17.4 Modos normales de una onda sonora estacionaria

Interferencia de las ondas sonoras

En la sección Ondas hablamos de la interferencia de funciones de onda que solo difieren en un deslizamiento de fase. Hallamos que la función de onda resultante de la superposición de $y_1\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)$ y $y_2\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–\omega t\right)$ es

Una forma de que dos ondas idénticas que inicialmente están en fase se desfasen entre sí es que las ondas recorran distancias diferentes; es decir, que tengan longitudes del trayecto diferentes. Las ondas sonoras constituyen un excelente ejemplo de deslizamiento de fase debido a una diferencia de trayectoria. Como hemos comentado, las ondas sonoras se pueden modelar básicamente como ondas longitudinales, en las que las moléculas del medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio, o como ondas de presión.

Cuando las ondas salen de los altavoces, lo hacen en forma de ondas esféricas (Figura 17.16). Las ondas interfieren; la inferencia constructiva se produce por la combinación de dos crestas o dos depresiones, como se muestra. La interferencia destructiva se produce por la combinación de una depresión y una cresta.

Figura 17.16 Cuando las ondas sonoras son producidas por un altavoz, se desplazan a la velocidad del sonido y se mueven hacia fuera como ondas esféricas. En este caso, dos altavoces producen el mismo tono constante (frecuencia). El resultado son puntos de alta intensidad de sonido (resaltados), que resultan de la superposición de dos crestas (compresión) o dos depresiones (rarefacción). La interferencia destructiva se genera por la superposición de una cresta y una depresión. Los puntos donde hay interferencia constructiva en la figura se producen porque las dos ondas están en fase en esos puntos. Los puntos de interferencia destructiva (Figura 17.17) son el resultado de que las dos ondas estén desfasadas.

Figura 17.17 Dos altavoces accionados por un solo generador de señales. Las ondas sonoras producidas por los altavoces están en fase y son de una sola frecuencia. Las ondas sonoras interfieren entre sí. Cuando dos crestas o dos depresiones coinciden se produce una interferencia constructiva, marcada con los puntos rojos y azules. Cuando una depresión y una cresta coinciden se produce una interferencia destructiva, marcada con puntos negros. La diferencia de fase se debe a las longitudes del trayecto recorridas por cada una de las ondas. Dos ondas idénticas recorren dos longitudes del trayecto diferentes hasta un punto P. (a) La diferencia en las longitudes del trayecto es de una longitud de onda, lo que genera una interferencia constructiva total y una amplitud resultante igual al doble de la amplitud original. (b) La diferencia en las longitudes del trayecto es menor que una longitud de onda, pero mayor que media longitud de onda, lo que ocasiona una amplitud mayor que cero y menor que el doble de la amplitud original. (c) La diferencia en las longitudes del trayecto es de media longitud de onda, lo que genera una interferencia destructiva total y una amplitud resultante de cero.

La diferencia de fase en cada punto se debe a las diferentes longitudes del trayecto recorridas por cada onda. Cuando la diferencia de longitudes del trayecto es un múltiplo entero de una longitud de onda,

las ondas están en fase y hay interferencia constructiva. Cuando la diferencia de longitudes del trayecto es un múltiplo impar de media longitud de onda,

las ondas están $180\text{°}(\pi \text{rad})$ fuera de fase y el resultado es una interferencia destructiva. Estos puntos se pueden localizar con un medidor de intensidad del sonido.

Ejemplo 17.5

Interferencia de las ondas sonoras

Dos altavoces tienen una separación de 5,00 m y son accionados por un generador de señales a una frecuencia desconocida. Un estudiante con un medidor de sonido recorre 6,00 m y baja 2,00 m y halla la primera intensidad mínima, como se muestra a continuación. ¿Cuál es la frecuencia suministrada por el generador de señales? Suponga que la rapidez de onda del sonido es $v=\mathrm{343,00}\text{m/s}\text{.}$

Estrategia

La velocidad de la onda es igual a $v=\frac{\lambda }{T}=\lambda f.$ La frecuencia es entonces $f=\frac{v}{\lambda }.$ Una intensidad mínima indica una interferencia destructiva, y el primer punto de este tipo se produce cuando hay una diferencia de trayectoria de $\text{Δ}r=\lambda \text{/}2,$ lo cual se puede calcular a partir de la geometría.

