,0}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2}=\mathrm{31,4}\text{s}$ para llegar al reposo, cuando la hélice está a 0 rad/s, comenzaría a rotar en sentido contrario. Esto sería imposible debido a la magnitud de las fuerzas que intervienen para que la hélice se detenga y comience la rotación en sentido contrario.

a. $\omega =\mathrm{25,0}(\mathrm{2,0}\text{s})=\mathrm{50,0}\text{rad/s}$; b. $\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\mathrm{25,0}{\text{rad/s}}^2$

a. $\omega =\mathrm{54,8}\text{rad}\text{/}\text{s}$;
b. $t=\mathrm{11,0}\text{s}$

a. $\mathrm{0,87}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$;
b. $\theta =12.600\text{rad}$

a. $\omega =\mathrm{42,0}\text{rad}\text{/}\text{s}$;
b. $\theta =220\text{rad}$; c. $\begin{array}{}\\ \\ v_t=42\text{m}\text{/}\text{s}\hfill \\ a_t=\mathrm{4,0}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\hfill \end{array}$

a. $\omega =\mathrm{7,0}\text{rad}\text{/}\text{s}$;
b. $\theta =\mathrm{22,5}\text{rad}$; c. $a_{\text{t}}=\mathrm{0,1}\text{m}\text{/}\text{s}$

$\alpha =\mathrm{28,6}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$.

$r=\mathrm{0,78}\text{m}$

a. $\alpha =\mathrm{-0,314}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$,
b. $a_{\text{c}}=\mathrm{197,4}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$; c. $a=\sqrt{a_{\text{c}}^2+a_{\text{t}}^2}=\sqrt{{\mathrm{197,4}}^2+{(\mathrm{-6,28})}^2}=\mathrm{197,5}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$
$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{\mathrm{-6,28}}{\mathrm{197,4}}=\mathrm{-1,8}\text{°}$ en el sentido de las agujas del reloj a partir del vector de aceleración centrípeta.

$ma=\mathrm{40,0}\text{kg}(\mathrm{5,1}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2)=\mathrm{204,0}\text{N}$
La fuerza de fricción máxima es ${\mu }_{\text{S}}N=\mathrm{0,6}(\mathrm{40,0}\text{kg})(\mathrm{9,8}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2)=\mathrm{235,2}\text{N}$ por lo que el niño no se cae todavía.

$\begin{array}{ccc}\hfill v_{\text{t}}& =\hfill & r\omega =\mathrm{1,0}(\mathrm{2,0}t)\text{m/s}\hfill \\ \hfill a_{\text{c}}& =\hfill & \frac{v_t^2}{r}=\frac{{(\mathrm{2,0}t)}^2}{\mathrm{1,0}\text{m}}=\mathrm{4,0}{t}^2\text{m}\text{/}{\text{s}}^2\hfill \\ \hfill a_{\text{t}}(t)& =\hfill & r\alpha (t)=r\frac{d\omega }{dt}=\mathrm{1,0}\text{m}(\mathrm{2,0})=\mathrm{2,0}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.\hfill \end{array}$
Graficando ambas aceleraciones se obtiene

La aceleración tangencial es constante, mientras que la aceleración centrípeta depende del tiempo, y aumenta con el tiempo hasta valores mucho mayores que la aceleración tangencial después de t = 1s. Para tiempos inferiores a 0,7 s y próximos a cero, la aceleración centrípeta es mucho menor que la tangencial.

a. $K=\mathrm{2,56}\times {10}^{29}\text{J;}$
b. $K=\mathrm{2,68}\times {10}^{33}\text{J}$

$K=\mathrm{434,0}\text{J}$

a. $v_{\text{f}}=\mathrm{86,5}\text{m}\text{/}\text{s}$;
b. La tasa de rotación de la hélice se mantiene en 20 rev/s.

