William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Definir el término intensidad.
Explicar el concepto de nivel de intensidad del sonido.
Describir cómo el oído humano traduce el sonido.

En un bosque tranquilo, a veces, se puede oír cómo cae una hoja al suelo. Pero cuando un automovilista que pasa tiene su equipo de música a todo volumen, usted no podrá escuchar lo que dice la persona que está a su lado en su automóvil (Figura 17.12). Todos estamos muy familiarizados con el volumen de los sonidos y somos conscientes de que el volumen está relacionado con la forma en que la fuente vibra energéticamente. La exposición a altos niveles de ruido es peligrosa para la audición, por lo que es importante que las personas que trabajan en entornos industriales utilicen protección auditiva. La cantidad física relevante es la intensidad del sonido, un concepto que es válido para todos los sonidos, estén o no en el rango audible.

Fotografía que muestra una calzada atestada de automóviles y motos en Delhi.

Figura 17.12 El ruido en las carreteras abarrotadas, como esta en Delhi, hace que sea difícil oír a los demás a menos que griten (créditos: “Lingaraj, G. J.”/Flickr).

En la sección Ondas definimos la intensidad como la potencia por unidad de área transportada por una onda. La potencia es la tasa a la que la energía se transfiere por la onda. En forma de ecuación, la intensidad I es

I = \frac{P}{A},

17.8

donde P es la potencia que atraviesa un área A. La unidad del SI para I es ${W/m}^{2} .$ Si suponemos que la onda sonora es esférica, y que no se pierde energía en los procesos térmicos, la energía de la onda sonora se propaga en un área mayor a medida que aumenta la distancia, por lo que la intensidad disminuye. El área de una esfera es $A = 4 π r^{2} .$ A medida que la onda se propaga desde $r_{1}$ a $r_{2},$ la energía también se propaga en un más amplia:

\begin{matrix} P_{1} & = & P_{2} \\ I_{1} 4 π r_{1}^{2} & = & I_{2} 4 π r_{2}^{2}; \end{matrix}

I_{2} = I_{1} {(\frac{r_{1}}{r_{2}})}^{2} .

17.9

La intensidad disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente. En una relación inversa al cuadrado, como la intensidad, cuando usted duplica la distancia, la intensidad disminuye a una cuarta parte,

I_{2} = I_{1} {(\frac{r_{1}}{r_{2}})}^{2} = I_{1} {(\frac{r_{1}}{2 r_{1}})}^{2} = \frac{1}{4} I_{1} .

Generalmente, cuando se considera la intensidad de una onda sonora se toma la intensidad como el valor promediado en el tiempo de la potencia, denotado por $〈 P 〉,$ dividido entre el área,

I = \frac{〈 P 〉}{A} .

17.10

La intensidad de una onda sonora es proporcional al cambio de presión al cuadrado e inversamente proporcional a la densidad y a la velocidad. Considere una parcela de un medio inicialmente sin alteraciones y luego influenciado por una onda sonora en el tiempo t, como se muestra en la Figura 17.13.

La imagen es un dibujo de una parcela de un medio inicialmente sin alteraciones y luego influenciado por una onda sonora. Una onda sonora se desplaza a través del medio en el tiempo t, y la parcela se desplaza y se expande en la dirección del desplazamiento.

Figura 17.13 Una parcela de un medio sin alteraciones con un volumen

V = A Δ x

se muestra en azul. Una onda sonora se mueve a través del medio en el tiempo t, y la parcela se desplaza y se expande, como se muestra en las líneas punteadas. El cambio de volumen es

Δ V = A Δ s = A (s_{2} - s_{1})

, donde

s_{1}

es el desplazamiento del borde dominante de la parcela y

s_{2}

es el desplazamiento del borde rezagado de la parcela. En la figura,

s_{2} > s_{1}

y la parcela se expande, pero puede expandirse o comprimirse

(s_{2} < s_{1})

, según cuál parte de la onda sonora (compresión o rarefacción) se esté desplazando a través de la parcela.

