Las trazas paralelas al plano xy son elipses y las paralelas a los planos xz y yz son hipérbolas. En concreto, la traza en el plano xy es la elipse $\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1,$ la traza en el plano xz es la hipérbola $\frac{x^{2}}{3^{2}} - \frac{z^{2}}{5^{2}} = 1,$ y la traza en el plano yz es la hipérbola $\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{z^{2}}{5^{2}} = 1$ (vea la siguiente figura).

Esta figura tiene cuatro imágenes. La primera imagen es una elipse centrada en el origen de un sistema de coordenadas rectangular. Interseca el eje x en -3 y 3. Interseca el eje y en -2 y 2. La segunda imagen es el gráfico de una hipérbola. Se trata de dos curvas, una que se abre en la dirección x negativa y otra simétrica en la dirección x positiva. La tercera imagen es el gráfico de una hipérbola en el plano y z. Se abre en la dirección y negativa y una curva simétrica que se abre en la dirección y positiva. La cuarta imagen es una superficie tridimensional. Sus secciones transversales superior e inferior serían circulares. Una intersección vertical sería una hipérbola.

2.54

Hiperboloide de una hoja, centrado en $(0, 0, 1)$

2.55

Las coordenadas rectangulares del punto son $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}, 4) .$

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay un punto marcado “(5, pi/6, 4)”. El punto está situado sobre un segmento de línea en el plano x y marcado como r = 5 que está a pi/6 grados del eje x. La distancia del plano x y al punto está marcado “z = 4”.

2.56

$(8 \sqrt{2}, \frac{3 π}{4}, –7)$

2.57

Esta superficie es un cilindro de radio $6 .$

Esta figura es un cilindro circular recto. Está en posición vertical con el eje z por el centro. Se encuentra en la parte superior del plano x y.

2.58

Esta figura es del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto. Hay un segmento de línea desde el origen hasta el punto. El ángulo entre este segmento de línea y el eje z es phi. Hay un segmento de línea en el plano x y desde el origen hasta la sombra del punto. El ángulo entre el eje x y rho es theta.

Cartesiano: $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{3}),$ cilíndrico: $(1, - \frac{5 π}{6}, \sqrt{3})$

2.59

a. Este es el conjunto de todos los puntos $13$ unidades desde el origen. Este conjunto forma una esfera de radio $13 .$ b. Este conjunto de puntos forma un semiplano. El ángulo entre el semiplano y el eje x positivo es $θ = \frac{2 π}{3} .$ c. Supongamos que $P$ es un punto en esta superficie. El vector de posición de este punto forma un ángulo de $φ = \frac{π}{4}$ con el eje z positivo, lo que significa que los puntos más cercanos al origen están más cerca del eje. Estos puntos forman un semicono.

2.60

$(4.000, 151 °, 124 °)$

2.61

Coordenadas esféricas con el origen situado en el centro de la tierra, el eje z alineado con el Polo Norte y el eje x alineado con el primer meridiano

Sección 2.1 ejercicios

1.

a. $\vec{P Q} = 〈 2, 2 〉;$ b. $\vec{P Q} = 2 i + 2 j$

3.

a. $\vec{Q P} = 〈 –2, −2 〉;$ b. $\vec{Q P} = –2 i - 2 j$

5.

a. $\vec{P Q} + \vec{P R} = 〈 0, 6 〉;$ b. $\vec{P Q} + \vec{P R} = 6 j$

7.

a. $2 \vec{P Q} - 2 \vec{P R} = 〈 8, −4 〉;$ b. $2 \vec{P Q} - 2 \vec{P R} = 8 i - 4 j$

9.

a. $〈 \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} 〉;$ b. $\frac{1}{\sqrt{2}} i + \frac{1}{\sqrt{2}} j$

11.

$〈 \frac{3}{5}, \frac{4}{5} 〉$

13.

$Q (0, 2)$

15.

a. $a + b = 3 i + 4 j,$ $a + b = 〈 3, 4 〉;$ b. $a - b = i - 2 j,$ $a - b = 〈 1, −2 〉;$ c. Las respuestas variarán; d $2 a = 4 i + 2 j,$ $2 a = 〈 4, 2 〉,$ $− b = − i - 3 j,$ $− b = 〈 –1, −3 〉,$ $2 a - b = 3 i - j,$ $2 a - b = 〈 3, −1 〉$

17.

