Przejdź do treściPrzejdź do informacji o dostępności
Logo OpenStax
Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1

E Wzory matematyczne

Fizyka dla szkół wyższych. Tom 1E Wzory matematyczne

Równanie kwadratoweJeżeli a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 a ≠ 0 a \neq 0 ), wtedy x = − b ± b 2 − 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a x = − b ± b 2 − 4 ⁢ a ⁢ c 2 ⁢ a x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .

Geometria

Trójkąt o podstawie b b b i wysokości h h h :
Powierzchnia = 1 2 ⁢ b ⁢ h = 1 2 ⁢ b ⁢ h \prefop{=} \frac12 b h

Koło o promieniu r r r :
Obwód = 2 ⁢ π ⁢ r = 2 ⁢ π ⁢ r \prefop{=} 2 \pi r
Pole powierzchni = π ⁢ r 2 = π ⁢ r 2 \prefop{=} \pi r^2

Kula o promieniu r r:
Pole powierzchni = 4 ⁢ π ⁢ r 2 = 4 ⁢ π ⁢ r 2 \prefop{=} 4 \pi r^2
Objętość = 4 3 ⁢ π ⁢ r 3 = 4 3 ⁢ π ⁢ r 3 \prefop{=} \frac43 \pi r^3

Walec o promieniu r r i wysokości h h h :
Pole powierzchni bocznej = 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ h = 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ h \prefop{=} 2 \pi r h
Objętość = π ⁢ r 2 ⁢ h = π ⁢ r 2 ⁢ h \prefop{=} \pi r^2 h

Trygonometria Tożsamości trygonometryczne

  1. sin θ = 1 cosec θ sin θ = 1 cosec θ \sin \theta = \frac{1}{\prefop{cosec} \theta}
  2. cos θ = 1 sec θ cos θ = 1 sec θ \cos \theta = \frac{1}{\prefop{sec} \theta}
  3. tg θ = 1 ctg θ tg θ = 1 ctg θ \tg \theta = \frac{1}{\ctg \theta}
  4. sin 90 ° − θ = cos θ sin 90 ° − θ = cos θ \sin (\ang{90} - \theta) = \cos \theta
  5. cos 90 ° − θ = sin θ cos 90 ° − θ = sin θ \cos (\ang{90} - \theta) = \sin\theta
  6. tg 90 ° − θ = ctg θ tg 90 ° − θ = ctg θ \tg (\ang{90} - \theta) = \ctg\theta
  7. sin 2 θ + cos 2 θ = 1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
  8. sec 2 θ − tg 2 θ = 1 sec 2 θ − tg 2 θ = 1 \cos^2 \theta - \tg^2 \theta = 1
  9. tg θ = sin θ cos θ tg θ = sin θ cos θ \tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
  10. sin α ± β = sin α ⁢ cos β ± cos α ⁢ sin β sin α ± β = sin α ⁢ cos β ± cos α ⁢ sin β \sin (\alpha \pm \beta) = \sin (\alpha) \cos (\beta) \pm \cos (\alpha) \sin (\beta)
  11. cos α ± β = cos α ⁢ cos β ∓ sin α ⁢ sin β cos α ± β = cos α ⁢ cos β ∓ sin α ⁢ sin β \cos (\alpha \pm \beta) = \cos (\alpha) \cos (\beta) \mp \sin (\alpha) \sin (\beta)
  12. tg α ± β = tg α ± tg β 1 ∓ tg α ⁢ tg β tg α ± β = tg α ± tg β 1 ∓ tg α ⁢ tg β \tg (\alpha \pm \beta) = \frac{\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg (\alpha) \tg (\beta)}
  13. sin 2 ⁢ θ = 2 ⁢ sin θ ⁢ cos θ sin 2 ⁢ θ = 2 ⁢ sin θ ⁢ cos θ \sin(2\theta) = 2 \sin (\theta) \cos (\theta)
  14. cos 2 ⁢ θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 ⁢ cos 2 θ − 1 = 1 − 2 ⁢ sin 2 θ cos 2 ⁢ θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 2 ⁢ cos 2 θ − 1 = 1 − 2 ⁢ sin 2 θ \cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta
  15. sin α + sin β = 2 ⁢ sin α + β 2 ⁢ cos α − β 2 sin α + sin β = 2 ⁢ sin α + β 2 ⁢ cos α − β 2 \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2})
  16. cos α + cos β = 2 ⁢ cos α + β 2 ⁢ cos α − β 2 cos α + cos β = 2 ⁢ cos α + β 2 ⁢ cos α − β 2 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos (\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos (\frac{\alpha - \beta}{2})

