Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Punto de control

El dominio es el círculo sombreado definido por la inecuación $9 x^{2} + 9 y^{2} \leq 36,$ que tiene un círculo de radio $2$ como su borde. El rango es $[0, 6] .$

Un círculo de radio dos con centro en el origen. Se da la ecuación x2 + y2 ≤ 4.

4.2

La ecuación de la curva de nivel puede escribirse como ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25,$ que es un círculo de radio $5$ centrado en $(3, –1) .$

Un círculo de radio 5 con centro (3, -1).

4.3

$z = 3 - {(x - 1)}^{2} .$ Esta función describe una parábola que se abre hacia abajo en el plano $y = 3 .$

4.4

$dominio (h) = {(x, y, t) \in ℝ^{3} | y \geq 4 x^{2} - 4}$

4.5

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ describa una esfera de radio $4$ centrado en el punto $(1, –2, 3) .$

4.6

$\underset{(x, y) \to (5, –2)}{lím} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - y}{y^{2} + x - 1}} = \frac{3}{2}$

4.7

Si los valores de $y = k (x - 2) + 1,$ entonces $\underset{(x, y) \to (2, 1)}{lím} \frac{(x - 2) (y - 1)}{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}} .$ Ya que la respuesta depende de $k,$ el límite no existe.

4.8

$\underset{(x, y) \to (5, –2)}{lím} \sqrt{29 - x^{2} - y^{2}}$

4.9

El dominio de $f$ contiene el par ordenado $(2, −3)$ porque $f (a, b) = f (2, −3) = \sqrt{16 - 2 {(2)}^{2} - {(−3)}^{2}} = 3$
$\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) = 3$
$\underset{(x, y) \to (a, b)}{lím} f (x, y) = f (a, b) = 3$

4.10

Los polinomios $g (x) = 2 x^{2}$ y $h (y) = y^{3}$ son continuos en todo número real; por lo tanto, por el teorema del producto de funciones continuas, $f (x, y) = 2 x^{2} y^{3}$ es continua en cada punto $(x, y)$ en el plano $x y .$ Además, cualquier función constante es continua en todas partes, por lo que $g (x, y) = 3$ es continua en cada punto $(x, y)$ en el plano $x y .$ Por lo tanto, $f (x, y) = 2 x^{2} y^{3} + 3$ es continua en cada punto $(x, y)$ en el plano $x y .$ Por último, $h (x) = x^{4}$ es continua en todo número real $x,$ así que por el teorema de continuidad de las funciones compuestas $g (x, y) = {(2 x^{2} y^{3} + 3)}^{4}$ es continua en cada punto $(x, y)$ en el plano $x y .$

4.11

$\underset{(x, y, z) \to (4, –1, 3)}{lím} \sqrt{13 - x^{2} - 2 y^{2} + z^{2}} = 2$

4.12

$\frac{\partial f}{\partial x} = 8 x + 2 y + 3, \frac{\partial f}{\partial y} = 2 x - 2 y - 2$

4.13

$\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} = (3 x^{2} - 6 x y^{2}) {sec}^{2} (x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}) \\ \frac{\partial f}{\partial y} = (−6 x^{2} y + 8 y^{3}) {sec}^{2} (x^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}) \end{matrix}$

4.14

Utilizando las curvas correspondientes a $c = −2 y c = −3,$ obtenemos

${\frac{\partial f}{\partial y} |}_{(x, y) = (0, \sqrt{2})} \approx \frac{f (0, \sqrt{3}) - f (0, \sqrt{2})}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{−3 - (−2)}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} . \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = − \sqrt{3} - \sqrt{2} \approx −3,146 .$

La respuesta exacta es

${\frac{\partial f}{\partial y} |}_{(x, y) = (0, \sqrt{2})} = ({−2 y |}_{(x, y) = (0, \sqrt{2})} = −2 \sqrt{2} \approx −2,828 .$

4.15

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x - 8 x y + 5 z^{2} - 6, \frac{\partial f}{\partial y} = −4 x^{2} + 4 y, \frac{\partial f}{\partial z} = 10 x z + 3$

