William Moebs; Samuel J. Ling; Jeff Sanny

Cel dydaktyczny

W tym podrozdziale nauczysz się:

określać pracę wykonaną przez daną siłę;
wyznaczać wartość wykonanej pracy.

W fizyce praca (ang. work) oznacza jedną z możliwych form energii. O pracy mówimy wtedy, gdy siła działająca na dane ciało powoduje jego przemieszczenie. Siła może zależeć od przemieszczenia, a przemieszczenie może następować na dowolnej drodze pomiędzy dwoma punktami. Na początku zdefiniujmy nieskończenie mały przyrost pracy (energii) $d W$ związany z działaniem siły $\vec{F}$ na nieskończenie małej drodze (odpowiadającej nieskończenie małemu przemieszczeniu) $d \vec{r}$ . Wówczas możemy zapisać iloczyn skalarny tych dwóch wektorów w następujący sposób:

d W = \vec{F} \cdot d \vec{r} = | \vec{F} | | d \vec{r} | \cos θ .

7.1

W celu wyznaczenia całkowitej wartości pracy działającej na całkowitej drodze, odpowiadającej całkowitemu przemieszczeniu, należy dodać do siebie wszystkie dyskretne wartości pracy odpowiadające nieskończenie małym przyrostom przemieszczenia.

Praca wykonana przez działającą siłę

Pracę całkowitą wyraża całka w postaci:

W_{AB} = \int_{droga A B} \vec{F} \cdot d \vec{r} .

7.2

Wektory odpowiedzialne za wykonanie pracy przedstawiono na Ilustracji 7.2.

Krzywa z zaznaczonymi wektorami siły i przemieszczenia stycznego do toru.

Ilustracja 7.2 Wektory związane z wykonaniem pracy pomiędzy punktami

A

i

B

. Nieskończenie mała wartość pracy może zostać wyznaczona jako iloczyn skalarny nieskończenie małego przemieszczenia oraz działającej siły.

Najprościej jest zapisać w tym przypadku iloczyn skalarny jako iloczyn długości wektorów oraz cosinus kąta pomiędzy nimi. Oczywiście możemy równie dobrze rozpisać ten iloczyn za pomocą zależności z rozdziału Wektory. W prostokątnym układzie współrzędnych wykonamy to przy zastosowaniu współrzędnych kartezjańskich $x$ i $y$ , zaś we współrzędnych biegunowych użyjemy $r$ i $φ$ . Z kolei w układzie trójwymiarowym pracę trzeba będzie wyrazić za pomocą składowych $x$ , $y$ , $z$ . Podsumowując, równanie dla dowolnej wykonywanej przez siłę pracy można zapisać za pomocą dowolnych składowych, gdyż z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, jaki układ wybierzesz. Wynik będzie zawsze taki sam.

Przypomnijmy, że wartość wektora siły pomnożona przez cosinus kąta pomiędzy tym wektorem a kierunkiem przemieszczenia stanowi składową wektora siły w tym kierunku. Składowa ta może być dodatnia, ujemna bądź wynosić zero zależnie od kąta pomiędzy wektorem siły a kierunkiem przemieszczenia. W rezultacie praca również może przyjmować wartości dodatnie, ujemne bądź być równa zero zależnie od kierunku przyłożenia siły i jej zwrotu. Maksymalna praca jest wykonywana wtedy, kiedy wektor siły jest równoległy do wektora przemieszczenia ( $cos θ = \pm 1$ ), a wynosi zero, kiedy jest on do przemieszczenia prostopadły ( $cos θ = 0$ ).

Jednostka pracy może być zdefiniowana jako iloczyn jednostki siły (niutona) i przemieszczenia (metra), $N \cdot m$ . Jednostkę tę nazywamy dżulem (ang. joule), oznaczamy ją literą J.

