10.1 Variables rotacionales

Velocidad angular

El movimiento circular uniforme (ya comentado en Movimiento en dos y tres dimensiones) es un movimiento en círculo a rapidez constante. Aunque este es el caso más simple de movimiento rotacional, es muy útil para muchas situaciones, y lo utilizamos aquí para introducir las variables rotacionales.

En la Figura 10.2, mostramos una partícula que se mueve en círculo. El sistema de coordenadas es fijo y sirve como marco de referencia para definir la posición de la partícula. Su vector de posición desde el origen del círculo hasta la partícula barre el ángulo $\theta$, que aumenta en sentido contrario de las agujas del reloj a medida que la partícula se desplaza por su trayectoria circular. El ángulo $\theta$ se denomina la posición angular de la partícula. A medida que la partícula se mueve en su trayectoria circular, también traza un arco de longitud s.

Figura 10.2 Una partícula sigue una trayectoria circular. Al moverse en sentido contrario a las agujas del reloj, barre un ángulo positivo $\theta$ con respecto al eje de la x y traza un arco de longitud s.

El ángulo se relaciona con el radio del círculo y la longitud del arco mediante

El ángulo $\theta$, la posición angular de la partícula a lo largo de su trayectoria, tiene unidades de radianes (rad). Hay $2\pi$ radianes en $360\text{°}.$ Observe que la medida del radián es un cociente de medidas de longitud, y por tanto es una cantidad adimensional. A medida que la partícula se mueve a lo largo de su trayectoria circular, su posición angular cambia y sufre desplazamientos angulares $\text{Δ}\theta .$

Podemos asignar vectores a las cantidades en la Ecuación 10.1. El ángulo $\overrightarrow{\theta }$ es un vector fuera de la página en la Figura 10.2. El vector de posición angular $\overrightarrow{r}$ y la longitud del arco $\overrightarrow{s}$ ambos se encuentran en el plano de la página. Estos tres vectores están relacionados entre sí por

Es decir, la longitud del arco es el producto cruz del vector de ángulo y el vector de posición, como se muestra en la Figura 10.3.

Figura 10.3 El vector de ángulo apunta a lo largo del eje de la z y el vector de posición y el vector de longitud de arco se encuentran en el plano xy. Vemos que $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{\theta }\times \overrightarrow{r}$. Los tres vectores son perpendiculares entre sí.

La magnitud de la velocidad angular, denotada por $\omega$, es la tasa de cambio en el tiempo del ángulo $\theta$ mientras la partícula se desplaza en su trayectoria circular. La velocidad angular instantánea se define como el límite en el que $\text{Δ}t\to 0$ en la velocidad angular media $\bar{\omega }=\frac{\text{Δ}\theta }{\text{Δ}t}$:

donde $\theta$ es el ángulo de rotación (Figura 10.2). Las unidades de la velocidad angular son radianes por segundo (rad/s). La velocidad angular también recibe el nombre de tasa de rotación en radianes por segundo. En muchas situaciones, se nos da la tasa de rotación en revoluciones/s o ciclos/s. Para hallar la velocidad angular, debemos multiplicar las revoluciones/s por $2\pi$, dado que hay $2\pi$ radianes en una revolución completa. Dado que la dirección de un ángulo positivo en un círculo es contraria a las agujas del reloj, tomamos las rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj como positivas y las rotaciones en el sentido de las agujas del reloj como negativas.

Vemos cómo la velocidad angular está relacionada con la rapidez tangencial de la partícula al diferenciar la Ecuación 10.1 con respecto al tiempo. Reescribimos la Ecuación 10.1 como

Al tomar la derivada con respecto al tiempo y observar que el radio r es una constante, tenemos

donde $\theta \frac{dr}{dt}=0$. Aquí $\frac{ds}{dt}$ es solo la rapidez tangencial $v_{\text{t}}$ de la partícula en la Figura 10.2. Así, al utilizar la Ecuación 10.3, llegamos a

Es decir, la rapidez tangencial de la partícula es su velocidad angular por el radio del círculo. En la Ecuación 10.4, vemos que la rapidez tangencial de la partícula aumenta con su distancia al eje de rotación para una velocidad angular constante. Este efecto se muestra en la Figura 10.4. Dos partículas se colocan a diferentes radios en un disco en rotación a una velocidad angular constante. Al rotar el disco, la rapidez tangencial aumenta linealmente con el radio desde el eje de rotación. En la Figura 10.4, vemos que $v_1=r_1{\omega }_1$ y $v_2=r_2{\omega }_2$. Sin embargo, el disco tiene una velocidad angular constante, por lo que ${\omega }_1={\omega }_2$. Esto implica que $\frac{v_1}{r_1}=\frac{v_2}{r_2}$ o $v_2=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)v_1$. Así, dado que $r_2>r_1$, $v_2>v_1$.