Trójkąty

  1. Twierdzenie sinusów: a sin α = b sin β = c sin γ a sin α = b sin β = c sin γ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
  2. Twierdzenie cosinusów: c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⁢ a ⁢ b ⁢ cos γ c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⁢ a ⁢ b ⁢ cos γ c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \gamma
  3. Twierdzenie Pitagorasa: c 2 = a 2 + b 2 c 2 = a 2 + b 2 c^2 = a^2 + b^2

Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe

  1. Wzór dwumianowy:
     a + b n = a n + n 1 ! ⁢ a n − 1 ⁢ b + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a n − 2 ⁢ b 2 + … + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a 2 ⁢ b n − 2 + n 1 ! ⁢ a ⁢ b n − 1 + b n = ∑ k = 0 n n k ⁢ a n − k ⁢ b k a + b n = a n + n 1 ! ⁢ a n − 1 ⁢ b + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a n − 2 ⁢ b 2 + … + n ⁢ n − 1 2 ! ⁢ a 2 ⁢ b n − 2 + n 1 ! ⁢ a ⁢ b n − 1 + b n = ∑ k = 0 n n k ⁢ a n − k ⁢ b k \begin{multiline} (a+b)^n &= a^n + \frac{n}{1!} a^{n-1} b + \frac{n (n-1)}{2!} a^{n-2} b^2 + \dots + \frac{n(n-1)}{2!} a^2 b^{n-2} + \frac{n}{1!} a b^{n-1} + b^n \\ &= \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^{k}\end{multiline}
  2. 1 ± x n = 1 ± n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n − 1 ⁢ x 2 2 ! ± … = ∑ k = 0 n ± 1 k ⁢ n k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 1 ± x n = 1 ± n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n − 1 ⁢ x 2 2 ! ± … = ∑ k = 0 n ± 1 k ⁢ n k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 (1\pm x)^n = 1 \pm \frac{nx}{1!} + \frac{n(n-1)x^2}{2!} \pm \dots = \sum_{k=0}^n ( \prefop{\pm} 1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k \text{, dla } \abs{x} < 1
  3. 1 ± x − n = 1 ∓ n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n + 1 ⁢ x 2 2 ! ∓ … = ∑ k = 0 ∞ ∓ 1 k ⁢ k + n − 1 k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 1 ± x − n = 1 ∓ n ⁢ x 1 ! + n ⁢ n + 1 ⁢ x 2 2 ! ∓ … = ∑ k = 0 ∞ ∓ 1 k ⁢ k + n − 1 k ⁢ x k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 (1\pm x)^{-n} = 1 \mp \frac{nx}{1!} + \frac{n(n+1)x^2}{2!} \mp \dots = \sum_{k=0}^{\infty} ( \prefop{\mp} 1)^k \begin{pmatrix} k+n-1 \\ k \end{pmatrix} x^k \text{, dla } \abs{x} < 1
  4. sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k + 1 2 ⁢ k + 1 ! sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k + 1 2 ⁢ k + 1 ! \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
  5. cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k 2 ⁢ k ! cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − … = ∑ k = 0 ∞ -1 k ⁢ x 2 ⁢ k 2 ⁢ k ! \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}
  6. tg x = x + x 3 3 + 2 ⁢ x 5 15 + … ⁢ , dla  ⁢ x < π 2 tg x = x + x 3 3 + 2 ⁢ x 5 15 + … ⁢ , dla  ⁢ x < π 2 \tg x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots \text{, dla } \abs{x} < \frac{\pi}{2}
  7. e x = 1 + x + x 2 2 ! + … = ∑ k = 0 ∞ x k k ! e x = 1 + x + x 2 2 ! + … = ∑ k = 0 ∞ x k k ! e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}
  8. ln 1 + x = x − x 2 2 + x 3 3 − … = ∑ k = 1 ∞ -1 k + 1 ⁢ x k k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 ln 1 + x = x − x 2 2 + x 3 3 − … = ∑ k = 1 ∞ -1 k + 1 ⁢ x k k ⁢ , dla  ⁢ x < 1 \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^k}{k} \text{, dla } \abs{x} < 1

