10.3 Relacionar cantidades angulares y traslacionales

Variables angulares frente a variables lineales

En Variables rotacionales, introducimos las variables angulares. Si comparamos las definiciones rotacionales con las definiciones de las variables cinemáticas lineales de Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones, encontramos que hay un mapeo de las variables lineales a las rotacionales. La posición lineal, la velocidad y la aceleración tienen sus contrapartes rotacionales, como podemos ver cuando las escribimos una al lado de la otra:

Comparemos las variables lineales y rotacionales individualmente. La variable lineal de posición tiene unidades físicas de metros, mientras que la variable de posición angular tiene unidades adimensionales de radianes, como puede observarse en la definición de $\theta =\frac{s}{r}$, que es la relación de dos longitudes. La velocidad lineal tiene unidades de m/s, y su contraparte, la velocidad angular, tiene unidades de rad/s. En Variables rotacionales, vimos en el caso del movimiento circular que la rapidez lineal tangencial de una partícula a un radio r del eje de rotación está relacionada con la velocidad angular por la relación $v_{\text{t}}=r\omega$. Esto también podría aplicarse a los puntos de un cuerpo rígido que rota en torno a un eje fijo. En este caso, solo consideramos el movimiento circular. En el movimiento circular, tanto uniforme como no uniforme, existe una aceleración centrípeta (Movimiento en dos y tres dimensiones). El vector de aceleración centrípeta apunta hacia el interior de la partícula que ejecuta el movimiento circular hacia el eje de rotación. La derivación de la magnitud de la aceleración centrípeta se da en Movimiento en dos y tres dimensiones. A partir de esa derivación, la magnitud de la aceleración centrípeta resultó ser

donde r es el radio del círculo.

Así, en el movimiento circular uniforme, cuando la velocidad angular es constante y la aceleración angular es cero, tenemos una aceleración lineal, es decir, una aceleración centrípeta, ya que la rapidez tangencial en la Ecuación 10.14 es una constante. Si existe un movimiento circular no uniforme, el sistema en rotación tiene una aceleración angular, y tenemos tanto una aceleración centrípeta lineal que está cambiando (porque $v_{\text{t}}$ está cambiando) así como una aceleración tangencial lineal. Estas relaciones se indican en la Figura 10.14, donde presentamos las aceleraciones centrípeta y tangencial para el movimiento circular uniforme y no uniforme.

Figura 10.14 (a) Movimiento circular uniforme: la aceleración centrípeta $a_{\text{c}}$ tiene su vector hacia el interior del eje de rotación. No hay aceleración tangencial. (b) Movimiento circular no uniforme: la aceleración angular produce una aceleración centrípeta hacia el interior que va cambiando de magnitud, más una aceleración tangencial $a_{\text{t}}$.

La aceleración centrípeta se debe al cambio en la dirección de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración tangencial se debe a cualquier cambio en la magnitud de la velocidad tangencial. Los vectores de aceleración tangencial y centrípeta ${\overrightarrow{a}}_{\text{t}}$ y ${\overrightarrow{a}}_{\text{c}}$ son siempre perpendiculares entre sí, como se aprecia en la Figura 10.14. Para completar esta descripción, podemos asignar un vector de aceleración lineal total a un punto de un cuerpo rígido en rotación o a una partícula que ejecuta un movimiento circular a un radio r desde un eje fijo. El vector de aceleración lineal total $\overrightarrow{a}$ es la suma vectorial de las aceleraciones centrípeta y tangencial,

El vector de aceleración lineal total en el caso del movimiento circular no uniforme apunta a un ángulo entre los vectores de aceleración centrípeta y tangencial, como se muestra en la Figura 10.15. Dado que ${\overrightarrow{a}}_{\text{c}}\perp {\overrightarrow{a}}_{\text{t}}$, la magnitud de la aceleración lineal total es

Observe que, si la aceleración angular es cero, la aceleración lineal total es igual a la aceleración centrípeta.

Figura 10.15 Una partícula ejecuta un movimiento circular y tiene una aceleración angular. La aceleración lineal total de la partícula es la suma vectorial de los vectores de aceleración centrípeta y de aceleración tangencial. El vector de aceleración lineal total forma un ángulo entre la aceleración centrípeta y la tangencial.

Relaciones entre el movimiento rotacional y traslacional

Podemos observar dos relaciones entre el movimiento rotacional y el traslacional.

1. En general, las ecuaciones cinemáticas lineales tienen sus contrapartes rotacionales. La Tabla 10.2 enumera las cuatro ecuaciones cinemáticas lineales y su contraparte rotacional. Los dos conjuntos de ecuaciones se parecen entre sí, pero describen dos situaciones físicas diferentes, es decir, la rotación y la traslación.
   

