William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

Describir el movimiento armónico amortiguado
Escribir las ecuaciones de movimiento para oscilaciones armónicas amortiguadas
Describir el movimiento impulsado, o forzado, movimiento armónico amortiguado
Escribir las ecuaciones de movimiento por fuerza, movimiento armónico amortiguado

En el mundo real, las oscilaciones pocas veces siguen un verdadero SHM. Algún tipo de fricción suele amortiguar el movimiento, por lo que desaparece o necesita más fuerza para continuar. En esta sección examinamos algunos ejemplos de movimiento armónico amortiguado y vemos cómo modificar las ecuaciones de movimiento para describir este caso más general.

Una cuerda de guitarra deja de oscilar unos segundos después de que la puntean. Para seguir balanceándose en un columpio de parque infantil, usted deberá seguir empujando (Figura 15.24). Aunque, a menudo, podemos hacer que la fricción y otras fuerzas no conservativas sean pequeñas o insignificantes, el movimiento completamente sin amortiguación es poco frecuente. De hecho, es posible que incluso queramos amortiguar las oscilaciones, como ocurre con el sistema de suspensión de los automóviles.

Figura 15.24 Para contrarrestar las fuerzas de amortiguación, usted debe seguir empujando un columpio (créditos: Bob Mical).

La Figura 15.25 muestra una masa m unida a un resorte con una constante de fuerza $k .$ La masa se eleva a una posición $A_{0}$ , la amplitud inicial, y luego se libera. La masa oscila alrededor de la posición de equilibrio en un fluido con viscosidad, pero la amplitud disminuye en cada oscilación. Para un sistema que tiene una pequeña cantidad de amortiguación, el periodo y la frecuencia son constantes y son casi los mismos que para SHM, pero la amplitud disminuye gradualmente como se muestra. Esto ocurre porque la fuerza de amortiguación no conservativa elimina energía del sistema, normalmente en forma de energía térmica.

Una masa m está suspendida de un resorte vertical y sumergida en un fluido que tiene una viscosidad eta. Un gráfico de la oscilación amortiguada muestra el desplazamiento x en metros en el eje vertical como una función de tiempo en segundos en el eje horizontal. El rango de x es de menos A sub cero a más A sub cero. La escala de tiempo va de cero a 7 T, con tics en incrementos de T. El desplazamiento es más A sub cero en el tiempo cero y oscila entre máximos positivos y mínimos negativos, con cada ciclo completo tomando el mismo tiempo T, pero la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo.

Figura 15.25 Para una masa sobre un resorte que oscila en un fluido viscoso, el periodo permanece constante, pero las amplitudes de las oscilaciones disminuyen debido al amortiguamiento que causa el fluido.

Considere las fuerzas que actúan sobre la masa. Note que la única contribución del peso es cambiar la posición de equilibrio, como se ha comentado anteriormente en el capítulo. Por lo tanto, la fuerza neta es igual a la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación $(F_{D})$ . Si la magnitud de la velocidad es pequeña, es decir, la masa oscila lentamente, la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad y actúa contra la dirección del movimiento $(F_{D} = – b v)$ . Por lo tanto, la fuerza neta sobre la masa es

m a = – b v - k x .

Al escribir esto como una ecuación diferencial en x, obtenemos

m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0 .

15.23

Para determinar la solución de esta ecuación, considere el trazado de posición versus tiempo que se muestra en la Figura 15.26. La curva se asemeja a una curva coseno que oscila en una envoltura de una función exponencial $A_{0} e^{– α t}$ donde $α = \frac{b}{2 m}$ . La solución es

x (t) = A_{0} e^{- \frac{b}{2 m} t} cos (ω t + ϕ) .

15.24

Queda como ejercicio demostrar que esta es, de hecho, la solución. Para demostrar que es la solución correcta, se toman la primera y la segunda derivada con respecto al tiempo y se sustituyen en la Ecuación 15.23. Se halla que la Ecuación 15.24 es la solución si

ω = \sqrt{\frac{k}{m} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}} .

Recuerde que la frecuencia angular de una masa que experimenta un SHM es igual a la raíz cuadrada de la constante de fuerza dividida entre la masa. A menudo se denomina frecuencia angular natural, que se representa como

ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} .

15.25

La frecuencia angular del movimiento armónico amortiguado se transforma en

ω = \sqrt{ω_{0}^{2} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}} .

15.26

En la figura se muestra un gráfico de desplazamiento, x en metros, en el eje vertical, versus el tiempo en segundos en el eje horizontal. El desplazamiento va de menos A sub cero a más A sub cero y el tiempo va de 0 a 10 T. El desplazamiento, mostrado por una curva azul, oscila entre máximos positivos y mínimos negativos, lo que forma una onda cuya amplitud va disminuyendo gradualmente a medida que nos alejamos de t = 0. El tiempo, T, entre crestas adyacentes es el mismo siempre. La envoltura, la curva suave que conecta las crestas y otra curva suave que conecta las depresiones de las oscilaciones, se muestra como un par de líneas rojas discontinuas. La curva superior que une las crestas está identificada como más A sub cero veces e a la cantidad menos b t sobre 2 m. La curva inferior que conecta las depresiones está identificada como menos A sub cero veces e a la cantidad menos b t sobre 2 m.

