4.5 Movimiento relativo en una y dos dimensiones

Marcos de referencia

Para abordar el movimiento relativo en una o más dimensiones, primero introducimos el concepto de marcos de referenciaa. Cuando decimos que un objeto tiene una determinada velocidad, debemos afirmar que tiene una velocidad con respecto a un determinado marco de referencia. En la mayoría de los ejemplos que hemos examinado hasta ahora, este marco de referencia ha sido la Tierra. Si dice que una persona está sentada en un tren que se mueve a 10 m/s hacia el este, entonces implica que la persona en el tren se desplaza con respecto a la superficie de la Tierra a esta velocidad, y la Tierra es el marco de referencia. Podemos ampliar nuestra visión del movimiento de la persona en el tren y afirmar que la Tierra está girando en su órbita alrededor del Sol, en cuyo caso el movimiento se complica. En este caso, el sistema solar es el marco de referencia. En resumen, todo debate sobre el movimiento relativo deberá definir los marcos de referencia involucrados. Ahora desarrollamos un método para referirse a los marcos de referencia en movimiento relativo.

Movimiento relativo en una dimensión

Primero introducimos el movimiento relativo en una dimensión, porque los vectores de velocidad se simplifican al tener solo dos direcciones posibles. Tomemos el ejemplo de la persona sentada en un tren que avanza hacia el este. Si elegimos el este como dirección positiva y la Tierra como marco de referencia, entonces podemos escribir la velocidad del tren con respecto a la Tierra como ${\overrightarrow{v}}_{\text{TE}}=10\text{m}\text{/}\text{s}\widehat{i}$ al este, donde los subíndices TE se refieren al tren y la Tierra. Digamos ahora que la persona se levanta de su asiento y camina hacia la parte trasera del tren a 2 m/s. Esto nos dice que tiene una velocidad relativa al marco de referencia del tren. Como la persona camina hacia el oeste, en dirección negativa, escribimos su velocidad con respecto al tren como ${\overrightarrow{v}}_{\text{PT}}=\mathrm{-2}\text{m}\text{/}\text{s}\widehat{i}\text{.}$ Podemos sumar los dos vectores de velocidad para encontrar la velocidad de la persona con respecto a la Tierra. Esta velocidad relativa se escribe como

Observe el orden de los subíndices de los distintos marcos de referencia en la Ecuación 4.33. Los subíndices para el marco de referencia de acoplamiento, que es el tren, aparecen consecutivamente en el lado derecho de la ecuación. La Figura 4.24 muestra el orden correcto de los subíndices al formar la ecuación vectorial.

Figura 4.24 Al construir la ecuación vectorial, los subíndices del marco de referencia de acoplamiento aparecen consecutivamente en el interior. Los subíndices del lado izquierdo de la ecuación son los mismos que los dos subíndices exteriores del lado derecho de la ecuación.

Sumando los vectores, encontramos ${\overrightarrow{v}}_{\text{PE}}=8\text{m}\text{/}\text{s}\widehat{i}\text{,}$ por lo que la persona se mueve 8 m/s al este con respecto a la Tierra. Gráficamente, esto se muestra en la Figura 4.25.

Figura 4.25 Vectores de velocidad del tren con respecto a la Tierra, de la persona con respecto al tren y de la persona con respecto a la Tierra.

Velocidad relativa en dos dimensiones

Ahora podemos aplicar estos conceptos para describir el movimiento en dos dimensiones. Consideremos una partícula P y los marcos de referencia S y $S^{\prime },$ como se muestra en la Figura 4.26. La posición del origen de $S^{\prime }$ medida en S es ${\overrightarrow{r}}_{S^{\prime }S},$ la posición de P medida en $S^{\prime }$ es ${\overrightarrow{r}}_{P{S}^{\prime }},$ y la posición de P medida en S es ${\overrightarrow{r}}_{PS}.$

Figura 4.26 Las posiciones de la partícula P con respecto a los marcos S y $S^{\prime }$ son ${\overrightarrow{r}}_{PS}$ y ${\overrightarrow{r}}_{P{S}^{\prime }},$ respectivamente.

En la Figura 4.26 vemos que

Las velocidades relativas son las derivadas del tiempo de los vectores de posición. Por lo tanto,

La velocidad de una partícula con respecto a S es igual a su velocidad con respecto a $S^{\prime }$ más la velocidad de $S^{\prime }$ en relación con S.

Podemos ampliar la Ecuación 4.35 a cualquier número de marcos de referencia. Para la partícula P con velocidades ${\overrightarrow{v}}_{PA},{\overrightarrow{v}}_{PB}\text{,}\text{y}{\overrightarrow{v}}_{PC}$ en los marcos A, B y C,

También podemos ver cómo se relacionan las aceleraciones observadas en dos marcos de referencia al diferenciar la Ecuación 4.35:

Vemos que si la velocidad de $S^{\prime }$ con respecto a S es una constante, entonces ${\overrightarrow{a}}_{S^{\prime }S}=0$ y

Esto manifiesta que la aceleración de una partícula es la misma medida por dos observadores que se mueven a una velocidad constante uno respecto del otro.

