Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

6.3.1 Describir las curvas simples y cerradas; definir las regiones conectadas y simplemente conectadas.
6.3.2 Explicar cómo encontrar una función potencial para un campo vectorial conservativo.
6.3.3 Utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea para evaluar una integral de línea en un campo vectorial.
6.3.4 Explicar cómo probar un campo vectorial para determinar si es conservativo.

En esta sección, continuamos el estudio de los campos vectoriales conservativos. Examinamos el teorema fundamental de las integrales de línea, que es una generalización útil del teorema fundamental del cálculo a las integrales de línea de campos vectoriales conservativos. También descubrimos cómo probar si un campo vectorial dado es conservativo, y determinamos cómo construir una función potencial para un campo vectorial que se sabe que es conservativo.

Curvas y regiones

Antes de continuar nuestro estudio de los campos vectoriales conservativos, necesitamos algunas definiciones geométricas. Todos los teoremas de las secciones siguientes se basan en la integración sobre ciertos tipos de curvas y regiones, por lo que desarrollamos aquí las definiciones de esas curvas y regiones.

Primero definimos dos tipos especiales de curvas: las curvas cerradas y las curvas simples. Como hemos aprendido, una curva cerrada es aquella que empieza y termina en el mismo punto. Una curva simple es aquella que no se cruza. Una curva que es a la vez cerrada y simple es una curva cerrada simple (Figura 6.25).

Definición

La curva C es una curva cerrada si existe una parametrización $r (t), a \leq t \leq b$ de C tal que la parametrización atraviesa la curva exactamente una vez y $r (a) = r (b) .$ La curva C es una curva simple si C no se cruza a sí misma. Es decir, C es simple si existe una parametrización $r (t), a \leq t \leq b$ de C tal que r es biunívoco sobre $(a, b) .$ Es posible que $r (a) = r (b),$ lo que significa que la curva simple también es cerrada.

Una imagen que muestra ocho curvas y sus tipos. La primera curva no es simple ni cerrada; tiene dos puntos finales y se cruza dos veces. La segunda curva es simple pero no cerrada; no se cruza a sí misma y tiene dos puntos finales. La tercera curva es cerrada pero no es simple; se cruza varias veces. La cuarta es una curva cerrada simple; no se cruza a sí misma y no tiene puntos finales. La quinta es una curva simple, no cerrada; no se cruza a sí misma, pero tiene puntos finales. La sexta es una curva simple y cerrada; no se cruza a sí misma y no tiene puntos finales. La séptima es cerrada pero no simple; se cruza a sí misma pero no tiene puntos finales. La última no es simple ni cerrada; se cruza y tiene puntos finales.

Figura 6.25 Tipos de curvas simples o no simples y cerradas o no cerradas.

Ejemplo 6.27

Determinar si una curva es simple y cerrada

¿La curva con parametrización $r (t) = 〈 cos t, \frac{sen (2 t)}{2} 〉, 0 \leq t \leq 2 π$ es una curva cerrada simple?

Solución

Observe que $r (0) = 〈 1, 0 〉 = r (2 π);$ por lo tanto, la curva es cerrada. Sin embargo, la curva no es simple. Para ver esto, observe que $r (\frac{π}{2}) = 〈 0, 0 〉 = r (\frac{3 π}{2}),$ y por lo tanto la curva se cruza en el origen (Figura 6.26).

Un diagrama en el plano de coordenadas (x,y) que muestra una curva cerrada pero no simple. Parece un ocho horizontal con el punto de cruce en el origen.

Figura 6.26 Una curva cerrada pero no simple.

Punto de control 6.24

¿La curva dada por la parametrización $r (t) = 〈 2 cos t, 3 sen t 〉, 0 \leq t \leq 6 π,$ es una curva cerrada simple?

Muchos de los teoremas de este capítulo relacionan una integral sobre una región con una integral sobre el borde de la región, donde el borde de la región es una curva simple cerrada o una unión de curvas simples cerradas. Para desarrollar estos teoremas, necesitamos dos definiciones geométricas de las regiones: la de región conectada y la de región simplemente conectada. Una región conectada es aquella en la que hay una trayectoria en la región que conecta dos puntos cualesquiera que se encuentran dentro de esa región. Una región simplemente conectada es una región conectada que no tiene ningún agujero. Estas dos nociones, junto con la noción de curva simple cerrada, nos permiten enunciar varias generalizaciones del teorema fundamental del cálculo más adelante en el capítulo. Estas dos definiciones son válidas para regiones de cualquier número de dimensiones, pero a nosotros solo nos interesan las regiones de dos o tres dimensiones.

