William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Explicar físicamente qué es impulso.
Describir lo que hace un impulso.
Relacionar los impulsos con las colisiones.
Aplicar el teorema del momento-impulso para resolver problemas.

Hemos definido el momento como el producto de la masa y la velocidad. Por lo tanto, si la velocidad de un objeto cambia (debido a la aplicación de una fuerza sobre el objeto), entonces necesariamente, su momento también cambia. Esto indica una conexión entre el momento y la fuerza. El propósito de esta sección es explorar y describir esa conexión.

Supongamos que aplica una fuerza a un objeto libre durante cierto tiempo. Evidentemente, cuanto mayor sea la fuerza, mayor será el cambio de momento del objeto. Alternativamente, cuanto más tiempo se aplique esta fuerza, también será mayor el cambio de momento, como se representa en la Figura 9.5. Por lo tanto, la cantidad en la que cambia el movimiento del objeto es proporcional a la magnitud de la fuerza, y también al intervalo de tiempo en el que se aplica la fuerza.

Se muestran dos balones de fútbol. En una figura, una flecha roja, marcada como vector F, t sub 0 apunta hacia la derecha y una flecha azul, marcada como vector delta p, también apunta hacia la derecha. En la segunda figura, una flecha roja de la misma longitud que en la primera figura apunta hacia la derecha y está marcada como vector F, 2 t sub 0. Una flecha azul, dos veces más larga que la flecha azul de la primera figura, apunta hacia la derecha y está marcada como vector 2 delta p.

Figura 9.5 El cambio de momento de un objeto es proporcional a la duración de la fuerza aplicada. Si se ejerce una fuerza sobre el balón más bajo durante el doble de tiempo que sobre el balón de arriba, entonces el cambio en el momento del balón más bajo es el doble que el del balón de arriba.

Matemáticamente, si una cantidad es proporcional a dos (o más) cosas, entonces es proporcional al producto de esas cosas. El producto de una fuerza por un intervalo de tiempo (sobre el que actúa esa fuerza) se llama impulso, y recibe el símbolo $\vec{J} .$

Impulso

Supongamos que $\vec{F} (t)$ sea la fuerza aplicada a un objeto en un intervalo de tiempo diferencial dt (Figura 9.6). El impulso resultante sobre el objeto se define como

d \vec{J} \equiv \vec{F} (t) d t .

9.2

Dibujo de una raqueta golpeando una pelota de tenis. Cerca de la pelota se dibujan dos flechas que apuntan hacia la derecha. Una está marcada como vector F d t y la otra como vector d J.

Figura 9.6 La fuerza que aplicada la raqueta a una pelota de tenis durante un intervalo de tiempo genera un impulso que actúa sobre la pelota.

El impulso total en el intervalo $t_{f} - t_{i}$ es

\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d \vec{J} o \vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) d t .

9.3

La Ecuación 9.2 y la Ecuación 9.3 señalan conjuntamente que, cuando una fuerza se aplica durante un intervalo de tiempo infinitesimal dt, provoca un impulso infinitesimal $d \vec{J}$ , y el impulso total dado al objeto se define como la suma (integral) de todos estos impulsos infinitesimales.

Para calcular el impulso mediante la Ecuación 9.3, necesitamos conocer la función de la fuerza F(t), que a menudo no conocemos. Sin embargo, el resultado del cálculo es útil aquí: Recordemos que el valor medio de una función a lo largo de un intervalo se calcula mediante

f {(x)}_{ave} = \frac{1}{Δ x} \int_{x_{i}}^{x_{f}} f (x) d x

donde $Δ x = x_{f} - x_{i}$ . Aplicando esto a la función de fuerza dependiente del tiempo, obtenemos

{\vec{F}}_{ave} = \frac{1}{Δ t} \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) d t .

9.4

Por lo tanto, a partir de la Ecuación 9.3,

\vec{J} = {\vec{F}}_{ave} Δ t .