$15$

19.

$λ = −3$

21.

a. $a (0) = 〈 1, 0 〉,$ $a (π) = 〈 –1, 0 〉;$ b. Las respuestas pueden variar; c. Las respuestas pueden variar

23.

Las respuestas pueden variar

25.

$v = 〈 \frac{21}{5}, \frac{28}{5} 〉$

27.

$v = 〈 \frac{21 \sqrt{34}}{34}, - \frac{35 \sqrt{34}}{34} 〉$

29.

$u = 〈 \sqrt{3}, 1 〉$

31.

$u = 〈 0, 5 〉$

33.

$u = 〈 −5 \sqrt{3}, 5 〉$

35.

$θ = \frac{7 π}{4}$

37.

Las respuestas pueden variar

39.

a. $z_{0} = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0});$ b. $u = \frac{1}{\sqrt{1 + {[f^{'} (x_{0})]}^{2}}} 〈 1, f^{'} (x_{0}) 〉$

43.

$D (6, 1)$

45.

$〈 60,62, 35 〉$

47.

Los componentes horizontal y vertical son $750$ ft/s y $1299,04$ ft/s, respectivamente.

49.

La magnitud de la fuerza resultante es $94,71$ lb; el ángulo director es $13,42 ° .$

51.

La magnitud del tercer vector es $60,03$ N; el ángulo director es $259,38 ° .$

53.

La nueva velocidad del avión con respecto al suelo es $572,19$ mph; la nueva dirección es $N 41,82 E .$

55.

$‖ T_{1} ‖ = 30,13 lb,$ $‖ T_{2} ‖ = 38,35 lb$

57.

$‖ v_{1} ‖ = 750$ lb, $‖ v_{2} ‖ = 1299$ lb

59.

Los dos componentes horizontales y verticales de la fuerza de tensión son $28$ lb y $42$ lb, respectivamente.

Sección 2.2 ejercicios

61.

a. $(2, 0, 5), (2, 0, 0), (2, 3, 0), (0, 3, 0), (0, 3, 5), (0, 0, 5);$ b. $\sqrt{38}$

63.

Una unión de dos planos: $y = 5$ (un plano paralelo al plano xz) y $z = 6$ (un plano paralelo al plano xy)

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dos planos dibujados. El primer plano es paralelo al plano xy está en z = 6. El segundo plano es paralelo al plano xz y está en y = 5. Los planos son perpendiculares.

65.

Un cilindro de radio $1$ centrado en la línea $y = 1, z = 1$

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un cilindro dibujado. El eje del cilindro es paralelo al eje x.

67.

$z = 1$

69.

$z = –2$

71.

${(x + 1)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 16$

73.

${(x + 3)}^{2} + {(y - 3,5)}^{2} + {(z - 8)}^{2} = \frac{29}{4}$

75.

Centro $C (0, 0, 2)$ y radio $1$

77.

a. $\vec{P Q} = 〈 –4, –1, 2 〉;$ b. $\vec{P Q} = −4 i - j + 2 k$

79.

a. $\vec{P Q} = 〈 6, −24, 24 〉;$ b. $\vec{P Q} = 6 i - 24 j + 24 k$

81.

$Q (5, 2, 8)$

83.

$a + b = 〈 –6, 4, −3 〉,$ $4 a = 〈 –4, −8, 16 〉,$ $−5 a + 3 b = 〈 −10, 28, −41 〉$

85.

$a + b = 〈 –1, 0, −1 〉,$ $4 a = 〈 0, 0, −4 〉,$ $−5 a + 3 b = 〈 −3, 0, 5 〉$

87.

$‖ u - v ‖ = \sqrt{38},$ $‖ −2 u ‖ = 2 \sqrt{29}$

89.

$‖ u - v ‖ = 2,$ $‖ −2 u ‖ = 2 \sqrt{13}$

91.

$a = \frac{3}{5} i - \frac{4}{5} j$

93.