Pochodne

  1. d d x a ⁢ f ⁡ x = a ⁢ d d x f ⁡ x d d x a ⁢ f ⁡ x = a ⁢ d d x f ⁡ x \dd{x} [af \apply (x)] = a \dd{x} f \apply (x)
  2. d d x f ⁡ x + g ⁡ x = d d x f ⁡ x + d d x g ⁡ x d d x f ⁡ x + g ⁡ x = d d x f ⁡ x + d d x g ⁡ x \dd{x} [f \apply (x) + g \apply (x)] = \dd{x} f \apply (x) + \dd{x} g \apply (x)
  3. d d x f ⁡ x ⁢ g ⁡ x = f ⁡ x ⁢ d d x g ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d d x f ⁡ x d d x f ⁡ x ⁢ g ⁡ x = f ⁡ x ⁢ d d x g ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d d x f ⁡ x \dd{x}[f\apply (x) g \apply (x)] = f \apply (x) \dd{x} g \apply (x) + g \apply (x) \dd{x} f \apply (x)
  4. d d x f ⁡ u = d d u f ⁡ u ⋅ d u d x d d x f ⁡ u = d d u f ⁡ u ⋅ d u d x \dd{x} f \apply (u) = \dd{u} f \apply (u) \cdot \frac{\d u}{\d x}
  5. d d x x m = m ⁢ x m − 1 d d x x m = m ⁢ x m − 1 \dd{x} x^m = m x^{m-1}
  6. d d x sin x = cos x d d x sin x = cos x \dd{x} \sin x = \cos x
  7. d d x cos x = − sin x d d x cos x = − sin x \dd{x} \cos x = - \sin x
  8. d d x tg x = 1 cos 2 x d d x tg x = 1 cos 2 x \dd x \tg x = \frac{1}{\cos^2 x}
  9. d d x ctg x = − 1 sin 2 x d d x ctg x = − 1 sin 2 x \dd x \ctg x = - \frac{1}{\sin^2 x}
  10. d d x sec x = tg x ⁢ sec x d d x sec x = tg x ⁢ sec x \dd x \prefop{sec} x = \tg (x) \prefop{sec} (x)
  11. d d x cosec x = − ctg x ⁢ cosec x d d x cosec x = − ctg x ⁢ cosec x \dd x \prefop{cosec} x = - \ctg (x) \prefop{cosec} (x)
  12. d d x e x = e x d d x e x = e x \dd x e^x = e^x
  13. d d x ln x = 1 x d d x ln x = 1 x \dd x \ln x = \frac{1}{x}
  14. d d x arc sin x = 1 1 − x 2 d d x arc sin x = 1 1 − x 2 \dd x \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  15. d d x arc cos x = − 1 1 − x 2 d d x arc cos x = − 1 1 − x 2 \dd x \arccos x = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  16. d d x arc tg x = 1 1 + x 2 d d x arc tg x = 1 1 + x 2 \dd x \arctg x = \frac{1}{1+x^2}

