William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

wyznaczać współczynnik załamania na podstawie prędkości światła w ośrodku;
opisywać możliwe sposoby rozchodzenia się światła.

Prędkość światła w próżni $c$ jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. W rozdziale Teoria względności przekonamy się, że jest to podstawowe założenie teorii względności Alberta Einsteina. W miarę zwiększania dokładności pomiarów prędkości światła stwierdzono, że różni obserwatorzy, nawet ci poruszający się z dużymi prędkościami względem siebie, rejestrują tę samą wartość prędkości światła. Natomiast w ośrodkach materialnych prędkość światła zmienia się w ściśle określony sposób, zależny od ośrodka. W dalszych rozdziałach przekonamy się o znaczeniu i konsekwencjach powyższych faktów.

Prędkość światła: pierwsze pomiary

Pierwszy pomiar prędkości światła został wykonany przez duńskiego astronoma Olego Rømera (1644–1710) w 1675 roku. Obserwując orbitę Io, jednego z czterech największych księżyców Jowisza, odkrył, że jego okres obiegu dookoła planety wynosi $42,5 h$ . Odkrył on także, że wartość ta zmienia się w zakresie kilku sekund w zależności od położenia Ziemi na orbicie. Rømer zorientował się, że powodem tych wahań jest skończona wartość prędkości światła i można na tej podstawie wyznaczyć jej wartość $c$ .

Rømer wyznaczył okres obiegu Io, dokonując pomiaru odstępów czasu pomiędzy kolejnymi jego zaćmieniami przez Jowisza. Ilustracja 1.2 (a) przedstawia układ planet, gdy dokonywany jest pomiar z Ziemi w takich miejscach orbity, w których Ziemia oddala się od Jowisza. W punkcie $A$ ona, Jowisz i Io leżą w jednej linii (wyrównanie). Po pewnym czasie taka sytuacja nie ulega zmianie, Ziemia znajduje się w punkcie $B$ , a światło musi do niej dotrzeć. Ponieważ punkt $B$ znajduje się dalej od Jowisza niż punkt $A$ , światło potrzebuje więcej czasu na dotarcie do naszej planety, gdy znajduje się ona w punkcie $B$ . Wyobraźmy sobie, że minęło 6 miesięcy i planety są ustawione tak jak pokazano na Ilustracji 1.2 (b). Pomiar okresu dla Io rozpoczyna się, gdy Ziemia znajduje się w punkcie $A^{'}$ , a Io jest zaćmiony przez Jowisza. Kolejne zaćmienie następuje, kiedy Ziemia znajduje się w punkcie $B^{'}$ . W tym przypadku światło potrzebuje mniej czasu, aby do niej dotrzeć, ponieważ punkt $B^{'}$ leży bliżej Jowisza niż $A^{'}$ . Zatem przedział czasu pomiędzy następującymi po sobie zaćmieniami Io widzianymi z punktów $A^{'}$ i $B^{'}$ jest mniejszy niż przedział czasu pomiędzy zaćmieniami widzianymi z punktów $A$ i $B$ . Różnica w pomiarze wspomnianych przedziałów czasu oraz znajomość odległości pomiędzy Ziemią i Jowiszem pozwoliły Rømerowi obliczyć prędkość światła równą $2 \cdot 10^{8} m ∕ s$ , co jest wartością mniejszą o $33 %$ od obecnie przyjętej wartości prędkości światła (tablicowej).

Na rysunkach zaznaczono orbitę i pozycję Ziemi w ruchu wokół Słońca oraz orbitę i pozycję Io w ruchu wokół Jowisza w kontekście metody Rømera. Na obu ilustracjach Jowisz znajduje się między Io a Słońcem. Na rysunku a, Ziemia, Jowisz i Io leżą na jednej linii, a Ziemia oddala się od Jowisza będąc w punkcie A oraz w nieco dalszym punkcie B. Punkt A jest nieco bliżej Io niż punkt B. Na rysunku b, na orbicie Ziemi zaznaczone są analogicznie dwa punkty, lecz po przeciwnej stronie Słońca. Ziemia, Jowisz i Io znów leżą na jednej linii, lecz tym razem Ziemia przybliża się do Jowisza. Pierwsza pozycja jest oznaczona jako punkt A prim, a druga pozycja jako punkt B prim. Zaznaczone są promienie światła biegnące od Io do punktów A, B, A prim i B prim.