$〈 \frac{2}{\sqrt{62}} i - \frac{7}{\sqrt{62}} j + \frac{3}{\sqrt{62}} k 〉$

95.

$〈 - \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}} 〉$

97.

Vectores equivalentes

99.

$u = 〈 \frac{70}{\sqrt{59}}, - \frac{10}{\sqrt{59}}, \frac{30}{\sqrt{59}} 〉$

101.

$u = 〈 - \frac{4}{\sqrt{5}} sen t, - \frac{4}{\sqrt{5}} cos t, - \frac{2}{\sqrt{5}} 〉$

103.

$〈 \frac{5}{\sqrt{154}}, \frac{15}{\sqrt{154}}, - \frac{60}{\sqrt{154}} 〉$

105.

$α = − \sqrt{7},$ $β = − \sqrt{15}$

111.

a. $F = 〈 30, 40, 0 〉;$ b. $53 °$

113.

$D = 10 k$

115.

$F_{4} = 〈 −20, –7, −3 〉$

117.

a. $F = –19,6 k,$ $‖ F ‖ = 19,6$ N; b. $T = 19,6 k,$ $‖ T ‖ = 19,6$ N

119.

a. $F = −294 k$ N; b. $F_{1} = 〈 - \frac{49 \sqrt{3}}{3}, 49, −98 〉,$ $F_{2} = 〈 - \frac{49 \sqrt{3}}{3}, −49, −98 〉,$ y $F_{3} = 〈 \frac{98 \sqrt{3}}{3}, 0, −98 〉$ (cada componente se expresa en newtons)

121.

a. $v (1) = 〈 –0,84, 0,54, 2 〉$ (cada componente se expresa en centímetros por segundo); $‖ v (1) ‖ = 2,24$ (expresado en centímetros por segundo); $a (1) = 〈 –0,54, −0,84, 0 〉$ (cada componente expresado en centímetros por segundo al cuadrado);

b.

Esta figura es del sistema de coordenadas tridimensional sobre el plano xy. Tiene una espiral dibujada que se asemeja a un resorte. La espiral gira alrededor del eje z. La espiral comienza en el eje x en x = 1.

Sección 2.3 ejercicios

123.

6

125.

0

127.

$(a . b) c = 〈 −11, −11, 11 〉;$ $(a . c) b = 〈 −20, −35, 5 〉$

129.

$(a . b) c = 〈 1, 0, −2 〉;$ $(a . c) b = 〈 1, 0, −1 〉$

131.

a. $θ = 2,82$ rad; b. $θ$ no es agudo.

133.

a. $θ = \frac{π}{4}$ rad; b. $θ$ es agudo.

135.

$θ = \frac{π}{2}$

137.

$θ = \frac{π}{3}$

139.

$θ = 2$ rad

141.

Ortogonal

143.

No es ortogonal

145.

$a = 〈 - \frac{4 α}{3}, α 〉,$ donde $α \neq 0$ es un número real

147.

$u = − α i + α j + β k,$ donde $α$ y $β$ son números reales de modo que $α^{2} + β^{2} \neq 0$

149.

$α = −6$

151.

a. $\vec{O P} = 4 i + 5 j,$ $\vec{O Q} = 5 i - 7 j;$ b. $105,8 °$

153.

$68,33 °$

155.

u y v son ortogonales; v y w son ortogonales.

161.

a. $cos α = \frac{2}{3}, cos β = \frac{2}{3},$ y $cos γ = \frac{1}{3};$ b. $α = 48 °,$ $β = 48 °,$ y $γ = 71 °$

163.

a. $cos α = - \frac{1}{\sqrt{30}}, cos β = \frac{5}{\sqrt{30}},$ y $cos γ = \frac{2}{\sqrt{30}};$ b. $α = 101 °,$ $β = 24 °,$ y $γ = 69 °$

167.

a. $w = 〈 \frac{80}{29}, \frac{32}{29} 〉;$ b. ${comp}_{u} v = \frac{16}{\sqrt{29}}$

169.

a. $w = 〈 \frac{24}{13}, 0, \frac{16}{13} 〉;$ b. ${comp}_{u} v = \frac{8}{\sqrt{13}}$

171.

a. $w = 〈 \frac{24}{25}, - \frac{18}{25} 〉;$ b. $q = 〈 \frac{51}{25}, \frac{68}{25} 〉,$ $v = w + q = 〈 \frac{24}{25}, - \frac{18}{25} 〉 + 〈 \frac{51}{25}, \frac{68}{25} 〉$

173.

a. $2 \sqrt{2};$ b. $109,47 °$

175.