A medida que la onda sonora se mueve a través de la parcela, esta se desplaza y puede expandirse o contraerse. Si $s_{2} > s_{1}$ , el volumen ha aumentado y la presión disminuye. Si $s_{2} < s_{1},$ el volumen ha disminuido y la presión aumenta. El cambio de volumen es

Δ V = A Δ s = A (s_{2} - s_{1}) = A (s (x + Δ x, t) - s (x, t)) .

El cambio fraccionario del volumen es el cambio de volumen dividido entre el volumen original:

\frac{d V}{V} = lim_{Δ x \to 0} \frac{A [s (x + Δ x, t) - s (x, t)]}{A Δ x} = \frac{\partial s (x, t)}{\partial x} .

El cambio fraccionario de volumen está relacionado con la fluctuación de la presión por el módulo de compresibilidad $β = - \frac{Δ p (x, t)}{d V / V} .$ Recuerde que el signo menos es necesario porque el volumen está inversamente relacionado con la presión (usamos la p minúscula para la presión para distinguirla de la potencia, denotada por P). Por lo tanto, el cambio de presión es $Δ p (x, t) = – β \frac{d V}{V} = – β \frac{\partial s (x, t)}{\partial x} .$ Si la onda sonora es sinusoidal, entonces el desplazamiento como se muestra en la Ecuación 17.2 es $s (x, t) = s_{máx.} cos (k x \mp ω t + ϕ)$ y la presión se calcula con

Δ p (x, t) = – β \frac{d V}{V} = – β \frac{\partial s (x, t)}{\partial x} = β k s_{máx.} sen (k x - ω t + ϕ) = Δ p_{máx.} sen (k x - ω t + ϕ) .

La intensidad de la onda sonora es la potencia por unidad de área, y la potencia es la fuerza por la velocidad, $I = \frac{P}{A} = \frac{F v}{A} = p v .$ Aquí, la velocidad es la velocidad de las oscilaciones del medio, y no la velocidad de la onda sonora. La velocidad del medio es la tasa de tiempo del cambio en el desplazamiento:

v (x, t) = \frac{\partial}{\partial y} s (x, t) = \frac{\partial}{\partial y} (s_{máx.} cos (k x - ω t + ϕ)) = s_{máx.} ω sen (k x - ω t + ϕ) .

Así, la intensidad se convierte en

\begin{matrix} I & = Δ p (x, t) v (x, t) \\ = β k s_{máx.} sen (k x - ω t + ϕ) [s_{máx.} ω sen (k x - ω t + ϕ)] \\ = β k ω s_{máx.}^{2} {sen}^{2} (k x - ω t + ϕ) . \end{matrix}

Para hallar la intensidad promediada en el tiempo durante un periodo $T = \frac{2 π}{ω}$ para una posición x, integramos sobre el periodo, $I = \frac{β k ω s_{máx.}^{2}}{2} .$ Al usar $Δ p_{máx.} = β k s_{máx.},$ $v = \sqrt{\frac{β}{ρ}},$ y $v = \frac{ω}{k},$ obtenemos

I = \frac{β k ω s_{máx.}^{2}}{2} = \frac{β^{2} k^{2} ω s_{máx.}^{2}}{2 β k} = \frac{ω {(Δ p_{máx.})}^{2}}{2 (ρ v^{2}) k} = \frac{v {(Δ p_{máx.})}^{2}}{2 (ρ v^{2})} = \frac{{(Δ p_{máx.})}^{2}}{2 ρ v} .

Es decir, la intensidad de una onda sonora está relacionada con su amplitud al cuadrado por

I = \frac{{(Δ p_{máx.})}^{2}}{2 ρ v} .

17.11

Aquí, $Δ p_{máx.}$ es la variación de presión o la amplitud de presión en unidades de pascales (Pa) o ${N/m}^{2}$ . La energía (como energía cinética $\frac{1}{2} m v^{2}$ ) de un elemento oscilante de aire debido a una onda sonora en desplazamiento es proporcional a su amplitud al cuadrado. En esta ecuación, $ρ$ es la densidad del material en el que se desplaza la onda sonora, en unidades de ${kg/m}^{3},$ y v es la velocidad del sonido en el medio, en unidades de m/s. La variación de la presión es proporcional a la amplitud de la oscilación, por lo que I varía como ${(Δ p)}^{2} .$ Esta relación es coherente con el hecho de que la onda sonora la produce alguna vibración; cuanto mayor es su amplitud de presión, más se comprime el aire en el sonido que crea.