Figura 15.26 Posición versus tiempo para la masa que oscila sobre un resorte en un fluido viscoso. Observe que la curva parece ser una función coseno dentro de una envoltura exponencial.

Recuerde que cuando comenzamos esta descripción de movimiento armónico amortiguado afirmamos que la amortiguación debe ser pequeña. Se me ocurren dos preguntas. ¿Por qué la amortiguación debe ser pequeña? ¿Y cuán pequeño es lo pequeño? Si usted aumenta gradualmente la cantidad de amortiguación en un sistema, el periodo y la frecuencia empiezan a verse afectados, ya que la amortiguación se opone y, por tanto, ralentiza el movimiento de un lado a otro (la fuerza neta es más pequeña en ambas direcciones). Si la amortiguación es muy grande, el sistema ni siquiera oscila, sino que se mueve lentamente hacia el equilibrio. La frecuencia angular es igual a

ω = \sqrt{\frac{k}{m} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}} .

A medida que b aumenta, $\frac{k}{m} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}$ se hace más pequeña y finalmente llega a cero cuando $b = \sqrt{4 m k}$ . Si b se hace más grande, $\frac{k}{m} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}$ se convierte en un número negativo y $\sqrt{\frac{k}{m} - {(\frac{b}{2 m})}^{2}}$ es un número complejo.

La Figura 15.27 muestra el desplazamiento de un oscilador armónico para diferentes cantidades de amortiguación. Cuando la constante de amortiguación es pequeña, $b < \sqrt{4 m k}$ , el sistema oscila mientras la amplitud del movimiento decae exponencialmente. Se dice que este sistema está subamortiguado, como en la curva (a). Muchos sistemas están subamortiguados y oscilan mientras la amplitud disminuye exponencialmente, como la masa que oscila sobre un resorte. La amortiguación puede ser muy pequeña, pero finalmente la masa llega a estar en reposo. Si la constante de amortiguación es $b = \sqrt{4 m k}$ , se dice que el sistema está amortiguado críticamente, como en la curva (b). Un ejemplo de sistema amortiguado críticamente es el sistema de suspensión de un automóvil. Es ventajoso que las oscilaciones decaigan lo más rápido posible. En este caso, el sistema no oscila, sino que se aproxima asintóticamente a la condición de equilibrio lo más rápidamente posible. La curva (c) en la Figura 15.27 representa un sistema sobreamortiguado donde $b > \sqrt{4 m k} .$ Un sistema sobreamortiguado se acercará al equilibrio durante un periodo más largo.

La posición x en metros en el eje vertical versus el tiempo en segundos en el eje horizontal con diferentes grados de amortiguación. No se da ninguna escala para ninguno de los dos ejes. Las tres curvas comienzan en la misma posición positiva en el tiempo cero. La curva azul a, identificada con b al cuadrado, es inferior a 4 m k, experimenta algo más de dos oscilaciones y cuarto de amplitud decreciente y periodo constante. La curva roja b, identificada con b al cuadrado es igual a 4 m k, disminuye en t = 0 menos rápidamente que la curva azul, pero no oscila. La curva roja se aproxima asintóticamente a x = 0, y es casi cero dentro de una oscilación de la curva azul. La curva verde c, identificada con b al cuadrado es mayor que 4 m k, disminuye en t = 0 menos rápidamente que la curva roja y no oscila. La curva verde se aproxima asintóticamente a x = 0, pero sigue estando notablemente por encima de cero al final del gráfico, después de más de dos oscilaciones de la curva azul.

Figura 15.27 La posición versus el tiempo para tres sistemas formados por una masa y un resorte en un fluido viscoso. (a) Si la amortiguación es pequeña

(b < \sqrt{4 m k})

, la masa oscila, y pierde lentamente la amplitud a medida que la energía es disipada por las fuerzas no conservativas. El caso límite es (b) donde la amortiguación es

(b = \sqrt{4 m k})

. (c) Si la amortiguación es muy grande

(b > \sqrt{4 m k})

, la masa no oscila cuando se desplaza, sino que intenta volver a la posición de equilibrio.

A menudo se desea una amortiguación crítica, ya que un sistema de este tipo vuelve al equilibrio rápidamente y se mantiene allí. Además, una fuerza constante aplicada a un sistema amortiguado críticamente mueve el sistema a una nueva posición de equilibrio en el menor tiempo posible sin sobrepasar ni oscilar sobre la nueva posición.

Compruebe Lo Aprendido 15.5

¿Por qué son tan poco comunes los osciladores armónicos completamente no amortiguados?

15.5 Oscilaciones amortiguadas