Praca stałej siły oraz praca sił kontaktowych

Najprostszym przypadkiem pracy jest praca wykonana przez siłę o stałej wartości, zwrocie i kierunku. W tym przypadku siłę jako stałą możemy wyciągnąć przed znak całki i wyliczyć całkę tylko z przemieszczenia, które jest zależne wyłącznie od punktu początkowego $A$ i końcowego $B$ , a nie od drogi, na której działała siła. Możemy zapisać takie równanie jako:

W_{A B} = \vec{F} \cdot \int_{A}^{B} d \vec{r} = \vec{F} \cdot ({\vec{r}}_{B} - {\vec{r}}_{A}) = | \vec{F} | | {\vec{r}}_{B} - {\vec{r}}_{A} | \cos θ .

Można to również zapisać we współrzędnych kartezjańskich (przyjmując siłę jako stałą):

\begin{aligned} W_{A B} & = \int_{droga A B} \vec{F} \cdot d \vec{r} = \int_{droga A B} (F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z) = F_{x} \int_{A}^{B} d x + F_{y} \int_{A}^{B} d y + F_{z} \int_{A}^{B} d z \\ = F_{x} (x_{B} - x_{A}) + F_{y} (y_{B} - y_{A}) + F_{z} (z_{B} - z_{A}) = \vec{F} \cdot ({\vec{r}}_{B} - {\vec{r}}_{A}) . \end{aligned}

Ilustracja 7.3 (a) pokazuje osobę przykładającą stałą siłę $\vec{F}$ do rączki kosiarki do trawy, która tworzy kąt $θ$ z poziomem. Poziome przemieszczenie kosiarki jest równe $\vec{d}$ . Praca wykonana przez kosiarkę jest równa $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d \cos θ$ (wartość poziomej siły skalarnie pomnożona przez przemieszczenie).

Rysunek przedstawia mężczyznę pchającego kosiarkę do trawy (a). Zaznaczono na nim siłę działającą na rączkę kosiarki oraz jej składową poziomą. Rysunek (b) przedstawia kobietę trzymającą walizkę, zaznaczono siłę F skierowaną pionowo w górę. Na rysunku (c) znajduje się kobieta niosąca walizkę i zaznaczono przemieszczenie jako d oraz siłę pionową działającą na walizkę jako F. Opisano również kosinus kąta pomiędzy tymi dwoma wektorami jako równy zero.

Ilustracja 7.3 Praca siły stałej. (a) Osoba popycha kosiarkę ze stałą siłą. Składowa siły równoległa do przemieszczenia wykonuje pracę zgodnie z równaniem. (b) Osoba trzyma walizkę, nie wykonuje pracy, ponieważ przemieszczenie jest równe zero. (c) Osoba trzyma walizkę w ręce i przemieszcza się, praca jest również równa zero, ponieważ

cos θ

wynosi zero.

Ilustracja 7.3 (b) ukazuje osobę trzymającą walizkę. Osoba ta musi przykładać siłę skierowaną w górę równą sile ciężkości działającej na walizkę. Pomimo działania siły praca w tym wypadku jest równa zeru, ponieważ nie ma żadnego przemieszczenia. Dlaczego więc czujemy się zmęczeni, trzymając jakiś obiekt w miejscu, jeżeli nie wykonujemy pracy? Odpowiedzią na to pytanie jest fakt, że w naszej ręce dochodzi do skurczu włókien mięśniowych, chociaż mięśnie nie wykonują zewnętrznej pracy. Ponadto mięśnie inne niż mięśnie ręki działają, aby utrzymać daną pozycję ręki, a część obciążenia przenosi się również na kości i ścięgna.

Osoba na Ilustracji 7.3 (c) porusza się w kierunku poziomym ze stałą prędkością. Praca działającej siły również wynosi zero, ponieważ kąt pomiędzy wektorem przemieszczenia a działającą siłą wynosi $90^{\circ}$ ( $\vec{F}$ jest prostopadłe do $\vec{d}$ ), a więc $\cos 90^{\circ} = 0$ .

Przykład 7.1

Obliczanie pracy potrzebnej do przesunięcia kosiarki

Ile pracy zostaje wykonane przy pchaniu kosiarki do trawy (Ilustracja 7.3 (a)) jeżeli mężczyzna przykłada siłę 75,0 N pod kątem

35^{\circ}

do poziomu na odcinku 25,0 m ?

Strategia rozwiązania

Obliczamy pracę podstawiając wartości do wzoru na pracę

W = F d cos θ

. Siła, kąt i przemieszczenie są dane, więc tylko

W

jest niewiadomą.