4.16

$\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y sec (x^{2} y) tan (x^{2} y) - 3 x^{2} y z^{2} {sec}^{2} (x^{3} y z^{2}) \\ \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} sec (x^{2} y) tan (x^{2} y) - x^{3} z^{2} {sec}^{2} (x^{3} y z^{2}) \\ \frac{\partial f}{\partial z} = –2 x^{3} y z {sec}^{2} (x^{3} y z^{2}) \end{matrix}$

4.17

$\begin{matrix} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = −9 sen (3 x - 2 y) - cos (x + 4 y) \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = 6 sen (3 x - 2 y) - 4 cos (x + 4 y) \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = 6 sen (3 x - 2 y) - 4 cos (x + 4 y) \\ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = −4 sen (3 x - 2 y) - 16 cos (x + 4 y) \end{matrix}$

4.19

$z = 7 x + 8 y - 3$

4.20

$L (x, y) = 6 - 2 x + 3 y,$ por lo que $L (4,1, 0,9) = 6 - 2 (4,1) + 3 (0,9) = 0,5$ $f (4,1, 0,9) = e^{5 - 2 (4,1) + 3 (0,9)} = e^{–0,5} \approx 0,6065 .$

4.21

$f (–1, 2) = −19, f_{x} (–1, 2) = 3, f_{y} (–1, 2) = −16, E (x, y) = −4 {(y - 2)}^{2} .$

$\begin{matrix} \underset{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})}{lím} \frac{E (x, y)}{\sqrt{{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2}}} & = \underset{(x, y) \to (–1, 2)}{lím} \frac{−4 {(y - 2)}^{2}}{\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}}} \\ \leq \underset{(x, y) \to (–1, 2)}{lím} \frac{−4 ({(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2})}{\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}}} \\ = \underset{(x, y) \to (2, −3)}{lím} - 4 \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} \\ = 0, \end{matrix}$

4.22

$\begin{matrix} d z & = & 0,18 \\ Δ z & = & f (1,03, −1,02) - f (1, –1) = 0,180682 \end{matrix}$

4.23

$\begin{matrix} \frac{d z}{d t} & = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \\ = (2 x - 3 y) (6 cos 2 t) + (−3 x + 4 y) (−8 sen 2 t) \\ = −92 sen 2 t cos 2 t - 72 ({cos}^{2} 2 t - {sen}^{2} 2 t) \\ = −46 sen 4 t - 72 cos 4 t . \end{matrix}$

4.24

$\frac{\partial z}{\partial u} = 0, \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{−21}{{(3 sen 3 v + cos 3 v)}^{2}}$

4.25

$\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial u} = 0 \\ \frac{\partial w}{\partial v} = \frac{15 - 33 sen 3 v + 6 cos 3 v}{{(3 + 2 cos 3 v - sen 3 v)}^{2}} \end{matrix}$

4.26

$\begin{matrix} \frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial w}{\partial v} = \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix}$

Un diagrama que comienza con w = f(x, y). A lo largo de la primera rama está escrito ∂z/∂x, luego x = x(t, u, v), en ese punto se divide en otras tres subramas: la primera subrama dice t y luego ∂w/∂x ∂x/∂t, la segunda dice u y luego ∂w/∂x ∂x/∂u y la tercera dice v y luego ∂w/∂x ∂x/∂v. A lo largo de la segunda rama está escrito ∂w/∂y, luego y = y(t, u, v), en ese punto se divide en otras tres subramas: la primera dice t y luego ∂w/∂y ∂y/∂t, la segunda dice u y luego ∂w/∂y ∂y/∂u y la tercera dice v y luego ∂w/∂y ∂y/∂v.