Audición humana y niveles de intensidad del sonido

Como ya se ha dicho en este capítulo, la audición es la percepción del sonido. El mecanismo de la audición implica una física interesante. La onda sonora que incide en nuestro oído es una onda de presión. El oído es un transductor que convierte las ondas sonoras en impulsos nerviosos eléctricos de una manera mucho más sofisticada que un micrófono, pero análoga a este. La Figura 17.14 muestra la anatomía del oído.

La imagen es el dibujo de un oído. Muestra el canal auditivo que termina con el tímpano. El martillo conectado al yunque está en contacto con el tímpano. Detrás del tímpano está el martillo y el yunque. El yunque está conectado al estribo que está unido a la ventana oval. La cóclea, el nervio coclear y el nervio vestibular están en contacto con el estribo.

Figura 17.14 Anatomía del oído humano.

El oído externo, o canal auditivo, lleva el sonido hasta la cavidad timpánica, el tímpano protegido. La columna de aire del canal auditivo resuena y es parcialmente responsable de la sensibilidad del oído a los sonidos en el rango entre 2.000 y 5.000 Hz. El oído medio convierte el sonido en vibraciones mecánicas y aplica estas vibraciones a la cóclea.

Interactivo

Mire este video para conocer con más detalle el funcionamiento del oído humano.

El rango de intensidades que el oído humano puede escuchar será según la frecuencia del sonido, pero, en general, el rango es bastante amplio. La intensidad mínima del umbral que se puede escuchar es $I_{0} = 10^{−12} {W/m}^{2} .$ El dolor se experimenta con intensidades de $I_{dolor} = 1 {W/m}^{2} .$ Las mediciones de la intensidad del sonido (en unidades de ${W/m}^{2}$ ) son muy engorrosas debido a este gran rango de valores. Por este motivo, así como por otros, se propuso el concepto de nivel de intensidad del sonido.

El nivel de intensidad del sonido $β$ de un sonido, medido en decibeles, con una intensidad I en vatios por metro cuadrado, se define como

β (dB) = 10 {log}_{10} (\frac{I}{I_{0}}),

17.12

donde $I_{0} = 10^{−12} {W/m}^{2}$ es una intensidad de referencia, que corresponde a la intensidad umbral del sonido que una persona con audición normal puede percibir a una frecuencia de 1,00 kHz. Es más común considerar los niveles de intensidad del sonido en dB que en ${W/m}^{2} .$ La forma en que el oído humano percibe el sonido se puede describir con mayor precisión mediante el logaritmo de la intensidad que directamente por la intensidad. Porque $β$ se define en términos de relación, es una cantidad sin unidad, lo que indica el nivel del sonido en relación con un estándar fijo ( $10^{−12} {W/m}^{2}$ ). Las unidades de decibeles (dB) se utilizan para indicar que esta relación se multiplica por 10 en su definición. El bel, en el que se basa el decibelio, lleva el nombre de Alexander Graham Bell, el inventor del teléfono.

El nivel de decibeles de un sonido que tiene la intensidad umbral de $10^{−12} {W/m}^{2}$ es $β = 0 dB,$ porque ${log}_{10} 1 = 0 .$ La Tabla 17.2 ofrece niveles en decibeles e intensidades en vatios por metro cuadrado para algunos sonidos conocidos. El oído es sensible a algo tan pequeño como una trillonésima parte de un vatio por metro cuadrado, lo que resulta aún más impresionante si tiene en cuenta que el área del tímpano es únicamente de, aproximadamente, $1 {cm}^{2},$ por lo que solo $10^{−16} W$ cae sobre ella en el umbral de la audición. Las moléculas de aire en una onda sonora de esta intensidad vibran a una distancia inferior a un diámetro molecular, y las presiones manométricas involucradas son inferiores a $10^{−9} atm .$