Rozwiązanie

Równanie, z którego obliczamy pracę, zapisujemy w postaci:

W = F d cos θ .

Podstawiając dane wartości:

W = 75,0 N \cdot 25,0 m \cdot \cos {35,0}^{\circ} = 1,54 \cdot 10^{3} J .

Znaczenie

Pomimo tego, że wartość ta wydaje się duża, w rozdziale Energia potencjalna i zasada zachowania energii zobaczymy, że odpowiada to spaleniu ledwie 1/6 grama tłuszczu.

Kiedy kosisz trawę, poza siłą wywieraną przez ciebie, na kosiarkę działają jeszcze inne siły: siła reakcji podłoża i siła ciężkości. Weźmy pod uwagę te siły. Dla każdego ciała poruszającego się przemieszczenie $d \vec{r}$ jest styczne do powierzchni. Siła reakcji podłoża (siła nacisku) $\vec{R}$ jest prostopadła do podłoża, stąd praca wykonywana przez tę siłę jest równa zeru.

d W_{R} = \vec{R} \cdot d \vec{r} = 0.

W takim przypadku siła reakcji podłoża nigdy nie wykonuje pracy. Zauważ, że jeżeli przemieszczenie $d \vec{r}$ miałoby składową prostopadłą do podłoża, to obiekt albo by się oderwał od niego, albo przez nie przebił. Oczywiście w przypadku, kiedy ciało nie jest bryłą sztywną bądź pojedynczą cząstką, powierzchnia może spowodować jego odkształcenie, ale o tym dowiesz się w kolejnym rozdziale.

Jedną z sił działających na ciało przy kontakcie z podłożem jest tarcie, $\vec{T}$ . Dla ciał poruszających się po płaszczyźnie wektor siły tarcia kinetycznego ${\vec{T}}_{k}$ ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora $d \vec{r}$ , więc praca wykonywana przez tę siłę jest ujemna. Jeżeli wartość siły ${\vec{T}}_{k}$ jest stała, praca siły (ang. work done by a force) tarcia jest dana dzięki zależności:

W_{k} = \int_{A}^{B} {\vec{T}}_{k} \cdot d \vec{r} = - T_{k} \int_{A}^{B} d r = - T_{k} | l_{A B} |,

7.3

gdzie $| l_{A B} |$ jest drogą przebytą przez ciało (przy założeniu ruchu prostoliniowego). Zauważ, że jeżeli praca wykonywana przez siłę ma wartość ujemną, często mówimy, że jest wykonywana przeciw danej sile. Jednakże w przypadku siły tarcia statycznego praca wykonywana przez tę siłę może mieć wartość zarówno dodatnią, jak i ujemną. Kiedy chodzisz, na twoją stopę działają siły tarcia, na skutek czego stopa doznaje przyspieszenia. W przypadku kiedy jedziesz samochodem, siła tarcia kinetycznego czy oporów powietrza powoduje zmniejszenie jego przyspieszenia, a z kolei siła tarcia statycznego działająca na koła powoduje ich ruch obrotowy. Dzięki siłom tarcia możesz w taki sposób wyciągnąć dywan spod jakiegoś przedmiotu, że przedmiot będzie się poruszał do tyłu względem dywanu, za to do przodu względem podłogi - w tym przypadku wektor siły tarcia kinetycznego ma taki sam zwrot jak wektor przemieszczenia, więc praca w układzie współrzędnych związanych z podłogą będzie dodatnia. Ważne jest, aby każdy przypadek przeanalizować oddzielnie.

Przykład 7.2

Przesuwanie kanapy

Zdecydowałeś się na przeniesienie kanapy w inne miejsce w pokoju. Siła przyłożona do kanapy wynosi 1 kN, a współczynnik tarcia wynosi 0,6.

Najpierw przesuwasz kanapę 3 m równolegle do ściany, a następnie 1 m prostopadle do ściany (z $A$ do $B$ na Ilustracji 7.4). Ile wyniosła w tym przypadku praca siły tarcia kinetycznego?
Nie spodobało ci się nowe miejsce kanapy i przesuwasz ją do jej początkowego położenia (z $B$ do $A$ na Ilustracji 7.4). Ile w tym przypadku wynosiła wykonana praca?

