15.3 Comparación de movimiento armónico simple y movimiento circular

Una forma fácil de modelar el SHM es considerando un movimiento circular uniforme. La Figura 15.17 muestra una forma de utilizar este método. Una clavija (un cilindro de madera) está unida a un disco vertical que gira con una frecuencia angular constante. La Figura 15.18 muestra una vista lateral del disco y la clavija. Si se coloca una lámpara sobre el disco y la clavija, la clavija produce una sombra. Supongamos que el disco tenga un radio de $r=A$ y define la posición de la sombra que coincide con la línea central del disco para ser $x=\mathrm{0,00}m$. Como el disco gira a una velocidad constante, la sombra oscila entre $x=+A$ y $x=\text{–}A$. Ahora, imagine un bloque sobre un resorte debajo del suelo como se muestra en la Figura 15.18.

Si el disco gira a la frecuencia angular adecuada, la sombra sigue al bloque. La posición de la sombra se puede modelar con la ecuación

Recuerde que el bloque unido al resorte no se mueve a velocidad constante. ¿Cuántas veces tiene que girar la rueda para que la sombra de la clavija esté siempre en el bloque? El disco debe girar a una frecuencia angular constante igual a $2\pi$ veces la frecuencia de oscilación $\left(\omega =2\pi f\right)$.

La Figura 15.19 muestra la relación básica entre el movimiento circular uniforme y el SHM. La clavija se encuentra en la punta del radio, a una distancia A del centro del disco. El eje x está definido por una línea trazada en paralelo al suelo que corta el disco por la mitad. El eje y (no mostrado) está definido por una línea perpendicular al suelo que corta el disco en una mitad izquierda y otra derecha. El centro del disco es el punto $\left(x=0,y=0\right).$ La proyección de la posición de la clavija sobre el eje x fijo da la posición de la sombra, que experimenta un SHM análogo al del sistema del bloque y el resorte. En el tiempo indicado en la figura, la proyección tiene la posición x y se mueve hacia la izquierda con velocidad v. La velocidad tangencial de la clavija alrededor del círculo es igual a ${\stackrel{\text{–}}{v}}_{\text{máx.}}$ del bloque en el resorte. El componente x de la velocidad es igual a la velocidad del bloque sobre el resorte.

Podemos usar la Figura 15.19 para analizar la velocidad de la sombra a medida que el disco gira. La clavija se mueve en un círculo con una velocidad de $v_{\text{máx.}}=A\omega$. La sombra se mueve con una velocidad igual al componente de la velocidad de la clavija que es paralela a la superficie donde se produce la sombra:

De ello se deduce que la aceleración es