Figura 10.4 Dos partículas en un disco en rotación tienen distinta rapidez tangencial, dependiendo de su distancia al eje de rotación.

Hasta ahora, hemos hablado de la magnitud de la velocidad angular $\omega =d\theta \text{/}dt,$ que es una cantidad escalar: el cambio de posición angular con respecto al tiempo. El vector $\overrightarrow{\omega }$ es el vector asociado a la velocidad angular y apunta a lo largo del eje de rotación. Esto es útil porque, cuando un cuerpo rígido está en rotación, queremos saber tanto el eje de rotación como la dirección en la que el cuerpo está en rotación alrededor del eje, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. La velocidad angular $\overrightarrow{\omega }$ nos brinda esta información. La velocidad angular $\overrightarrow{\omega }$ tiene una dirección determinada por la llamada regla de la mano derecha. La regla de la mano derecha es tal que si los dedos de su mano derecha se enrollan en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje de la x (la dirección en la que $\theta$ aumenta) hacia el eje de la y, su pulgar apunta en la dirección del eje de la z positiva (Figura 10.5). La velocidad angular $\overrightarrow{\omega }$ que apunta a lo largo del eje de la z positiva corresponde, por tanto, a una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que la velocidad angular $\overrightarrow{\omega }$ que apunta al eje de la z negativa corresponde a una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 10.5 Para la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en el sistema indicado de coordenadas, la velocidad angular apunta en la dirección de la z positiva por la regla de la mano derecha.

De forma similar a la Ecuación 10.2, se puede establecer una relación de producto cruz con el vector de la velocidad tangencial, como se indica en la Ecuación 10.4. Por lo tanto, tenemos

Es decir, la velocidad tangencial es el producto cruz de la velocidad angular y el vector de posición, como se muestra en la Figura 10.6. De la parte (a) de esta figura, vemos que, con la velocidad angular en la dirección de la z positiva, la rotación en el plano xy es en sentido contrario a las agujas del reloj. En la parte (b), la velocidad angular está en la dirección de la z negativa, lo que da una rotación en el sentido de las agujas del reloj en el plano xy.

Figura 10.6 Los vectores mostrados son la velocidad angular, la posición y la velocidad tangencial. (a) La velocidad angular apunta en la dirección de la z positiva, lo que produce una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano xy. (b) La velocidad angular apunta en la dirección de la z negativa, lo que genera una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Aceleración angular

Acabamos de hablar de la velocidad angular en relación con un movimiento circular uniforme. Sin embargo, no todos los movimientos son uniformes. Imagínese a un patinador sobre hielo girando con los brazos extendidos: cuando mete los brazos, su velocidad angular aumenta. Alternativamente, piense que el disco duro de una computadora desacelera hasta el punto de detenerse a medida que disminuye la velocidad angular. Exploraremos estas situaciones más adelante, aunque ya percibimos la necesidad de definir una aceleración angular para describir situaciones en las que $\omega$ cambia. Cuanto más rápido sea el cambio en $\omega$, mayor será la aceleración angular. Definimos la aceleración angular instantánea $\alpha$ como la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo:

donde hemos tomado el límite de la aceleración angular media, $\bar{\alpha }=\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}$ como $\text{Δ}t\to 0$.

Las unidades de la aceleración angular son (rad/s)/s, o ${\text{rad/s}}^2$.

De la misma manera que definimos el vector asociado a la velocidad angular $\overrightarrow{\omega }$, podemos definir $\overrightarrow{\alpha }$, el vector asociado a la aceleración angular (Figura 10.7). Si la velocidad angular es a lo largo del eje de la z positiva, como en la Figura 10.5, y $\frac{d\omega }{dt}$ es positiva, entonces la aceleración angular $\overrightarrow{\alpha }$ es positiva y apunta a lo largo del eje de la $+z\text{-}$. Del mismo modo, si la velocidad angular $\overrightarrow{\omega }$ está a lo largo del eje de la z positiva y $\frac{d\omega }{dt}$ es negativa, entonces la aceleración angular es negativa y apunta a lo largo del eje de la $+z-$.

Figura 10.7 La rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj tanto en (a) como en (b) con la velocidad angular en la misma dirección. (a) La aceleración angular está en la misma dirección que la velocidad angular, lo que aumenta la tasa de rotación. (b) La aceleración angular está en la dirección opuesta a la velocidad angular, lo que disminuye la tasa de rotación.

Podemos expresar el vector de aceleración tangencial como un producto cruz de la aceleración angular y el vector de posición. Esta expresión se halla al tomar la derivada de tiempo de $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$ y se deja como ejercicio:

La relación vectorial para la aceleración angular y la aceleración tangencial se muestra en la Figura 10.8.

Figura 10.8 (a) La aceleración angular es en la dirección de la z positiva y produce una aceleración tangencial en sentido contrario a las agujas del reloj. (b) La aceleración angular es en la dirección de la z negativa y produce una aceleración tangencial en el sentido de las agujas del reloj.