Punkty A i B połączone odcinkami. Dwa odcinki wzajemnie prostopadłe o długościach 1 m i 3 m oraz przeciwprostokątna.

Ilustracja 7.4 Schemat zmian położenia kanapy.

Strategia rozwiązania

Wartość siły tarcia kinetycznego możemy wyznaczyć jako iloczyn siły normalnej do podłoża i współczynnika tarcia,

T_{k} = μ_{k} R

. Zatem wykonana praca wynosi:

W_{T} = - T_{k} d

, gdzie

d

jest odcinkiem, o który przesunięto kanapę.

Rozwiązanie

Praca siły tarcia wynosi:

$W = - 0.6 \cdot 1 k N \cdot (3 m + 1 m) = - 2,4 k J .$
Długość przeciwprostokątnej trójkąta utworzonego przez odcinki, o które przesuwano kanapę, jest równa $\sqrt{10} m$ , więc całkowita wartość pracy przeciw sile tarcia kinetycznego wynosi:
$W = 0,6 \cdot 1 k N \cdot (3 m + 1 m + \sqrt{10} m) = 4,3 k J .$

Znaczenie

Pomimo tego, że kanapa znalazła się z powrotem w tym samym miejscu, praca wykonana nie wyniosła zero. Dlaczego? Ponieważ siła tarcia jest tzw. siłą niezachowawczą; o takich siłach będziemy mówić w kolejnym rozdziale.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.1

Czy siła tarcia jest stała dla każdej wybranej drogi, na której działała?

Inną siłą wspomnianą w przykładzie z kosiarką była siła ciężkości $m g$ , która ma stałą wartość izawsze jest skierowana pionowo w dół. Zatem praca siły ciężkości może zostać wyznaczona jako iloczyn skalarny jej wektora i wektora przemieszczenia. Czasami warto zapisać wektor siły za pomocą jej składowych wzdłuż poszczególnych osi $x$ , $y$ i $z$ . W prostokątnym prawoskrętnym układzie współrzędnych zapisujemy ją jako $− m g \hat{j},$ więc praca siły ciężkości na drodze od $A$ do $B$ wynosi:

W_{graw A B} = - m g \hat{j} \cdot ({\vec{r}}_{B} - {\vec{r}}_{A}) = - m g (y_{B} - y_{A}) .

7.4

Praca wykonana przez stałą siłę grawitacji zależy tylko od ciężaru ciała oraz różnicy wysokości (przemieszczenia), na której ta siła działa. Wartość pracy siły grawitacji przy ruchu w górę jest ujemna ( $y_{B} > y_{A}$ ), innymi słowy to ty wykonujesz prace podnosząc przedmiot. W przypadku ruchu w dół praca jest dodatnia ( $y_{B} < y_{A}$ ).

Przykład 7.3

Zdejmowanie książki z półki

Rozważmy sytuację, w której (a) zdejmujesz książkę o ciężarze 20 N z półki znajdującej się na wysokości

1 m

powyżej blatu stołu, następnie przenosisz ją poziomo 3 m i odkładasz na stół (Ilustracja 7.5). Jaką pracę wykonała siła grawitacji w tym ruchu? (b) Po skończonym czytaniu odkładasz książkę na półkę. Jaką pracę przeciw sile grawitacji wykonujesz?

Punkt A znajduje się na wysokości, na której leży książka, punkt B wskazuje stół. Droga pionowa wzdłuż półki wynosi 1m, a pozioma do stołu 3m.

Ilustracja 7.5 Rzut pokazujący tor ruchu książki w zadaniu.

Strategia rozwiązania

Musimy wiedzieć, że wartość pracy zależy tylko od ciężaru książki i od różnicy wysokości

W_{A B} = − m g (y_{B} - y_{A})

. Teraz przeanalizujmy zmianę wysokości w (a) i (b).