Całki

  1. ∫ a ⁢ f ⁡ x ⁢ d x = a ⁢ ∫ f ⁡ x ⁢ d x ∫ a ⁢ f ⁡ x ⁢ d x = a ⁢ ∫ f ⁡ x ⁢ d x \int a f \apply (x) \d x = a \int f \apply (x) \d x
  2. ∫ f ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d x = ∫ f ⁡ x ⁢ d x + ∫ g ⁡ x ⁢ d x ∫ f ⁡ x + g ⁡ x ⁢ d x = ∫ f ⁡ x ⁢ d x + ∫ g ⁡ x ⁢ d x \int [f \apply (x) + g \apply (x)] \d x = \int f \apply (x) \d x + \int g \apply (x) \d x
  3. ∫ x m ⁢ d x = x m + 1 m + 1 ⁢ , dla  ⁢ m ≠ 1 ln x ⁢ , dla  ⁢ m = 1 ∫ x m ⁢ d x = x m + 1 m + 1 ⁢ , dla  ⁢ m ≠ 1 ln x ⁢ , dla  ⁢ m = 1 \int x^m \d x = \left{ \begin{matrix*}[l] \frac{x^{m+1}}{m+1}\text{,} &\text{dla } m\neq 1 \\ \ln \abs{x} \text{,} &\text{dla } m=1 \end{matrix*} \right.
  4. ∫ sin x ⁢ d x = − cos x ∫ sin x ⁢ d x = − cos x \int \sin x \d x = - \cos x
  5. ∫ cos x ⁢ d x = sin x ∫ cos x ⁢ d x = sin x \int \cos x \d x = \sin x
  6. ∫ tg x ⁢ d x = − ln cos x ∫ tg x ⁢ d x = − ln cos x \int \tg x \d x = - \ln \abs{\cos x}
  7. ∫ sin 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 − sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a ∫ sin 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 − sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a \int \sin^2 (ax) \d x = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2ax)}{4a}
  8. ∫ cos 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 + sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a ∫ cos 2 a ⁢ x ⁢ d x = x 2 + sin 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a \int \cos^2 (ax) \d x= \frac{x}{2} + \frac{\sin (2ax)}{4a}
  9. ∫ sin a ⁢ x ⁢ cos a ⁢ x ⁢ d x = − cos 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a ∫ sin a ⁢ x ⁢ cos a ⁢ x ⁢ d x = − cos 2 ⁢ a ⁢ x 4 ⁢ a \int \sin (ax) \cos (ax) \d x = - \frac{\cos(2ax)}{4a}
  10. ∫ e a ⁢ x ⁢ d x = 1 a ⁢ e a ⁢ x ∫ e a ⁢ x ⁢ d x = 1 a ⁢ e a ⁢ x \int e^{ax} \d x = \frac{1}{a} e^{ax}
  11. ∫ x ⁢ e a ⁢ x ⁢ d x = e a ⁢ x a 2 ⁢ a ⁢ x − 1 ∫ x ⁢ e a ⁢ x ⁢ d x = e a ⁢ x a 2 ⁢ a ⁢ x − 1 \int x e^{ax} \d x = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1)
  12. ∫ ln a ⁢ x ⁢ d x = x ⁢ ln a ⁢ x − x ∫ ln a ⁢ x ⁢ d x = x ⁢ ln a ⁢ x − x \int \ln (ax) \d x = x \ln (ax) - x
  13. ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a ⁢ arc tg x a ∫ d x a 2 + x 2 = 1 a ⁢ arc tg x a \int \frac{\d x}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \arctg (\frac{x}{a})
  14. ∫ d x a 2 − x 2 = 1 2 ⁢ a ⁢ ln x + a x − a ∫ d x a 2 − x 2 = 1 2 ⁢ a ⁢ ln x + a x − a \int \frac{\d x}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \abs{\frac{x+a}{x-a}}
  15. ∫ d x a 2 + x 2 = arcsinh x a = ln x a + x a 2 + 1 ∫ d x a 2 + x 2 = arcsinh x a = ln x a + x a 2 + 1 \int \frac{\d x}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \prefop{arcsinh} (\frac{x}{a}) = \ln \abs{\frac{x}{a} + \sqrt{(\frac{x}{a})^2 + 1}}
  16. ∫ d x a 2 − x 2 = arc sin x a ∫ d x a 2 − x 2 = arc sin x a \int \frac{\d x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin (\frac{x}{a})
  17. ∫ a 2 + x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 + x 2 + a 2 2 ⁢ arcsinh x a ∫ a 2 + x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 + x 2 + a 2 2 ⁢ arcsinh x a \int \sqrt{a^2 + x^2} \d x = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2} \prefop{arcsinh} (\frac{x}{a})