Ejemplo 4.13

Movimiento de un auto con respecto a un camión

Un camión viaja hacia el sur a una rapidez de 70 km/h hacia una intersección. Un auto viaja hacia el este en dirección a la intersección a una rapidez de 80 km/h (Figura 4.27). ¿Cuál es la velocidad del auto con respecto al camión?

Figura 4.27 Un auto viaja hacia el este en dirección a una intersección, mientras que un camión viaja hacia el sur en dirección a la misma intersección.

Estrategia

En primer lugar, debemos establecer el marco de referencia común a ambos vehículos, que es la Tierra. A continuación, escribimos las velocidades de cada uno con respecto al marco de referencia de la Tierra, lo que nos permite formar una ecuación vectorial que relaciona el auto, el camión y la Tierra para resolver la velocidad del auto con respecto al camión.

Solución

La velocidad del auto con respecto a la Tierra es ${\overrightarrow{v}}_{\text{CE}}=80\text{km}\text{/}\text{h}\widehat{i}.$ La velocidad del camión con respecto a la Tierra es ${\overrightarrow{v}}_{\text{TE}}=-70\text{km}\text{/}\text{h}\widehat{j}\text{.}$ Utilizando la regla de adición de velocidades, la ecuación de movimiento relativo que buscamos es

$${\overrightarrow{v}}_{\text{CT}}={\overrightarrow{v}}_{\text{CE}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{ET}}.$$

Aquí, ${\overrightarrow{v}}_{\text{CT}}$ es la velocidad del auto con respecto al camión, y la Tierra es el marco de referencia de conexión. Como tenemos la velocidad del camión con respecto a la Tierra, el negativo de este vector es la velocidad de la Tierra con respecto al camión: ${\overrightarrow{v}}_{\text{ET}}=\text{-}{\overrightarrow{v}}_{\text{TE}}.$ El diagrama vectorial de esta ecuación se muestra en la Figura 4.28.

Figura 4.28 Diagrama vectorial de la ecuación vectorial ${\overrightarrow{v}}_{\text{CT}}={\overrightarrow{v}}_{\text{CE}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{ET}}$.

Ahora podemos resolver la velocidad del auto con respecto al camión:

$$\left|{\overrightarrow{v}}_{\text{CT}}\right|=\sqrt{(\mathrm{80,0}\text{km}\text{/}{\text{h})}^2+(\mathrm{70,0}\text{km}\text{/}{\text{h})}^2}=106.\text{km}\text{/}\text{h}$$

y

$$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\mathrm{70,0}}{\mathrm{80,0}}\right)=\mathrm{41,2}\text{°}\text{al norte del este.}$$

Importancia

Dibujar un diagrama vectorial que muestre los vectores de velocidad permitiría entender la velocidad relativa de los dos objetos.

Ejemplo 4.14

Volar un avión con viento

Un piloto debe volar su avión hacia el norte para llegar a su destino. El avión puede volar a 300 km/h en aire en calma. Un viento sopla del noreste a 90 km/h. (a) ¿Cuál es la rapidez del avión con respecto al suelo? (b) ¿En qué dirección debe dirigir su avión el piloto para volar hacia el norte?

Estrategia

El piloto debe apuntar su avión algo al este del norte para compensar la velocidad del viento. Necesitamos construir una ecuación vectorial que contenga la velocidad del avión con respecto al suelo, la velocidad del avión con respecto al aire y la velocidad del aire con respecto al suelo. Ya que se conocen estas dos últimas cantidades, podemos resolver la velocidad del avión con respecto al suelo. Podemos representar gráficamente los vectores y utilizar este diagrama para evaluar la magnitud de la velocidad del avión con respecto al suelo. El diagrama también nos dirá el ángulo que forma la velocidad del avión con el norte con respecto al aire, que es la dirección en la que el piloto debe dirigir su avión.

Solución

La ecuación vectorial es ${\overrightarrow{v}}_{\text{PG}}={\overrightarrow{v}}_{\text{PA}}+{\overrightarrow{v}}_{\text{AG}},$ donde P = avión, A = aire y G = suelo. A partir de la geometría en la Figura 4.29, podemos resolver fácilmente la magnitud de la velocidad del avión con respecto al suelo y el ángulo del rumbo del avión, $\theta .$

Figura 4.29 Diagrama vectorial para la Ecuación 4.34 que muestra los vectores ${\overrightarrow{v}}_{\text{PA}}\text{,}{\overrightarrow{v}}_{\text{AG}},\text{y}{\overrightarrow{v}}_{\text{PG}}.$

(a) Cantidades conocidas:

$$\left|{\overrightarrow{v}}_{\text{PA}}\right|=300\text{km}\text{/}\text{h}$$

$$\left|{\overrightarrow{v}}_{\text{AG}}\right|=90\text{km}\text{/}\text{h}$$

Al sustituir los valores en la ecuación del movimiento, obtenemos $\left|{\overrightarrow{v}}_{\text{PG}}\right|=230\text{km}\text{/}\text{h}\text{.}$

(b) El ángulo $\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{\mathrm{63,64}}{300}=12\text{°}$ al este del norte.