Rozwiązanie

Jako że książka leży na półce i ruch odbywa się w dół, to $y_{B} - y_{A} = - 1 m$ , a stąd wynika, że:

$W = - 20 N \cdot (- 1 m) = 20 J .$
Jako że książka wróciła na półkę, różnica wysokości wynosi zero, a zatem $W = 0 J$ .

Znaczenie

W przeciwieństwie do tarcia z Przykładu 7.2, praca siły grawitacji działającej na krzywej zamkniętej wynosi zero. Takie siły nazywamy siłami zachowawczymi.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.2

Czy siła grawitacji jest zawsze stała?

Praca zmiennej siły

W ogólności siła i jej wartość może zmieniać się w różnych punktach przestrzeni. Infinitezymalna (nieskończenie mała) praca wykonana przez zmienną siłę może być opisana za pomocą składowych tej siły oraz odpowiadających im przemieszczeń zgodnie z zależnością:

d W = F_{x} d x + F_{y} d y + F_{z} d z .

W tym przypadku siła jest wyrażana jako funkcja położenia, natomiast przemieszczenie zależy od równania opisującego drogę, na której dana siła działa. (W tym przypadku pracę $d W$ wyrażamy za pomocą współrzędnych kartezjańskich, ale w wielu przypadkach inne układy współrzędnych mogą lepiej opisywać daną sytuację). Równanie 7.2 opisuje pracę jako całkę liniową i tak też potraktujemy ją w omawianym przypadku.

Przykład 7.4

Praca siły działającej na torze krzywoliniowym

Ciało porusza się po paraboli o równaniu

y = 0,5 m^{- 1} \cdot x^{2}

od punktu w początku układu współrzędnych

A = (0 m, 0 m)

do punktu o współrzędnych

B = (2 m, 2 m)

na skutek działania siły

\vec{F} = 5 N / m \cdot y \hat{i} + 10 N / m \cdot x \hat{j}

(Ilustracja 7.6). Oblicz wykonaną pracę.

Układ współrzędnych XY. Parabola rozpoczyna się w początku układu współrzędnych i jest skierowana ku wartościom dodatnim na osiach X i Y. Na paraboli zaznaczono punkt (2,2). Wektor F jest styczny do krzywej i umieszczony pomiędzy początkiem układu a punktem (2,2) oraz jest skierowany w stronę dodatnich wartości X i Y

Ilustracja 7.6 Paraboliczny tor ruchu ciała.

Strategia rozwiązania

Składowe siły są dane jako funkcje odpowiednio

x

i

y

. Wyrażamy zatem funkcję przemieszczenia

y

i

d y

w zależności od

x

i

d x

.

y = \SI[per-mode=reciprocal]{0,5}{\per\metre} \cdot x^2 \implies \d y = 2 \cdot \SI[per-mode=reciprocal]{0,5}{\per\metre} \cdot x \d x \text{.}

Teraz możemy wykonać całkowanie tylko po zmiennej $x$ .

Rozwiązanie

Nieskończenie mała wartość pracy wynosi:

\begin{aligned} d W & = F_{x} d x + F_{y} d y = 5 N / m \cdot y d x + 10 N / m \cdot x d y \\ = 5 N / m \cdot 0,5 m^{- 1} \cdot x^{2} d x + 10 N / m \cdot 2 \cdot 0,5 m^{- 1} \cdot x^{2} d x \\ = 12,5 N / m^{2} \cdot x^{2} d x . \end{aligned}

Całka z $x^{2}$ to $x^{3} / 3$ , więc:

W = \int_{0 m}^{2 m} 12,5 N / m^{2} \cdot x^{2} d x = 12,5 N / m^{2} \cdot {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0 m}^{2 m} = 12,5 N / m^{2} \cdot \frac{8 m^{3}}{3} = 33,3 J .