Ilustracja 1.2 Astronomiczna metoda Rømera służąca do wyznaczenia prędkości światła. Pomiary okresu Io wykonane w konfiguracjach przedstawionych w części (a) i (b) rysunku różnią się, ponieważ długość drogi i czas potrzebny do jej pokonania zwiększają się z

A

do

B

(a), ale maleją z

A^{'}

do

B^{'}

(b).

Pierwszego zakończonego sukcesem laboratoryjnego pomiaru prędkości światła dokonał Armand Fizeau (1819–1896) w 1849 roku za pomocą obracającego się koła zębatego umieszczonego na wierzchołku jednego wzgórza oraz zwierciadła umieszczonego na wierzchołku drugiego wzgórza oddalonego o $8633 m$ (Ilustracja 1.3). Silne źródło światła zostało umieszczone za kołem w taki sposób, żeby obracające się koło przesłaniało wiązkę światła, tworząc następujące po sobie impulsy światła. Prędkość koła była dobrana tak, żeby powracające światło nie docierało do obserwatora znajdującego się za kołem. Było to możliwe tylko wtedy, gdy koło obracało się o kąt odpowiadający przemieszczeniu równemu $n + 1 ∕ 2$ zębów w czasie, gdy impulsy światła poruszały się do zwierciadła i z powrotem. Znając prędkość kątową koła, liczbę zębów i odległość do zwierciadła, Fizeau wyznaczył prędkość światła równą $3,15 \cdot 10^{8} m ∕ s$ , która jest większa tylko o $5 %$ od wartości tablicowej.

Figura ilustruje schemat metody Fizeau. Obracające się koło zębate znajduje się między źródłem światła (pokazanym jako żarówka) a lustrem. Lustro i koło zębate są równoległe do siebie i ustawione prostopadle do wiązki światła. Światło w drodze do zwierciadła przechodzi między zębami, lecz gdy wraca, jest blokowane przez ząb koła.

Ilustracja 1.3 Metoda pomiaru prędkości światła zastosowana przez Fizeau. Prędkość koła jest dobrana w taki sposób, że zęby koła przesłaniają promień światła odbitego od zwierciadła.

Francuski fizyk Jean Foucault (1819–1868) zmodyfikował aparaturę Fizeau, zastępując koło zębate obracającym się lustrem. Zmierzona przez niego w 1862 roku prędkość światła wynosiła $2,98 \cdot 10^{8} m ∕ s$ i różniła się tylko o $0,6 %$ od wartości tablicowej. Metody Foucaulta użył Albert Michelson (1852–1931), udoskonalając technikę pomiaru począwszy od pierwszych doświadczeń wykonanych w 1878 roku, by w 1926 roku wyznaczyć wartość prędkości światła $c$ równą $(\num{2,997} \pm \num{0,004}) \cdot 10^8 \si{\metre\per\second}$ .

Dzisiaj prędkość światła jest określona z bardzo dużą dokładnością. Prędkość światła w próżni $c$ jest tak istotną wielkością, że uznaje się ją za jedną z podstawowych stałych fizycznych, a jej dokładna wartość wynosi

c = 2,997 924 58 \cdot 10^{8} m ∕ s \approx 3 \cdot 10^{8} m ∕ s .

1.1

Przybliżonej wartości $3 \cdot 10^{8} m ∕ s$ używa się zawsze wtedy, gdy trzycyfrowa dokładność jest wystarczająca.

Prędkość światła w ośrodku materialnym

Prędkość światła w ośrodku materialnym jest mniejsza niż w próżni, ponieważ światło oddziałuje z atomami w danym ośrodku. Prędkość światła zależy silnie od rodzaju ośrodka, ponieważ jego oddziaływanie z materią zmienia się dla różnych atomów, sieci krystalicznych i innych struktur. Można zdefiniować stałą materiałową, która opisuje prędkość światła w danym ośrodku, zwaną współczynnikiem załamania $n$ (ang. index of refraction)

n = \frac{c}{v},

1.2

gdzie $v$ jest prędkością światła w danym ośrodku.