$17 N . m$

177.

1.175 $ft . lb$

179.

W = 43.301,27 $ft-lb$

181.

a. $‖ F_{1} + F_{2} ‖ = 52,9$ lb; b. Los ángulos directores son $α = 74,5 °,$ $β = 36,7 °,$ y $γ = 57,7 ° .$

Sección 2.4 ejercicios

183.

a. $u \times v = 〈 0, 0, 4 〉;$
b.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. En el eje x hay un vector marcado como "u". En el plano xy hay un vector marcado como "v". En el eje z está el vector marcado como "u cruz v".

185.

a. $u \times v = 〈 6, −4, 2 〉;$
b.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional y muestra tres vectores. El primer vector está marcado como u y tiene los componentes <2, 3, 0>. El segundo vector está marcado como v y tiene los componentes <0, 1, 2>." El tercer vector está marcado como u cruz v y tiene los componentes <6, -4, 2>."

187.

$−2 j - 4 k$

189.

$w = - \frac{1}{3 \sqrt{6}} i - \frac{7}{3 \sqrt{6}} j - \frac{2}{3 \sqrt{6}} k$

191.

$w = - \frac{4}{\sqrt{21}} i - \frac{2}{\sqrt{21}} j - \frac{1}{\sqrt{21}} k$

193.

$α = 10$

197.

$−3 i + 11 j + 2 k$

199.

$w = 〈 –1, e^{t}, − e^{− t} 〉$

201.

$−26 i + 17 j + 9 k$

203.

$72 °$

209.

$7$

211.

a. $5 \sqrt{6};$ b. $\frac{5 \sqrt{6}}{2};$ c. $\frac{5 \sqrt{6}}{\sqrt{59}}$

213.

a. $2;$ b. $2$

215.

$v . (u \times w) = −1,$ $w . (u \times v) = 1$

217.

$a = 〈 1, 2, 3 〉,$ $b = 〈 0, 2, 5 〉,$ $c = 〈 8, 9, 2 〉;$ $a . (b \times c) = −9$

219.

a. $α = 1;$ b. $h = 1,$

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay un paralelepípedo dibujado. Desde el origen hay tres vectores hacia los vértices del paralelepípedo. Son vectores a los puntos A (2, 1, 0); B (1, 2, 0); y C (0, 1, alfa).

225.

Sí, $\vec{A D} = α \vec{A B} + β \vec{A C},$ donde $α = –1$ y $β = 1 .$

227.

$− k$

229.

$〈 0, ± 4 \sqrt{5}, \mp 2 \sqrt{5} 〉$

233.

$w = 〈 w_{3} - 1, w_{3} + 1, w_{3} 〉,$ donde $w_{3}$ es un número real cualquiera

235.

8,66 ft-lb

237.

559 N

239.

$F = 4,8 \times 10^{−15} k N$

241.

a. $B (t) = 〈 \frac{2 sen t}{\sqrt{5}}, - \frac{2 cos t}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} 〉;$
b.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Hay una curva dibujada que va en aumento. En la curva hay un punto marcado como "P". En P hay un vector tangente a la curva marcado como "v(1)". También desde P hay un vector hacia el interior de la curva marcado como "a(1)". Finalmente, hay un vector desde P marcado como "B(1)" que apunta hacia el eje z.