9.5

La idea es que puede calcular el impulso sobre el objeto, aunque no conozca los detalles de la fuerza en función del tiempo; solo necesita la fuerza media. De hecho, el proceso suele ser inverso: Se determina el impulso (por medición o cálculo) y luego se calcula la fuerza media que ha causado ese impulso.

Para calcular el impulso, se obtiene un resultado útil al escribir la fuerza en la Ecuación 9.3 como $\vec{F} (t) = m \vec{a} (t)$ :

\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) d t = m \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{a} (t) d t = m [\vec{v} (t_{f}) - {\vec{v}}_{i}] .

Para una fuerza constante ${\vec{F}}_{ave} = \vec{F} = m \vec{a}$ , esto se simplifica a

\vec{J} = m \vec{a} Δ t = m {\vec{v}}_{f} - m {\vec{v}}_{i} = m ({\vec{v}}_{f} - {\vec{v}}_{i}) .

Esto es,

\vec{J} = m Δ \vec{v} .

9.6

Observe que la forma integral, la Ecuación 9.3, se aplica también a las fuerzas constantes; en ese caso, dado que la fuerza es independiente del tiempo, sale de la integral, que puede entonces evaluarse trivialmente.

Ejemplo 9.1

El cráter del meteorito de Arizona

Hace aproximadamente 50.000 años, un meteorito de hierro y níquel de gran tamaño (radio de 25 m) colisionó con la Tierra a una rapidez estimada de

1,28 \times 10^{4} m/s

en lo que hoy es el desierto del norte de Arizona, en los Estados Unidos. El impacto produjo un cráter que todavía es visible hoy en día (Figura 9.7); tiene aproximadamente 1.200 m de diámetro (tres cuartos de milla), 170 m de profundidad y un borde que se eleva 45 m por encima de la llanura desértica circundante. Los meteoritos de hierro-níquel suelen tener una densidad de

ρ = 7.970 {kg/m}^{3}

. Utilice las consideraciones de impulso para estimar la fuerza media y la fuerza máxima que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto.

Foto del cráter del meteorito de Arizona. Los edificios cercanos al cráter son diminutos en comparación con este.

Figura 9.7 El cráter del meteorito de Arizona en Flagstaff, Arizona (a menudo denominado cráter Barringer en honor a la persona que sugirió por primera vez su origen y cuya familia es propietaria del terreno) (créditos: modificación de la obra de "Shane.torgerson"/Wikimedia Commons).

Estrategia

Es conceptualmente más fácil invertir la pregunta y calcular la fuerza que la Tierra aplicó al meteorito para detenerlo. Por lo tanto, calcularemos la fuerza sobre el meteorito y luego usaremos la tercera ley de Newton para argumentar que la fuerza del meteorito sobre la Tierra fue igual en magnitud y opuesta en dirección.

Utilizando los datos dados sobre el meteorito, y haciendo conjeturas razonables sobre la forma del meteorito y el tiempo de impacto, calculamos primero el impulso utilizando la Ecuación 9.6. A continuación, utilizamos la relación entre la fuerza y el impulso en la Ecuación 9.5 para estimar la fuerza media durante el impacto. Luego, elegimos una función razonable de fuerza para el evento de impacto, calculamos el valor medio de esa función con la Ecuación 9.4 y establecemos la expresión resultante igual a la fuerza media calculada. Esto nos permite resolver la fuerza máxima.

Solución

Defina hacia arriba como la dirección de la +y. Para simplificar, supongamos que el meteorito se desplaza verticalmente hacia abajo antes del impacto. En ese caso, su velocidad inicial es

{\vec{v}}_{i} = - v_{i} \hat{j}

, y la fuerza que la Tierra ejerce sobre el meteorito apunta hacia arriba,

\vec{F} (t) = + F (t) \hat{j}

. La situación en

t = 0

se muestra a continuación. Se muestra un sistema de coordenadas x y. La región bajo el eje de la x está sombreada y marcada como Tierra. Se muestra un meteorito en el origen. La flecha hacia arriba en el origen está marcada como vector F (t). La flecha hacia abajo en el origen está marcada como vector p sub 0 igual a m por vector v sub 0.

