Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępnościMenu skrótów klawiszowych
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3

E Wzory matematyczne

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 3E Wzory matematyczne

Równanie kwadratoweJeżeli a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 a ≠ 0 a \neq 0 ), wtedy x = − b ± b 2 − 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a x = − b ± b 2 − 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .

Geometria

Trójkąt o podstawie b b b i wysokości h h h :
Powierzchnia = 1 2 ⁢ b ⁢ h = 1 2 ⁢ b ⁢ h \prefop{=} \frac12 b h

Koło o promieniu r r r :
Obwód = 2 ⁢ π ⁢ r = 2 ⁢ π ⁢ r \prefop{=} 2 \pi r
Pole powierzchni = π ⁢ r 2 = π ⁢ r 2 \prefop{=} \pi r^2

Kula o promieniu r r:
Pole powierzchni = 4 ⁢ π ⁢ r 2 = 4 ⁢ π ⁢ r 2 \prefop{=} 4 \pi r^2
Objętość = 4 3 ⁢ π ⁢ r 3 = 4 3 ⁢ π ⁢ r 3 \prefop{=} \frac43 \pi r^3

Walec o promieniu r r i wysokości h h h :
Pole powierzchni bocznej = 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ h = 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ h \prefop{=} 2 \pi r h
Objętość = π ⁢ r 2 ⁢ h = π ⁢ r 2 ⁢ h \prefop{=} \pi r^2 h

Trygonometria Tożsamości trygonometryczne

  1. sin θ = 1 cosec θ sin θ = 1 cosec θ \sin \theta = \frac{1}{\prefop{cosec} \theta}
  2. cos θ = 1 sec θ cos θ = 1 sec θ \cos \theta = \frac{1}{\prefop{sec} \theta}
  3. tg θ = 1 ctg θ tg θ = 1 ctg θ \tg \theta = \frac{1}{\ctg \theta}
  4. sin 90 ° − θ = cos θ sin 90 ° − θ = cos θ \sin (\ang{90} - \theta) = \cos \theta
  5. cos 90 ° − θ = sin θ cos 90 ° − θ = sin θ \cos (\ang{90} - \theta) = \sin\theta
  6. tg 90 ° − θ = ctg θ tg 90 ° − θ = ctg θ \tg (\ang{90} - \theta) = \ctg\theta
  7. sin 2 θ + cos 2 θ = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
  8. sec 2 θ − tg 2 θ = 1 sec 2 θ − tg 2 θ = 1 \cos^2 \theta - \tg^2 \theta = 1
  9. tg θ = sin θ cos θ tg θ = sin θ cos θ \tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
  10. sin α ± β = sin α ⁢ cos β ± cos α ⁢ sin β sin α ± β = sin α ⁢ cos β ± cos α ⁢ sin β \sin (\alpha \pm \beta) = \sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \cos (\alpha) \sin (\beta)
  11. cos α ± β = cos α ⁢ cos β ∓ sin α ⁢ sin β cos α ± β = cos α ⁢ cos β ∓ sin α ⁢ sin β \cos (\alpha \pm \beta) = \cos (\alpha) \cos (\beta) \mp \sin (\alpha) \sin (\beta)
  12. tg α ± β = tg α ± tg β 1 ∓ tg α ⁢ tg β tg α ± β = tg α ± tg β 1 ∓ tg α ⁢ tg β \tg (\alpha \pm \beta) = \frac{\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg (\alpha) \tg (\beta)}
  13. sin 2 ⁢ θ = 2 ⁢ sin θ ⁢ cos θ sin 2 ⁢ θ = 2 ⁢ sin θ ⁢ cos θ \sin(2\theta) = 2 \sin (\theta) \cos (\theta)
  14. cos 2 ⁢ θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 ⁢ cos 2 θ − 1 = 1 − 2 ⁢ sin 2 θ cos 2 ⁢ θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 ⁢ cos 2 θ − 1 = 1 − 2 ⁢ sin 2 θ \cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta
  15. sin α + sin β = 2 ⁢ sin α + β 2 ⁢ cos α − β 2 sin α + sin β = 2 ⁢ sin α + β 2 ⁢ cos α − β 2 \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2})
  16. cos α + cos β = 2 ⁢ cos α + β 2 ⁢ cos α − β 2 cos α + cos β = 2 ⁢ cos α + β 2 ⁢ cos α − β 2 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2})

