8.4 Diagramas de energía potencial y estabilidad

A menudo, se puede obtener una buena cantidad de información útil sobre el comportamiento dinámico de un sistema mecánico simplemente mediante la interpretación de un gráfico de su energía potencial como función de la posición, denominado diagrama de energía potencial. Esto es más fácil de lograr para un sistema unidimensional, cuya energía potencial se puede trazar en un gráfico bidimensional, por ejemplo, U(x) frente a x, en una hoja de papel o en un programa de computadora. Para los sistemas cuyo movimiento es en más de una dimensión, es necesario estudiar el movimiento en el espacio tridimensional. Simplificaremos nuestro procedimiento para el movimiento unidimensional solamente.

En primer lugar, veamos un objeto que cae libremente en vertical, cerca de la superficie de la Tierra, en ausencia de resistencia del aire. La energía mecánica del objeto se conserva, $E=K+U,$ y la energía potencial, con respecto a cero a nivel del suelo, es $U\left(y\right)=mgy,$ que es una línea recta que pasa por el origen con pendiente $mg$. En el gráfico mostrado en la Figura 8.10, el eje de la x es la altura sobre el suelo y y el eje de la y es la energía del objeto.

Figura 8.10 Gráfico de la energía potencial de un objeto en caída libre vertical, en la que se indican diversas cantidades.

La línea en la energía E representa la energía mecánica constante del objeto, mientras que las energías cinética y potencial, $K_A$ y $U_A,$ se indican a una altura determinada $y_A.$ Puede ver cómo la energía total se divide entre energía cinética y potencial a medida que cambia la altura del objeto. Dado que la energía cinética nunca puede ser negativa, existe una energía potencial máxima y una altura máxima que un objeto con la energía total dada no puede superar:

Si utilizamos el punto de referencia de la energía potencial gravitacional de cero en $y_0,$ podemos reescribir la energía potencial gravitacional U como mgy. Resolviendo para y se obtiene

Observamos en esta expresión que la cantidad de energía total, dividida entre el peso (mg), se sitúa en la altura máxima de la partícula, o $y_{\text{máx}}.$ En la altura máxima, la energía cinética y la rapidez son cero, por lo que si el objeto se desplazara inicialmente hacia arriba, su velocidad pasaría por cero allí, mientras que $y_{\text{máx}}$ sería un punto de inflexión en el movimiento. A nivel del suelo, $y_0=0$, la energía potencial es cero, y la energía cinética y la rapidez son máximas:

La rapidez máxima $\text{±}{v}_0$ da la velocidad inicial necesaria para alcanzar $y_{\text{máx}},$ la altura máxima, y $\text{-}{v}_0$ representa la velocidad final, después de caer de $y_{\text{máx}}.$ Puede leer toda esta información, y más, en el diagrama de energía potencial que hemos mostrado.

Considere un sistema masa-resorte sobre una superficie horizontal sin fricción, estacionaria, de modo que la gravedad y la fuerza normal de contacto no realizan ningún trabajo y pueden pasarse por alto (Figura 8.11). Es como un sistema unidimensional, cuya energía mecánica E es una constante y cuya energía potencial, con respecto a la energía cero en el desplazamiento cero de la longitud no estirada del resorte, $x=0,\text{es}U\left(x\right)=\frac{1}{2}k{x}^2$.

Figura 8.11 (a) Un planeador entre resortes en una pista de aire es un ejemplo de un sistema masa-resorte horizontal. (b) El diagrama de energía potencial para este sistema, donde se indican diversas cantidades.

En este caso se puede leer el mismo tipo de información a partir del diagrama de energía potencial que en el caso del cuerpo en caída libre vertical. Sin embargo, ya que la energía potencial del resorte describe una fuerza variable, se puede aprender más de este gráfico. En cuanto al objeto en caída libre vertical, se puede deducir el rango de movimiento físicamente admisible y los valores máximos de distancia y rapidez, a partir de los límites de la energía cinética, $0\le K\le E.$ Por lo tanto, $K=0$ y $U=E$ en un punto de inflexión, de los cuales hay dos para la energía potencial del resorte elástico,

El movimiento del planeador se limita a la región entre los puntos de inflexión, $\text{-}{x}_{\text{máx}}\le x\le x_{\text{máx}}.$ Esto es así con cualquier valor (positivo) de E porque la energía potencial es ilimitada con respecto a x. Por esta razón, así como por la forma de la curva de energía potencial, U(x) se denomina pozo de potencial infinito. En el fondo del pozo de potencial, $x=0,U=0$ y la energía cinética es máxima, $K=E,\text{entonces}{v}_{\text{máx}}=\text{±}\sqrt{2E\text{/}m}.$

Sin embargo, a partir de la pendiente de esta curva de energía potencial, también se puede deducir información sobre la fuerza sobre el planeador y su aceleración. Hemos visto antes que el negativo de la pendiente de la energía potencial es la fuerza del resorte, que en este caso es también la fuerza neta, y por lo tanto es proporcional a la aceleración. Cuando $x=0$, la pendiente, la fuerza y la aceleración son todas cero, por lo que se trata de un punto de equilibrio. El negativo de la pendiente, a ambos lados del punto de equilibrio, da una fuerza que apunta hacia el punto de equilibrio, $F=\text{±}kx,$ por lo que el equilibrio se denomina estable y la fuerza se denomina restauradora. Esto implica que U(x) tiene allí un mínimo relativo. Si la fuerza a ambos lados de un punto de equilibrio tiene una dirección opuesta a la del cambio de posición, el equilibrio se denomina inestable, y esto implica que U(x) tiene un máximo relativo en ese punto.

