10.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional

Energía cinética rotacional

Cualquier objeto en movimiento tiene energía cinética. Sabemos cómo calcular esto para un cuerpo que experimenta un movimiento traslacional, pero ¿qué pasa con un cuerpo rígido que experimenta una rotación? Esto puede parecer complicado porque cada punto del cuerpo rígido tiene una velocidad diferente. Sin embargo, podemos utilizar la velocidad angular, que es la misma para todo el cuerpo rígido, a objeto de expresar la energía cinética de un objeto en rotación. La Figura 10.17 muestra un ejemplo de un cuerpo en rotación muy energético: una piedra eléctrica de amolar, impulsada por un motor. Saltan chispas y se generan ruidos y vibraciones mientras la piedra de amolar hace su trabajo. Este sistema tiene una energía considerable, parte de ella en forma de calor, luz, sonido y vibración. Sin embargo, la mayor parte de esta energía está en forma de energía cinética rotacional.

Figura 10.17 La energía cinética rotacional de la piedra de amolar se convierte en calor, luz, sonido y vibración (créditos: Zachary David Bell, Marina de los EE. UU.).

La energía en el movimiento rotacional no es ninguna nueva forma de energía, sino que es la energía asociada al movimiento rotacional, igual que la energía cinética en el movimiento traslacional. Sin embargo, ya que la energía cinética viene dada por $K=\frac{1}{2}m{v}^2$, y la velocidad es una cantidad que es diferente para cada punto de un cuerpo que rota en torno a un eje, tiene sentido encontrar una manera de escribir la energía cinética en términos de la variable $\omega$, que es la misma para todos los puntos de un cuerpo rígido en rotación. Para una sola partícula que rota en torno a un eje fijo, esto es sencillo de calcular. Podemos relacionar la velocidad angular con la magnitud de la velocidad de traslación mediante la relación $v_{\text{t}}=\omega r$, donde r es la distancia de la partícula al eje de rotación y $v_{\text{t}}$ es su rapidez tangencial. Al sustituir en la ecuación de la energía cinética, hallamos

En el caso de un cuerpo rígido en rotación, podemos dividir cualquier cuerpo en un gran número de masas más pequeñas, cada una con una masa $m_j$ y una distancia al eje de rotación $r_j$, de manera que la masa total del cuerpo es igual a la suma de todas y cada una de las masas $M={\displaystyle \sum _j{m}_j}$. Cada masa menor tiene una rapidez tangencial $v_j$, donde por el momento hemos suprimido el subíndice t. La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es

y dado que ${\omega }_j=\omega$ para todas las masas,

Las unidades de la Ecuación 10.16 son julios (J). La ecuación en esta forma es completa, aunque poco manejable; tenemos que encontrar una manera de generalizarla.

Momento de inercia

Si comparamos la Ecuación 10.16 con la forma en que escribimos la energía cinética en Trabajo y energía cinética, $\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)$, esto sugiere que tenemos una nueva variable rotacional que añadir a la lista de nuestras relaciones entre variables rotacionales y traslacionales. La cantidad ${\displaystyle \sum _j{m}_j{r}_j^2}$ es la contraparte de la masa en la ecuación de la energía cinética rotacional. Este es un término nuevo e importante para el movimiento rotacional. Esta cantidad recibe el nombre de momento de inercia I, con unidades de $\text{kg}·{\text{m}}^2$:

Por ahora, dejamos la expresión en forma de suma, representando el momento de inercia de un sistema de partículas puntuales que rotan en torno a un eje fijo. Observamos que el momento de inercia de una partícula puntual en torno a un eje fijo es simplemente $m{r}^2$, siendo r la distancia de la partícula puntual al eje de rotación. En la siguiente sección, exploramos la forma integral de esta ecuación, que puede utilizarse para calcular el momento de inercia de algunos cuerpos rígidos de forma regular.