Trójkąty

  1. Twierdzenie sinusów: a sin α = b sin β = c sin γ a sin α = b sin β = c sin γ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
  2. Twierdzenie cosinusów: c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⁢ a ⁢ b ⁢ cos γ c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⁢ a ⁢ b ⁢ cos γ c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \gamma
    Figura przedstawia trójkąt różnoboczny o bokach a, b i c. Wszystkie trzy kąty trójkąta są ostre. Kąt pomiędzy b i c wynosi alpha, kąt pomiędzy a i c wynosi beta a kąt pomiędzy a i b wynosi gamma.
  3. Twierdzenie Pitagorasa: c 2 = a 2 + b 2 c 2 = a 2 + b 2 c^2 = a^2 + b^2
    Figura przedstawia trójkąt prostokatny. Boki są opisane jako a, b i c gdzie c jest przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy a i c wynosi theta.

Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe

  1. Wzór dwumianowy:
     a + b n = a n + n 1 ! ⁢ a n − 1 ⁢ b + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a n − 2 ⁢ b 2 + … + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a 2 ⁢ b n − 2 + n 1 ! ⁢ a ⁢ b n − 1 + b n = ∑ k = 0 n n k ⁢ a n − k ⁢ b k a + b n = a n + n 1 ! ⁢ a n − 1 ⁢ b + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a n − 2 ⁢ b 2 + … + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a 2 ⁢ b n − 2 + n 1 ! ⁢ a ⁢ b n − 1 + b n = ∑ k = 0 n n k ⁢ a n − k ⁢ b k \begin{multiline} (a+b)^n &= a^n + \frac{n}{1!} a^{n-1} b + \frac{n (n-1)}{2!} a^{n-2} b^2 + \dots + \frac{n(n-1)}{2!} a^2 b^{n-2} + \frac{n}{1!} a b^{n-1} + b^n \\ &= \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^{k}\end{multiline}
  2. 1 ± x n = 1 ± n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n − 1 ⁢ x 2 2 ! ± … = ∑ k = 0 n ± 1 k ⁢ n k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 1 ± x n = 1 ± n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n − 1 ⁢ x 2 2 ! ± … = ∑ k = 0 n ± 1 k ⁢ n k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 (1\pm x)^n = 1 \pm \frac{nx}{1!} + \frac{n(n-1)x^2}{2!} \pm \dots = \sum_{k=0}^n ( \prefop{\pm} 1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k \text{, dla } \abs{x} < 1
  3. 1 ± x − n = 1 ∓ n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n + 1 ⁢ x 2 2 ! ∓ … = ∑ k = 0 ∞ ∓ 1 k ⁢ k + n − 1 k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 1 ± x − n = 1 ∓ n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n + 1 ⁢ x 2 2 ! ∓ … = ∑ k = 0 ∞ ∓ 1 k ⁢ k + n − 1 k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 (1\pm x)^{-n} = 1 \mp \frac{nx}{1!} + \frac{n(n+1)x^2}{2!} \mp \dots = \sum_{k=0}^{\infty} ( \prefop{\mp} 1)^k \begin{pmatrix} k+n-1 \\ k \end{pmatrix} x^k \text{, dla } \abs{x} < 1
  4. sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k + 1 2 ⁢ k + 1 ! sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k + 1 2 ⁢ k + 1 ! \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
  5. cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k 2 ⁢ k ! cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k 2 ⁢ k ! \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}
  6. tg x = x + x 3 3 + 2 ⁢ x 5 15 + … ⁢ , dla  ⁢ x < π 2 tg x = x + x 3 3 + 2 ⁢ x 5 15 + … ⁢ , dla  ⁢ x < π 2 \tg x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots \text{, dla } \abs{x} < \frac{\pi}{2}
  7. e x = 1 + x + x 2 2 ! + … = ∑ k = 0 ∞ x k k ! e x = 1 + x + x 2 2 ! + … = ∑ k = 0 ∞ x k k ! e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}
  8. ln 1 + x = x − x 2 2 + x 3 3 − … = ∑ k = 1 ∞ -1 k + 1 ⁢ x k k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 ln 1 + x = x − x 2 2 + x 3 3 − … = ∑ k = 1 ∞ -1 k + 1 ⁢ x k k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} \text{, dla } \abs{x} < 1