Solución

1. Calcule la longitud del trayecto hasta el punto mínimo desde cada altavoz
   
   $$r_1=\sqrt{{\left(\mathrm{6,00}\text{m}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,00}\text{m}\right)}^2}=\mathrm{6,32}\text{m,}{r}_2=\sqrt{{\left(\mathrm{6,00}\text{m}\right)}^2+{\left(\mathrm{3,00}\text{m}\right)}^2}=\mathrm{6,71}\text{m}$$
2. Use la diferencia en la longitud del trayecto para calcular la longitud de onda.
   $$\text{Δ}r=\left|r_2–r_1\right|=\left|\mathrm{6,71}\text{m}–\mathrm{6,32}\text{m}\right|=\mathrm{0,39}\text{m}$$
   $$\lambda =2\text{Δ}r=2\left(\mathrm{0,39}\text{m}\right)=\mathrm{0,78}\text{m}$$
3. Calcule la frecuencia.
   $$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{\mathrm{343,00}\text{m/s}}{\mathrm{0,78}\text{m}}=\mathrm{439,74}\text{Hz}$$

Importancia

Si el punto P fuera un punto de máxima intensidad, entonces la longitud del trayecto sería un múltiplo entero de la longitud de onda.

El concepto de deslizamiento de fase debido a una diferencia en la longitud del trayecto es muy importante. Este concepto lo volverá a usar en las secciones Interferencia y Fotones y ondas de materia, en las cuales se analiza cómo Thomas Young puso en práctica este método en su famoso experimento de la doble rendija para demostrar que la luz tiene propiedades ondulatorias.

Reducción de ruido mediante interferencia destructiva

La Figura 17.18 muestra un uso inteligente de la interferencia de sonido para anular el ruido. Se han propuesto aplicaciones a mayor escala de reducción de ruido activa por interferencia destructiva para compartimentos enteros de pasajeros en aviones comerciales. Para obtener interferencia destructiva, se hace un análisis electrónico rápido y se introduce un segundo sonido $180\text{°}$ fuera de fase con el sonido original, con sus máximos y mínimos exactamente invertidos con respecto al ruido entrante. Las ondas sonoras en los fluidos son ondas de presión y son coherentes con el principio de Pascal; es decir, las presiones de dos fuentes diferentes se suman y restan como números simples. Por lo tanto, las presiones manométricas positivas y negativas se suman a una presión mucho menor, lo que produce un sonido de menor intensidad. Aunque la interferencia destructiva por completo solo es posible en las condiciones más sencillas, es posible reducir los niveles de ruido en 30 dB o más a través de esta técnica.

Figura 17.18 Los auriculares diseñados para anular el ruido con interferencia destructiva crean una onda sonora exactamente opuesta al sonido entrante. Estos auriculares pueden ser más eficaces que la simple atenuación pasiva utilizada en la mayoría de las protecciones auditivas. Tales auriculares se usaron en el vuelo sin escalas alrededor del mundo de la aeronave Voyager, que batió el récord mundial en 1986, para proteger los oídos de los pilotos del ruido del motor.

¿Dónde más podemos observar interferencias de sonido? Todas las resonancias de sonido, como las de los instrumentos musicales, se deben a interferencias constructivas y destructivas. Solo las frecuencias de resonancia interfieren constructivamente para formar ondas estacionarias, mientras que otras interfieren destructivamente y están ausentes.