$K=\mathrm{3,95}\times {10}^{42}\text{J}$

a. $I=\mathrm{0,315}\text{kg}·{\text{m}}^2$;
b. $K=\mathrm{621,8}\text{J}$

$I=\frac{7}{36}m{L}^2$

$v=\mathrm{7,14}\text{m}\text{/}\text{s}.$

$\theta =\mathrm{10,2}\text{°}$

$F=30\text{N}$

a. $\mathrm{0,85}\text{m}\left(\mathrm{55,0}\text{N}\right)=46.75\text{N}·\text{m}$; b. No importa a qué altura se empuje.

$m_2=\frac{\mathrm{4,9}\text{N}·\text{m}}{\mathrm{9,8}(\mathrm{0,3}\text{m})}=\mathrm{1,67}\text{kg}$

${\tau }_{net}=\mathrm{-9,0}\text{N}·\text{m}+\mathrm{3,46}\text{N}·\text{m}+0-\mathrm{3,38}\text{N}·\text{m}=\mathrm{-8,92}\text{N}·\text{m}$

$\tau =\mathrm{5,66}\text{N}·\text{m}$

${\displaystyle \sum \tau =}\mathrm{57,82}\text{N}·\text{m}$

$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\mathrm{4,0}\widehat{i}+\mathrm{2,0}\widehat{j}-\mathrm{16,0}\widehat{k}\text{N}·\text{m}$

a. $\tau =(\mathrm{0,280}\text{m})(\mathrm{180,0}\text{N})=\mathrm{50,4}\text{N}·\text{m}$; b. $\alpha =\mathrm{17,14}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$;
c. $\alpha =\mathrm{17,04}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$

$\tau =\mathrm{8,0}\text{N}·\text{m}$

$\tau =\mathrm{-43,6}\text{N}·\text{m}$

a. $\alpha =\mathrm{1,4}\times {10}^{\mathrm{-10}}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$;
b. $\tau =\mathrm{1,36}\times {10}^{28}\text{N-m}$; c. $F=\mathrm{2,1}\times {10}^{21}\text{N}$

$a=\mathrm{3,6}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$

a. $a=r\alpha =\mathrm{14,7}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$; b. $a=\frac{L}{2}\alpha =\frac{3}{4}g$

$\tau =\frac{P}{\omega }=\frac{\mathrm{2,0}\times {10}^6\text{W}}{\mathrm{2,1}\text{rad}\text{/}\text{s}}=\mathrm{9,5}\times {10}^5\text{N}·\text{m}$

a. $K=\mathrm{888,50}\text{J}$;
b. $\text{Δ}\theta =\mathrm{294,6}\text{rev}$

a. $I=\mathrm{114,6}\text{kg}·{\text{m}}^2$;
b. $P=104.700\text{W}$

$v=L\omega =\sqrt{3Lg}$

a. $a=\mathrm{5,0}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2$; b. $W=\mathrm{1,25}\text{N}·\text{m}$

$\text{Δ}t=\mathrm{10,0}\text{s}$

a. $\mathrm{0,06}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$; b. $\theta =\mathrm{105,0}\text{rad}$

$s=\mathrm{405,26}\text{m}$

a. $I=\mathrm{0,363}\text{kg}·{\text{m}}^2$;
b. $I=\mathrm{2,34}\text{kg}·{\text{m}}^2$

$\omega =\sqrt{\frac{\mathrm{6,68}\text{J}}{\mathrm{4,4}{\text{kgm}}^2}}=\mathrm{1,23}\text{rad}\text{/}\text{s}$

$F=\mathrm{23,3}\text{N}$

$\alpha =\frac{\mathrm{190,0}\text{N-m}}{\mathrm{2,94}{\text{kg-m}}^2}=\mathrm{64,4}{\text{rad}\text{/}\text{s}}^2$

a. $\omega =\mathrm{2,0}t-\mathrm{1,5}{t}^2$; b. $\theta =t^2-\mathrm{0,5}{t}^3$; c. $\theta =\mathrm{-400,0}\text{rad}$; d. el vector está en $\mathrm{-0,66}(360\text{°})=\mathrm{-237,6}\text{°}$

$I=\frac{2}{5}m{R}^2$

a. $\omega =\mathrm{8,2}\text{rad}\text{/}\text{s}$; b. $\omega =\mathrm{8,0}\text{rad}\text{/}\text{s}$