10.6 Torque

Definir el torque

Hasta ahora hemos definido muchas variables que son equivalentes rotacionales a sus contrapartes traslacionales. Consideremos cuál debe ser la contrapartida de la fuerza. Dado que las fuerzas cambian el movimiento de traslación de los objetos, la contraparte rotacional deberá relacionarse con el cambio del movimiento de rotación de un objeto alrededor de un eje. Llamamos torque a esta contrapartida rotacional.

En la vida cotidiana, rotamos objetos alrededor de un eje todo el tiempo, así que intuitivamente ya sabemos mucho sobre el torque. Piense, por ejemplo, en cómo rotamos una puerta para abrirla. En primer lugar, sabemos que una puerta se abre con lentitud si empujamos demasiado cerca de sus bisagras; es más eficaz hacer rotar una puerta abierta si empujamos lejos de las bisagras. En segundo lugar, sabemos que debemos empujar perpendicularmente al plano de la puerta; si empujamos paralelamente al plano de la puerta, no podremos hacerla rotar. En tercer lugar, cuanto mayor sea la fuerza, más eficaz será para abrir la puerta; cuanto más fuerte sea el empujón, la puerta se abrirá más rápidamente. El primer punto implica que, cuanto más lejos se aplique la fuerza del eje de rotación, mayor será la aceleración angular; el segundo implica que la eficacia depende del ángulo en el que se aplica la fuerza; el tercero implica que la magnitud de la fuerza también debe formar parte de la ecuación. Observe que, para la rotación en un plano, el torque tiene dos direcciones posibles. El torque es en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario de las agujas del reloj con respecto al punto de apoyo elegido. La Figura 10.31 muestra rotaciones en sentido contrario de las agujas del reloj.

Figura 10.31 El torque es la eficacia de giro o torsión de una fuerza, ilustrada aquí para la rotación de una puerta sobre sus bisagras (vista desde arriba). El torque tiene tanto magnitud como dirección. (a) Un torque en el sentido contrario de las agujas del reloj es producido por una fuerza $\overrightarrow{F}$ actuando a una distancia r de las bisagras (el punto de apoyo). (b) Se produce un torque menor en el sentido contrario de las agujas del reloj cuando una fuerza menor ${\overrightarrow{F}}^{\text{′}}$ actúa a la misma distancia r de las bisagras. (c) La misma fuerza que en (a) produce un torque menor en el sentido contrario de las agujas del reloj cuando se aplica a una distancia menor de las bisagras. (d) Se produce un torque menor en el sentido contrario de las agujas del reloj si la fuerza de la misma magnitud que (a) actúa a la misma distancia que (a), pero con un ángulo $\theta$ que es menor a $90\text{°}$.

Consideremos ahora cómo definir los torques en el caso general de las tres dimensiones.

Figura 10.32 El torque es perpendicular al plano definido por $\overrightarrow{r}\text{y}\overrightarrow{F}$ y su dirección está determinada por la regla de la mano derecha.

A partir de la definición del producto cruz, el torque $\overrightarrow{\tau }$ es perpendicular al plano que contiene a $\overrightarrow{r}\text{y}\overrightarrow{F}$ y tiene una magnitud

donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{F}$. La unidad SI de torque es newtons por metros, que se escribe como $\text{N}·\text{m}$. La cantidad $r_{\perp }=r\text{sen}\theta$ es la distancia perpendicular de O a la línea determinada por el vector $\overrightarrow{F}$ y se denomina brazo de palanca. Observe que, cuanto mayor sea el brazo de palanca, mayor será la magnitud del torque. En términos del brazo de palanca, la magnitud del torque es

El producto cruz $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$ también nos indica el signo del torque. En la Figura 10.32, el producto cruz $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$ es a lo largo del eje de la z positiva, que, por convención, es un torque positivo. Si $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$ es a lo largo del eje de la z negativa; esto produce un torque negativo.

Si consideramos un disco que rota libremente en torno a un eje que pasa por el centro, como se muestra en la Figura 10.33, podemos ver cómo el ángulo entre el radio $\overrightarrow{r}$ y la fuerza $\overrightarrow{F}$ afecta a la magnitud del torque. Si el ángulo es cero, el torque es cero; si el ángulo es $90\text{°}$, el torque es máximo. El torque en la Figura 10.33 es positivo porque la dirección del torque por la regla de la mano derecha está fuera de la página a lo largo del eje de la z positiva. El disco rota en el sentido contrario de las agujas del reloj debido al torque, en la misma dirección que la aceleración angular positiva.

Figura 10.33 Un disco rotar libremente en torno a su eje por el centro. La magnitud del torque en el disco es $rF\text{sen}\theta$. Cuando $\theta =0\text{°}$, el torque es cero y el disco no rota. Cuando $\theta =90\text{°}$, el torque es máximo y el disco rota con la máxima aceleración angular.

Se puede calcular cualquier número de torques en torno a un eje determinado. Cada uno de los torques se suman para producir un torque neto en torno al eje. Cuando se asigna el signo apropiado (positivo o negativo) a la magnitud de cada uno de los torques en torno a un eje determinado, el torque neto al eje es la suma de todos y cada uno de los torques:

Calcular el torque neto para cuerpos rígidos en un eje fijo

En los siguientes ejemplos, calculamos el torque tanto de forma abstracta y aplicado a un cuerpo rígido.

En primer lugar, introducimos una estrategia de resolución de problemas.

Ejemplo 10.14

Calcular el torque

En la Figura 10.34 se muestran cuatro fuerzas en lugares y orientaciones particulares con respecto a un sistema de coordenadas xy determinado. Halle el torque debido a cada fuerza en torno al origen, y luego utilice sus resultados para hallar el torque neto en torno al origen.

