17.7 El Efecto Doppler

Derivación de la frecuencia observada debido al corrimiento Doppler

Considere dos observadores estacionarios X y Y en la Figura 17.31, situados a ambos lados de una fuente estacionaria. Cada observador oye la misma frecuencia, y esa frecuencia es la que produce la fuente estacionaria.

Figura 17.31 Una fuente estacionaria envía ondas sonoras a una frecuencia constante $f_{\text{s}},$ con una longitud de onda constante ${\lambda }_{\text{s}},$ a la velocidad del sonido v. Dos observadores estacionarios X y Y, a ambos lados de la fuente, observan una frecuencia $f_{\text{o}}=f_{\text{s}}$, con una longitud de onda ${\lambda }_{\text{o}}={\lambda }_{\text{s}}.$

Considere ahora un observador estacionario X con una fuente que se aleja del observador con una velocidad constante $v_{\text{s}}<v$ (Figura 17.32). En el tiempo $t=0$ la fuente envía una onda sonora, indicada en negro. Esta onda se desplaza a la velocidad del sonido v. La posición de la onda sonora en cada intervalo de tiempo del periodo $T_{\text{s}}$ se muestra como líneas punteadas. Después de un periodo, la fuente se ha movido $\text{Δ}x=v_{\text{s}}{T}_{\text{s}}$ y emite una segunda onda sonora, que se desplaza a la velocidad del sonido. La fuente sigue moviéndose y produciendo ondas sonoras, como indican los círculos numerados 3 y 4. Observe que a medida que las ondas se desplazan hacia afuera permanecen centradas en su respectivo punto de origen.

Figura 17.32 Una fuente que se mueve a velocidad constante $v_{\text{s}}$ lejos de un observador X. La fuente en movimiento envía ondas sonoras a una frecuencia constante $f_{\text{s}},$ con una longitud de onda constante ${\lambda }_{\text{s}}$, a la velocidad del sonido v. Las representaciones de la fuente en un intervalo de $T_{\text{s}}$ se muestran a medida que la fuente se aleja del observador estacionario X. Las líneas sólidas representan la posición de las ondas sonoras después de cuatro periodos desde el tiempo inicial. Las líneas punteadas sirven para mostrar las posiciones de las ondas en cada tiempo. El observador escucha una longitud de onda de ${\lambda }_{\text{o}}={\lambda }_{\text{s}}+\text{Δ}x={\lambda }_{\text{s}}+v_{\text{s}}{T}_{\text{s}}$.

Mediante el hecho de que la longitud de onda es igual a la velocidad por el periodo y el periodo es el inverso de la frecuencia podemos derivar la frecuencia observada:

A medida que la fuente se aleja del observador, la frecuencia notada es menor que la de la fuente.

Considere ahora una fuente que se mueve a velocidad constante $v_s,$ moviéndose hacia un observador estacionario Y, también mostrado en la Figura 17.32. La longitud de onda es observada por Y como ${\lambda }_{\text{o}}={\lambda }_{\text{s}}–\text{Δ}x={\lambda }_{\text{s}}–v_{\text{s}}{T}_{\text{s}}.$ Una vez más, mediante el hecho de que la longitud de onda es igual a la velocidad por el periodo y el periodo es el inverso de la frecuencia podemos derivar la frecuencia observada:

Cuando una fuente está en movimiento y el observador es estacionario, la frecuencia notada es

donde $f_{\text{o}}$ es la frecuencia notada por el observador estacionario, $f_{\text{s}}$ es la frecuencia producida por la fuente en movimiento, v es la velocidad del sonido, $v_{\text{s}}$ es la velocidad constante de la fuente, el signo superior es para la fuente que se acerca al observador y el signo inferior es para la fuente que se aleja del observador.