Se muestra un sistema de coordenadas x y. La región bajo el eje de la x está sombreada y marcada como Tierra. Se muestra un meteorito en el origen. La flecha hacia arriba en el origen está marcada como vector F (t). La flecha hacia abajo en el origen está marcada como vector p sub 0 igual a m por vector v sub 0.

La fuerza media durante el impacto se relaciona con el impulso mediante

{\vec{F}}_{ave} = \frac{\vec{J}}{Δ t} .

A partir de la Ecuación 9.6, $\vec{J} = m Δ \vec{v}$ , por lo que tenemos

{\vec{F}}_{ave} = \frac{m Δ \vec{v}}{Δ t} .

La masa es igual al producto de la densidad del meteorito por su volumen:

m = ρ V .

Si suponemos (conjeturamos) que el meteorito era aproximadamente esférico, tenemos

V = \frac{4}{3} π R^{3} .

Así, obtenemos

{\vec{F}}_{ave} = \frac{ρ V Δ \vec{v}}{Δ t} = \frac{ρ (\frac{4}{3} π R^{3}) ({\vec{v}}_{f} - {\vec{v}}_{i})}{Δ t} .

El problema establece que la velocidad en el impacto fue $−1,28 \times 10^{4} m/s \hat{j}$ (la velocidad final es cero); además, suponemos que el impacto primario duró aproximadamente $t_{máx} = 2 s$ . Sustituyendo estos valores obtenemos

\begin{matrix} {\vec{F}}_{ave} & = \frac{(7.970 \frac{kg}{m^{3}}) [\frac{4}{3} π {(25 m)}^{3}] [0 \frac{m}{s} - (−1,28 \times 10^{4} \frac{m}{s} \hat{j})]}{2 s} \\ = + (3,33 \times 10^{12} N) \hat{j} \end{matrix} .

Es la fuerza media aplicada durante la colisión. Observe que este vector de fuerza apunta en la misma dirección que el cambio del vector velocidad $Δ \vec{v}$ .

A continuación, calculamos la fuerza máxima. El impulso se relaciona con la función de fuerza mediante

\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{máx}} \vec{F} (t) d t .

Tenemos que hacer una elección razonable de la fuerza en función del tiempo. Definimos $t = 0$ como el momento en que el meteorito toca el suelo por primera vez. Entonces suponemos que la fuerza es máxima en el impacto y cae rápidamente a cero. La función que hace esto es

F (t) = F_{máx} e^{- t^{2} / (2 τ^{2})} .

(El parámetro $τ$ representa la rapidez con que la fuerza disminuye hasta llegar a cero). La fuerza media es

F_{ave} = \frac{1}{Δ t} \int_{0}^{t_{máx}} F_{máx} e^{- t^{2} / (2 τ^{2})} d t

donde $Δ t = t_{máx} - 0 s$ . Como ya tenemos un valor numérico para $F_{ave}$ , podemos utilizar el resultado de la integral para obtener $F_{máx}$ .

Eligiendo $τ = \frac{1}{e} t_{máx}$ (esta es una opción común, como se verá en capítulos posteriores), y conjeturando que $t_{máx} = 2 s$ , esta integral se evalúa como

F_{avg} = 0,458 F_{máx} .

Así, la fuerza máxima tiene una magnitud de

\begin{matrix} 0,458 F_{máx} & = & 3,33 \times 10^{12} N \\ F_{máx} & = & 7,27 \times 10^{12} N \end{matrix} .

La función completa de fuerza, incluida la dirección, es

\vec{F} (t) = (7,27 \times 10^{12} N) e^{- t^{2} / (8 s^{2})} \hat{j} .