Podemos relacionar la aceleración tangencial de un punto de un cuerpo en rotación a una distancia del eje de rotación de la misma manera que relacionamos la rapidez tangencial con la velocidad angular. Si diferenciamos la Ecuación 10.4 con respecto al tiempo, observando que el radio r es constante, obtenemos

Así, la aceleración tangencial $a_t$ es el radio por la aceleración angular. La Ecuación 10.4 y la Ecuación 10.8 son importantes para el análisis del movimiento rodadura (vea Momento angular).

Apliquemos estas ideas al análisis de algunos escenarios sencillos de rotación de eje fijo. Antes de hacerlo, presentamos una estrategia de resolución de problemas que puede aplicarse a la cinemática rotacional: la descripción del movimiento rotacional.

Apliquemos ahora esta estrategia de resolución de problemas a algunos ejemplos concretos.

Compruebe Lo Aprendido 10.1

Las aspas del ventilador de un motor de reacción turbofán (mostradas a continuación) aceleran desde el reposo hasta una tasa de rotación de 40,0 rev/s en 20 s. El aumento de la velocidad angular del ventilador es constante en el tiempo. (El motor turbofán GE90-110B1 montado en un Boeing 777, como se muestra, es actualmente el mayor motor turbofán del mundo, capaz de alcanzar un empuje de 330 a 510 kN).

(a) ¿Cuál es la aceleración angular media?

(b) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en cualquier momento durante los primeros 20 s?

Figura 10.9 (créditos: "Bubinator"/ Wikimedia Commons).

Ejemplo 10.3

Aerogenerador

Un aerogenerador (Figura 10.10) en un parque eólico se apaga para su mantenimiento. Tarda 30 s en pasar de su velocidad angular de funcionamiento a una parada completa, en la que la función de velocidad angular es $\omega (t)=[{(t{\text{s}}^{\mathrm{-1}}\mathrm{-30,0})}^2\text{/}\mathrm{100,0}]\text{rad}\text{/}\text{s}$. Si el aerogenerador rota en sentido contrario a las agujas del reloj, de cara a la página, (a) ¿cuáles son las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración angular? (b) ¿Cuál es la aceleración angular media? (c) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en $t=\mathrm{0,0},\mathrm{15,0},\mathrm{30,0}\text{s}?$

Figura 10.10 Aerogenerador que rota en sentido contrario a las agujas del reloj, visto de frente.

Estrategia

1. Se nos da el sentido rotacional del aerogenerador, que está en sentido contrario a las agujas del reloj en el plano de la página. Utilizando la regla de la mano derecha (Figura 10.5), podemos establecer las direcciones de los vectores de velocidad y aceleración angular.
2. Calculamos las velocidades angulares inicial y final para obtener la aceleración angular media. Establecemos el signo de la aceleración angular a partir de los resultados de (a).
3. Tenemos la forma funcional de la velocidad angular, así que podemos hallar la forma funcional de la función de aceleración angular al tomar su derivada con respecto al tiempo.

Solución

1. Dado que el aerogenerador rota en sentido contrario a las agujas del reloj, la velocidad angular $\overrightarrow{\omega }$ apunta hacia afuera de la página. Sin embargo, dado que la velocidad angular disminuye, la aceleración angular $\overrightarrow{\alpha }$ apunta hacia la página, en el sentido contrario a la velocidad angular.
2. La velocidad angular inicial de la turbina, suponiendo que $t=0,\text{es}\omega =\mathrm{9,0}\text{rad}\text{/}\text{s}$. La velocidad angular final es cero, por lo que la aceleración angular media es
   $$\bar{\alpha }=\frac{\text{Δ}\omega }{\text{Δ}t}=\frac{\omega -{\omega }_0}{t-t_0}=\frac{0-\mathrm{9,0}\text{rad/s}}{\mathrm{30,0}-0\text{s}}=\mathrm{-0,3}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2.$$
3. Al tomar la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo se obtiene $\alpha =\frac{d\omega }{dt}=(t-\mathrm{30,0})\text{/}\mathrm{50,0}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2$
   $$\alpha (\mathrm{0,0}\text{s})=\mathrm{-0,6}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2,\alpha (\mathrm{15,0}\text{s})=\mathrm{-0,3}\text{rad}\text{/}{\text{s}}^2,\text{y}\alpha (\mathrm{30,0}\text{s})=0\text{rad/s}.$$

Importancia

A partir de los cálculos de (a) y (b) comprobamos que la aceleración angular $\alpha$ y la aceleración angular media $\bar{\alpha }$ son negativas. El aerogenerador tiene una aceleración angular en sentido contrario a su velocidad angular.

Ahora tenemos un vocabulario básico para hablar sobre la cinemática rotacional de eje fijo y las relaciones entre las variables rotacionales. En la siguiente sección se analizan más definiciones y conexiones.