Definición

Una región D es una región conectada si, para dos puntos cualesquiera $P_{1}$ y $P_{2},$ hay una trayectoria desde $P_{1}$ a $P_{2}$ con una traza contenida enteramente dentro de D. Una región D es una región simplemente conectada si D está conectada para cualquier curva simple cerrada C que se encuentre dentro de D, y la curva C puede ser encogida continuamente hasta un punto mientras permanece enteramente dentro de D. En dos dimensiones, una región es simplemente conectada si es conectada y no tiene agujeros.

Todas las regiones simplemente conectadas son conectadas, pero no todas las regiones conectadas son simplemente conectadas (Figura 6.27).

Un diagrama que muestra regiones simplemente conectadas, conectadas y no conectadas. Las regiones simplemente conectadas no tienen agujeros. Las regiones conectadas pueden tener agujeros, pero aun así se puede encontrar una trayectoria entre dos puntos cualesquiera de la región. La región no conectada tiene algunos puntos que no pueden ser conectados por una trayectoria en la región. Esto se ilustra mostrando dos formas circulares que se definen como parte de la región D1 pero que están separadas por un espacio en blanco.

Figura 6.27 No todas las regiones conectadas son simplemente conectadas. (a) Las regiones simplemente conectadas no tienen agujeros. (b) Las regiones conectadas que no son simplemente conectadas pueden tener agujeros, pero todavía se puede encontrar una trayectoria en la región entre dos puntos cualesquiera. (c) Una región que no está conectada tiene algunos puntos que no pueden ser conectados por una trayectoria en la región.

Punto de control 6.25

¿La región de la imagen inferior está conectada? ¿La región está simplemente conectada?

Un círculo sombreado con un espacio abierto en forma de círculo en su interior pero muy cerca del borde.

Teorema fundamental de las integrales de línea

Ahora que entendemos algunas curvas y regiones básicas, vamos a generalizar el teorema fundamental del cálculo a las integrales de línea. Recordemos que este teorema dice que si una función $f$ tiene una antiderivada F, entonces la integral de $f$ de a a b depende solo de los valores de F en a y en b, es decir,

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces el mismo teorema es válido para las integrales de líneas vectoriales. Mostramos cómo funciona utilizando un ejemplo de motivación.

Ejemplo 6.28

Evaluar una integral de línea y las antiderivadas de los extremos

Supongamos que $F (x, y) = 〈 2 x, 4 y 〉 .$ Calcule $\int_{C} F . d r,$ donde C es el segmento de línea de (0,0) a (2,2) (Figura 6.28).

Solución

Utilizamos la Ecuación 6.9 para calcular $\int_{C} F . d r .$ La curva C puede ser parametrizada por $r (t) = 〈 2 t, 2 t 〉, 0 \leq t \leq 1 .$ Entonces, $F (r (t)) = 〈 4 t, 8 t 〉$ y $r^{'} (t) = 〈 2, 2 〉,$ lo que implica que

\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{0}^{1} 〈 4 t, 8 t 〉 . 〈 2, 2 〉 d t \\ = \int_{0}^{1} (8 t + 16 t) d t = \int_{0}^{1} 24 t d t \\ = {[12 t^{2}]}_{0}^{1} = 12. \end{matrix}

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más largas cuanto más se alejan del origen. Se extienden desde el origen, formando un patrón rectangular. Se dibuja un segmento de línea desde P_0 en (0,0) hasta P_1 en (2,2).

Figura 6.28 El valor de la integral de línea

\int_{C} F . d r

depende únicamente del valor de la función potencial de F en los puntos extremos de la curva.

Observe que $F = ∇ f,$ donde $f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2} .$ Si pensamos en el gradiente como una derivada, entonces $f$ es una "antiderivada" de F. En el caso de integrales de una sola variable, la integral de la derivada $g^{'} (x)$ ¿es $g (b) - g (a),$ donde a es el punto inicial del intervalo de integración y b es el punto final. Si las integrales de línea vectorial funcionan como las integrales de una sola variable, entonces esperaríamos que la integral F fuera $f (P_{1}) - f (P_{0}),$ donde $P_{1}$ es el punto final de la curva de integración y $P_{0}$ es el punto de partida. Observe que este es el caso de este ejemplo:

\int_{C} F . d r = \int_{C} ∇ f . d r = 12

y

f (2, 2) - f (0, 0) = 4 + 8 - 0 = 12 .