  18. ∫ a 2 − x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 − x 2 + a 2 2 ⁢ arc sin x a ∫ a 2 − x 2 ⁢ d x = x 2 ⁢ a 2 − x 2 + a 2 2 ⁢ arc sin x a \int \sqrt{a^2 - x^2} \d x = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin (\frac{x}{a})
PoprzedniaNastępna
Cytowanie i udostępnianie
Ponowne wykorzystanie i redystrybucja tej treści w formacie cyfrowym lub drukowanym:
  • Ten podręcznik nie może być wykorzystywany do trenowania dużych modeli językowych ani w żaden inny sposób przetwarzany przez duże modele językowe lub rozwiązania generatywnej sztucznej inteligencji bez uprzedniej pisemnej zgody OpenStax Poland.
  • Ten podręcznik jest wydany na licencji Uznanie autorstwa (CC BY), co oznacza, że możesz ponownie wykorzystywać i modyfikować materiał wyłącznie w celach niekomercyjnych, musisz uznać autorstwo OpenStax Poland oraz musisz rozpowszechniać wszelkie utwory zależne na tej samej licencji.
  • Jakikolwiek komercyjny druk tego podręcznika, w tym z wykorzystaniem lokalnej lub niestandardowej drukarni, wymaga zgody OpenStax Poland oraz podania odpowiedniego cytowania.
  • Obrazy, aktywności, testy i podobne elementy tego podręcznika objęte prawami autorskimi OpenStax Poland podlegają tej samej licencji – CC-BY-NC-SA. Mogą być wykorzystywane w celach niekomercyjnych z uznaniem autorstwa. Użycie komercyjne wymaga zgody.
  • Prośby o zgodę: Każdy, kto zamierza włączyć tę treść (w tym tekst, obrazy i inne elementy) do dużych modeli językowych, wykorzystać ją w rozwiązaniach opartych na sztucznej inteligencji, użyć jej komercyjnie (w tym w druku) i/lub ma pytania dotyczące innego przypadku użycia, może skorzystać z naszego formularza wniosku o ponowne wykorzystanie.
Cytowanie i udostępnienia
  • Jeśli rozpowszechniasz tę książkę w formie drukowanej w celach niekomercyjnych, umieść na każdej jej kartce informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
  • Jeśli rozpowszechniasz całą książkę lub jej fragment w formacie cyfrowym w celach niekomercyjnych, dla każdej strony zawierającej treści OpenStax musisz udostępnić utwór zależny na tej samej licencji CC-BY-NC-SA co oryginał oraz na każdym widoku strony umieścić informację:
    Treści dostępne za darmo na https://openstax.org/books/fizyka-dla-szk%C3%B3%C5%82-wy%C5%BCszych-tom-1/pages/1-wstep
Cytowanie

Poniższe informacje zawierają dane potrzebne do utworzenia cytowania w większości głównych stylów (APA, MLA itp.); musisz przeformatować i zorganizować te informacje zgodnie z wymaganiami danego stylu. Jeśli chcesz zacytować tę książkę, skorzystaj z dostępnych narzędzi do tworzenia wpisów bibliograficznych, jak np.: ten.

© 21 wrz 2022 OpenStax Poland. Treść książki została wytworzona przez OpenStax na licencji Uznanie autorstwa (CC BY). Nazwa OpenStax Poland i OpenStax, logo OpenStax Poland i OpenStax, okładki OpenStax Poland iOpenStax, nazwa OpenStax CNX oraz OpenStax CNX logo, jak również nazwa i logo Rice University oraz powiązane znaki towarowe i słowne, nie podlegają licencji Creative Commons i wykorzystanie ich jest dozwolone wyłącznie na mocy uprzedniego pisemnego upoważnienia przez Rice University.