Znaczenie

Takie całkowanie nie jest trudne. Pamiętaj, żeby jak w powyższym przykładzie wyrażać pracę za pomocą odpowiednich funkcji, dla których łatwo policzyć daną całkę.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.3

Wyznacz pracę, tak jak w przypadku Przykładu 7.4, ale dla drogi opisanej funkcją $y = (0,25 m^{−2}) x^{3}$ , wykonaną pomiędzy punktami $A = (0,0)$ i $B = (2 m, 2 m) .$

W Przykładzie 7.4 podano, że aby wyznaczyć pracę, najłatwiej sprowadzić równanie do równania jednej zmiennej. Zwykle jest więcej niż jeden sposób, żeby to zrobić. Dla Przykładu 7.4 najłatwiej przeprowadzić całkowanie po zmiennej x, ale równie dobrze można to zrobić po zmiennej y. Otrzymujemy wtedy następującą zależność:

x = \sqrt{y / (0,5 m^{−1})} = \sqrt{(2 m) y} i d x = \sqrt{(2 m)} \cdot \frac{1}{2} d y / \sqrt{y} = d y / \sqrt{(2 m^{−1}) y} .

Składowe siły są opisane za pomocą zmiennej $y$ :

F_{x} = (5 N/m) y i F_{y} = (10 N/m) x = (10 N/m) \sqrt{(2 m) y},

wtedy nieskończenie mała praca wynosi:

\begin{multiline} \d W &= F_x \d x + F_y \d y \\ &= \frac{\SI{5}{\newton\per\metre} \cdot y}{\sqrt{\SI[per-mode=reciprocal]{2,0}{\per\metre} \cdot y}} \d y + \SI{10}{\newton\per\metre} \cdot \sqrt{\SI{2}{\metre} \cdot y} \d y \\ &= \SI[inter-unit-product = ⋅]{5}{\newton\metre}^{-1/2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} + 2\sqrt{2}) \sqrt{y} \d y = \SI[inter-unit-product = ⋅]{17,7}{\newton\metre}^{-1/2} \cdot y^{1/2} \d y \end{multiline}

Całka z $y^{1 / 2}$ wynosi $2 y^{3 / 2} / 3$ , wartość pracy na drodze z $A$ do $B$ wynosi:

W = \int_{0 m}^{2 m} 17,7 0 N \cdot m^{- 1 / 2} \cdot y^{1 / 2} d y = 17,7 N \cdot m^{- 1 / 2} \cdot \frac{2}{3} \cdot {(2 m)}^{3 / 2} = 33,3 J .

Tak jak można było oczekiwać, wynik przy takim podejściu okazuje się identyczny jak wcześniejszy.

Jeden z ważnych i często omawianych rodzajów siły stanowi siła sprężystości dla idealnej sprężyny spełniającej prawo Hooke’a (ang. Hooke’s law) $\vec{F} = - k Δ \vec{x}$ , gdzie $k$ jest stałą sprężystości sprężyny, a $Δ \vec{x} = \vec{x} - {\vec{x}}_{równ}$ jest odkształceniem liniowym sprężyny (Zasady dynamiki Newtona). Pamiętaj, że punkt równowagi tylko wówczas jest tym samym punktem co położenie dla nierozciągniętej sprężyny, gdy nie działają na nią żadne siły bądź działające siły się równoważą.

Gdy chcemy obliczyć pracę wykonaną przez siłę sprężystości, wybieramy oś $x$ wzdłuż sprężyny w taki sposób, aby jej wydłużenie przyjmowało dodatnią wartość (jak pokazano na Ilustracji 7.7), początek układu obieramy w położeniu równowagi $x_{równ} = 0$ . Tak przyjęty układ współrzędnych pozwala nam opisać siłę tylko za pomocą składowej $x$ , czyli $F_{x} = − k x$ . Wówczas praca przy rozciąganiu sprężyny z $x_{A}$ do $x_{B}$ wynosi:

W_{spr A B} = \int_{A}^{B} F_{x} d x = - k \int_{A}^{B} x d x = - k {[\frac{x^{2}}{2}]}_{A}^{B} = - \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) .

7.5

Sprężyna jest przytwierdzona poziomo do ściany. Zaznaczono położenia sprężyny w trzech różnych sytuacjach. W położeniu równowagi - nie działa żadna siła. Przy rozciąganiu siła jest skierowana w stronę ściany, oraz przy ściskaniu siła skierowana w przeciwną stronę. W obu przypadkach siła jest równa minus k razy x.

Ilustracja 7.7 (a) Sprężyna w położeniu równowagi, (b) przy wydłużaniu i (c) przy ściskaniu.