El momento de inercia es la medida cuantitativa de la inercia rotacional, al igual que en el movimiento traslacional, y la masa es la medida cuantitativa de la inercia lineal, es decir, cuanto más masivo sea un objeto, más inercia tiene y mayor será su resistencia al cambio de velocidad lineal. Del mismo modo, cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo rígido o de un sistema de partículas, mayor será su resistencia al cambio de velocidad angular en torno a un eje fijo de rotación. Es interesante ver cómo varía el momento de inercia con r, la distancia al eje de rotación de las partículas de masa en la Ecuación 10.17. Los cuerpos rígidos y los sistemas de partículas con más masa concentrados a mayor distancia del eje de rotación tienen mayores momentos de inercia que los cuerpos y sistemas de la misma masa, pero concentrados cerca del eje de rotación. De esta manera, podemos ver que un cilindro hueco tiene más inercia rotacional que un cilindro sólido de la misma masa cuando rota en torno a un eje que pasa por el centro. Sustituyendo la Ecuación 10.17 en la Ecuación 10.16, la expresión para la energía cinética de un cuerpo rígido en rotación se convierte en

De esta ecuación se desprende que la energía cinética de un cuerpo rígido en rotación es directamente proporcional al momento de inercia y al cuadrado de la velocidad angular. Esto se aprovecha en los dispositivos de almacenamiento de energía de los volantes de inercia, que están diseñados para almacenar grandes cantidades de energía cinética rotacional. Muchos fabricantes de automóviles están probando ahora dispositivos de almacenamiento de energía en volantes de inercia en sus automóviles, como el volante de inercia, o sistema de recuperación de energía cinética, que se muestra en la Figura 10.18.

Figura 10.18 Volante de inercia del sistema de recuperación de energía cinética (Kinetic Energy Recovery System, KERS) utilizado en los autos (créditos: "cmonville"/Flickr).

Las magnitudes rotacional y traslacional para la energía cinética y la inercia se resumen en la Tabla 10.4. La columna de relación no se incluye porque no existe ninguna constante por la que podamos multiplicar la cantidad rotacional para obtener la cantidad traslacional, como se puede hacer con las variables en la Tabla 10.3.

Ejemplo 10.8

Momento de inercia de un sistema de partículas

Seis pequeñas arandelas están separadas por 10 cm en una varilla de masa insignificante y 0,5 m de longitud. La masa de cada arandela es de 20 g. La varilla rota en torno a un eje situado a 25 cm, como se muestra en la Figura 10.19. (a) ¿Cuál es el momento de inercia del sistema? (b) Si se quitan las dos arandelas más cercanas al eje, ¿cuál es el momento de inercia de las cuatro arandelas restantes? (c) Si el sistema con seis arandelas gira a 5 rev/s, ¿cuál es su energía cinética rotacional?

Figura 10.19 Seis arandelas están separadas por 10 cm en una varilla de masa despreciable y rotan en torno a un eje vertical.

Estrategia

1. Utilizamos la definición de momento de inercia para un sistema de partículas y realizamos la suma para evaluar esta cantidad. Las masas son todas iguales, así que podemos poner esa cantidad delante del símbolo de la suma.
2. Hacemos un cálculo similar.
3. Insertamos el resultado de (a) en la expresión de la energía cinética rotacional.

Solución

1. $I={\displaystyle \sum _j{m}_j{r}_j^2}=(\mathrm{0,02}\text{kg})(2\times {(\mathrm{0,25}\text{m})}^2+2\times {(\mathrm{0,15}\text{m})}^2+2\times {(\mathrm{0,05}\text{m})}^2)=\mathrm{0,0035}\text{kg}·{\text{m}}^2$.
2. $I={\displaystyle \sum _j{m}_j{r}_j^2}=(\mathrm{0,02}\text{kg})(2\times {(\mathrm{0,25}\text{m})}^2+2\times {(\mathrm{0,15}\text{m})}^2)=\mathrm{0,0034}\text{kg}·{\text{m}}^2$.
3. $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}(\mathrm{0,0035}\text{kg}·{\text{m}}^2)(\mathrm{5,0}\times 2\pi \text{rad}\text{/}{\text{s})}^2=\mathrm{1,73}\text{J}$.