Resonancia en un tubo cerrado en un extremo

Como ya comentamos en la sección Ondas, las ondas estacionarias están formadas por dos ondas que se mueven en direcciones opuestas. Cuando dos ondas sinusoidales idénticas se mueven en direcciones opuestas, las ondas se pueden modelar como

Cuando estas dos ondas interfieren, la onda resultante es una onda estacionaria:

La resonancia se puede producir debido a las condiciones de frontera impuestas a una onda. En la sección Ondas, demostramos que la resonancia se podía producir en una cuerda en tensión que tenía condiciones de frontera simétricas, concretamente, un nodo en cada extremo. Definimos un nodo como un punto fijo en el que la cuerda no se ha movido. Descubrimos que las condiciones de frontera simétricas hacían que algunas frecuencias resonaran y produjeran ondas estacionarias, mientras que otras frecuencias interferían destructivamente. Las ondas sonoras pueden resonar en un tubo hueco, y las frecuencias de las ondas sonoras que resuenan dependen de las condiciones de frontera.

Suponga que tenemos un tubo cerrado en un extremo y abierto en el otro. Si sostenemos un diapasón vibrante cerca del extremo abierto del tubo, una onda sonora incidente se desplaza a través del tubo y se refleja en el extremo cerrado. El sonido reflejado tiene la misma frecuencia y la misma longitud de onda que la onda sonora incidente, pero se desplaza en dirección opuesta. En el extremo cerrado del tubo, las moléculas de aire tienen muy poca libertad para oscilar y se produce un nodo. En el extremo abierto, las moléculas son libres de moverse y, a la frecuencia adecuada, se produce un antinodo. A diferencia de las condiciones de frontera simétricas para las ondas estacionarias en la cuerda, las condiciones de frontera para un tubo abierto en un extremo y cerrado en el otro son antisimétricas: un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto.

Si el diapasón tiene la frecuencia adecuada, la columna de aire del tubo resuena con fuerza, pero en la mayoría de las frecuencias vibra muy poco. Esta observación solo significa que la columna de aire tiene ciertas frecuencias naturales únicamente. Considere la frecuencia más baja que hará que el tubo resuene y produzca un sonido fuerte. Habrá un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto, como se muestra en la Figura 17.19.

Figura 17.19 Resonancia de aire en un tubo cerrado en un extremo causada por un diapasón que vibra a la frecuencia más baja que puede producir resonancia (la frecuencia fundamental). Existe un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el extremo abierto.

La onda estacionaria formada en el tubo tiene un antinodo en el extremo abierto y un nodo en el extremo cerrado. La distancia de un nodo a un antinodo es un cuarto de la longitud de onda, y esta es igual a la longitud del tubo; por lo tanto, ${\lambda }_1=4L.$ Esta misma resonancia la puede producir una vibración introducida en o cerca del extremo cerrado del tubo (Figura 17.20). Lo mejor es considerar que se trata de una vibración natural de la columna de aire, independientemente de cómo se introduzca.

Figura 17.20 La misma onda estacionaria se crea en el tubo mediante una vibración introducida cerca de su extremo cerrado.

Dado que los desplazamientos máximos de aire son posibles en el extremo abierto y ninguno en el cerrado, pueden resonar en el tubo otras longitudes de onda más cortas, como la que se muestra en la Figura 17.21. Aquí la onda estacionaria tiene tres cuartas partes de su longitud de onda en el tubo, o $\frac{3}{4}{\lambda }_3=L,$ por lo que ${\lambda }_3=\frac{4}{3}L.$ Continuando con este proceso, se obtiene toda una serie de sonidos de menor longitud de onda y mayor frecuencia que resuenan en el tubo. Utilizamos términos específicos para las resonancias de cualquier sistema. La frecuencia de resonancia más baja se llama fundamental, mientras que todas las frecuencias de resonancia más altas se llaman sobretonos. Las frecuencias de resonancia que son múltiplos integrales de la fundamental se denominan colectivamente armónicos. La fundamental es el primer armónico, el segundo armónico es el doble de la frecuencia del primer armónico y así sucesivamente. Es posible que algunos de estos armónicos no existan para un escenario determinado. La Figura 17.22 muestra la fundamental y los tres primeros sobretonos (o los armónicos primero, tercero, quinto y séptimo) en un tubo cerrado en un extremo.