Zauważ, że $W_{A B}$ zależy tylko od punktu końcowego i początkowego $A$ i $B$ , natomiast nie zależy od drogi pomiędzy tymi punktami.

Kolejną interesującą informacją na temat Równania 7.5 jest to, że dla jednowymiarowego przypadku wykonana praca jest równa polu powierzchni pod krzywą dla zależności $F (x)$ . Pamiętamy, że dla przypadku jednowymiarowego całka odpowiada sumie nieskończenie małych przyrostów $f (x) d x$ , co może być zaprezentowane graficznie, jak na [link]. Natomiast w przypadku siły sprężystości równanie $F = − k x$ przedstawia funkcję liniową ze współczynnikiem sprężystości $− k$ , zależną od zmiennej $x$ (patrz Ilustracja 7.9).

Grafika pokazuje zależność dowolnej funkcji f(x), zaznaczono na niej pole pod krzywą, a ciemniejszym kolorem fragment odpowiadający małemu przyrostowi dx

Ilustracja 7.8 Krzywa reprezentująca funkcję

f (x)

, na której zaznaczono pole odpowiadające nieskończenie małemu przyrostowi

f (x) d x

oraz pole odpowiadające sumie tych przyrostów – całce z

f (x)

od

x_{1}

do

x_{2}

.

Wykres liniowy reprezentujący siłę sprężystości. Na wykresie zaznaczono pola pod krzywą dla dodatnich i ujemnych wartości x.

Ilustracja 7.9 Wykres zależności siły sprężystości od wydłużenia

x

f (x) = − k x

, na którym zaznaczono obszary pod krzywą odpowiadające wartościom pracy dla przemieszczeń

x_{A}

i

x_{B}

przy różnych zwrotach siły sprężystości.

Przykład 7.5

Praca siły sprężystości

Praca potrzebna do rozciągnięcia idealnej sprężyny o 6 cm wynosi 0,54 J (zgodnie z równaniem z Ilustracji 7.7 (b)).

Ile wynosi stała sprężystości $k$ dla tej sprężyny?
Jaką pracę trzeba wykonać, aby rozciągnąć sprężynę o kolejne 6 cm?

Strategia rozwiązania

Praca potrzebna do rozciągnięcia sprężyny jest wykonywana przeciwko sile sprężystości w Równaniu 7.5, więc:

W = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) .

Dla (a) $x_{A} = 0 c m$ i $x_{B} = 6 c m$ , dla (b) $x_{A} = 6 c m$ i $x_{B} = 12 c m$ . W (a) wykorzystujemy znaną pracę i wyznaczamy $k$ , które w części (b) wykorzystujemy do wyznaczenia pracy.

Rozwiązanie

$W = 0,54 J = \frac{1}{2} k [{(6 c m)}^{2} - {(0 c m)}^{2}]$ , więc $k = 3 N / c m$ .
$W = \frac{1}{2} \cdot 3 N / c m \cdot [{(12 c m)}^{2} - {(6 c m)}^{2}] = 1,62 J .$

Znaczenie

Praca nie zależy od drogi, lecz od różnicy wartości wyrażenia

k x^{2} / 2

dla położenia początkowego i końcowego. Zauważ, że praca potrzebna do rozciągnięcia sprężyny od 0 do 12 cm jest cztery razy większa od pracy potrzebnej do rozciągnięcia sprężyny od 0 do 6 cm, ponieważ praca jest zależna od kwadratu wydłużenia:

k x^{2} / 2

.

Sprawdź, czy rozumiesz 7.4

Sprężyna w Przykładzie 7.5 została ściśnięta o 6 cm (względem położenia równowagi).

Czy praca wykonana przez sprężynę jest dodatnia czy ujemna?
Jaka jest jej wartość?

7.1 Praca

Praca stałej siły oraz praca sił kontaktowych

Obliczanie pracy potrzebnej do przesunięcia kosiarki

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Przesuwanie kanapy

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Zdejmowanie książki z półki

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Praca zmiennej siły

Praca siły działającej na torze krzywoliniowym

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie

Praca siły sprężystości

Strategia rozwiązania

Rozwiązanie

Znaczenie