Esta es la fuerza que la Tierra aplicó al meteorito; por la tercera ley de Newton, la fuerza que el meteorito aplicó a la Tierra es

\vec{F} (t) = - (7,27 \times 10^{12} N) e^{- t^{2} / (8 s^{2})} \hat{j}

que es la respuesta a la pregunta original.

Importancia

El gráfico de esta función contiene información importante. Grafiquemos (la magnitud de) esta función y la fuerza media juntas (Figura 9.8).

Gráfico de la fuerza y la fuerza media en función del tiempo del impacto del meteorito. El eje horizontal es el tiempo en segundos y va de 0 a 2 segundos. El eje vertical es la fuerza en Newtons y va de 0 a 8 por 10 a la 12. En t=0, la fuerza comienza menor a 8 por 10 a la 12 y disminuye hasta casi 0 en t=2. La fuerza media es constante, aproximadamente 3,5 por 10 a la 12. Las áreas bajo cada una de las curvas están sombreadas y se nos indica que son iguales.

Figura 9.8 Gráfico de la fuerza media (en rojo) y de la fuerza como función del tiempo (en azul) del impacto del meteorito. Las áreas bajo las curvas son iguales entre sí, y son numéricamente iguales al impulso aplicado.

Observe que se ha rellenado el área bajo cada gráfico. Para el gráfico de la fuerza (constante) $F_{ave}$ , el área es un rectángulo, correspondiente a $F_{ave} Δ t = J$ . En cuanto al gráfico de F(t), recordemos del cálculo que el área bajo el gráfico de una función es numéricamente igual a la integral de esa función, sobre el intervalo especificado; así que aquí, esto es $\int_{0}^{t_{máx}} F (t) d t = J$ . Así, las áreas son iguales, y ambas representan el impulso que el meteorito aplicó a la Tierra durante el impacto de dos segundos. La fuerza media sobre la Tierra parece una fuerza enorme, y lo es. Sin embargo, la Tierra apenas lo notó. La aceleración que obtuvo la Tierra fue solo

\vec{a} = \frac{- {\vec{F}}_{ave}}{M_{Tierra}} = \frac{- (3,33 \times 10^{12} N) \hat{j}}{5,97 \times 10^{24} kg} = - (5,6 \times 10^{−13} \frac{m}{s^{2}}) \hat{j}

que es completamente inconmensurable. Eso sí, el impacto creó ondas sísmicas que hoy en día podrían detectar los modernos equipos de vigilancia.

Ejemplo 9.2

Los beneficios del impulso

Un auto que viaja a 27 m/s colisiona con un edificio. La colisión con el edificio hace que el auto se detenga en aproximadamente 1 segundo. El conductor, que pesa 860 N, está protegido por una combinación de cinturón de seguridad de tensión variable y una bolsa de aire (Figura 9.9). (En efecto, el conductor colisiona con el cinturón de seguridad y la bolsa de aire y no con el edificio). La bolsa de aire y el cinturón de seguridad disminuyen su velocidad, de manera que se detiene en aproximadamente 2,5 s.

¿Qué fuerza media experimenta el conductor durante la colisión?
Sin el cinturón de seguridad y la bolsa de aire, el tiempo de colisión (con el volante) habría sido de aproximadamente 0,20 s. ¿Qué fuerza experimentaría en este caso?

Antes de la colisión, un auto se desplaza a una velocidad v sub I igual a 27 metros por segundo hacia la derecha. Después de la colisión, el auto tiene una velocidad v sub f = 0 y el pasajero siente una fuerza menos F hacia la izquierda.

Figura 9.9 El movimiento del auto y de su conductor en el instante anterior y en el instante posterior a la colisión con el muro. El conductor sujetado experimenta una gran fuerza hacia atrás por el cinturón de seguridad y la bolsa de aire, lo que hace que su velocidad disminuya hasta cero. (La fuerza hacia delante del respaldo del asiento es mucho menor que la fuerza hacia atrás, por lo que la ignoramos en la solución).