2.2 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector

Los vectores suelen describirse en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas. Incluso en la vida cotidiana invocamos de forma natural el concepto de proyecciones ortogonales en un sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, si pregunta a alguien cómo llegar a un lugar determinado, es más probable que le digan que vaya 40 km al este y 30 km al norte que 50 km en la dirección $37\text{°}$ al norte del este.

En un sistema de coordenadas xy rectangular (cartesiano) en un plano, un punto en un plano se describe por un par de coordenadas (la x, la y). De forma similar, un vector $\overrightarrow{A}$ en un plano se describe mediante un par de sus coordenadas vectoriales. La coordenada x del vector $\overrightarrow{A}$ se llama su componente x y la coordenada y del vector $\overrightarrow{A}$ se llama su componente y. El componente x del vector es un vector denotado por ${\overrightarrow{A}}_x$. El componente y del vector es un vector denotado por ${\overrightarrow{A}}_y$. En el sistema cartesiano, los componentes vectoriales x y y de un vector son las proyecciones ortogonales de este vector sobre los ejes de la x y la y, respectivamente. De este modo, siguiendo la regla del paralelogramo para la suma de vectores, cada vector en un plano cartesiano puede expresarse como la suma vectorial de sus componentes vectoriales:

Como se ilustra en la Figura 2.16, el vector $\overrightarrow{A}$ es la diagonal del rectángulo donde el componente x ${\overrightarrow{A}}_x$ es el lado paralelo al eje de la x y el componente y ${\overrightarrow{A}}_y$ es el lado paralelo al eje de la y. El componente vectorial ${\overrightarrow{A}}_x$ es ortogonal al componente vectorial ${\overrightarrow{A}}_y$.

Figura 2.16 Vector $\overrightarrow{A}$ en un plano en el sistema de coordenadas cartesianas es la suma vectorial de sus componentes vectoriales x y y. El componente vectorial x ${\overrightarrow{A}}_x$ es la proyección ortogonal del vector $\overrightarrow{A}$ en el eje de la x. El componente vectorial y ${\overrightarrow{A}}_y$ es la proyección ortogonal del vector $\overrightarrow{A}$ en el eje de la y. Las cifras $A_x$ y $A_y$ que multiplican los vectores unitarios son los componentes escalares del vector.

Es habitual denotar la dirección positiva en el eje de la x por el vector unitario $\widehat{i}$ y la dirección positiva en el eje de la y por el vector unitario $\widehat{j}$. Los vectores unitarios de los ejes, $\widehat{i}$ y $\widehat{j}$, definen dos direcciones ortogonales en el plano. Como se muestra en la Figura 2.16, los componentes x y y de un vector pueden escribirse ahora en términos de los vectores unitarios de los ejes:

Los vectores ${\overrightarrow{A}}_x$ y ${\overrightarrow{A}}_y$ definidos por la Ecuación 2.11 son los componentes vectoriales del vector $\overrightarrow{A}$. Las cifras $A_x$ y $A_y$ que definen los componentes vectoriales en la Ecuación 2.11 son los componentes escalares del vector $\overrightarrow{A}$. Combinando la Ecuación 2.10 con la Ecuación 2.11, obtenemos la forma en componentes de un vector:

Si conocemos las coordenadas $b(x_b,y_b)$ del punto de origen de un vector (donde b significa "comienzo") y las coordenadas $e(x_e,y_e)$ del punto final de un vector (donde e significa "final"), podemos obtener los componentes escalares de un vector simplemente al restar las coordenadas del punto de origen de las coordenadas del punto final:

Ejemplo 2.3

Desplazamiento de un puntero de ratón

Un puntero de ratón en el monitor de una computadora en su posición inicial está en el punto (6,0 cm, 1,6 cm) con respecto a la esquina inferior izquierda. Si mueve el puntero a un icono situado en el punto (2,0 cm, 4,5 cm), ¿cuál es el vector de desplazamiento del puntero?

