William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Problemas De Desafío

88.

La primera bomba atómica se detonó el 16 de julio de 1945 en el sitio de pruebas de Trinity, a unas 200 mi al sur de Los Álamos. En 1947, el gobierno estadounidense desclasificó un rollo de película de la explosión. A partir del mismo, el físico británico G. I. Taylor pudo determinar la tasa a la que crecía el radio de la bola de fuego de la explosión. Gracias al análisis dimensional, pudo deducir la cantidad de energía liberada en la explosión, que era un secreto muy bien guardado en aquella época. Por ello, Taylor no publicó sus resultados sino hasta 1950. Este problema le reta a recrear este famoso cálculo. (a) Con su aguda perspicacia desarrollada a partir de años de experiencia, Taylor decidió que el radio r de la bola de fuego debía depender solo del tiempo transcurrido desde la explosión, t, de la densidad del aire, $ρ,$ y de la energía de la explosión inicial, E. Así, conjeturó que $r = k E^{a} ρ^{b} t^{c}$ para alguna constante adimensional k y algunos exponentes desconocidos a, b y c. Dado que [E] = ML²T^-2, determine los valores de los exponentes necesarios para que esta ecuación sea dimensionalmente coherente. (Pista: Observe que la ecuación implica que $k = r E^{− a} ρ^{− b} t^{− c}$ y que $[k] = 1$ ). (b) Tras analizar los datos de los explosivos convencionales de alta energía, Taylor encontró que la fórmula que derivó parecía ser válida siempre que la constante k tuviera el valor de 1,03. A partir del rollo de película, pudo determinar muchos valores de r y los correspondientes valores de t. Por ejemplo, descubrió que tras 25,0 ms, la bola de fuego tenía un radio de 130,0 m. Utilice estos valores, junto con una densidad media del aire de 1,25 kg/m³, para calcular la liberación de energía inicial de la detonación de Trinity en julios (J). (Pista: Para obtener la energía en julios, hay que comprobar que todos los números que se sustituyen se expresen en términos de unidades básicas del SI). (c) La energía liberada en las grandes explosiones se cita a menudo en unidades de "toneladas de TNT" (abreviado "t TNT"), donde 1 t TNT es aproximadamente 4,2 gigajulios (GJ). Convierta su respuesta de (b) a kilotones de TNT (es decir, kt TNT). Compare su respuesta con el cálculo rápido de 10 kt de TNT, que realizó el físico Enrico Fermi poco después de presenciar la explosión desde una distancia supuestamente segura. (Según se dice, Fermi realizó su cálculo dejando caer algunos trozos de papel triturados justo antes de que los restos de la onda expansiva le golpearan y miró para ver hasta dónde la onda los arrastraba).

89.

El propósito de este problema es demostrar que todo el concepto de coherencia dimensional se resume con el viejo dicho "no se pueden sumar manzanas y naranjas". Si ha estudiado las expansiones de las series de potencias en un curso de cálculo, sabe que las funciones matemáticas estándar, como las funciones trigonométricas, los logaritmos y las funciones exponenciales, pueden expresarse como sumas infinitas de la forma $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots,$ donde $a_{n}$ son constantes adimensionales para todo $n = 0, 1, 2, \dots$ y x es el argumento de la función. (Si aún no ha estudiado las series de potencias en cálculo, confíe en nosotros). Utilice este hecho para explicar por qué el requisito de que todos los términos de una ecuación tengan las mismas dimensiones es suficiente como definición de coherencia dimensional. Es decir, en realidad implica que los argumentos de las funciones matemáticas estándar deben ser adimensionales, por lo que no es realmente necesario hacer de esta última condición un requisito aparte de la definición de coherencia dimensional, como hemos hecho en esta sección.