¿Qué ocurre si el observador se mueve y la fuente es estacionaria? Si el observador se mueve hacia la fuente estacionaria, la frecuencia notada es mayor que la de la fuente. Si el observador se aleja de la fuente estacionaria, la frecuencia notada es inferior a la de la fuente. Considere el observador X en la Figura 17.33 mientras el observador se mueve hacia una fuente estacionaria con una velocidad $v_{\text{o}}$. La fuente emite un tono con una frecuencia constante $f_{\text{s}}$ y periodo constante $T_{\text{s}}.$ El observador escucha la primera onda emitida por la fuente. Si el observador fuera estacionario, el tiempo de paso de una longitud de onda del sonido debería ser igual al periodo de la fuente $T_{\text{s}}.$ Como el observador se mueve hacia la fuente, el tiempo de paso de una longitud de onda es inferior a $T_{\text{s}}$ y es igual al periodo observado $T_{\text{o}}=T_{\text{s}}–\text{Δ}t.$ En el tiempo $t=0,$ el observador comienza en el principio de una longitud de onda y se desplaza hacia la segunda longitud de onda a medida que esta se aleja de la fuente. La longitud de onda es igual a la distancia que recorrió el observador más la distancia que recorrió la onda sonora hasta encontrarse con el observador:

Figura 17.33 Una fuente estacionaria emite una onda sonora con una frecuencia constante $f_{\text{s}}$ con una longitud de onda constante ${\lambda }_{\text{s}}$ moviéndose a la velocidad del sonido v. El observador X se mueve hacia la fuente con una velocidad constante $v_{\text{o}}$, y la figura muestra la posición inicial y final del observador X. El observador X nota una frecuencia superior a la de la fuente. Las líneas punteadas muestran la posición de las ondas en $t=0$. Las líneas continuas muestran la posición de las ondas en $t=T_{\text{o}}$.

Si el observador se aleja de la fuente (Figura 17.34), se puede calcular la frecuencia observada:

Figura 17.34 Una fuente estacionaria emite una onda sonora con una frecuencia constante $f_{\text{s}}$ con una longitud de onda constante ${\lambda }_{\text{s}}$ moviéndose a la velocidad del sonido v. El observador Y se aleja de la fuente con una velocidad constante $v_{\text{o}}$, y la figura muestra la posición inicial y final del observador Y. El observador Y nota una frecuencia inferior a la de la fuente. Las líneas punteadas muestran la posición de las ondas en $t=0$. Las líneas continuas muestran la posición de las ondas en $t=T_{\text{o}}$.

Las ecuaciones para un observador que se acerca o se aleja de una fuente estacionaria pueden combinarse en una sola ecuación:

donde $f_{\text{o}}$ es la frecuencia observada, $f_{\text{s}}$ es la frecuencia de la fuente, $v$ es la velocidad del sonido, $v_{\text{o}}$ es la velocidad del observador, el signo superior es para el observador que se acerca a la fuente y el signo inferior es para el observador que se aleja de la fuente.

La Ecuación 17.18 y la Ecuación 17.19 se pueden resumir en una ecuación (el signo superior es de aproximación) y se ilustra con más detalle en la Tabla 17.4:

donde $f_o$ es la frecuencia observada, $f_s$ es la frecuencia de la fuente, $v$ es la velocidad del sonido, $v_o$ es la velocidad del observador, $v_s$ es la velocidad de la fuente, el signo superior es para la aproximación y el inferior para la salida.

El Efecto Doppler y el corrimiento Doppler tienen muchas aplicaciones importantes en la ciencia y la ingeniería. Por ejemplo, el corrimiento Doppler de los ultrasonidos se puede usar para medir la velocidad de la sangre, y la policía utiliza el corrimiento Doppler de un radar (una microonda) para medir la velocidad de los automóviles. En meteorología, el corrimiento Doppler se utiliza para seguir el movimiento de nubes de tormenta; este “radar Doppler” puede dar la velocidad y la dirección de la lluvia o la nieve en los frentes meteorológicos. En astronomía, podemos examinar la luz emitida por galaxias lejanas y determinar su velocidad en relación con la nuestra. Cuando las galaxias se alejan de nosotros, su luz se desplaza a una frecuencia más baja y, por tanto, a una longitud de onda más larga, lo que se conoce como corrimiento al rojo. Esta información procedente de galaxias muy muy lejanas ha permitido estimar la edad del universo (desde el Big Bang) en unos 14.000 millones de años.