William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Problemas De Desafío

81.

Se excava un túnel a través del centro de un planeta perfectamente esférico y sin aire de radio R. Usando la expresión para g derivada en Gravitación cerca de la superficie terrestre para una densidad uniforme, demuestre que una partícula de masa m lanzada en el túnel ejecutará un movimiento armónico simple. Deduzca el periodo de oscilación de m y demuestre que tiene el mismo periodo que una órbita en la superficie.

82.

Siguiendo la técnica empleada en la sección Gravitación cerca de la superficie terrestre, halle el valor de g como una función de radio r desde el centro de un planeta de cáscara esférica de densidad constante $ρ$ con radios interiores y exteriores _{$R_{en}$} y _{$R_{fuera}$}. Encuentre g para ambos $R_{en} < r < R_{fuera}$ y para $r < R_{en}$ . Suponga que el interior de la cáscara se mantiene sin aire y describa el viaje dentro del planeta de la cáscara esférica.

83.

Demuestre que la velocidad areolar para una órbita circular de radio r alrededor de una masa M es $\frac{Δ A}{Δ t} = \frac{1}{2} \sqrt{G M r}$ . ¿Su expresión da el valor correcto de la velocidad areolar de la Tierra alrededor del Sol?

84.

Demuestre que el periodo de la órbita para dos masas, $m_{1}$ y $m_{2}$ , en órbitas circulares de radios $r_{1}$ y $r_{2}$ , respectivamente, alrededor de su centro de masa común, viene dado por $T = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G (m_{1} + m_{2})}} donde r = r_{1} + r_{2}$ . (Pista: Las masas orbitan a radios $r_{1}$ y $r_{2}$ , respectivamente, donde $r = r_{1} + r_{2}$ . Use la expresión del centro de masa para relacionar los dos radios y observe que las dos masas deben tener momentos iguales pero opuestos. Comience con la relación del periodo con la circunferencia y la velocidad de la órbita para una de las masas. Use el resultado del problema anterior usando los momentos en las expresiones de la energía cinética).

85.

Demuestre que para pequeños cambios en la altura h, tales que $h < < R_{E}$ , la Ecuación 13.4 se reduce a la expresión $Δ U = m g h$ .

86.

Usando la Figura 13.9, dibuje cuidadosamente un diagrama de cuerpo libre para el caso de un péndulo simple colgado en la latitud lambda, y etiquete todas las fuerzas que actúan sobre la masa puntual, m. Establezca las ecuaciones de movimiento para el equilibrio, fije una coordenada en la dirección de la aceleración centrípeta (hacia P en el diagrama) y la otra perpendicular a ella. Demuestre que el ángulo de deflexión $ε$ , definido como el ángulo entre la cuerda del péndulo y la dirección radial hacia el centro de la Tierra, viene dado por la expresión siguiente. ¿Cuál es el ángulo de deflexión a 45 grados de latitud? Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta. $tan (λ + ε) = \frac{g}{(g - ω^{2} R_{E})} tan λ$ , donde $ω$ es la velocidad angular de la Tierra.

87.

(a) Demuestre que la fuerza de marea sobre un pequeño objeto de masa m, definida como la diferencia de la fuerza gravitacional que se ejercería sobre m a una distancia en el lado cercano y en el lejano del objeto, debido a la gravitación a una distancia R de M, viene dada por $F_{marea} = \frac{2 G M m}{R^{3}} Δ r$ donde $Δ r$ es la distancia entre el lado cercano y el lejano y $Δ r < < R$ . (b) Suponga que está cayendo de pie en el agujero negro del centro de nuestra galaxia. Tiene una masa de 4 millones de masas solares. ¿Cuál sería la diferencia entre la fuerza en la cabeza y en los pies en el radio de Schwarzschild (horizonte de sucesos)? Suponga que los pies y la cabeza tienen cada uno una masa de 5,0 kg y están a 2,0 m de distancia. ¿Sobreviviría al atravesar el horizonte de sucesos?

88.

Encuentre las velocidades de transferencia de Hohmann, $Δ v_{ElipseTierra}^{}$ y $Δ v_{ElipseMarte}^{}$ , necesario para un viaje a Marte. Use la Ecuación 13.7 para encontrar las velocidades orbitales circulares de la Tierra y Marte. Usando la Ecuación 13.4 y la energía total de la elipse (con semieje mayor a), dado por $E = - \frac{G m M_{s}}{2 a^{}}$ , encuentre las velocidades en la Tierra (perihelio) y en Marte (afelio) necesarias para estar en la elipse de transferencia. La diferencia, $Δ v$ , en cada punto es el aumento de velocidad o la velocidad de transferencia necesaria.