16.5 Interferencia de ondas

Reflexión y transmisión

Cuando una onda se propaga a través de un medio se refleja cuando encuentra la frontera del medio. La onda antes de chocar con la frontera se conoce como la onda incidente. La onda después de encontrarse con la frontera se conoce como la onda reflejada. La forma en que la onda se refleja en la frontera del medio depende de las condiciones de frontera; las ondas reaccionarán de forma diferente si la frontera del medio está fija en su lugar o es libre de moverse (Figura 16.17). Existe una condición de frontera fija cuando el medio en una frontera está fijado en su lugar para que no pueda moverse. Existe una condición de frontera libre cuando el medio en la frontera es libre de moverse.

Figura 16.17 (a) Uno de los extremos de una cuerda está fijado de manera que no puede moverse. Una onda que se propaga por la cuerda y que encuentra esta condición de frontera fija se refleja $180\text{°}(\pi \text{rad})$ fuera de fase con respecto a la onda incidente. (b) Un extremo de una cuerda está atado a un anillo sólido de masa insignificante en un poste de laboratorio sin fricción, donde el anillo es libre de moverse. Una onda que se propaga en la cuerda, al calcular esta condición de frontera libre, se refleja en fase $0\text{°}(0\text{rad})$ con respecto a la onda.

La parte (a) de la Figura 16.17 muestra una condición de frontera fija. En este caso, un extremo de la cuerda está fijado a una pared, de modo que el extremo de la cuerda está fijo en su lugar y el medio (la cuerda) en la frontera que no se mueve. Cuando la onda se refleja, la amplitud de la forma reflejada es exactamente la misma que la amplitud de la onda incidente, pero la onda reflejada lo hace a $180\text{°}\left(\pi \text{rad}\right)$ fuera de fase con respecto a la onda incidente. El cambio de fase se puede explicar mediante la tercera ley de Newton: Recuerde que la tercera ley de Newton establece que cuando el objeto A ejerce una fuerza sobre el objeto B, entonces el objeto B ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el objeto A. Cuando la onda incidente se encuentra con la pared, la cuerda ejerce una fuerza ascendente sobre la pared y esta reacciona ejerciendo una fuerza igual y opuesta sobre la cuerda. La reflexión en una frontera fija se invierte. Observe que la figura muestra una cresta de la onda incidente reflejada como una depresión. Si la onda incidente fuera una depresión, la onda reflejada sería una cresta.

La parte (b) de la figura muestra una condición de frontera libre. Aquí, un extremo de la cuerda está atado a un anillo sólido de masa insignificante en un poste sin fricción, por lo que el extremo de la cuerda es libre de moverse hacia arriba y hacia abajo. Cuando la onda incidente se encuentra con la frontera del medio, también se refleja. En el caso de una condición de frontera libre, la onda reflejada está en fase con respecto a la onda incidente. En este caso, la onda se encuentra con la frontera libre y aplica una fuerza hacia arriba en el anillo, lo que acelera el anillo hacia arriba. El anillo se desplaza hasta una altura máxima igual a la amplitud de la onda y luego se acelera hacia la posición de equilibrio debido a la tensión de la cuerda. La figura muestra la cresta de una onda incidente que se refleja en fase con respecto a la onda incidente como una cresta. Si la onda incidente fuera una depresión, la onda reflejada también sería una depresión. La amplitud de la onda reflejada sería igual a la amplitud de la onda incidente.

En algunas situaciones, la frontera del medio no es fija ni está libre. Considere la Figura 16.18(a), donde una cuerda de baja densidad lineal de masa está atada a una cuerda de mayor densidad lineal de masa. En este caso, la onda reflejada está desfasada con respecto a la onda incidente. También hay una onda transmitida que está en fase con respecto a la onda incidente. Tanto las ondas transmitidas como las reflejadas tienen amplitudes menores que la amplitud de la onda incidente. Si la tensión es la misma en ambas cuerdas, la rapidez de onda es mayor en la cuerda con menor densidad lineal de masa.

Figura 16.18 Las ondas en desplazamiento a lo largo de dos tipos de cuerdas: una cuerda gruesa con una densidad lineal alta y una cuerda fina con una densidad lineal baja. Ambas cuerdas tienen la misma tensión, por lo que una onda se mueve más rápido en la cuerda de baja densidad que en la cuerda de alta densidad. (a) Una onda que se mueve de un medio de baja densidad a uno de alta densidad ocasiona una onda reflejada que es $180\text{°}(\pi \text{rad})$ desfasada con respecto al pulso (u onda) incidente y una onda transmitida que está en fase con la onda incidente. (b) Cuando una onda se desplaza de un medio de alta densidad a un medio de baja densidad, tanto la onda reflejada como la transmitida están en fase con respecto a la onda incidente.