4.27

$\frac{d y}{d x} = {\frac{2 x + y + 7}{2 y - x + 3} |}_{(3, –2)} = \frac{2 (3) + (−2) + 7}{2 (−2) - (3) + 3} = - \frac{11}{4}$
Ecuación de la línea tangente: $y = - \frac{11}{4} x + \frac{25}{4}$

4.28

$\begin{matrix} D_{u} f (x, y) = \frac{(6 x y - 4 y^{3} - 4) (1)}{2} + \frac{(3 x^{2} - 12 x y^{2} + 6 y) \sqrt{3}}{2} \\ D_{u} f (3, 4) = \frac{72 - 256 - 4}{2} + \frac{(27 - 576 + 24) \sqrt{3}}{2} = −94 - \frac{525 \sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

4.29

$\nabla f (x, y) = \frac{2 x^{2} + 2 x y + 6 y^{2}}{{(2 x + y)}^{2}} i - \frac{x^{2} + 12 x y + 3 y^{2}}{{(2 x + y)}^{2}} j$

4.30

El gradiente de $g$ a las $(–2, 3)$ ¿es $\nabla g (–2, 3) = i + 14 j .$ El vector unitario que apunta en la misma dirección que $\nabla g (–2, 3)$ ¿es $\frac{\nabla g (–2, 3)}{‖ \nabla g (–2, 3) ‖} = \frac{1}{\sqrt{197}} i + \frac{14}{\sqrt{197}} j = \frac{\sqrt{197}}{197} i + \frac{14 \sqrt{197}}{197} j,$ que da un ángulo de $θ = arcsen ((14 \sqrt{197}) / 197) \approx 1,499 rad .$ El valor máximo de la derivada direccional es $‖ \nabla g (–2, 3) ‖ = \sqrt{197} .$

4.31

$\nabla f (x, y) = (2 x - 2 y + 3) i + (−2 x + 10 y - 2) j$
$\nabla f (1, 1) = 3 i + 6 j$
Vector tangente $6 i - 3 j$ o $−6 i + 3 j$

Una elipse rotada con ecuación f(x, y) = 8. En el punto (1, 1) de la elipse se dibujan dos flechas, un vector tangente y un vector normal. El vector normal está marcado ∇f(1, 1) y es perpendicular al vector tangente.

4.32

$\begin{matrix} \nabla f (x, y, z) & = \frac{2 x^{2} + 2 x y + 6 y^{2} - 8 x z - 2 z^{2}}{{(2 x + y - 4 z)}^{2}} i - \frac{x^{2} + 12 x y + 3 y^{2} - 24 y z + z^{2}}{{(2 x + y - 4 z)}^{2}} j \\ + \frac{4 x^{2} - 12 y^{2} - 4 z^{2} + 4 x z + 2 y z}{{(2 x + y - 4 z)}^{2}} k . \end{matrix}$

4.33

$\begin{matrix} D_{u} f (x, y, z) & = & - \frac{3}{13} (6 x + y + 2 z) + \frac{12}{13} (x - 4 y + 4 z) - \frac{4}{13} (2 x + 4 y - 2 z) \\ D_{u} f (0, –2, 5) & = & \frac{384}{13} \end{matrix}$

4.34

$(2, −5)$

4.35

$(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ es un punto de silla, $(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{8})$ es un máximo local.

4.36

El mínimo absoluto se produce en $(1, 0) :$ $f (1, 0) = −1 .$

El máximo absoluto se produce en $(0, 3) :$ $f (0, 3) = 63 .$

4.37

$f$ tiene un valor máximo de $976$ en el punto $(8, 2) .$

4.38

Un nivel máximo de producción de $13.890$ se produce con $5.625$ horas de trabajo y $$ 5500$ del total de insumos de capital.

4.39

$\begin{matrix} f (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) & = & \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \\ f (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}) & = & - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = − \sqrt{3} . \end{matrix}$

4.40

$f (2, 1, 2) = 9$ es un mínimo.

Sección 4.1 ejercicios

1.

$17, 72$

3.

$20 π .$ Este es el volumen cuando el radio es $2$ y la altura es $5 .$

5.

Todos los puntos del plano $x y$

7.

$x < y^{2}$

9.

Todos los pares reales ordenados en el plano $x y$ de la forma $(a, b)$ grandes.

11.

${z | 0 \leq z \leq 4}$

13.

El conjunto $ℝ$

15.

$y^{2} - x^{2} = 4,$ una hipérbola

17.

$4 = x + y,$ una línea; $x + y = 0,$ línea que pasa por el origen

19.

$\begin{matrix} 2 x - y = 0, & 2 x - y = –2 \end{matrix}, 2 x - y = 2;$ tres líneas

21.