Figura 10.34 Cuatro fuerzas que producen torques.

Estrategia

Este problema requiere el cálculo del torque. Todas las cantidades conocidas, fuerzas con direcciones y brazos de palanca, se indican en la figura. El objetivo es hallar cada torque y el torque neto al sumar todos y cada uno de los torques. Tenga cuidado de asignar el signo correcto a cada torque mediante el producto cruz de $\overrightarrow{r}$ y el vector de fuerza $\overrightarrow{F}$.

Solución

Utilice $\left|\overrightarrow{\tau }\right|=r_{\perp }F=rF\text{sen}\theta$ para hallar la magnitud y $\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$ para determinar el signo del torque.

El torque para la fuerza de 40 N en el primer cuadrante viene dado por $(4)(40)\text{sen}90\text{°}=160\text{N}·\text{m}$.

El producto cruz de $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{F}$ está fuera de la página, es positivo.

El torque para la fuerza de 20 N en el tercer cuadrante viene dado por$\text{-}(3)(20)\text{sen}90\text{°}=-60\text{N}·\text{m}$.

El producto cruz de $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{F}$ está dentro de la página, por lo que es negativo.

El torque para la fuerza 30 N en el tercer cuadrante viene dado por $(5)(30)\text{sen}53\text{°}=120\text{N}·\text{m}$.

El producto cruz de $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{F}$ está fuera de la página, es positivo.

El torque para la fuerza de 20 N en el segundo cuadrante viene dado por $(1)(20)\text{sen}30\text{°}=10\text{N}·\text{m}$.

El producto cruz de $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{F}$ está fuera de la página.

Por lo tanto, el torque neto es ${\tau }_{\text{neto}}={\displaystyle \sum _i\left|{\tau }_i\right|}=160-60+120+10=230\text{N}·\text{m}\text{.}$

Importancia

Observe que cada fuerza que actúa en el sentido contrario de las agujas del reloj tiene un torque positivo, mientras que cada fuerza que actúa en el sentido de las agujas del reloj tiene un torque negativo. El torque es mayor cuando la distancia, la fuerza o los componentes perpendiculares son mayores.

Ejemplo 10.15

Calcular el torque en un cuerpo rígido

La Figura 10.35 muestra varias fuerzas que actúan en diferentes lugares y ángulos sobre un volante de inercia. Tenemos $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=20\text{N},$ $\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=30\text{N}$, $\left|{\overrightarrow{F}}_3\right|=30\text{N}$, y $r=\mathrm{0,5}\text{m}$. Calcule el torque neto en el volante de inercia en torno a un eje que pasa por el centro.

Figura 10.35 Tres fuerzas que actúan sobre un volante de inercia.

Estrategia

Calculamos cada torque individualmente, mediante el producto cruz, y determinamos el signo del torque. Luego sumamos los torques para dar con el torque neto.

Solución

Comenzamos con ${\overrightarrow{F}}_1$. Si nos fijamos en la Figura 10.35, vemos que ${\overrightarrow{F}}_1$ forma un ángulo de $90\text{°}+60\text{°}$ con el radio del vector $\overrightarrow{r}$. Tomando el producto cruz, vemos que está fuera de la página y por lo tanto es positivo. También vemos esto al calcular su magnitud:

$$\left|{\overrightarrow{\tau }}_1\right|=r{F}_1\text{sen}150\text{°}=\mathrm{0,5}\text{m}(20\text{N})(\mathrm{0,5})=\mathrm{5,0}\text{N}·\text{m}.$$

A continuación, examinamos ${\overrightarrow{F}}_2$. El ángulo entre ${\overrightarrow{F}}_2$ y $\overrightarrow{r}$ es $90\text{°}$ y el producto cruz está en la página, por lo que el torque es negativo. Su valor es

$$\left|{\overrightarrow{\tau }}_2\right|=\text{-}r{F}_2\text{sen}90\text{°}=\mathrm{-0,5}\text{m}(30\text{N})=\mathrm{-15,0}\text{N}·\text{m}.$$

Cuando evaluamos el torque debido a ${\overrightarrow{F}}_3$, vemos que el ángulo que forma con $\overrightarrow{r}$ es cero, por lo que $\overrightarrow{r}\times {\overrightarrow{F}}_3=0.$ Por lo tanto, ${\overrightarrow{F}}_3$ no produce ningún torque en el volante de inercia.

Evaluamos la suma de los torques:

$${\tau }_{\text{neto}}={\displaystyle \sum _i\left|{\tau }_i\right|}=5-15=\mathrm{-10}\text{N}·\text{m}.$$

Importancia

El eje de rotación está en el centro de masa del volante de inercia. Dado que el volante de inercia está en un eje fijo, no se traslada libremente. Si estuviera en una superficie sin fricción y no estuviera fijo, ${\overrightarrow{F}}_3$ provocaría la traslación del volante de inercia, así como ${\overrightarrow{F}}_1$. Su movimiento sería una combinación de traslación y rotación.

Compruebe Lo Aprendido 10.6

Un gran barco oceánico encalla cerca de la costa, como ocurrió con el Costa Concordia, y queda en un ángulo como el que se muestra a continuación. La tripulación de salvamento deberá aplicar un torque para enderezar el barco con el fin de hacerlo flotar para su transporte. Una fuerza de $\mathrm{5,0}\times {10}^5\text{N}$ actuando en el punto A deberá aplicarse para enderezar el barco. ¿Cuál es el torque sobre el punto de contacto del barco con el suelo (Figura 10.36)?

Figura 10.36 Un barco encalla y se inclina, por lo que es necesario aplicar un torque para devolverlo a la posición vertical.