15.4 Péndulos

El péndulo simple

Un péndulo simple se define por tener una masa puntual, también conocida como masa pendular, la cual está suspendida de una cuerda de longitud L con masa insignificante (Figura 15.20). En este caso, las únicas fuerzas que actúan sobre la pesa son la fuerza de gravedad (es decir, el peso de la pesa) y la tensión de la cuerda. Se supone que la masa de la cuerda es insignificante en comparación con la masa de la pesa.

Figura 15.20 Un péndulo simple tiene una pesa de pequeño diámetro y una cuerda que tiene una masa muy pequeña pero es lo suficientemente fuerte como para no estirarse de forma apreciable. El desplazamiento lineal desde el equilibrio es s, la longitud del arco. También se muestran las fuerzas sobre la pesa, lo que resulta en una fuerza neta de $\text{–}mg\text{sen}\theta$ hacia la posición de equilibrio, es decir, una fuerza restauradora.

Considere el torque en el péndulo. La fuerza que proporciona el torque restaurador es el componente del peso de la masa pendular que actúa a lo largo de la longitud del arco. El torque es la longitud de la cuerda L por el componente de la fuerza neta perpendicular al radio del arco. El signo menos indica que el torque actúa en dirección opuesta al desplazamiento angular:

La solución de esta ecuación diferencial implica un cálculo avanzado, y está fuera del alcance de este texto. Pero tenga en cuenta que para ángulos pequeños (menos de 15 grados), $\text{sen}\theta$ y $\theta$ difieren en menos de un 1 %, por lo que podemos utilizar la aproximación de ángulo pequeño $\text{sen}\theta \approx \theta .$ El ángulo $\theta$ describe la posición del péndulo. El uso de la aproximación de ángulo pequeño da una solución aproximada para ángulos pequeños,

Dado que esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación de SHM, la solución es fácil de calcular. La frecuencia angular es

y el periodo es

El periodo de un péndulo simple depende de su longitud y de la aceleración debido a la gravedad. El periodo es completamente independiente de otros factores, como masa y desplazamiento máximo. Como en el caso de los osciladores armónicos simples, el periodo (T) de un péndulo es casi independiente de la amplitud, especialmente si $\theta$ es inferior a unos $15\text{°}.$ Incluso relojes de péndulo simple se pueden ajustar con precisión y seguir siendo exactos.

Note la dependencia de T con respecto a g. Si se conoce con precisión la longitud de un péndulo, se puede utilizar para medir la aceleración debido a la gravedad, como en el siguiente ejemplo.

Péndulo físico

Cualquier objeto puede oscilar como un péndulo. Piense en una taza de café colgada en un gancho en la despensa. Si la taza recibe un golpe, oscila de un lado a otro como un péndulo hasta que las oscilaciones se detienen. Hemos descrito un péndulo simple como una masa puntual y una cuerda. Un péndulo físico es cualquier objeto cuyas oscilaciones son similares a las del péndulo simple, pero no se puede modelar como una masa puntual en una cuerda, y la distribución de la masa se debe incluir en la ecuación de movimiento.

En cuanto al péndulo simple, la fuerza restauradora del péndulo físico es la fuerza de la gravedad. En el péndulo simple la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de la masa pendular. En el caso del péndulo físico, la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) de un objeto. El objeto oscila alrededor de un punto O. Considere un objeto de forma genérica como el que se muestra en la Figura 15.21.

Figura 15.21 Un péndulo físico es cualquier objeto que oscila como un péndulo, pero que no se puede modelar como una masa puntual en una cuerda. La fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) y proporciona la fuerza restauradora que hace que el objeto oscile. El signo menos en el componente del peso que proporciona la fuerza restauradora está presente porque la fuerza actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente $\theta$.

Cuando un péndulo físico está colgado de un punto pero es libre de girar, lo hace debido al torque aplicado en el CM, producido por el componente del peso del objeto que actúa tangente al movimiento del CM. Tomando la dirección contraria a las agujas del reloj como positiva, el componente de la fuerza gravitacional que actúa tangente al movimiento es $\text{–}mg\text{sen}\theta$. El signo menos es el resultado de la fuerza restauradora que actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente. Recuerde que el torque es igual a $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$. La magnitud del torque es igual a la longitud del brazo del radio por el componente tangencial de la fuerza aplicada, $\left|\tau \right|=rF\text{sen}\theta$. Aquí, la longitud L del brazo del radio es la distancia entre el punto de rotación y el CM. Para analizar el movimiento, empiece con el torque neto. Al igual que el péndulo simple, considere solo los ángulos pequeños para que $\text{sen}\theta \approx \theta$. Recuerde del capítulo Rotación de eje fijo sobre rotación que el torque neto es igual al momento de inercia $I={\displaystyle \int r^{2}dm}$ por la aceleración angular $\alpha ,$ donde $\alpha =\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$:

Al usar la aproximación de ángulo pequeño y reordenar:

Una vez más, la ecuación dice que la segunda derivada temporal de la posición (en este caso, el ángulo) es igual a menos una constante $\left(–\frac{mgL}{I}\right)$ por la posición. La solución es

donde $\text{Θ}$ es el desplazamiento angular máximo. La frecuencia angular es

Por lo tanto, el periodo es

Observe que para un péndulo simple, el momento de inercia es $I={\displaystyle \int r^{2}dm}=m{L}^2$ y el periodo se reduce a $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.