$\frac{x}{x + y} = −1, \frac{x}{x + y} = 0, \frac{x}{x + y} = 2$

23.

$\begin{matrix} e^{x y} = \frac{1}{2}, & e^{x y} = 3 \end{matrix}$

25.

$\begin{matrix} x y - x = –2, & x y - x = 0, \end{matrix} x y - x = 2$

27.

$\begin{matrix} e^{−2} x^{2} = y, & y = x^{2}, y = e^{2} x^{2} \end{matrix}$

29.

Las curvas de nivel son parábolas de la forma $y = c x^{2} - 2 .$

31.

$z = 3 + y^{3},$ una curva en el plano $z y$ con reglas paralelas al eje $x$

Una versión plana de la función y3 + 3 con resultados en el eje z y sin importar nada del eje x.

33.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{4} \leq 1$

35.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{36} < 1$

37.

Todos los puntos del espacio $x y z$

39.

Un paraboloide orientado hacia arriba, que aumenta suavemente.

41.

Un plano torcido con vértices en (1, -1, -1), (-1, -1, -1), (-1, 1, 0,5) y (1, 1, 0,5).

43.

Un paraboloide orientado hacia abajo y suavemente decreciente.

45.

Un hemisferio en el centro con bordes que se abren en las cuatro esquinas.

47.

Las líneas de contorno son círculos.

49.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9,$ una esfera de radio $3$

51.

$x^{2} + y^{2} - z^{2} = 4,$ un hiperboloide de una hoja

53.

$4 x^{2} + y^{2} = 1,$

55.

$1 = e^{x y} (x^{2} + y^{2})$

57.

$T (x, y) = \frac{k}{x^{2} + y^{2}}$

59.

$x^{2} + y^{2} = \frac{k}{40},$ $x^{2} + y^{2} = \frac{k}{100} .$ Las curvas de nivel representan círculos de radios $\sqrt{10 k} / 20$ y $\sqrt{k} / 10$

Sección 4.2 ejercicios

61.

2,0

63.

$\frac{2}{3}$

65.

$1$

67.

$\frac{1}{2}$

69.

$- \frac{1}{2}$

71.

$e^{−32}$

73.

$11,0$

75.

$1,0$

77.

El límite no existe porque cuando $x$ como $y$ se acercan a cero, la función se acerca a $ln 0,$ que es indefinido (se acerca al infinito negativo).

79.

cada disco abierto centrado en $(x_{0}, y_{0})$ contiene puntos dentro de $R$ y fuera de $R$

81.

$0,0$

83.

$0,00$

85.

El límite no existe.

87.

El límite no existe. La función se aproxima a dos valores diferentes por trayectorias distintas.

89.

El límite no existe porque la función se acerca a dos valores diferentes a lo largo de las trayectorias.

91.

La función $f$ es continua en la región $y > − x .$

93.

La función $f$ es continua en todos los puntos del plano $x y$ excepto en $(0, 0) .$

95.

La función es continua en $(0, 0)$ ya que el límite de la función en $(0, 0)$ ¿es $0,$ el mismo valor de $f (0, 0) .$

97.

La función es discontinua en $(0, 0) .$ El límite en $(0, 0)$ no existe y $g (0, 0)$ no existe.

99.

Dado que la función $arctan x$ es continua en $(− \infty, \infty),$ $g (x, y) = arctan (\frac{x y^{2}}{x + y})$ es continua donde $z = \frac{x y^{2}}{x + y}$ es continuo. La función interna $z$ es continua en todos los puntos del plano $x y$ excepto cuando $y = − x .$ Por lo tanto, $g (x, y) = arctan (\frac{x y^{2}}{x + y})$ es continua en todos los puntos del plano de coordenadas excepto en los puntos en los que $y = − x .$

101.

Todos los puntos $P (x, y, z)$ en el espacio

103.

El gráfico aumenta sin límite a medida que $x y y$ se acercan a cero.

En el espacio xyz, se dibuja una forma que disminuye a 0 a medida que x y y aumentan o disminuyen, pero que aumenta mucho más cerca del origen. Aumenta hasta tal punto que el gráfico se corta por encima de z = 10, que coincide con un círculo de radio 0,6 alrededor de (0, 0, 10).