La parte (b) de la figura muestra que una cuerda de alta densidad lineal de masa está atada a una cuerda de menor densidad lineal. En este caso, la onda reflejada está en fase con respecto a la onda incidente. También hay una onda transmitida que está en fase con respecto a la onda incidente. Tanto la onda incidente como la reflejada tienen amplitudes menores que la amplitud de la onda incidente. Aquí puede observar que si la tensión es la misma en ambas cuerdas, la rapidez de onda es mayor en la cuerda con menor densidad lineal de masa.

Superposición e interferencia

La mayoría de las ondas no parecen muy simples. Las ondas complejas son más interesantes, incluso hermosas, y tienen un aspecto formidable. La mayoría de las ondas mecánicas interesantes consisten en una combinación de dos o más ondas en desplazamiento que se propagan en el mismo medio. El principio de superposición se puede usar para analizar la combinación de ondas.

Considere dos pulsos simples de la misma amplitud que se mueven el uno hacia el otro en el mismo medio, como se muestra en la Figura 16.19. Finalmente, las ondas se superponen, lo que produce una onda que tiene el doble de amplitud, y luego continúan sin que el encuentro las haya afectado. Se dice que los pulsos interfieren, y este fenómeno se conoce como interferencia.

Figura 16.19 Dos pulsos que se mueven el uno hacia el otro experimentan interferencia. El término interferencia se refiere a lo que ocurre cuando dos ondas se superponen.

Para analizar la interferencia de dos o más ondas usamos el principio de superposición. Para ondas mecánicas, el principio de superposición establece que si dos o más ondas en desplazamiento se combinan en el mismo punto, la posición resultante del elemento de masa del medio, en ese punto, es la suma algebraica de la posición debido a las ondas individuales. Esta propiedad la presentan muchas ondas observadas, como las ondas en una cuerda, las ondas sonoras y las ondas superficiales del agua. Las ondas electromagnéticas también obedecen al principio de superposición, pero se suman los campos eléctrico y magnético de la onda combinada en vez del desplazamiento del medio. Las ondas que obedecen al principio de superposición son ondas lineales; las ondas que no obedecen al principio de superposición se llaman ondas no lineales. En este capítulo nos ocupamos de ondas lineales, en particular, ondas sinusoidales.

El principio de superposición se puede entender mediante la consideración de la ecuación lineal de onda. En la sección Matemáticas de las ondas, definimos una onda lineal como una onda cuya representación matemática obedece a la ecuación lineal de onda. Para una onda transversal en una cuerda con una fuerza restauradora elástica, la ecuación lineal de onda es

Cualquier función de onda $y(x,t)=y\left(x\mp vt\right),$ donde el argumento de la función es lineal $\left(x\mp vt\right)$ es una solución de la ecuación lineal de onda y es una función de onda lineal. Si las funciones de onda $y_1\left(x,t\right)$ y $y_2\left(x,t\right)$ son soluciones a la ecuación lineal de onda, la suma de las dos funciones $y_1\left(x,t\right)+y_2\left(x,t\right)$ es también una solución a la ecuación lineal de onda. Las ondas mecánicas que obedecen a superposición se limitan normalmente a ondas con amplitudes pequeñas con respecto a sus longitudes de onda. Si la amplitud es demasiado grande, el medio se distorsiona más allá de la región donde la fuerza restauradora del medio es lineal.

Las ondas pueden interferir de forma constructiva o destructiva. La Figura 16.20 muestra dos ondas sinusoidales idénticas que llegan al mismo punto exactamente en fase. La Figura 16.20(a) y (b) muestran las dos ondas individuales, la Figura 16.20(c) muestra la onda resultante de la suma algebraica de las dos ondas lineales. Las crestas de las dos ondas están alineadas con precisión, al igual que las depresiones. Esta superposición produce una interferencia constructiva. Como las alteraciones se suman, la interferencia constructiva produce una onda que tiene el doble de amplitud que las ondas individuales, pero tiene la misma longitud de onda.

La Figura 16.21 muestra dos ondas idénticas que llegan exactamente a $180\text{°}$ fuera de fase, lo que produce interferencia destructiva. La Figura 16.21(a) y (b) muestra las ondas individuales y la Figura 16.21(c) muestra la superposición de las dos ondas. Como las depresiones de una onda se suman a la cresta de la otra, la amplitud resultante es cero para interferencia destructiva: las ondas se anulan por completo.

Figura 16.20 La interferencia constructiva de dos ondas idénticas produce una onda con el doble de amplitud, pero con la misma longitud de onda.

Figura 16.21 Interferencia destructiva de dos ondas idénticas, una con un deslizamiento de fase de $180\text{°}\left(\pi \text{rad}\right)$, produce una amplitud cero, o una cancelación completa.

Cuando las ondas lineales interfieren, la onda resultante no es más que la suma algebraica de las ondas individuales, tal como establece el principio de superposición. La Figura 16.22 muestra dos ondas (roja y azul) y la onda resultante (negra). La onda resultante es la suma algebraica de las dos ondas individuales.