Nivel de intensidad del sonido $β$ (dB)	Intensidad (I) $({W/m}^{2})$	Ejemplo/efecto
0	$1 \times 10^{- 12}$	Umbral de audición a 1.000 Hz
10	$1 \times 10^{- 11}$	Crujido de hojas
20	$1 \times 10^{- 10}$	Susurro a 1 m de distancia
30	$1 \times 10^{- 9}$	Hogar tranquilo
40	$1 \times 10^{- 8}$	Hogar regular
50	$1 \times 10^{- 7}$	Oficina regular, música suave
60	$1 \times 10^{- 6}$	Conversación normal
70	$1 \times 10^{- 5}$	Oficina ruidosa, tráfico congestionado
80	$1 \times 10^{- 4}$	Radio con volumen alto, conferencia en un aula
90	$1 \times 10^{- 3}$	Dentro de un camión pesado; daños por exposición prolongada
100	$1 \times 10^{- 2}$	Fábrica ruidosa, sirena a 30 m; daños por exposición de 8 h al día
110	$1 \times 10^{- 1}$	Daños por una exposición de 30 minutos al día
120	1	Concierto de rock ruidoso; trituradora neumática a 2 m; umbral del dolor
140	$1 \times 10^{2}$	Avión a reacción a 30 m; dolor intenso, daños en segundos
160	$1 \times 10^{4}$	Estallido de los tímpanos

Tabla 17.2 Niveles de intensidad del sonido e intensidades ^[1] Varias agencias gubernamentales y asociaciones profesionales relacionadas con la salud recomiendan que no se superen los 85 dB para exposiciones diarias de 8 horas sin protección auditiva.

Una observación que se puede comprobar fácilmente al examinar la Tabla 17.2 o mediante la Ecuación 17.12 es que cada factor de 10 en la intensidad corresponde a 10 dB. Por ejemplo, un sonido de 90 dB comparado con uno de 60 dB es 30 dB mayor, o tres factores de 10 (es decir, $10^{3}$ veces) como intenso. Otro ejemplo es que si un sonido es $10^{7}$ tan intenso como otro, es 70 dB más alto (Tabla 17.3).

$I_{2} / I_{1}$	$β_{2} - β_{1}$
2,0	3,0 dB
5,0	7,0 dB
10,0	10,0 dB
100,0	20,0 dB
1.000,0	30,0 dB

Tabla 17.3 Relación de intensidades y diferencias correspondientes en los niveles de intensidad del sonido

Ejemplo 17.2

Cálculo de niveles de intensidad del sonido

Calcule el nivel de intensidad del sonido en decibeles para una onda sonora que se desplaza en el aire a

0 °C

y con una amplitud de presión de 0,656 Pa.

Estrategia

Nos dan

Δ p

, por lo que podemos calcular I mediante la ecuación

I = \frac{{(Δ p)}^{2}}{2 ρ v_{w}} .

Al usar I, podemos calcular

β

directamente de su definición en

β (d B) = 10 {log}_{10} (\frac{I}{I_{0}}) .

Solución

Identifique aspectos conocidos:
El sonido se desplaza a 331 m/s en el aire a $0 °C .$
El aire tiene una densidad de $1,29 {kg/m}^{3}$ en presión atmosférica y $0 °C .$
Introduzca estos valores y la amplitud de la presión en $I = \frac{{(Δ p)}^{2}}{2 ρ v} .$
$I = \frac{{(Δ p)}^{2}}{2 ρ v} = \frac{{(0,656 Pa)}^{2}}{2 (1,29 {kg/m}^{3}) (331 m/s)} = 5,04 \times 10^{−4} {W/m}^{2} .$
Introduzca el valor de I y el valor conocido de $I_{0}$ en $β (dB) = 10 {log}_{10} (I / I_{0}) .$ Calcule para hallar el nivel de intensidad del sonido en decibeles:
$10 {log}_{10} (5,04 \times 10^{8}) = 10 (8,70) dB = 87 dB .$

Importancia

Este sonido de 87 dB tiene una intensidad cinco veces mayor que un sonido de 80 dB. Así, un factor de cinco en la intensidad corresponde a una diferencia de 7 dB en el nivel de intensidad del sonido. Este valor es cierto para cualquier intensidad que difiera en un factor de cinco.