Ejemplo 8.10

Diagrama de energía potencial cuártica y cuadrática

La energía potencial para una partícula que experimenta un movimiento unidimensional a lo largo del eje de la x es $U\left(x\right)=2\left(x^4-x^2\right),$ donde U está en julios y x está en metros. La partícula no está sometida a ninguna fuerza no conservativa y su energía mecánica es constante en $E=\mathrm{-0,25}\text{J}$. (a) ¿Está el movimiento de la partícula confinado en algunas regiones del eje de la x, y si es así, cuáles son? (b) ¿Existen puntos de equilibrio, y si es así, dónde están y son estables o inestables?

Estrategia

En primer lugar, tenemos que graficar la energía potencial como función de la x. La función es cero en el origen, se vuelve negativa a medida que la x aumenta en las direcciones positivas o negativas ($x^2$ es mayor que $x^4$ para $x<1$), y luego se convierte en positiva a un tamaño suficientemente grande $\left|x\right|$. Su gráfico debería parecerse a un pozo de potencial doble, con los ceros determinados al resolver la ecuación $U\left(x\right)=0$, y los extremos se determinan al examinar las derivadas primera y segunda de U(x), como se muestra en la Figura 8.12.

Figura 8.12 El gráfico de energía potencial para una energía potencial unidimensional, cuártica y cuadrática, se muestra con diversas cantidades.

Puede calcular los valores de (a) las regiones permitidas a lo largo del eje de la x, para el valor dado de la energía mecánica, a partir de la condición de que la energía cinética no puede ser negativa, y (b) los puntos de equilibrio y su estabilidad a partir de las propiedades de la fuerza (estable para un mínimo relativo e inestable para un máximo relativo de energía potencial).

Para obtener respuestas cualitativas a las preguntas de este ejemplo, basta con echar un vistazo al gráfico. Al fin y al cabo, ese es el valor de los diagramas de energía potencial. Puede ver que hay dos regiones permitidas para el movimiento $\left(E>U\right)$ y tres puntos de equilibrio (pendiente $dU\text{/}dx=0),$ de los cuales el central es inestable $\left(d^{2}U\text{/}d{x}^2<0\right),$ y los otros dos son estables $\left(d^{2}U\text{/}d{x}^2>0\right).$

Solución

1. Para hallar las regiones permitidas para la x, utilizamos la condición
   $$K=E-U=-\frac{1}{4}-2\left(x^4-x^2\right)\ge 0.$$
   Si completamos el cuadrado en $x^2$, esta condición se simplifica a $2{\left(x^2-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{1}{4},$ que podemos resolver para obtener
   $$\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{8}}\le x^2\le \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}.$$
   Esto representa dos regiones permitidas, $x_p\le x\le x_R$ y $\text{-}{x}_R\le x\le -x_p,$ donde $x_p=\mathrm{0,38}$ y $x_R=\mathrm{0,92}$ (en metros).
2. Para hallar los puntos de equilibrio, resolvemos la ecuación
   $$dU\text{/}dx=8x^3-4x=0$$
   y calculamos $x=0$ y $x=\text{±}{x}_Q$, donde $x_Q=1\text{/}\sqrt{2}=\mathrm{0,707}$ (metros). La segunda derivada
   $$d^{2}U\text{/}d{x}^2=24x^2-4$$
   es negativa en $x=0$, por lo que esa posición es un máximo relativo y el equilibrio allí es inestable. La segunda derivada es positiva en $x=\text{±}{x}_Q$, por lo que estas posiciones son mínimos relativos y representan equilibrios estables.

Importancia

La partícula en este ejemplo puede oscilar en la región permitida alrededor de cualquiera de los dos puntos de equilibrio estables que encontramos, pero no tiene suficiente energía para escapar de cualquier pozo de potencial en el que se encuentre inicialmente. La conservación de la energía mecánica y las relaciones entre la energía cinética y la velocidad, y la energía potencial y la fuerza, permiten deducir mucha información sobre el comportamiento cualitativo del movimiento de una partícula, así como alguna información cuantitativa, a partir de un gráfico de su energía potencial.

Antes de terminar esta sección, practiquemos la aplicación del método basado en la energía potencial de una partícula para hallar su posición como función del tiempo, en el sistema unidimensional masa-resorte considerado anteriormente en esta sección.