Figura 16.22 Cuando dos ondas lineales en el mismo medio interfieren, la altura de la onda resultante es la suma de las alturas de las ondas individuales tomadas punto por punto. En este gráfico se muestran dos ondas (roja y azul) sumadas, junto con la onda resultante (negra). Estos gráficos representan la altura de la onda en cada punto. Las ondas pueden ser cualquier onda lineal, lo que incluye ondulaciones en un estanque, alteraciones de una cuerda, sonido u ondas electromagnéticas.

La superposición de la mayoría de las ondas produce una combinación de interferencias constructiva y destructiva, y puede variar de un lugar a otro y de un momento a otro. El sonido de un equipo de música, por ejemplo, puede ser alto en un punto y bajo en otro. La variación del volumen significa que las ondas sonoras se suman de forma parcialmente constructiva y parcialmente destructiva en diferentes lugares. Un equipo de música tiene, al menos, dos altavoces que crean ondas sonoras, y las ondas se pueden reflejar en las paredes. Todas estas ondas interfieren, y la onda resultante es la superposición de las ondas.

Hemos mostrado varios ejemplos de superposición de ondas que son similares. La Figura 16.23 ilustra un ejemplo de superposición de dos ondas disímiles. También en este caso las alteraciones se suman y producen una onda resultante.

Figura 16.23 La superposición de ondas no idénticas presenta interferencias tanto constructiva como destructiva.

A veces, cuando dos o más ondas mecánicas interfieren el patrón producido por la onda resultante puede ser rico en complejidad, algunas sin patrones fácilmente discernibles. Por ejemplo, el trazado de la onda sonora de su música favorita puede parecer bastante complejo y es la superposición de las ondas sonoras individuales de muchos instrumentos; es la complejidad lo que hace que la música sea interesante y merezca la pena escucharla. En otras ocasiones, las ondas pueden interferir y producir fenómenos interesantes, complejos en su apariencia y, sin embargo, bellos en la simplicidad del principio de superposición físico que formó la onda resultante. Un ejemplo es el fenómeno conocido como ondas estacionarias, el cual se produce por dos ondas idénticas que se mueven en direcciones diferentes. En la próxima sección analizaremos más detenidamente este fenómeno.

Superposición de ondas sinusoidales que se diferencian por un deslizamiento de fase

Muchos ejemplos en física consisten en dos ondas sinusoidales que son idénticas en amplitud, número de onda y frecuencia angular, pero que difieren por un deslizamiento de fase:

Cuando estas dos ondas existen en el mismo medio, la onda resultante de la superposición de las dos ondas individuales es la suma de las dos ondas individuales:

La onda resultante se puede entender mejor mediante la identidad trigonométrica:

donde $u=kx–\omega t+\varphi$ y $v=kx–\omega t$. La onda resultante se convierte en

Esta ecuación se suele escribir como

La onda resultante tiene el mismo número de onda y la misma frecuencia angular, una amplitud de $A_R=\left[2A\text{cos}\left(\frac{\varphi }{2}\right)\right],$ y un deslizamiento de fase igual a la mitad del deslizamiento de fase original. En la Figura 16.24 se muestran ejemplos de ondas que solo se diferencian por un deslizamiento de fase. Las ondas rojas y azules tienen cada una la misma amplitud, el mismo número de onda y la misma frecuencia angular, y solo se diferencian en un deslizamiento de fase. Por lo tanto, tienen el mismo periodo, la misma longitud de onda y la misma frecuencia. La onda verde es el resultado de la superposición de las dos ondas. Cuando las dos ondas tienen una diferencia de fase cero, las ondas están en fase, y la onda resultante tiene el mismo número de onda y la misma frecuencia angular y una amplitud igual al doble de las amplitudes individuales (parte (a)). Esto es una interferencia constructiva. Si la diferencia de fase es $180\text{°},$ las ondas se atraviesan en la interferencia destructiva (parte (c)). La onda resultante tiene una amplitud de cero. Cualquier otra diferencia de fase ocasiona una onda con el mismo número de onda y la misma frecuencia angular que las dos ondas incidentes, pero con un deslizamiento de fase de $\varphi \text{/}2$ y una amplitud igual a $2A\text{cos}(\varphi \text{/}2).$ Los ejemplos se muestran en las partes (b) y (d).

Figura 16.24 Superposición de dos ondas con amplitudes, longitudes de onda y frecuencia idénticas, pero que difieren en un deslizamiento de fase. La onda roja está definida por la función de onda $y_1\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–\omega t\right)$ y la onda azul está definida por la función de onda $y_2\left(x,t\right)=A\text{sen}\left(kx–\omega t+\varphi \right)$. La línea negra muestra el resultado de la suma de las dos ondas. La diferencia de fase entre las dos ondas es (a) $\mathrm{0,00}\text{rad},$ (b) $\pi \text{/}2\text{rad,}$ (c) $\pi \text{rad}$ y (d) $3\pi \text{/}2\text{rad}$.