105.

a.

Una serie de cinco círculos concéntricos, con radios 3; 2,75; 2,5; 2,2; y 1,75. Las áreas entre los círculos están coloreadas, con el color más oscuro entre los círculos de radios 3 y 2,75.

b. Las curvas de nivel son círculos con centro en $(0, 0)$ con radio $9 - c .$ c. $x^{2} + y^{2} = 9 - c$ d. $z = 3$ e. ${(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 9}$ f. ${z | 0 \leq z \leq 3}$

107.

$1,0$

109.

$f (g (x, y))$ es continua en todos los puntos $(x, y)$ que no están en la línea $2 x - 5 y = 0 .$

111.

$2,0$

Sección 4.3 ejercicios

113.

$\frac{\partial z}{\partial y} = −3 x + 2 y$

115.

El signo es negativo.

117.

La derivada parcial es cero en el origen.

119.

$\frac{\partial z}{\partial y} = −3 sen (3 x) sen (3 y)$ grandes.

121.

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{6 x^{5}}{x^{6} + y^{4}}; \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{4 y^{3}}{x^{6} + y^{4}}$

123.

$\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{x y}; \frac{\partial z}{\partial y} = x e^{x y}$

125.

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 {sec}^{2} (2 x - y), \frac{\partial z}{\partial y} = − {sec}^{2} (2 x - y)$

127.

$f_{x} (2, –2) = \frac{1}{4} = f_{y} (2, –2)$

129.

$\frac{\partial z}{\partial x} = − cos (1)$

131.

$\begin{matrix} f_{x} = 0, & f_{y} = 0, & f_{z} = 0 \end{matrix}$

133.

a. $V (r, h) = π r^{2} h$ b. $\frac{\partial V}{\partial r} = 2 π r h$ c. $\frac{\partial V}{\partial h} = π r^{2}$

135.

$f_{x y} = \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$

137.

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = 2, \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 4$

139.

$f_{x y y} = f_{y x y} = f_{y y x} = 0$

141.

$\begin{matrix} \frac{d^{2} z}{d x^{2}} & = & - \frac{1}{2} (e^{y} - e^{− y}) sen x \\ \frac{d^{2} z}{d y^{2}} & = & \frac{1}{2} (e^{y} - e^{− y}) sen x \\ \frac{d^{2} z}{d x^{2}} + \frac{d^{2} z}{d y^{2}} & = & 0 \end{matrix}$

143.

$f_{x y z} = 6 y^{2} x - 18 y z^{2}$

145.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}), (1, 1)$

147.

$(0, 0), (0, 2), (\sqrt{3}, –1), (− \sqrt{3}, –1)$

149.

$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = e^{x} sen (y) - e^{x} sen y = 0$

151.

$c^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = e^{− t} cos (\frac{x}{c})$

153.

$\frac{\partial f}{\partial y} = –2 x + 7$

155.

$\frac{\partial f}{\partial x} = y cos x y$

159.

$\frac{\partial F}{\partial θ} = 6, \frac{\partial F}{\partial x} = 4 - 3 \sqrt{3}$

161.

$\frac{δ f}{δ x}$ a las $(500, 1.000) = 172,36,$ $\frac{δ f}{δ y}$ a las $(500, 1.000) = 36,93$

Sección 4.4 ejercicios

163.

$(\frac{\sqrt{145}}{145}) (12 i - k)$ grandes.

165.

Vector normal: $i + j,$ vector tangente: $i - j$

167.

Vector normal: $7 i - 17 j,$ vector tangente: $17 i + 7 j$

169.

$\begin{matrix} Vector normal & - 12 i + 12 j - k \\ Vector tangente & 0 i + j + 12 k o 0 i + j - 12 k \end{matrix}$

171.

$−36 x - 6 y - z = −39$

173.

$z = 0$

175.

$5 x + 4 y + 3 z - 22 = 0$

177.

$4 x - 5 y + 4 z = 0$

179.

$2 x + 2 y - z = 0$

181.

$−2 (x - 1) + 2 (y - 2) - (z - 1) = 0$

183.

$x = 20 t + 2, y = −4 t + 1, z = − t + 18$

185.

$x = 0, y = 0, z = t$

187.