Estrategia

El origen del sistema de coordenadas xy es la esquina inferior izquierda del monitor de la computadora. Por lo tanto, el vector unitario $\widehat{i}$ en el eje de la x apunta horizontalmente a la derecha y el vector unitario $\widehat{j}$ en el eje de la y apunta verticalmente hacia arriba. El origen del vector de desplazamiento está situado en el punto b (6,0, 1,6) y el final del vector de desplazamiento está situado en el punto e (2,0, 4,5). Sustituya las coordenadas de estos puntos en la Ecuación 2.13 para encontrar los componentes escalares $D_x$ y $D_y$ del vector de desplazamiento $\overrightarrow{D}$. Por último, sustituya las coordenadas en la Ecuación 2.12 para escribir el vector de desplazamiento en forma de componente vectorial.

Solución

Identificamos $x_b=\mathrm{6,0}$, $x_e=\mathrm{2,0}$, $y_b=\mathrm{1,6}$ y $y_e=\mathrm{4,5}$, donde la unidad física es 1 cm. Los componentes escalares x y y del vector de desplazamiento son

$$\begin{array}{cc}\hfill D_x& =x_e-x_b=(\mathrm{2,0}-\mathrm{6,0})\text{cm}=\mathrm{-4,0}\text{cm},\hfill \\ \hfill D_y& =y_e-y_b=(\mathrm{4,5}-\mathrm{1,6})\text{cm}=+\mathrm{2,9}\text{cm}.\hfill \end{array}$$

La forma de componente vectorial del vector de desplazamiento es

$$\overrightarrow{D}=D_x\widehat{i}+D_y\widehat{j}=(\mathrm{-4,0}\text{cm})\widehat{i}+(\mathrm{2,9}\text{cm})\widehat{j}=(\mathrm{-4,0}\widehat{i}+\mathrm{2,9}\widehat{j})\text{cm}.$$

2.14

Esta solución se muestra en la Figura 2.17.

Figura 2.17 El gráfico del vector de desplazamiento. El vector apunta desde el punto de origen en b hasta el punto final en e.

Importancia

Observe que la unidad física (aquí, 1 cm) puede colocarse con cada componente inmediatamente antes del vector unitario o globalmente para ambos componentes, como en la Ecuación 2.14. A menudo, esta última forma es más conveniente porque es más sencilla.

El componente x del vector ${\overrightarrow{D}}_x=\mathrm{-4,0}\widehat{i}=\mathrm{4,0}(\text{−}\widehat{i})$ del vector de desplazamiento tiene la magnitud $\left|{\overrightarrow{D}}_x\right|=|-\mathrm{4,0}|\left|\widehat{i}\right|=\mathrm{4,0}$ porque la magnitud del vector unitario es $\left|\widehat{i}\right|=1$. Observe también que la dirección del componente x es $\text{−}\widehat{i}$, que es antiparalela a la dirección del eje de la x +; por lo tanto, el componente x del vector ${\overrightarrow{D}}_x$ apunta a la izquierda, como se muestra en la Figura 2.17. El componente escalar x del vector $\overrightarrow{D}$ es $D_x=\mathrm{-4,0}$.

Del mismo modo, el componente y del vector ${\overrightarrow{D}}_y=+\mathrm{2,9}\widehat{j}$ del vector de desplazamiento tiene una magnitud $\left|{\overrightarrow{D}}_y\right|=\left|\mathrm{2,9}\right|\left|\widehat{j}\right|=\mathrm{2,9}$ porque la magnitud del vector unitario es $\left|\widehat{j}\right|=1$. La dirección del componente y es $+\widehat{j}$, que es paralela a la dirección del eje de la +y. Por lo tanto, el componente y del vector ${\overrightarrow{D}}_y$ apunta hacia arriba, como se ve en la Figura 2.17. El componente escalar y del vector $\overrightarrow{D}$ es $D_y=+\mathrm{2,9}$. El vector de desplazamiento $\overrightarrow{D}$ es la resultante de sus dos componentes vectoriales.