En otras palabras, la integral de una "derivada" puede calcularse evaluando una "antiderivada" en los puntos extremos de la curva y restando, igual que para las integrales de una sola variable.

El siguiente teorema dice que, bajo ciertas condiciones, lo que ocurría en el ejemplo anterior es válido para cualquier campo de gradiente. El mismo teorema es válido para las integrales vectoriales de línea, que llamamos teorema fundamental de las integrales de línea.

Teorema 6.7

Teorema fundamental de las integrales de línea

Supongamos que C es una curva suave a trozos con parametrización $r (t), a \leq t \leq b .$ Supongamos que $f$ es una función de dos o tres variables con derivadas parciales de primer orden que existen y son continuas en C. Entonces,

\int_{C} ∇ f . d r = f (r (b)) - f (r (a)) .

(6.12)

Prueba

Según la Ecuación 6.9,

\int_{C} ∇ f . d r = \int_{a}^{b} ∇ f (r (t)) . r^{'} (t) d t .

Según la regla de la cadena,

\frac{d}{d t} (f (r (t)) = ∇ f (r (t)) . r^{'} (t) .

Por lo tanto, según el teorema fundamental del cálculo,

\begin{matrix} \int_{C} \nabla f . d r & = \int_{a}^{b} ∇ f (r (t)) . r^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{d}{d t} (f (r (t)) d t \\ = {[f (r (t))]}_{t = a}^{t = b} \\ = f (r (b)) - f (r (a)) . \end{matrix}

□

Sabemos que si F es un campo vectorial conservativo, existen funciones potenciales $f$ de manera que $∇ f = F .$ Por lo tanto $\int_{C} F . d r = \int_{C} ∇ f . d r = f (r (b)) - f (r (a)) .$ En otras palabras, al igual que con el teorema fundamental del cálculo, el cálculo de la integral de línea $\int_{C} F . d r,$ donde F es conservativo, es un proceso de dos pasos: (1) encontrar una función potencial ("antiderivada") $f$ para F y (2) calcular el valor de $f$ en los puntos extremos de C y calcular su diferencia $f (r (b)) - f (r (a)) .$ Sin embargo, observe que hay una gran diferencia entre el teorema fundamental del cálculo y el teorema fundamental de las integrales de línea. Una función de una variable que es continua debe tener una antiderivada. Sin embargo, un campo vectorial, aunque sea continuo, no necesita tener una función potencial.

Ejemplo 6.29

Aplicar el teorema fundamental

Calcule la integral $\int_{C} F . d r,$ donde $F (x, y, z) = 〈 2 x ln y, \frac{x^{2}}{y} + z^{2}, 2 y z 〉$ y C es una curva con parametrización $r (t) = 〈 t^{2}, t, t 〉, 1 \leq t \leq e$

sin utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea y
utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea.

Solución

En primer lugar, vamos a calcular la integral sin el teorema fundamental de las integrales de línea y en su lugar utilizaremos Ecuación 6.9

$\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{1}^{e} F (r (t)) . r^{'} (t) d t \\ = \int_{1}^{e} 〈 2 t^{2} ln t, \frac{t^{4}}{t} + t^{2}, 2 t^{2} 〉 . 〈 2 t, 1, 1 〉 d t \\ = \int_{1}^{e} (4 t^{3} ln t + t^{3} + 3 t^{2}) d t \\ = \int_{1}^{e} 4 t^{3} ln t d t + \int_{1}^{e} (t^{3} + 3 t^{2}) d t \\ = \int_{1}^{e} 4 t^{3} ln t d t + {[\frac{t^{4}}{4} + t^{3}]}_{1}^{e} \\ = 2 \int_{1}^{e} t^{3} ln t d t + \frac{e^{4}}{4} + e^{3} - \frac{5}{4} . \end{matrix}$

La integral $\int_{1}^{e} t^{3} ln t d t$ requiere una integración por partes. Supongamos que $u = ln t$ y $d v = t^{3} .$ Entonces $u = ln t, d v = t^{3}$
y