$x - 1 = 2 t; y - 2 = −2 t; z - 1 = t$

189.

El diferencial de la función $z (x, y) = d z = f_{x} d x + f_{y} d y$

191.

Utilizando la definición de diferenciabilidad, tenemos $e^{x y} x \approx x + y .$

193.

$Δ z = 2 x Δ x + 3 Δ y + {(Δ x)}^{2} .$ ${(Δ x)}^{2} \to 0$ para los $Δ x$ pequeños y $z$ satisface la definición de diferenciabilidad.

195.

$Δ z \approx 1,185422$ y $d z \approx 1,108 .$ Están relativamente cerca.

197.

$16$ cm³

199.

$Δ z =$ cambio exacto $= 0,6449,$ el cambio aproximado es $d z = 0,65 .$ Los dos valores son cercanos.

201.

$13 % o 0,13$

203.

$0,025$

205.

$0,3 %$

207.

$2 x + \frac{1}{4} y - 1$

209.

$\frac{1}{2} x + y + \frac{1}{4} π - \frac{1}{2}$

211.

$\frac{3}{7} x + \frac{2}{7} y + \frac{6}{7} z$

213.

$z = 0$

Se muestra una superficie curva con el plano tangente en (0, 0, 0). La superficie curva parece la parte central del fondo de un barco, y el plano tangente es z = 0.

Sección 4.5 ejercicios

215.

$\frac{d w}{d t} = y cos z + x cos z (2 t) - \frac{x y sen z}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

217.

$\frac{\partial w}{\partial s} = −30 x + 4 y,$ $\frac{\partial w}{\partial t} = 10 x - 16 y$

219.

$\frac{\partial f}{\partial r} = r sen (2 θ)$

221.

$\frac{d f}{d t} = 2 t + 4 t^{3}$

223.

$\frac{d f}{d t} = –1$

225.

$\frac{d f}{d t} = 1$

227.

$\frac{d w}{d t} = 2 e^{2 t}$ en ambos casos

229.

$\frac{d u}{d t} = \sqrt{2} (π −4$

231.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + y^{2}}{2 x y}$

233.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - x}{– x + 2 y^{3}}$

235.

$\frac{d y}{d x} = − \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

237.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x y}}{x e^{x y} + e^{y} (1 + y)}$ grandes.

239.

$\frac{d z}{d t} = 42 t^{13}$

241.

$\frac{d z}{d t} = - \frac{10}{3} t^{7 / 3} \times e^{1 - t^{10 / 3}}$

243.

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{–2 sen u}{3 sen v}$ y $\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{−2 cos u cos v}{3 {sen}^{2} v}$

245.

$\frac{\partial z}{\partial r} = \sqrt{3} e^{\sqrt{3}},$ $\frac{\partial z}{\partial θ} = (2 - 4 \sqrt{3}) e^{\sqrt{3}}$

247.

$\frac{\partial w}{\partial t} = cos (x y z) \times y z \times (−3) - cos (x y z) x z e^{1 - t} + cos (x y z) x y \times 4$

249.

$f (t x, t y) = \sqrt{t^{2} x^{2} + t^{2} y^{2}} = t^{1} f (x, y),$ $\frac{\partial f}{\partial y} = x \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{− 1 / 2} \times 2 x + y \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{− 1 / 2} \times 2 y = 1 f (x, y)$ grandes.

251.

$V' = 4 π$

253.

$\frac{d V}{d t} = \frac{1066 π}{3} {cm}^{3} / min$

255.

$\frac{d A}{d t} = 12 in .^{2} / min$

257.

$2 ° C/s$

259.

$\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial r} & = \frac{\partial u}{\partial x} (\frac{\partial x}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial r}) + \frac{\partial u}{\partial y} (\frac{\partial y}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial r}) \\ + \frac{\partial u}{\partial z} (\frac{\partial z}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial r}) \end{matrix}$

Sección 4.6 ejercicios

261.

$- \frac{4 \sqrt{3} + 3}{2}$

263.

$−1$

265.

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

267.

$\sqrt{3}$

269.

$−1,0$

271.

$\frac{22}{25}$

273.

$\frac{2}{3}$

275.