Ponieważ prędkość światła w ośrodku materialnym jest zawsze mniejsza od $c$ i równa $c$ tylko w próżni, współczynnik załamania jest zawsze większy od jeden lub równy jeden dla próżni ( $n \geq 1$ ). W Tabeli 1.1 podano współczynniki załamania dla wybranych substancji. Wartości te wyznaczone zostały dla określonej długości fali światła ( $589 nm$ ); należy pamiętać, że wartość współczynnika załamania zmienia się wraz z długością fali. Może to mieć ważne konsekwencje np. przy przejściu światła przez pryzmat, kiedy obserwujemy rozszczepienie światła białego na barwy składowe. Zauważmy, że dla gazów $n$ jest bliskie $1$ . Wynika to z tego, że atomy w gazach znajdują się w dużych odległościach od siebie i światło porusza się z prędkością $c$ w próżni występującej pomiędzy atomami. Gdy nie jest wymagana duża dokładność, przyjmuje się, że współczynnik załamania dla gazów $n = 1$ . Chociaż prędkość światła $v$ w różnych ośrodkach znacznie różni się od wartości prędkości światła $c$ w próżni, to i tak przyjmuje dużą wartość.

Ośrodek	$n$
Gazy w temperaturze $0 ° C$ , $1 atm$
Powietrze	$1,000 293$
Dwutlenek węgla	$1,000 450$
Wodór	$1,000 139$
Tlen	$1,000 271$
Ciecze w temperaturze $20 ° C$
Benzen	$1,501$
Dwusiarczek węgla	$1,628$
Czterochlorek węgla	$1,461$
Etanol	$1,361$
Gliceryna	$1,473$
Woda (słodka)	$1,333$
Ciała stałe w temperaturze $20 ° C$
Diament	$2,419$
Fluoryt	$1,434$
Szkło kronowe	$1,520$
Szkło typu flint	$1,660$
Lód (w temperaturze $0 ° C$ )	$1,309$
Polistyren	$1,490$
Szkło akrylowe (pleksi)	$1,510$
Kwarc krystaliczny	$1,544$
Kwarc topiony	$1,458$
Chlorek sodu (sól)	$1,544$
Cyrkon (minerał)	$1,923$

Tabela 1.1 Współczynniki załamania światła różnych ośrodków. Współczynniki załamania wyznaczone dla światła o długości fali

589 nm

(w próżni).

Przykład 1.1

Prędkość światła w biżuterii

Obliczmy prędkość światła w cyrkonie – materiale, który w jubilerstwie imituje diament.

Strategia rozwiązania

Możemy obliczyć prędkość światła

v

w ośrodku o znanym współczynniku załamania

n

dla tego materiału, używając równania

n = c ∕ v

.

Rozwiązanie

Przekształcając powyższe równanie, otrzymujemy

v = \frac{c}{n} .

Współczynnik załamania dla cyrkonu podany w Tabeli 1.1 wynosi $1,923$ , a wartość prędkości światła w próżni podana jest w Równaniu 1.1. Podstawiając te wartości, otrzymujemy

v = \frac{3 \cdot 10^{8} m ∕ s}{1,923} = 1,56 \cdot 10^{8} m ∕ s .

Znaczenie

Obliczona prędkość jest tylko nieznacznie większa od połowy prędkości światła w próżni, ale i tak bardzo duża w porównaniu z prędkościami, jakich doświadczamy w życiu codziennym. Jedyną substancją wymienioną w Tabeli 1.1, która ma większy współczynnik załamania od cyrkonu, jest diament. W dalszej części przekonamy się, że duży współczynnik załamania cyrkonu powoduje występowanie silniejszych rozbłysków światła niż w szkle, ale słabszych niż w diamencie.