La forma de componente vectorial del vector de desplazamiento en la Ecuación 2.14 nos indica que el puntero del ratón se ha movido en el monitor 4,0 cm hacia la izquierda y 2,9 cm hacia arriba desde su posición inicial.

Cuando conocemos las componentes escalares $A_x$ y $A_y$ de un vector $\overrightarrow{A}$, podemos encontrar su magnitud A y su ángulo direccional ${\theta }_A$. El ángulo direccional, o dirección para abreviar, es el ángulo que forma el vector con la dirección positiva en el eje de la x. El ángulo ${\theta }_A$ se mide en la dirección contraria a las agujas del reloj desde el eje de la x + hasta el vector (Figura 2.18). Como las longitudes A, $A_x$ y $A_y$ forman un triángulo rectángulo, están relacionadas por el teorema de Pitágoras:

Esta ecuación funciona incluso si los componentes escalares de un vector son negativos. El ángulo direccional ${\theta }_A$ de un vector se define a través de la función tangente del ángulo ${\theta }_A$ en el triángulo mostrado en la Figura 2.18:

Figura 2.18 Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante, donde el componente $A_x$es positivo (Figura 2.19), el ángulo direccional ${\theta }_A$ en la (Ecuación 2.16) es idéntico al ángulo $\theta$.

Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante o en el cuarto cuadrante, donde el componente $A_x$ es positivo (Figura 2.19), el ángulo $\theta$ en la Ecuación 2.16 es idéntico al ángulo direccional ${\theta }_A$. Para los vectores del cuarto cuadrante, el ángulo $\theta$ es negativo, lo que significa que para estos vectores, el ángulo direccional ${\theta }_A$ se mide en el sentido de las agujas del reloj desde el eje de la x positiva. Del mismo modo, para los vectores del segundo cuadrante, el ángulo $\theta$ es negativo. Cuando el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, donde el componente $A_x$ es negativo, el ángulo direccional es ${\theta }_A=\theta +180\text{°}$ (Figura 2.19).

Figura 2.19 Los componentes escalares de un vector pueden ser positivos o negativos. Los vectores del primer cuadrante (I) tienen ambos componentes escalares positivos y los vectores del tercer cuadrante tienen ambos componentes escalares negativos. Para los vectores de los cuadrantes II y III, el ángulo direccional de un vector es ${\theta }_A=\theta +180\text{°}$.

En muchas aplicaciones, se conocen las magnitudes y direcciones de las cantidades vectoriales y necesitamos encontrar la resultante de muchos vectores. Por ejemplo, imagine que 400 autos circulan por el puente Golden Gate de San Francisco con un fuerte viento. Cada auto da al puente un empuje diferente en varias direcciones y nos gustaría saber cuán grande puede ser el empuje resultante. Ya hemos adquirido cierta experiencia con la construcción geométrica de sumas vectoriales. En tal sentido, sabemos que la tarea de hallar la resultante al dibujar los vectores y medir sus longitudes y ángulos puede ser intratable con bastante rapidez, lo que ocasiona grandes errores. Preocupaciones como estas no surgen cuando utilizamos métodos analíticos. El primer paso en un enfoque analítico es encontrar los componentes vectoriales cuando se conocen su dirección y la magnitud.

Volvamos al triángulo rectángulo en la Figura 2.18. El cociente del lado adyacente $A_x$ a la hipotenusa A es la función coseno (cos) del ángulo direccional ${\theta }_A$, $A_x\text{/}A=\text{cos}{\theta }_A$, y el cociente del lado opuesto $A_y$ a la hipotenusa A es la función seno (sen) de ${\theta }_A$, $A_y\text{/}A=\text{sen}{\theta }_A$. Cuando la magnitud A y la dirección ${\theta }_A$ son conocidas, podemos resolver estas relaciones para los componentes escalares:

Al calcular los componentes del vector con la Ecuación 2.17, hay que tener cuidado con el ángulo. El ángulo direccional ${\theta }_A$ de un vector es el ángulo medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección positiva del eje de la x hasta el vector. La medición en el sentido de las agujas del reloj da un ángulo negativo.