Pochodne

  1. d d x a ⁢ f ⁡ x = a ⁢ d d x f ⁡ x d d x a ⁢ f ⁡ x = a ⁢ d d x f ⁡ x \dd{x} [af \apply (x)] = a \dd{x} f \apply (x)
  2. d d x f ⁡ x + g ⁡ x = d d x f ⁡ x + d d x g ⁡ x d d x f ⁡ x + g ⁡ x = d d x f ⁡ x + d d x g ⁡ x \dd{x} [f \apply (x) + g \apply (x)] = \dd{x} f \apply (x) + \dd{x} g \apply (x)
  3. d d x f ⁡ x ⁢ g ⁡ x = f ⁡ x ⁢ d d x g ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d d x f ⁡ x d d x f ⁡ x ⁢ g ⁡ x = f ⁡ x ⁢ d d x g ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d d x f ⁡ x \dd{x}[f\apply (x) g \apply (x)] = f \apply (x) \dd{x} g \apply (x) + g \apply (x) \dd{x} f \apply (x)
  4. d d x f ⁡ u = d d u f ⁡ u ⋅ d u d x d d x f ⁡ u = d d u f ⁡ u ⋅ d u d x \dd{x} f \apply (u) = \dd{u} f \apply (u) \cdot \frac{\d u}{\d x}
  5. d d x x m = m ⁢ x m − 1 d d x x m = m ⁢ x m − 1 \dd{x} x^m = m x^{m-1}
  6. d d x sin x = cos x d d x sin x = cos x \dd{x} \sin x = \cos x
  7. d d x cos x = − sin x d d x cos x = − sin x \dd{x} \cos x = - \sin x
  8. d d x tg x = 1 cos 2 x d d x tg x = 1 cos 2 x \dd x \tg x = \frac{1}{\cos^2 x}
  9. d d x ctg x = − 1 sin 2 x d d x ctg x = − 1 sin 2 x \dd x \ctg x = - \frac{1}{\sin^2 x}
  10. d d x sec x = tg x ⁢ sec x d d x sec x = tg x ⁢ sec x \dd x \prefop{sec} x = \tg (x) \prefop{sec} (x)
  11. d d x cosec x = − ctg x ⁢ cosec x d d x cosec x = − ctg x ⁢ cosec x \dd x \prefop{cosec} x = - \ctg (x) \prefop{cosec} (x)
  12. d d x e x = e x d d x e x = e x \dd x e^x = e^x
  13. d d x ln x = 1 x d d x ln x = 1 x \dd x \ln x = \frac{1}{x}
  14. d d x arc sin x = 1 1 − x 2 d d x arc sin x = 1 1 − x 2 \dd x \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  15. d d x arc cos x = − 1 1 − x 2 d d x arc cos x = − 1 1 − x 2 \dd x \arccos x = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  16. d d x arc tg x = 1 1 + x 2 d d x arc tg x = 1 1 + x 2 \dd x \arctg x = \frac{1}{1+x^2}