Sección 2.5 ejercicios

243.

a. $r = 〈 −3, 5, 9 〉 + t 〈 7, –12, −7 〉,$ $t \in ℝ;$ b. $x = −3 + 7 t, y = 5 - 12 t, z = 9 - 7 t,$ $t \in ℝ;$ c. $\frac{x + 3}{7} = \frac{y - 5}{−12} = \frac{z - 9}{−7};$ d. $x = −3 + 7 t, y = 5 - 12 t, z = 9 - 7 t,$ $t \in [0, 1]$

245.

a. $r = 〈 –1, 0, 5 〉 + t 〈 5, 0, −2 〉,$ $t \in ℝ;$ b. $x = −1 + 5 t, y = 0, z = 5 - 2 t,$ $t \in ℝ;$ c. $\frac{x + 1}{5} = \frac{z - 5}{−2}, y = 0;$ d. $x = −1 + 5 t, y = 0, z = 5 - 2 t,$ $t \in [0, 1]$

247.

a. $x = 1 + t, y = −2 + 2 t, z = 3 + 3 t,$ $t \in ℝ;$ b. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{3};$ c. $(0, −4, 0)$ grandes.

249.

a. $x = 3 + t, y = 1, z = 5,$ $t \in ℝ;$ b. $y = 1, z = 5;$ c. La línea no interseca el plano xy.

251.

a. $P (1, 3, 5),$ $v = 〈 1, 1, 4 〉;$ b. $\sqrt{3}$

253.

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

255.

a. Paralelas; b. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

259.

$(−12, 6, –4)$

261.

Las líneas son sesgadas.

263.

Las líneas son iguales.

265.

a. $x = 1 + t, y = 1 - t, z = 1 + 2 t,$ $t \in ℝ;$ b. Por ejemplo, la línea que pasa por $A$ con vector director $j : x = 1, z = 1;$ c. Por ejemplo, la línea que pasa por $A$ y punto $(2, 0, 0)$ que pertenece a $L$ es una línea que interseca; $L : \frac{x - 1}{−1} = y - 1 = z - 1$

267.

a. $3 x - 2 y + 4 z = 0;$ b. $3 x - 2 y + 4 z = 0$

269.

a. $(x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0;$ b. $x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

271.

a. $n = 4 i + 5 j + 10 k;$ b. $(5, 0, 0),$ $(0, 4, 0),$ y $(0, 0, 2);$
c.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un triángulo dibujado con vértices en los ejes x, y y z.

273.

a. $n n = 3 i - 2 j + 4 k;$ b. $(0, 0, 0);$
c.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional representado en una caja. Tiene un paralelogramo inclinado dentro de la caja que representa un plano.

275.

$(3, 0, 0)$

277.

$x = −2 + 2 t, y = 1 - 3 t, z = 3 + t,$ $t \in ℝ$

281.

a. $−2 y + 3 z - 1 = 0;$ b. $〈 0, –2, 3 〉 . 〈 x - 1, y - 1, z - 1 〉 = 0;$ c. $x = 0, y = −2 t, z = 3 t,$ $t \in ℝ$

283.

a. Las respuestas pueden variar; b. $\frac{x - 1}{1} = \frac{z - 6}{−1}, y = 4$

285.

$2 x - 5 y - 3 z + 15 = 0$

287.

La línea interseca el plano en el punto $P (−3, 4, 0) .$

289.

$\frac{16}{\sqrt{14}}$

291.

a. Los planos no son paralelos ni ortogonales; b. $62 °$

293.

a. Los planos son paralelos.

295.

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

297.

a. $\frac{18}{\sqrt{29}};$ b. $P (- \frac{51}{29}, \frac{130}{29}, \frac{62}{29})$

299.

$4 x - 3 y = 0$

301.

a. $v (1) = 〈 cos 1, − sen 1, 2 〉;$ b. $(cos 1) (x - sen 1) - (sen 1) (y - cos 1) + 2 (z - 2) = 0;$
c.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dibujada una cuadrícula de paralelogramo que representa un plano. Hay una curva crecientes desde y=1. La curva interseca el plano. En el punto de intersección de la curva con el plano, hay un vector marcado como "v(1)". Es ascendente y paralelo al eje z.

Sección 2.6 ejercicios

303.

La superficie es un cilindro con las reglas paralelas al eje y.

Esta figura es un cilindro circular dentro de una caja. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

305.