Coordenadas polares

Para describir ubicaciones de puntos o vectores en un plano, necesitamos dos direcciones ortogonales. En el sistema de coordenadas cartesianas estas direcciones vienen dadas por vectores unitarios $\widehat{i}$ y $\widehat{j}$ a lo largo del eje de la x y del eje de la y, respectivamente. El sistema de coordenadas cartesianas es muy conveniente para describir los desplazamientos y las velocidades de los objetos y las fuerzas que actúan sobre ellos. Sin embargo, es engorroso cuando necesitamos describir la rotación de los objetos. Al describir la rotación, solemos trabajar en el sistema de coordenadas polares.

En el sistema de coordenadas polares, la ubicación del punto P en un plano viene dada por dos coordenadas polares (Figura 2.20). La primera coordenada polar es la coordenada radial r, que es la distancia del punto P al origen. La segunda coordenada polar es un ángulo $\phi$ que el vector radial hace con alguna dirección elegida, normalmente la dirección de la x positiva. En coordenadas polares, los ángulos se miden en radianes, o rads. El vector radial se fija en el origen y apunta lejos del origen hacia el punto P. Esta dirección radial se describe por un vector radial unitario $\widehat{r}$. El segundo vector unitario $\widehat{t}$ es un vector ortogonal a la dirección radial $\widehat{r}$. La dirección positiva $+\widehat{t}$ indica cómo el ángulo $\phi$ cambia en dirección contraria a las agujas del reloj. De este modo, un punto P que tiene coordenadas (x, y) en el sistema rectangular puede describirse por equivalencia en el sistema de coordenadas polares mediante las dos coordenadas polares $(r,\phi )$. La Ecuación 2.17 es válida para cualquier vector, por lo que podemos utilizarla para expresar las coordenadas de la x y la y del vector $\overrightarrow{r}$. De este modo, obtenemos la conexión entre las coordenadas polares y las coordenadas rectangulares del punto P:

$$\{\begin{array}{c}x=r\text{cos}\phi \\ y=r\text{sen}\phi \end{array}.$$

2.18

Figura 2.20 Utilizando coordenadas polares, el vector unitario $\widehat{r}$ define la dirección positiva a lo largo del radio r (dirección radial) y, ortogonal a él, el vector unitario $\widehat{t}$ define la dirección positiva de la rotación por el ángulo $\phi$.

Ejemplo 2.6

Coordenadas polares

Un buscador de tesoros encuentra una moneda de plata en un lugar situado a 20,0 m de un pozo seco en la dirección $20\text{°}$ al norte del este y encuentra una moneda de oro en un lugar a 10,0 m del pozo en la dirección $20\text{°}$ al norte del oeste. ¿Cuáles son las coordenadas polares y rectangulares de estos hallazgos con respecto al pozo?

Estrategia

El pozo marca el origen del sistema de coordenadas y el este es la dirección de la x +. Identificamos las distancias radiales de los lugares al origen, que son $r_S=\mathrm{20,0}\text{m}$ (para la moneda de plata) y $r_G=\mathrm{10,0}\text{m}$ (para la moneda de oro). Para encontrar las coordenadas angulares, convertimos $20\text{°}$ a radianes: $20\text{°}=\pi 20\text{/}180=\pi \text{/}9$. Utilizamos la Ecuación 2.18 para encontrar las coordenadas de la x y la y de las monedas.