Ejemplo 17.3

Cambiar niveles de intensidad de un sonido

Demuestre que si un sonido es dos veces más intenso que otro, tiene un nivel de sonido de unos 3 dB más alto.

Estrategia

Nos dan que la relación de dos intensidades es de 2 a 1 y luego nos piden que hallemos la diferencia de sus niveles de sonido en decibeles. Podemos resolver este problema mediante las propiedades de los logaritmos.

Solución

Identifique aspectos conocidos:
La relación de las dos intensidades es de 2 a 1, o lo que es lo mismo,
$\frac{I_{2}}{I_{1}} = 2,00 .$
Queremos demostrar que la diferencia de niveles de sonido es de unos 3 dB. Es decir, queremos demostrar:
$β_{2} - β_{1} = 3 dB.$
Tenga en cuenta que

${log}_{10} b - {log}_{10} a = {log}_{10} (\frac{b}{a}) .$
Use la definición de $β$ para obtener
$β_{2} - β_{1} = 10 {log}_{10} (\frac{I_{2}}{I_{1}}) = 10 {log}_{10} 2,00 = 10 (0,301) dB .$
Así,
$β_{2} - β_{1} = 3,01 dB .$

Importancia

Esto significa que los dos niveles de intensidad del sonido difieren en 3,01 dB, es decir, unos 3 dB, según lo anunciado. Observe que, debido a que solamente dan la relación

I_{2} / I_{1}

(y no las intensidades reales), este resultado es cierto para cualquier intensidad que difiera en un factor de dos. Por ejemplo, un sonido de 56,0 dB es dos veces más intenso que uno de 53,0 dB, un sonido de 97,0 dB es la mitad de intenso que uno de 100 dB y así sucesivamente.

Compruebe Lo Aprendido 17.2

Identifique los sonidos más comunes a los niveles de 10 dB, 50 dB y 100 dB.

También se utiliza otra escala de decibeles, denominada nivel de presión del sonido, que se basa en la relación entre la amplitud de la presión y una presión de referencia. Esta escala se utiliza sobre todo en aplicaciones en las que el sonido se desplaza por el agua. Queda fuera del alcance de este texto tratar esta escala porque no se utiliza habitualmente para los sonidos en el aire, pero es importante señalar que se pueden encontrar niveles de decibeles muy diferentes cuando se citan los niveles de presión del sonido.

Audición y tono

El oído humano tiene un alcance y una sensibilidad enormes. Puede darnos una gran cantidad de información sencilla, como el tono, el volumen y la dirección.

La percepción de la frecuencia se llama tono. Normalmente, los seres humanos tienen un tono relativo excelente y pueden discriminar entre dos sonidos si sus frecuencias difieren en un 0,3 % o más. Por ejemplo, 500,0 y 501,5 Hz son notablemente diferentes. Las notas musicales son sonidos de una frecuencia determinada que pueden ser producidos por la mayoría de los instrumentos y que en la música occidental tienen nombres particulares, como la sostenido, do o mi bemol.

La percepción de la intensidad se denomina volumen. A una frecuencia determinada, es posible discernir diferencias de 1 dB, aproximadamente, y un cambio de 3 dB se nota fácilmente. Pero el volumen no está relacionado únicamente con la intensidad. La frecuencia tiene un efecto importante en el volumen de un sonido. Los sonidos cercanos a los extremos de alta y baja frecuencia del rango de audición parecen aún menos fuertes, ya que el oído es menos sensible en esas frecuencias. Cuando un violín toca el do medio, no se puede confundir con un piano que toca la misma nota. Esto se debe a que cada instrumento produce un conjunto distintivo de frecuencias e intensidades. A nuestra percepción de estas combinaciones de frecuencias e intensidades la llamamos calidad del tono o, más comúnmente, timbre del sonido. El timbre es la forma de la onda que surge de las numerosas reflexiones, resonancias y superposiciones de un instrumento.