$d u = \frac{1}{t} d t, v = \frac{t^{4}}{4} .$

Por lo tanto,

$\begin{matrix} \int_{1}^{e} t^{3} ln t d t & = {[\frac{t^{4}}{4} ln t]}_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} t^{3} d t \\ = \frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{r} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) . \end{matrix}$

Así,

$\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = 4 \int_{1}^{e} t^{3} ln t d t + \frac{e^{4}}{4} + e^{3} - \frac{5}{4} \\ = 4 (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})) + \frac{e^{4}}{4} + e^{3} - \frac{5}{4} \\ = e^{4} - \frac{e^{4}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{e^{4}}{4} + e^{3} - \frac{5}{4} \\ = e^{4} + e^{3} - 1 \end{matrix}$
Dado que $f (x, y, z) = x^{2} ln y + y z^{2}$ es una función potencial para F, utilicemos el teorema fundamental de las integrales de línea para calcular la integral. Observe que

$\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{C} ∇ f . d r \\ = f (r (e)) - f (r (1)) \\ = f (e^{2}, e, e) - f (1, 1, 1) \\ = e^{4} + e^{3} - 1 \end{matrix}$

Este cálculo es mucho más sencillo que el que hicimos en (a). Siempre que tengamos una función potencial, el cálculo de una integral de línea utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea es mucho más fácil que el cálculo sin el teorema.

El Ejemplo 6.29 ilustra una buena característica del teorema fundamental de las integrales de línea: nos permite calcular más fácilmente muchas integrales de línea vectoriales. Mientras tengamos una función potencial, el cálculo de la integral de línea es solo cuestión de evaluar la función potencial en los puntos extremos y restar.

Punto de control 6.26

Dado que $f (x, y) = {(x - 1)}^{2} y + {(y + 1)}^{2} x$ son funciones potenciales para $F = 〈 2 x y - 2 y + {(y + 1)}^{2}, {(x - 1)}^{2} + 2 y x + 2 x 〉,$ calcule la integral $\int_{C} F . d r,$ donde C es la mitad inferior del círculo unitario orientado en sentido contrario a las agujas del reloj.

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas cercanas al origen son las más cortas, y las flechas de las esquinas superior derecha e inferior izquierda de los cuadrantes 1 y 3 son las más cortas. Las flechas van hacia arriba y hacia la izquierda en los cuadrantes 1 y 3. En el cuadrante 2, las flechas se extienden hacia arriba y hacia la derecha para los valores superiores a x = –1. Cuanto más cerca estén las flechas de y=1, más horizontales serán. Para valores inferiores a x = –1, las flechas apuntan hacia arriba y forman una curva hacia la izquierda. Cuanto más cerca estén las flechas de y=1, más horizontales serán. Por encima de y=1, parece que las flechas pasan de la vertical a la horizontal. En el cuadrante 4, las flechas suben y se dirigen a la derecha con bastante regularidad, pero tienden a curvarse hacia la derecha cuanto mayor es el valor de x. Para valores de y inferiores a -1, las flechas pasan de apuntar hacia arriba a apuntar hacia abajo, siguiendo a x = 1. La mitad inferior del círculo unitario con centro en el origen se dibuja en los cuadrantes 3 y 4.

El teorema fundamental de las integrales lineales tiene dos consecuencias importantes. La primera consecuencia es que si F es conservativo y C es una curva cerrada, entonces la circulación de F a lo largo de C es cero; es decir, $\int_{C} F . d r = 0 .$ Para ver por qué esto es cierto, supongamos que $f$ es una función potencial para F. Como C es una curva cerrada, el punto terminal r(b) de C es el mismo que el punto inicial r(a) de C,es decir, $r (a) = r (b) .$ Por lo tanto, según el teorema fundamental de las integrales de línea,

\begin{matrix} \oint_{C} F . d r & = \oint_{C} ∇ f . d r \\ = f (r (b)) - f (r (a)) \\ = f (r (b)) - f (r (b)) \\ = 0, \end{matrix}

Recordemos que la razón por la que un campo vectorial conservativo F se llama “conservativo” es porque tales campos vectoriales modelan fuerzas en las que se conserva la energía. Hemos demostrado que la gravedad es un ejemplo de esa fuerza. Si pensamos en el campo vectorial F en la integral $\oint_{C} F . d r$ como campo gravitacional, entonces la ecuación $\oint_{C} F . d r = 0$ es el siguiente. Si una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria que comienza y termina en el mismo lugar, entonces el trabajo realizado por la gravedad sobre la partícula es cero.