Solución

La coordenada angular de la moneda de plata es ${\phi }_S=\pi \text{/}9$, mientras que la coordenada angular de la moneda de oro es ${\phi }_G=\pi -\pi \text{/}9=8\pi \text{/}9$. Por lo tanto, las coordenadas polares de la moneda de plata son $(r_S,{\phi }_S)=(\mathrm{20,0}\text{m},\pi \text{/}9)$ y las de la moneda de oro son $(r_G,{\phi }_G)=(\mathrm{10,0}\text{m},8\pi \text{/}9)$. Sustituimos estas coordenadas en la Ecuación 2.18 para obtener coordenadas rectangulares. Para la moneda de oro, las coordenadas son

$$\{\begin{array}{l}{x}_G=r_G\text{cos}{\phi }_G=(\mathrm{10,0}\text{m})\text{cos}8\pi \text{/}9=\mathrm{-9,4}\text{m}\\ y_G=r_G\text{sen}{\phi }_G=(\mathrm{10,0}\text{m})\text{sen}8\pi \text{/}9=\mathrm{3,4}\text{m}\end{array}\Rightarrow (x_G,y_G)=(\mathrm{-9,4}\text{m},\mathrm{3,4}\text{m}).$$

Para la moneda de plata, las coordenadas son

$$\{\begin{array}{l}{x}_S=r_S\text{cos}{\phi }_S=(\mathrm{20,0}\text{m})\text{cos}\pi \text{/}9=\mathrm{18,9}\text{m}\\ y_S=r_S\text{sen}{\phi }_S=(\mathrm{20,0}\text{m})\text{sen}\pi \text{/}9=\mathrm{6,8}\text{m}\end{array}\Rightarrow (x_S,y_S)=(\mathrm{18,9}\text{m},\mathrm{6,8}\text{m}).$$

Vectores en tres dimensiones

Para especificar la ubicación de un punto en el espacio, necesitamos tres coordenadas (x, y, z), donde las coordenadas de la x y de la y especifican ubicaciones en un plano, y la coordenada de la z da una posición vertical por encima o por debajo del plano. El espacio tridimensional tiene tres direcciones ortogonales, por lo que no necesitamos dos, sino tres vectores unitarios para definir un sistema de coordenadas tridimensional. En el sistema de coordenadas cartesianas, los dos primeros vectores unitarios son el vector unitario del eje de la x $\widehat{i}$ y el vector unitario del eje de la y $\widehat{j}$. El tercer vector unitario $\widehat{k}$ es la dirección del eje z (Figura 2.21). El orden en que se marcan los ejes, que es el orden en que aparecen los tres vectores unitarios, es importante porque define la orientación del sistema de coordenadas. El orden x-y-z, que equivale al orden $\widehat{i}$ - $\widehat{j}$ - $\widehat{k}$, define el sistema de coordenadas estándar de la mano derecha (orientación positiva).

Figura 2.21 Tres vectores unitarios definen un sistema cartesiano en el espacio tridimensional. El orden en que aparecen estos vectores unitarios define la orientación del sistema de coordenadas. El orden mostrado aquí define la orientación de la mano derecha.

En el espacio tridimensional, el vector $\overrightarrow{A}$ tiene tres componentes vectoriales: el componente x ${\overrightarrow{A}}_x=A_x\widehat{i}$, que es la parte del vector $\overrightarrow{A}$ a lo largo del eje de la x, el componente y ${\overrightarrow{A}}_y=A_y\widehat{j}$, que es la parte de $\overrightarrow{A}$ a lo largo del eje de la y, y el componente z ${\overrightarrow{A}}_z=A_z\widehat{k}$, que es la parte del vector a lo largo del eje z. Un vector en un espacio tridimensional es la suma vectorial de sus tres componentes vectoriales (Figura 2.22):

$$\overrightarrow{A}=A_x\widehat{i}+A_y\widehat{j}+A_z\widehat{k}.$$

2.19

Si conocemos las coordenadas de su origen $b(x_b,y_b,z_b)$ y de su fin $e(x_e,y_e,z_e)$, sus componentes escalares se obtienen al tomar sus diferencias: $A_x$ y $A_y$ vienen dados por la Ecuación 2.13 y el componente z viene dado por

$$A_z=z_e-z_b.$$

2.20

La magnitud A se obtiene al generalizar la Ecuación 2.15 a tres dimensiones:

$$A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.$$

2.21

Esta expresión para la magnitud del vector proviene de aplicar el teorema de Pitágoras dos veces. Como se ve en la Figura 2.22, la diagonal en el plano xy tiene una longitud $\sqrt{A_x^2+A_y^2}$ y su potencia al cuadrado se suma al cuadrado $A_z^2$ para dar $A^2$. Observe que, cuando el componente z es cero, el vector se encuentra completamente en el plano xy y su descripción se reduce a dos dimensiones.