Całki

  1. ∫ a ⁢ f ⁡ x ⁢ d x = a ⁢ ∫ f ⁡ x ⁢ d x ∫ a ⁢ f ⁡ x ⁢ d x = a ⁢ ∫ f ⁡ x ⁢ d x \int a f \apply (x) \d x = a \int f \apply (x) \d x
  2. ∫ f ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d x = ∫ f ⁡ x ⁢ d x + ∫ g ⁡ x ⁢ d x ∫ f ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d x = ∫ f ⁡ x ⁢ d x + ∫ g ⁡ x ⁢ d x \int [f \apply (x) + g \apply (x)] \d x = \int f \apply (x) \d x + \int g \apply (x) \d x
  3. ∫ x m ⁢ d x = x m + 1 m + 1 ⁢ , dla  ⁢ m ≠ 1 ln x ⁢ , dla  ⁢ m = 1 ∫ x m ⁢ d x = x m + 1 m + 1 ⁢ , dla  ⁢ m ≠ 1 ln x ⁢ , dla  ⁢ m = 1 \int x^m \d x = \left{ \begin{matrix*}[l] \frac{x^{m+1}}{m+1}\text{,} &\text{dla } m\neq 1 \\ \ln \abs{x} \text{,} &\text{dla } m=1 \end{matrix*} \right.
  4. ∫ sin x ⁢ d x = − cos x ∫ sin x ⁢ d x = − cos x \int \sin x \d x = - \cos x
  5. ∫ cos x ⁢ d x = sin x ∫ cos x ⁢ d x = sin x \int \cos x \d x = \sin x
  6. ∫ tg x ⁢ d x = − ln cos x ∫ tg x ⁢ d x = − ln cos x \int \tg x \d x = - \ln \abs{\cos x}
  7. ∫ sin 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 − sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a ∫ sin 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 − sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a \int \sin^2 (ax) \d x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a}
  8. ∫ cos 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 + sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a ∫ cos 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 + sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a \int \cos^2 (ax) \d x= \frac{x}{2} + \frac{\sin (2ax)}{4a}
  9. ∫ sin a ⁢ x ⁢ cos a ⁢ x ⁢ d x = − cos 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a ∫ sin a ⁢ x ⁢ cos a ⁢ x ⁢ d x = − cos 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a \int \sin (ax) \cos (ax) \d x = - \frac{\cos(2ax)}{4a}
  10. ∫ e a ⁢ x ⁢ d x = 1 a ⁢ e a ⁢ x ∫ e a ⁢ x ⁢ d x = 1 a ⁢ e a ⁢ x \int e^{ax} \d x = \frac{1}{a} e^{ax}
  11. ∫ x ⁢ e a ⁢ x ⁢ d x = e a ⁢ x a 2 ⁢ a ⁢ x − 1 ∫ x ⁢ e a ⁢ x ⁢ d x = e a ⁢ x a 2 ⁢ a ⁢ x − 1 \int x e^{ax} \d x = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1)
  12. ∫ ln a ⁢ x ⁢ d x = x ⁢ ln a ⁢ x − x ∫ ln a ⁢ x ⁢ d x = x ⁢ ln a ⁢ x − x \int \ln (ax) \d x = x \ln (ax) - x
  13. ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a ⁢ arc tg x a ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a ⁢ arc tg x a \int \frac{\d x}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctg (\frac{x}{a})
  14. ∫ d x a 2 − x 2 = 1 2 ⁢ a ⁢ ln x + a x − a ∫ d x a 2 − x 2 = 1 2 ⁢ a ⁢ ln x + a x − a \int \frac{\d x}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \abs{\frac{x+a}{x-a}}
  15. ∫ d x a 2 + x 2 = arcsinh x a = ln x a + x a 2 + 1 ∫ d x a 2 + x 2 = arcsinh x a = ln x a + x a 2 + 1 \int \frac{\d x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \prefop{arcsinh} (\frac{x}{a}) = \ln \abs{\frac{x}{a} + \sqrt{(\frac{x}{a})^2 + 1}}
  16. ∫ d x a 2 − x 2 = arc sin x a ∫ d x a 2 − x 2 = arc sin x a \int \frac{\d x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin (\frac{x}{a})
  17. ∫ a 2 + x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 + x 2 + a 2 2 ⁢ arcsinh x a ∫ a 2 + x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 + x 2 + a 2 2 ⁢ arcsinh x a \int \sqrt{a^2 + x^2} \d x = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \prefop{arcsinh} (\frac{x}{a})
  18. ∫ a 2 − x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 − x 2 + a 2 2 ⁢ arc sin x a ∫ a 2 − x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 − x 2 + a 2 2 ⁢ arc sin x a \int \sqrt{a^2 - x^2} \d x = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin (\frac{x}{a})
PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie

Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania sztucznej inteligencji ani do przetwarzania przez systemy sztucznej inteligencji bez zgody OpenStax lub OpenStax Poland.

Chcesz zacytować, udostępnić albo zmodyfikować treść tej książki? Została ona wydana na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) , która wymaga od Ciebie uznania autorstwa OpenStax.

Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym, na każdym widoku strony umieść informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-3/pages/1-wstep
Cytowanie

© 21 wrz 2022 OpenStax. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY) . Nazwa OpenStax, logo OpenStax, okładki OpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.