Importancia

Podemos ver los aportes individuales al momento de inercia. Las masas cercanas al eje de rotación tienen un aporte muy pequeño. Cuando las quitamos, tuvo un efecto muy pequeño en el momento de inercia.

En la siguiente sección, generalizamos la ecuación de suma para partículas puntuales y desarrollamos un método para calcular los momentos de inercia de los cuerpos rígidos. Por ahora, sin embargo, la Figura 10.20 ofrece valores de inercia rotacional para formas de objetos comunes alrededor de ejes específicos.

Figura 10.20 Valores de inercia rotacional para formas comunes de objetos.

Aplicación de la energía cinética rotacional

Apliquemos ahora las ideas de la energía cinética rotacional y la tabla de momentos de inercia para tener una idea de la energía asociada a algunos objetos en rotación. Los siguientes ejemplos también le harán sentirse cómodo utilizando estas ecuaciones. En primer lugar, veamos una estrategia general de resolución de problemas de energía rotacional.

Ejemplo 10.9

Calcular la energía de los helicópteros

Un pequeño helicóptero de rescate típico tiene cuatro aspas: cada una mide 4,00 m de largo y tiene una masa de 50,0 kg (Figura 10.21). Las aspas pueden tomarse como varillas delgadas que rotan en torno a un extremo de un eje perpendicular a su longitud. El helicóptero tiene una masa total cargada de 1.000 kg. (a) Calcule la energía cinética rotacional en las aspas cuando giran a 300 rpm. (b) Calcule la energía cinética traslacional del helicóptero cuando vuela a 20,0 m/s, y compárela con la energía rotacional en las aspas.

Figura 10.21 (a) Esquema de un helicóptero de cuatro aspas. (b) Una operación de rescate en el agua con un helicóptero del Servicio de Helicópteros de Rescate de Auckland Westpac (créditos b: modificación del trabajo de "111 Emergency"/Flickr).

Estrategia

Las energías cinéticas rotacional y traslacional pueden calcularse a partir de sus definiciones. El enunciado del problema arroja todas las constantes necesarias para evaluar las expresiones de las energías cinéticas rotacional y traslacional.

Solución

1. La energía cinética rotacional es
   $$K=\frac{1}{2}I{\omega }^2.$$
   Debemos convertir la velocidad angular a radianes por segundo y calcular el momento de inercia antes de poder encontrar K. La velocidad angular $\omega$ es
   $$\omega =\frac{300\text{rev}}{\mathrm{1,00}\text{min}}\frac{2\pi \text{rad}}{\text{1 rev}}\frac{\mathrm{1,00}\text{min}}{\mathrm{60,0}\text{s}}=\mathrm{31,4}\frac{\text{rad}}{\text{s}}.$$
   El momento de inercia de un aspa es el de una varilla delgada que rota en torno a su extremo, que figura en la Figura 10.20. El I total es cuatro veces este momento de inercia porque hay cuatro aspas. Así,
   $$I=4\frac{M{l}^2}{3}=4\times \frac{(\mathrm{50,0}\text{kg}){(\mathrm{4,00}\text{m})}^2}{3}=\mathrm{1067,0}\text{kg}·{\text{m}}^2.$$
   Al introducir $\omega$ y I en la expresión de la energía cinética rotacional da
   $$K=\mathrm{0,5}(1.067\text{kg}·{\text{m}}^2){\text{(31,4 rad/s)}}^2=\mathrm{5,26}\times {10}^5\text{J}\text{.}$$
2. Al introducir los valores dados en la ecuación de la energía cinética traslacional, obtenemos
   $$K=\frac{1}{2}m{v}^2=(\mathrm{0,5})(\mathrm{1.000,0}\text{kg}){(\mathrm{20,0}\text{m/s})}^2=\mathrm{2,00}\times {10}^5\text{J}.$$
   Para comparar la energía cinética, tomamos el cociente entre la energía cinética traslacional y la energía cinética rotacional. Este cociente es
   $$\frac{\mathrm{2,00}\times {10}^5\text{J}}{\mathrm{5,26}\times {10}^5\text{J}}=\mathrm{0,380}.$$

Importancia

El cociente entre la energía traslacional y la energía cinética rotacional es solo de 0,380. Este cociente nos indica que la mayor parte de la energía cinética del helicóptero está en sus aspas giratorias.