Figura 2.22 Un vector en un espacio tridimensional es la suma vectorial de sus tres componentes vectoriales.

Ejemplo 2.7

Despegue de un dron

Durante un despegue del IAI Heron (Figura 2.23), su posición con respecto a una torre de control es de 100 m sobre el suelo, 300 m al este y 200 m al norte. Un minuto después, su posición es de 250 m sobre el suelo, 1200 m al este y 2100 m al norte. ¿Cuál es el vector de desplazamiento del dron con respecto a la torre de control? ¿Cuál es la magnitud de su vector de desplazamiento?

Figura 2.23 El dron IAI Heron en vuelo (créditos: sargento de Estado Mayor [Staff Sargeant, SSgt] Reynaldo Ramon, Fuerzas Aéreas de los EE. UU. [U.S. Air Force, USAF]).

Estrategia

Tomamos el origen del sistema de coordenadas cartesianas como la torre de control. La dirección del eje de la x + viene dada por el vector unitario $\widehat{i}$ al este, la dirección del eje de la y + viene dada por el vector unitario $\widehat{j}$ al norte, y la dirección del eje de la z + viene dada por el vector unitario $\widehat{k}$, que apunta hacia arriba desde el suelo. La primera posición del dron es el origen (o, equivalentemente, el comienzo) del vector de desplazamiento y su segunda posición es el final del vector de desplazamiento.

Solución

Identificamos b(300,0 m, 200,0 m, 100,0 m) y e(1200 m, 2100 m, 250 m), y utilizamos la Ecuación 2.13 y la Ecuación 2.20 para encontrar las componentes escalares del vector de desplazamiento del dron:

$$\{\begin{array}{l}{D}_x=x_e-x_b=\mathrm{1200,0}\text{m}-\mathrm{300,0}\text{m}=\mathrm{900,0}\text{m},\\ D_y=y_e-y_b=\mathrm{2100,0}\text{m}-\mathrm{200,0}\text{m}=\mathrm{1.900,0}\text{m,}\\ D_z=z_e-z_b=\mathrm{250,0}\text{m}-\mathrm{100,0}\text{m}=\mathrm{150,0}\text{m}.\end{array}$$

Sustituimos estos componentes en la Ecuación 2.19 para encontrar el vector de desplazamiento:

$$\overrightarrow{D}=D_x\widehat{i}+D_y\widehat{j}+D_z\widehat{k}=\mathrm{900,0}\text{m}\widehat{i}+\mathrm{1.900,0}\text{m}\widehat{j}+\mathrm{150,0}\text{m}\widehat{k}=(\mathrm{0,90}\widehat{i}+\mathrm{1,90}\widehat{j}+\mathrm{0,15}\widehat{k})\text{km}.$$

Sustituimos en la Ecuación 2.21 para encontrar la magnitud del desplazamiento:

$$D=\sqrt{D_x^2+D_y^2+D_z^2}=\sqrt{{(\mathrm{0,90}\text{km})}^2+{(\mathrm{1,90}\text{km})}^2+{(\mathrm{0,15}\text{km})}^2}=\mathrm{2,11}\text{km}.$$

Compruebe Lo Aprendido 2.7

Si el vector de velocidad media del dron en el desplazamiento en el Ejemplo 2.7 es $\overrightarrow{u}=(\mathrm{15,0}\widehat{i}+\mathrm{31,7}\widehat{j}+\mathrm{2,5}\widehat{k})\text{m}\text{/}\text{s}$, ¿cuál es la magnitud del vector velocidad del dron?