Ejemplo 15.4

Cómo reducir el vaivén de un rascacielos

En condiciones extremas, los rascacielos pueden tener un vaivén de hasta dos metros con una frecuencia de hasta 20,00 Hz debido a vientos fuertes o a actividad sísmica. Varias compañías han desarrollado péndulos físicos que se colocan en lo alto de los rascacielos. Cuando el rascacielos se inclina hacia la derecha, el péndulo lo hace hacia la izquierda, lo que reduce el vaivén. Suponiendo que las oscilaciones tienen una frecuencia de 0,50 Hz, diseñe un péndulo que consista en una viga larga, de densidad constante, con una masa de 100 toneladas métricas y un punto de apoyo en un extremo de la viga. ¿Cuál debería ser la longitud de la viga?

Estrategia

Se nos pide que hallemos la longitud del péndulo físico con una masa conocida. Primero tenemos que hallar el momento de inercia de la viga. A continuación, podemos utilizar la ecuación del periodo de un péndulo físico para calcular la longitud.

Solución

1. Calcule el momento de inercia del CM:
2. Use el teorema del eje paralelo para hallar el momento de inercia en torno al punto de rotación
   
   $$I=I_{\text{CM}}+{\frac{L}{4}}^{2}M=\frac{1}{12}M{L}^2+\frac{1}{4}M{L}^2=\frac{1}{3}M{L}^2.$$
3. El periodo de un péndulo físico tiene un periodo de $T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}$. Use el momento de inercia para resolver la longitud L:
   $$\begin{array}{ccc}\hfill T& =\hfill & 2\pi \sqrt{\frac{I}{MgL}}=2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}M{L}^2}{MgL}}=2\pi \sqrt{\frac{L}{3g}};\hfill \\ \hfill L& =\hfill & 3g{\left(\frac{T}{2\pi }\right)}^2=3\left(\mathrm{9,8}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right){\left(\frac{2\text{s}}{2\pi }\right)}^2=\mathrm{2,98}\text{m}\text{.}\hfill \end{array}$$
4. Esta longitud L es desde el centro de masa hasta el eje de rotación, que es la mitad de la longitud del péndulo. Por lo tanto, la longitud H del péndulo es:
   $$H=2L=\mathrm{5,96}\text{m}$$

Importancia

Hay muchas formas de reducir las oscilaciones, entre las que se encuentran modificar la forma de los rascacielos, utilizar varios péndulos físicos y emplear amortiguadores de masa sintonizada.

Péndulo de torsión

Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido por un cable o resorte ligero (Figura 15.22). Cuando el cuerpo se retuerce un poco en un pequeño ángulo máximo $\left(\text{Θ}\right)$ y liberado del reposo, el cuerpo oscila entre $\left(\theta =+\text{Θ}\right)$ y $\left(\theta =\text{–}\text{Θ}\right)$. El torque restaurador es suministrado por el corte de la cuerda o el cable.

Figura 15.22 Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido mediante una cuerda o un cable. El cuerpo rígido oscila entre $\theta =+\text{Θ}$ y $\theta =\text{–}\text{Θ}$.

El torque restaurador se puede modelar como proporcional al ángulo:

La variable kappa $\left(\kappa \right)$ se conoce como la constante de torsión del cable o cuerda. El signo menos indica que el torque restaurador actúa en dirección opuesta al aumento del desplazamiento angular. El torque neto es igual al momento de inercia por la aceleración angular:

Esta ecuación dice que la segunda derivada temporal de la posición (en este caso, el ángulo) es igual a una constante negativa por la posición. Esto se parece mucho a la ecuación de movimiento del SHM $\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=–\frac{k}{m}x$, donde se halló que el periodo era $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$. Por lo tanto, el periodo del péndulo de torsión se puede calcular mediante

Las unidades de la constante de torsión son $\left[\kappa \right]=\text{N – m}=\left(\text{kg}\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)\text{m}=\text{kg}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}$ y las unidades para el momento de inercia son $\left[I\right]={\text{kg – m}}^2,$ que muestran que la unidad del periodo es el segundo.

Ejemplo 15.5

Medición de la constante de torsión de una cuerda

Una varilla tiene una longitud de $l=\mathrm{0,30}\text{m}$ y una masa de 4,00 kg. Se fija una cuerda al CM de la varilla y el sistema se cuelga del techo (Figura 15.23). La varilla se desplaza 10 grados desde la posición de equilibrio y se libera del reposo. La varilla oscila con un periodo de 0,5 s. ¿Cuál es la constante de torsión $\kappa$?

Figura 15.23 (a) Una varilla suspendida del techo mediante una cuerda. (b) Halle el momento de inercia de la varilla.

Estrategia

Se nos pide que hallemos la constante de torsión de la cuerda. Primero tenemos que hallar el momento de inercia.

Solución

1. Calcule el momento de inercia del CM:
   $$I_{\text{CM}}={\displaystyle \int x^2}dm={\displaystyle {\int }_{\text{–}L\text{/}2}^{+L\text{/}2}{x}^2\lambda dx}=\lambda {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{\text{–}L\text{/}2}^{+L\text{/}2}=\lambda \frac{2L^3}{24}=\left(\frac{M}{L}\right)\frac{2L^3}{24}=\frac{1}{12}M{L}^2.$$
2. Calcule la constante de torsión mediante la ecuación del periodo:
   $$\begin{array}{ccc}\hfill T& =\hfill & 2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa }};\hfill \\ \hfill \kappa & =\hfill & I{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2=\left(\frac{1}{12}M{L}^2\right){\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2;\hfill \\ & =\hfill & \left(\frac{1}{12}\left(\mathrm{4,00}\text{kg}\right){\left(\mathrm{0,30}\text{m}\right)}^2\right){\left(\frac{2\pi }{\mathrm{0,50}\text{s}}\right)}^2=\mathrm{4,73}\text{N}·\text{m}\text{.}\hfill \end{array}$$

Importancia

Al igual que la constante de fuerza del sistema de un bloque y un resorte, cuanto mayor sea la constante de torsión, más corto será el periodo.