$\frac{− \sqrt{2} (x + y)}{2 {(x + 2 y)}^{2}}$

277.

$\frac{e^{x} (y + \sqrt{3})}{2}$

279.

$\frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2 (x + 2 y)}$

281.

$〈 5, 4, 3 〉$

283.

$−320$

285.

$\frac{3}{\sqrt{11}}$

287.

$\frac{31}{255}$

289.

La parte superior de la mitad de una elipse centrada en el origen con eje mayor horizontal y de longitud 4 y eje menor 2. El punto (-2, 0) está marcado, y hay una flecha que apunta desde él hacia la izquierda marcada como -4i.

291.

$\frac{4}{3} i - 3 j$

293.

$\sqrt{2} i + \sqrt{2} j + \sqrt{2} k$

295.

$1,6 (10^{19})$ grandes.

297.

$\frac{5 \sqrt{2}}{99}$

299.

$\sqrt{2}, 〈 1, −1 〉$

301.

$\sqrt{\frac{13}{2}}, 〈 −3, −2 〉$

303.

a. $x + y + z = 3,$ b. $x - 1 = y - 1 = z - 1$

305.

a. $x + y - z = 1,$ b. $x - 1 = y = − z$

307.

a. $\frac{32}{\sqrt{3}},$ b. $〈 38, 6, 12 〉,$ c. $2 \sqrt{406}$

309.

$〈 u, v 〉 = 〈 π cos (π x) sen (2 π y), 2 π sen (π x) cos (2 π y) 〉$

Sección 4.7 ejercicios

311.

$(\frac{2}{3}, 4)$ grandes.

313.

$(0, 0)$ $(\frac{1}{15}, \frac{1}{15})$

315.

Máximo en $(4, –1, 8)$ grandes.

317.

Mínimo relativo en $(0, 0, 1)$

319.

La prueba de la segunda derivada falla. Dado que $x^{2} y^{2} > 0$ para todas las x y y diferentes de cero, y $x^{2} y^{2} = 0$ cuando x o y son iguales a cero (o ambos), entonces el mínimo absoluto se produce en $(0, 0) .$

321.

$f (–2, - \frac{3}{2}) = –6$ es un punto de silla.

323.

$f (0, 0) = 0;$ $(0, 0, 0)$ es un punto de silla.

325.

$f (0, 0) = 9$ es un máximo local.

327.

Mínimo relativo situado en $(2, 6) .$

329.

$(1, –2)$ es un punto de silla.

331.

$(2, 1)$ y $(–2, 1)$ son los puntos de la silla $(0, 0)$ es un mínimo relativo.

333.

$(–1, 0)$ es un máximo relativo.

335.

$(0, 0)$ es un punto de silla.

337.

El máximo relativo se encuentra en $(40, 40) .$

339.

$(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ es un punto de silla r y $(1, 1)$ es el mínimo relativo.

341.

Un punto de silla se encuentra en $(0, 0) .$

Un gráfico complicado que comienza cerca de (1, 1, 1) y disminuye significativamente a lo largo de los ejes x y y, tanto en el eje y que se corta. El resto del gráfico se mantiene cerca de 0.

343.

Hay un punto de silla en $(π, π),$ máximos locales en $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) y (\frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2}),$ y los mínimos locales en $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) y (\frac{3 π}{2}, \frac{π}{2}) .$

Una serie de colinas y agujeros que se alternan a través de un espacio con amplitud 1.

345.

$(0, 1, 0)$ es el mínimo absoluto y $(0, –2, 9)$ es el máximo absoluto.

347.

Hay un mínimo absoluto en $(0, 1, –1)$ y un máximo absoluto en $(0, –1, 1) .$

349.

$(\sqrt{5}, 0, 0), (− \sqrt{5}, 0, 0)$

351.

$18 por 36 por 18 pulgadas .$

353.

$(\frac{47}{24}, \frac{47}{12}, \frac{235}{24})$

355.

$x = 3$ y $y = 6$

357.