Figura 17.21 Otra resonancia para un tubo cerrado en un extremo. Esta onda estacionaria tiene el máximo desplazamiento de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado. La longitud de onda es más corta, con tres cuartos $\lambda \prime$ igualando la longitud del tubo, por lo que $\lambda \prime =4L\text{/}3$. Esta vibración de mayor frecuencia es el primer sobretono.

Figura 17.22 La fundamental y los tres sobretonos más bajos de un tubo cerrado en un extremo. Todos tienen desplazamientos máximos de aire en el extremo abierto y ninguno en el extremo cerrado.

La relación para las longitudes de onda resonantes de un tubo cerrado en un extremo es

Ahora, busquemos un patrón en las frecuencias de resonancia para un tubo simple que está cerrado en un extremo. La fundamental tiene $\lambda =4L,$ y la frecuencia se relaciona con la longitud de onda y la velocidad del sonido según

$v=f\lambda .$

Si se resuelve f en esta ecuación se obtiene

donde v es la velocidad del sonido en el aire. Del mismo modo, el primer sobretono tiene $\lambda =4L\text{/}3$ (vea la Figura 17.22), por lo que

Porque $f_3=3f_1,$ llamamos al primer sobretono el tercer armónico. Siguiendo este proceso, vemos un patrón que puede generalizarse en una expresión única. Las frecuencias de resonancia de un tubo cerrado en un extremo son

donde $f_1$ es la fundamental, $f_3$ es el primer sobretono y así sucesivamente. Es interesante que las frecuencias de resonancia dependan de la velocidad del sonido y, por tanto, de la temperatura. Esta relación supone un problema notable para los órganos de las antiguas catedrales sin calefacción, y es también lo que justifica que los músicos suelen poner sus instrumentos de viento a temperatura ambiente antes de tocarlos.

Resonancia en un tubo abierto en ambos extremos

Otra fuente de ondas estacionarias es un tubo abierto en ambos extremos. En este caso, las condiciones de frontera son simétricas: un antinodo en cada extremo. Las resonancias de los tubos abiertos en ambos extremos se pueden analizar de forma muy similar a las de los tubos cerrados en un extremo. Las columnas de aire en tubos abiertos en ambos extremos tienen desplazamientos máximos de aire en ambos extremos (Figura 17.23). Las ondas estacionarias se forman como se muestra.

Figura 17.23 Las frecuencias de resonancia de un tubo abierto en ambos extremos, incluso la fundamental y los tres primeros sobretonos. En todos los casos, los desplazamientos máximos de aire se producen en ambos extremos del tubo, lo que le confiere frecuencias naturales diferentes a las de un tubo cerrado en un extremo.

La relación para las longitudes de onda resonantes de un tubo abierto en ambos extremos es

Basándonos en el hecho de que un tubo abierto en ambos extremos tiene desplazamientos máximos de aire en ambos extremos, y al usar la Figura 17.23 como guía podemos ver que las frecuencias de resonancia de un tubo abierto en ambos extremos son

donde $f_1$ es la fundamental, $f_2$ es el primer sobretono, $f_3$ es el segundo sobretono y así sucesivamente. Observe que un tubo abierto en ambos extremos tiene una frecuencia fundamental doble de la que tendría si estuviera cerrado en un extremo. También tiene un espectro de sobretonos diferente al de un tubo cerrado en un extremo.

Observe que un tubo abierto en ambos extremos tiene condiciones de frontera simétricas, similares a las de la cuerda fijada en ambos extremos de la que hablamos en la sección Ondas. Las relaciones para las longitudes de onda y las frecuencias de un instrumento de cuerda son las mismas que se dan en la Ecuación 17.15 y la Ecuación 17.16. La velocidad de la onda en la cuerda (de la sección Ondas) es $v=\sqrt{\frac{F_T}{\mu }}.$ El aire que rodea la cuerda vibra a la misma frecuencia que esta, lo que produce un sonido de la misma frecuencia. La onda sonora se mueve a la velocidad del sonido y la longitud de onda se puede calcular mediante $v=\lambda f.$