Para expresar el volumen numéricamente se utiliza una unidad llamada fonio. Los fonios se diferencian de los decibeles porque el fonio es una unidad de percepción del volumen, mientras que el decibelio es una unidad de intensidad física. La Figura 17.15 muestra la relación de volumen e intensidad (o nivel de intensidad) y frecuencia para personas con audición normal. Las líneas curvas representan igualdad de volumen. Cada curva está identificada con su volumen en fonios. Cualquier sonido a lo largo de una curva determinada se percibe como igualmente fuerte por la persona promedio. Las curvas se determinaron haciendo que un gran número de personas compararan el volumen de los sonidos a diferentes frecuencias y niveles de intensidad del sonido. A una frecuencia de 1,000 Hz, los fonios se consideran numéricamente iguales a los decibeles.

El gráfico es el trazado del nivel del sonido en decibeles versus la frecuencia en Hertz. Se representan los datos de 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110 y 120 fonios. Los datos se representan como líneas curvas apiladas una encima de otra.

Figura 17.15 Relación entre volumen en fonios y nivel de intensidad (en decibeles) e intensidad (en vatios por metro cuadrado) para personas con audición normal. Las líneas curvas representan igualdad de volumen: todos los sonidos de una curva determinada se perciben con el mismo volumen. Los fonios y los decibeles se definen igual a 1.000 Hz.

Ejemplo 17.4

Medición del volumen

(a) ¿Cuál es el volumen en fonios de un sonido de 100 Hz que tiene un nivel de intensidad de 80 dB? (b) ¿Cuál es el nivel de intensidad en decibeles de un sonido de 4.000 Hz que tiene un volumen de 70 fonios? (c) ¿A qué nivel de intensidad un sonido de 8.000 Hz tendrá el mismo volumen que un sonido de 200 Hz a 60 dB?

Estrategia

Para resolver este ejemplo hay que consultar el gráfico de la Figura 17.15. Para calcular el volumen de un determinado sonido, debe conocer su frecuencia y su nivel de intensidad, localizar ese punto en la cuadrícula y, seguidamente, interpolar entre las curvas de volumen para obtener el volumen en fonios. Una vez localizado ese punto, se puede determinar el nivel de intensidad a partir del eje vertical.

Solución

Identifique aspectos conocidos: la cuadrícula del gráfico que relaciona fonios y decibeles es un trazado del nivel de intensidad versus la frecuencia, ambas cantidades físicas: 100 Hz a 80 dB se encuentra a medio camino entre las curvas marcadas con 70 y 80 fonios.
Calcule el volumen: 75 fonios.
Identifique aspectos conocidos: los valores indicados son de 4.000 Hz a 70 fonios.
Siga la curva de los 70 fonios hasta llegar a los 4.000 Hz. En ese punto, está por debajo de la línea de 70 dB, a unos 67 dB.
Calcule el nivel de intensidad: 67 dB.
Localice el punto para un sonido de 200 Hz y 60 dB.
Calcule el volumen: este punto se encuentra ligeramente por encima de la curva de 50 fonios, por lo que su volumen es de 51 fonios.
El nivel de los 51 fonios se encuentra a 8.000 Hz: 63 dB.

Importancia

Estas respuestas, como toda la información extraída de la Figura 17.15, tienen incertidumbres de varios fonios o varios decibeles, en parte debido a dificultades de interpolación, pero sobre todo relacionadas con imprecisiones en las curvas de igual volumen.

Compruebe Lo Aprendido 17.3

Describa cómo se relaciona la amplitud con el volumen de un sonido.

En esta sección hemos hablado de las características del sonido y de cómo oímos, pero ¿cómo se producen los sonidos que oímos? Las fuentes de sonido más interesantes son los instrumentos musicales y la voz humana, y hablaremos sobre ellas. Pero antes de entender cómo los instrumentos musicales producen sonido, debemos revisar los mecanismos básicos que los sustentan. Las teorías que sustentan los mecanismos utilizados por los instrumentos musicales incluyen interferencia, superposición y ondas estacionarias, de lo que hablaremos en la siguiente sección.

17.3 Intensidad del sonido

Audición humana y niveles de intensidad del sonido

Cálculo de niveles de intensidad del sonido

Estrategia

Solución

Importancia

Cambiar niveles de intensidad de un sonido

Estrategia

Solución

Importancia

Audición y tono

Medición del volumen

Estrategia

Solución

Importancia