La superficie es un cilindro con reglas paralelas al eje y.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Su sección transversal paralela al plano x z sería una curva cosinusoide. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

307.

La superficie es un cilindro con reglas paralelas al eje x.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Su sección transversal paralela al plano y z sería una parábola invertida. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

309.

a. Cilindro; b. El eje x

311.

a. Hiperboloide de dos hojas; b. El eje x

313.

b.

315.

d.

317.

a.

319.

$- \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{z^{2}}{\frac{1}{4}} = 1,$ hiperboloide de una hoja con el eje x como eje de simetría

321.

$- \frac{x^{2}}{\frac{10}{3}} + \frac{y^{2}}{2} - \frac{z^{2}}{10} = 1,$ hiperboloide de dos hojas con el eje y como eje de simetría

323.

$y = - \frac{z^{2}}{5} + \frac{x^{2}}{5},$ paraboloide hiperbólico con el eje y como eje de simetría

325.

$\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{5} = 1,$ elipsoide

327.

$\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{8} - \frac{z^{2}}{5} = 0,$ cono elíptico con el eje z como eje de simetría

329.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{z^{2}}{3},$ paraboloide elíptico con el eje x como eje de simetría

331.

Parábola $y = - \frac{x^{2}}{4},$

Esta figura es el gráfico de una parábola invertida con su punto más alto en el origen de un sistema de coordenadas rectangular.

333.

Elipse $\frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{100} = 1,$

Esta figura es el gráfico de una elipse centrada en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares.

335.

Elipse $\frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{100} = 1,$

337.

a. Elipsoide; b. La tercera ecuación; c. $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{400} + \frac{z^{2}}{225} = 1$

339.

a. $\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(z - 2)}^{2}}{8} = 1;$ b. Cilindro centrado en $(−3, 2)$ con reglas paralelas al eje y

341.

a. $\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + {(y - 2)}^{2} - {(z + 2)}^{2} = 1;$ b. Hiperboloide de una hoja, centrado en $(3, 2, –2),$ con el eje z como eje de simetría

343.

a. ${(x + 3)}^{2} + \frac{y^{2}}{4} - \frac{z^{2}}{3} = 0;$ b. Cono elíptico centrado en $(−3, 0, 0),$ con el eje z como eje de simetría

345.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} + z^{2} = 1$

347.

$(1, –1, 0)$ y $(\frac{13}{3}, 4, \frac{5}{3})$

349.

$x^{2} + z^{2} + 4 y = 0,$ paraboloide elíptico

351.

$(0, 0, 100)$

355.

a. $x = 2 - \frac{z^{2}}{2}, y = \pm \frac{z}{2} \sqrt{4 - z^{2}},$ donde $z \in [−2, 2];$
b.

Esta figura es la de una superficie dentro de una caja. Es una esfera con una curva en forma de ocho en el lado de la esfera. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

357.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un óvalo sólido con un cilindro elíptico que se cruza verticalmente. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

dos elipses de ecuaciones $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{2}} = 1$ en los planos $z = ± 2 \sqrt{2}$

359.

a. $\frac{x^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{y^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{z^{2}}{{3.950}^{2}} = 1;$
b.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es una esfera. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

;
c. La curva de intersección es la elipse de ecuación $\frac{x^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{y^{2}}{{3.963}^{2}} = \frac{(2950) (4950)}{{3.950}^{2}},$ y la intersección es una elipse.; d. La curva de intersección es la elipse de ecuación $\frac{2 y^{2}}{{3.963}^{2}} + \frac{z^{2}}{{3.950}^{2}} = 1 .$

361.

a.

Esta figura es la una superficie dentro de una caja. Es un corazón. Los bordes exteriores de la caja tridimensional se escalan para representar el sistema de coordenadas tridimensional.

b. La curva de intersección es ${(x^{2} + z^{2} - 1)}^{3} - x^{2} z^{3} = 0 .$

Esta figura es una curva en un sistema de coordenadas rectangulares. Tiene la forma de un corazón centrado en el eje y.

Sección 2.7 ejercicios

363.

$(2 \sqrt{3}, 2, 3)$ grandes.

365.

$(−2 \sqrt{3}, –2, 3)$ grandes.