Sprawdź, czy rozumiesz 1.1

Tabela 1.1 pokazuje, że etanol i czysta woda mają bardzo podobne wartości współczynników załamania. O ile procent różnią się prędkości światła w tych cieczach?

Światło jako promień

W rozdziale Fale elektromagnetyczne omówiono już właściwości falowe światła. W niniejszym rozdziale skupimy się głównie na opisie światła, posługując się pojęciem promienia. Istnieją trzy sposoby rozchodzenia się światła (Ilustracja 1.4). Światło może poruszać się w próżni po linii prostej bezpośrednio ze źródła, tak jak w przypadku światła słonecznego docierającego do Ziemi. Może również poruszać się w kierunku obserwatora, przenikając przez różne ośrodki, takie jak powietrze i szkło. Ponadto światło może dotrzeć do obserwatora po odbiciu np. od zwierciadła. We wszystkich tych przypadkach możemy odwzorować drogę światła jako linię prostą, zwaną promieniem (ang. ray).

Figura składa się z trzech rysunków ilustrujących trzy sposoby, w jakie światło może przebyć drogę od źródła do celu. Rysunek a pokazuje światło słoneczne wpadające do ziemskiej atmosfery. Porusza się ono po linii prostej. Rysunek b pokazuje światło wpadające przez okno do oka obserwatora. Rysunek c pokazuje światło padające na lustro, które odbija je w kierunku obserwatora.

Ilustracja 1.4 Trzy przypadki poruszania się światła ze źródła do innego miejsca. (a) Światło dociera do górnej części atmosfery Ziemi, poruszając się w próżni po linii prostej bezpośrednio ze źródła. (b) Światło dociera do osoby, poruszając się w powietrzu i szkle. (c) Światło może także odbijać się od różnych przedmiotów np. lustra (zwierciadła). W sytuacjach przedstawionych na rysunkach światło oddziałuje z wystarczająco dużymi obiektami, można więc przyjąć, że porusza się po liniach prostych, zwanych promieniami.

Różne doświadczenia pokazują, że gdy światło oddziałuje z przedmiotami o rozmiarach kilkakrotnie większych niż długość fali, to porusza się po liniach prostych i może być traktowane jak promień. Falowa natura światła nie ujawnia się w takich sytuacjach. Ponieważ długość fali światła widzialnego jest mniejsza od $\SI{1}{\micro\metre}$ (tysięczna część milimetra), to w wielu codziennych sytuacjach, kiedy napotykane obiekty są większe od mikrometra, światło może być traktowane jak promień. Na przykład, gdy światło napotyka na swojej drodze wystarczająco duży przedmiot, który możemy zobaczyć „gołym okiem” (np. monetę), zachowuje się jak promień z pominięciem właściwości falowych.

W tych wszystkich przypadkach możemy odwzorować drogę światła jako linię prostą. Światło może zmieniać kierunek, gdy napotyka na swojej drodze przedmioty (np. zwierciadło) lub przechodzi z jednego ośrodka materialnego do drugiego (np. przechodząc z powietrza do szkła), ale wtedy nadal porusza się wzdłuż linii prostej, czyli jako promień. Słowo „promień” ma swoje źródło w matematyce i oznacza linię prostą wychodzącą z pewnego punktu. Dobrym przykładem jest promień światła laserowego. Model promienia świetlnego opisuje drogę, po której biegnie światło.

Ponieważ światło porusza się po liniach prostych, a zmiana jego kierunku wynika z oddziaływania z ośrodkami materialnymi, sposób jego poruszania można opisać, sięgając do geometrii i prostej trygonometrii. Dział optyki, w którym zjawiska optyczne tłumaczy się przy użyciu pojęcia promienia, nazywany jest optyką geometryczną (ang. geometric optics). Zmianę kierunku światła wynikającą z oddziaływania z materią opisują dwa prawa. Są to: prawo odbicia, w sytuacji gdy światło odbija się od materii, i prawo załamania, w sytuacji gdy światło przechodzi przez materię. Prawa te zostaną omówione w dalszej części niniejszego rozdziału.

1.1 Rozchodzenie się światła