$V = \frac{64 000}{π} \approx 20, 372$ cm³

Sección 4.8 ejercicios

359.

máximo: $2 \frac{\sqrt{3}}{3},$ mínimo: $\frac{−2 \sqrt{3}}{3}$

361.

máximo: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \sqrt{2}),$ mínimo: $(\frac{– \sqrt{2}}{2}, 0, − \sqrt{2})$ grandes.

363.

máximo: $\frac{3}{2},$ mínimo = $\frac{1}{2}$

365.

máximos: $f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}, 2 \sqrt{2}) = 24,$ $f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, −2 \sqrt{2}) = 24;$ mínimos: $f (- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, 2 \sqrt{2}) = –24,$ $f (\frac{3 \sqrt{2}}{2}, −2 \sqrt{2}) = −24$

367.

máximo: $2 \sqrt{11}$ a las $f (\frac{2}{\sqrt{11}}, \frac{6}{\sqrt{11}}, \frac{−2}{\sqrt{11}});$ mínimo: $−2 \sqrt{11}$ a las $f (\frac{−2}{\sqrt{11}}, \frac{–6}{\sqrt{11}}, \frac{2}{\sqrt{11}})$ grandes.

369.

$2,0$

371.

$19 \sqrt{2}$

373.

$(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \frac{−1}{\sqrt[3]{2}})$

375.

$f (1, 2) = 5$

377.

$f (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$

379.

mínimo: $f (2, 3, 4) = 29$

381.

El volumen máximo es $4$ pies³. Las dimensiones son $1 \times 2 \times 2$ pies.

383.

$(1, \frac{1}{2}, −3)$

385.

$1,0$

387.

$\sqrt{3}$

389.

$(\frac{2}{5}, \frac{19}{5})$

391.

$\frac{1}{2}$

Una serie alternada de colinas y agujeros de amplitud 1 a través del espacio xyz.

393.

Aproximadamente 3.365 relojes en el punto crítico $(80, 60)$

Una serie de curvas en el primer cuadrante, con la primera empezando cerca de (2, 120), disminuyendo bruscamente hasta cerca de (20, 20), y luego disminuyendo lentamente hasta (120, 5). La siguiente curva comienza cerca de (10, 120), disminuye bruscamente hasta cerca de (40, 40), y luego disminuye lentamente hasta (120, 20). La siguiente curva comienza cerca de (20, 120), disminuye bruscamente hasta cerca de (60, 60), y luego disminuye lentamente hasta (120, 40). La siguiente curva comienza cerca de (40, 120), disminuye hasta cerca de (80, 80), y luego disminuye un poco más lentamente hasta (120, 60). La última curva comienza cerca de (60, 120) y disminuye de forma bastante uniforme a través de (100, 100) hasta (120, 90).

Ejercicios de repaso

395.

Cierto, por el teorema de Clairaut

397.

Falso

399.

Las respuestas pueden variar

401.

No existe

403.

Continua en todos los puntos del plano $x, y,$ excepto cuando $x^{2} + y^{2} > 4 .$

405.

$\frac{\partial u}{\partial x} = 4 x^{3} - 3 y,$ $\frac{\partial u}{\partial y} = −3 x,$ $\frac{\partial u}{\partial t} = 2,$ $\frac{\partial u}{\partial t} = 3 t^{2},$ $\frac{\partial u}{\partial t} = 8 x^{3} - 6 y - 9 x t^{2}$

407.

$h_{x x} (x, y, z) = \frac{6 x e^{2 y}}{z},$ $h_{x y} (x, y, z) = \frac{6 x^{2} e^{2 y}}{z},$ $h_{x z} (x, y, z) = - \frac{3 x^{2} e^{2 y}}{z^{2}},$ $h_{y x} (x, y, z) = \frac{6 x^{2} e^{2 y}}{z},$ $h_{y y} (x, y, z) = \frac{4 x^{3} e^{2 y}}{z},$ $h_{y z} (x, y, z) = - \frac{2 x^{3} e^{2 y}}{z^{2}},$ $h_{z x} (x, y, z) = - \frac{3 x^{2} e^{2 y}}{z^{2}},$ $h_{z y} (x, y, z) = - \frac{2 x^{3} e^{2 y}}{z^{2}},$ $h_{z z} (x, y, z) = \frac{2 x^{3} e^{2 y}}{z^{3}}$