   Rotacional	Traslacional
   ${\theta }_{\text{f}}={\theta }_0+\bar{\omega }t$	$x=x_0+\bar{v}t$
   ${\omega }_{\text{f}}={\omega }_0+\alpha t$	$v_{\text{f}}=v_0+at$
   ${\theta }_{\text{f}}={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$	$x_{\text{f}}=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$
   ${\omega }_{\text{f}}^2={\omega }_0^2+2\alpha (\text{Δ}\theta )$	$v_{\text{f}}^2=v_0^2+2a(\text{Δ}x)$

   Tabla 10.2 Ecuaciones cinemáticas rotacionales y traslacionales
2. La segunda correspondencia tiene que ver con la relación de las variables lineales y rotacionales en el caso especial del movimiento circular. Esto se muestra en la Tabla 10.3, donde en la tercera columna, hemos enumerado la ecuación de conexión que relaciona la variable lineal con la variable rotacional. Las variables rotacionales de velocidad angular y aceleración tienen subíndices que indican su definición en el movimiento circular.
   

   Rotacional	Traslacional	Relación ($r=\text{radio}$)
   $\theta$	s	$\theta =\frac{s}{r}$
   $\omega$	$v_{\text{t}}$	$\omega =\frac{v_{\text{t}}}{r}$
   $\alpha$	$a_{\text{t}}$	$\alpha =\frac{a_{\text{t}}}{r}$
   	$a_{\text{c}}$	$a_{\text{c}}=\frac{v_{\text{t}}^2}{r}$

   Tabla 10.3 Cantidades rotacionales y traslacionales: movimiento circular

Ejemplo 10.7

Aceleración lineal de una centrífuga

Una centrífuga tiene un radio de 20 cm y acelera desde una tasa de rotación máxima de 10.000 rpm hasta el reposo en 30 segundos bajo una aceleración angular constante. Rota en el sentido contrario de las agujas del reloj. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración total de un punto en la punta de la centrífuga en $t=\mathrm{29,0}\text{s?}$ ¿Cuál es la dirección del vector de aceleración total?

Estrategia

Con la información dada, podemos calcular la aceleración angular, lo que nos permitirá calcular la aceleración tangencial. Hallaremos la aceleración centrípeta en $t=0$ al calcular la rapidez tangencial en este momento. Con las magnitudes de las aceleraciones, podemos calcular la aceleración lineal total. A partir de la descripción de la rotación en el problema, podemos hacer un esquema de la dirección del vector de aceleración total.

Solución

La aceleración angular es

$$\alpha =\frac{\omega -{\omega }_0}{t}=\frac{0-(\mathrm{1,0}\times {10}^4)2\pi \text{/}\mathrm{60,0}\text{s}(\text{rad}\text{/}\text{s})}{\mathrm{30,0}\text{s}}=\mathrm{-34,9}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2.$$

Por lo tanto, la aceleración tangencial es

$$a_{\text{t}}=r\alpha =\mathrm{0,2}\text{m}(\mathrm{-34,9}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2)=\mathrm{-7,0}{\text{m}\text{/}\text{s}}^2.$$

La velocidad angular en $t=\mathrm{29,0}\text{s}$ es

$$\begin{array}{cc}\hfill \omega & ={\omega }_0+\alpha t=\mathrm{1,0}\times {10}^4\left(\frac{2\pi }{\mathrm{60,0}\text{s}}\right)+\left(\mathrm{-34,9}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2\right)\left(\mathrm{29,0}\text{s}\right)\hfill \\ & =\mathrm{1047,2}\text{rad}\text{/}\text{s}-\mathrm{1012,71}=\mathrm{35,1}\text{rad}\text{/}\text{s}.\hfill \end{array}$$

Así, la rapidez tangencial en $t=\mathrm{29,0}\text{s}$ es

$$v_{\text{t}}=r\omega =\mathrm{0,2}\text{m}(\mathrm{35,1}\text{rad}\text{/}\text{s})=\mathrm{7,0}\text{m}\text{/}\text{s}.$$

Ahora podemos calcular la aceleración centrípeta en $t=\mathrm{29,0}\text{s}$:

$$a_{\text{c}}=\frac{v^2}{r}=\frac{{(\mathrm{7,0}\text{m}\text{/}\text{s})}^2}{\mathrm{0,2}\text{m}}=\mathrm{245,0}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.$$

Ya que los dos vectores de aceleración son perpendiculares entre sí, la magnitud de la aceleración lineal total es

$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_{\text{c}}^2+a_{\text{t}}^2}=\sqrt{{(\mathrm{245,0})}^2+{(\mathrm{-7,0})}^2}=\mathrm{245,1}\text{m}\text{/}{\text{s}}^2.$$

Dado que la centrífuga tiene una aceleración angular negativa, desacelera. El vector de aceleración total es el que se muestra en la Figura 10.16. El ángulo con respecto al vector de aceleración centrípeta es

$$\theta ={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\frac{\mathrm{-7,0}}{\mathrm{245,0}}=\mathrm{-1,6}\text{°}.$$

El signo negativo significa que el vector de aceleración total está inclinado en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 10.16 Los vectores de aceleración centrípeta, tangencial y total. La centrífuga desacelera, por lo que la aceleración tangencial es en el sentido de las agujas del reloj, opuesto al sentido de la rotación (en el sentido contrario de las agujas del reloj).

Importancia

En la Figura 10.16, vemos que el vector de aceleración tangencial es opuesto a la dirección de rotación. La magnitud de la aceleración tangencial es mucho menor que la aceleración centrípeta, por lo que el vector de aceleración lineal total formará un ángulo muy pequeño con respecto al vector de aceleración centrípeta.