367.

$(2, \frac{π}{3}, 2)$ grandes.

369.

$(3 \sqrt{2}, - \frac{π}{4}, 7)$ grandes.

371.

Un cilindro de ecuación $x^{2} + y^{2} = 16,$ con su centro en el origen y las reglas paralelas al eje z,

Esta figura es un cilindro circular derecho, vertical. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.

373.

Hiperboloide de dos hojas de ecuación $− x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1,$ con el eje y como eje de simetría,

Esta figura es una superficie de cono elíptico que es horizontal. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.

375.

Cilindro de ecuación $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0,$ con un centro en $(1, 0, 0)$ y radio $1,$ con reglas paralelas al eje z,

377.

Plano de la ecuación $x = 2,$

Esta figura es un paralelogramo vertical donde x = 2 y paralelo al plano y z. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.

379.

$z = 3$

381.

$r^{2} + z^{2} = 9$

383.

$r = 16 cos θ, r = 0$

385.

$(0, 0, −3)$ grandes.

387.

$(6, –6, 6 \sqrt{2})$ grandes.

389.

$(4, 0, 90 °)$ grandes.

391.

$(3, 90 °, 90 °)$ grandes.

393.

Esfera de la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ centrada en el origen con radio $3,$

Esta figura es una esfera. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.

395.

Esfera de la ecuación $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ centrada en $(0, 0, 1)$ con radio $1,$

Esta figura es una esfera de radio 1 centrada en una caja. El centro de la esfera es el punto (0, 0, 1).

397.

El plano xy de la ecuación $z = 0,$

Esta figura es un paralelogramo que representa un plano. Es paralelo al plano x y en z = 0. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y y z.

399.

$φ = \frac{π}{3}$ o $φ = \frac{2 π}{3};$ Cono elíptico

401.

$ρ cos φ = 6;$ Plano en $z = 6$

403.

$(\sqrt{10}, \frac{π}{4}, 0,3218)$

405.

$(3 \sqrt{2}, \frac{π}{2}, \frac{π}{4})$ grandes.

407.

$(2, - \frac{π}{4}, 0)$ grandes.

409.

$(8, \frac{π}{3}, 0)$ grandes.

411.

Sistema cartesiano, ${(x, y, z) | 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a}$

413.

Sistema cilíndrico, ${\begin{cases} (r, θ, z) | r^{2} + z^{2} \leq 9, r \geq 0, \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{3 π}{2} \\ , (r \geq 3 \cos θ, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}) \end{cases}}$

415.

La región está descrita por el conjunto de puntos ${(r, θ, z) | 0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq 2 π, r^{2} \leq z \leq r} .$

Esta figura es un paraboloide, vertical. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y, y z.

417.

$(4.000, − 77 °, 51 °)$

419.

$43,17 ° W,$ $22,91 ° S$

421.

a. $ρ = 0,$ $ρ + R^{2} - r^{2} - 2 R sen φ = 0;$
c.

Esta figura es un toro. Está dentro de una caja. Los bordes de la caja representan los ejes x, y, y z.

Ejercicios de repaso

423.

Verdadero

425.

Falso

427.

a. $〈 24, −5 〉;$ b. $\sqrt{85};$ c. No se puede puntear un vector con un escalar; d. $−29$

429.

$a = ± 2$

431.

$〈 \frac{1}{\sqrt{14}}, - \frac{2}{\sqrt{14}}, - \frac{3}{\sqrt{14}} 〉$

433.

$27$

435.

$x = 1 - 3 t, y = 3 + 3 t, z = 5 - 8 t, r (t) = (1 - 3 t) i + 3 (1 + t) j + (5 - 8 t) k$

437.

$− x + 3 y + 8 z = 43$

439.

$x = k$ traza: $k^{2} = y^{2} + z^{2}$ es un círculo, $y = k$ traza: $x^{2} - z^{2} = k^{2}$ es una hipérbola (o un par de líneas si $k = 0),$ $z = k$ traza: $x^{2} - y^{2} = k^{2}$ es una hipérbola (o un par de líneas si $k = 0) .$ La superficie es un cono.