Ejemplo 10.10

Energía en un búmeran

Una persona lanza un bumerán al aire, a una velocidad de 30,0 m/s en un ángulo de $\mathrm{40,0}\text{°}$ con respecto a la horizontal (Figura 10.22). Tiene una masa de 1,0 kg y gira a 10,0 rev/s. El momento de inercia del bumerán viene dado por $I=\frac{1}{12}m{L}^2$ donde $L=\mathrm{0,7}\text{m}$. (a) ¿Cuál es la energía total del bumerán cuando sale de la mano? (b) ¿A qué altura llega el bumerán desde la elevación de la mano, descartando la resistencia del aire?

Figura 10.22 Un bumerán se lanza al aire en un ángulo inicial de $40\text{°}$.

Estrategia

Utilizamos las definiciones de energía cinética rotacional y lineal para hallar la energía total del sistema. El problema señala que hay que descartar la resistencia del aire, por lo que no hay que preocuparse por la pérdida de energía. En la parte (b), utilizamos la conservación de la energía mecánica para hallar la altura máxima del bumerán.

Solución

1. Momento de inercia: $I=\frac{1}{12}m{L}^2=\frac{1}{12}(\mathrm{1,0}\text{kg})(\mathrm{0,7}{\text{m})}^2=\mathrm{0,041}\text{kg}·{\text{m}}^2$.
   Velocidad angular: $\omega =(\mathrm{10,0}\text{rev}\text{/}\text{s})(2\pi )=\mathrm{62,83}\text{rad}\text{/}\text{s}$.
   Por lo tanto, la energía cinética rotacional es
   $$K_{\text{R}}=\frac{1}{2}(\mathrm{0,041}\text{kg}·{\text{m}}^2){(\mathrm{62,83}\text{rad}\text{/}\text{s})}^2=\mathrm{80,93}\text{J}.$$
   La energía cinética traslacional es
   $$K_{\text{T}}=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}(\mathrm{1,0}\text{kg})(\mathrm{30,0}\text{m}\text{/}\text{s}{)}^2=\mathrm{450,0}\text{J}.$$
   Por lo tanto, la energía total del bumerán es
   $$K_{\text{Total}}=K_{\text{R}}+K_{\text{T}}=\mathrm{80,93}+\mathrm{450,0}=\mathrm{530,93}\text{J}.$$
2. Utilizamos la conservación de la energía mecánica. Dado que el bumerán se lanza en ángulo, necesitamos escribir la energía total del sistema en términos de su energía cinética lineal al utilizar la velocidad en las direcciones de la x y la y. La energía total cuando el bumerán sale de la mano es
   $$E_{\text{Antes}}=\frac{1}{2}m{v}_x^2+\frac{1}{2}m{v}_y^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2.$$
   La energía total a la altura máxima es
   $$E_{\text{Final}}=\frac{1}{2}m{v}_x^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2+mgh.$$
   Por conservación de la energía mecánica, $E_{\text{Antes}}=E_{\text{Final}}$ por lo que tenemos, después de cancelar términos similares,
   $$\frac{1}{2}m{v}_y^2=mgh.$$
   Dado que $v_y=\mathrm{30,0}\text{m}\text{/}\text{s}(\text{sen}40\text{°})=\mathrm{19,28}\text{m}\text{/}\text{s}$, hallamos
   $$h=\frac{{(\mathrm{19,28}\text{m}\text{/}\text{s})}^2}{2(\mathrm{9,8}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2)}=\mathrm{18,97}\text{m}.$$

Importancia

En la parte (b), la solución demuestra cómo la conservación de energía es un método alternativo para resolver un problema que normalmente se resolvería utilizando la cinemática. En ausencia de resistencia del aire, la energía cinética rotacional no era un factor en la solución para la altura máxima.