La segunda consecuencia importante del teorema fundamental de las integrales de línea es que las integrales lineales de los campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria, es decir, solo dependen de los puntos extremos de la curva dada, y no dependen de la trayectoria entre los puntos extremos.

Definición

Supongamos que F es un campo vectorial con dominio D. El campo vectorial F es independiente de la trayectoria (o de trayectoria independiente) si $\int_{C_{1}} F . d r = \int_{C_{2}} F . d r$ para cualesquiera trayectorias $C_{1}$ y $C_{2}$ en D con los mismos puntos iniciales y terminales.

La segunda consecuencia se enuncia formalmente en el siguiente teorema.

Teorema 6.8

Independencia de la trayectoria de los campos conservativos

Si F es un campo vectorial conservativo, entonces F es independiente de la trayectoria.

Prueba

Supongamos que D es el dominio de F y supongamos que $C_{1}$ y $C_{2}$ son dos trayectorias en D con los mismos puntos iniciales y terminales (Figura 6.29). Llame al punto inicial $P_{1}$ y el punto terminal $P_{2} .$ Como F es conservativo, existe una función potencial $f$ para F. Según el teorema fundamental de las integrales de línea,

\int_{C_{1}} F . d r = f (P_{2}) - f (P_{1}) = \int_{C_{2}} F . d r .

Por lo tanto, $\int_{C_{1}} F . d r = \int_{C_{2}} F . d r$ y F es independiente de la trayectoria.

□

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más cortas cuanto más cerca se encuentran del eje x y de la línea x=1,5. Las flechas apuntan hacia arriba, convergiendo alrededor de x=1,5 en el cuadrante 1. Esa línea se aborda desde la izquierda y desde la derecha. Abajo, en el cuadrante 4, las flechas del intervalo aproximado [1; 2,5] se curvan hacia fuera, alejándose de la línea dada x = 1,5, pero vuelven a girar hacia dentro y convergen a x = 1,5 por encima del eje x. Fuera de ese intervalo, las flechas se dirigen a la izquierda y a la derecha en sentido horizontal para los valores de x inferiores a 1 y superiores a 2,5, respectivamente. Se dibuja una línea desde P_1 en el origen hasta P_2 en (3,0,75) y se marca C_2. C_1 es una curva simple que conecta los puntos finales dados por encima de C_2; C_3 es una curva simple que conecta los puntos finales dados por debajo de C_2.

Figura 6.29 El campo vectorial es conservativo y, por tanto, independiente de la trayectoria.

Para visualizar lo que significa la independencia de la trayectoria, imagine que tres excursionistas suben desde el campamento base hasta la cima de una montaña. El excursionista 1 toma una ruta empinada directamente desde el campamento hasta la cima. El excursionista 2 toma una ruta sinuosa que no es empinada desde el campamento hasta la cima. El excursionista 3 comienza a tomar la ruta empinada, pero a mitad de camino hacia la cima decide que es demasiado difícil para él. Por lo tanto, regresa al campamento y toma el camino no empinado hacia la cima. Los tres excursionistas viajan por trayectorias en un campo gravitacional. Dado que la gravedad es una fuerza en la que se conserva la energía, el campo gravitacional es conservativo. Según la independencia de la trayectoria, la cantidad total de trabajo realizado por la gravedad sobre cada uno de los excursionistas es la misma porque todos empezaron en el mismo lugar y terminaron en el mismo lugar. El trabajo realizado por los excursionistas incluye otros factores como la fricción y el movimiento muscular, por lo que la cantidad total de energía que cada uno gastó no es la misma, pero la energía neta gastada contra la gravedad es la misma para los tres.

Hemos demostrado que si F es conservativo, entonces F es independiente de la trayectoria. Resulta que si el dominio de F es abierto y conectado, entonces lo contrario también es cierto. Es decir, si F es independiente de la trayectoria y el dominio de F es abierto y conectado entonces F es conservativo. Por lo tanto, el conjunto de campos vectoriales conservativos en dominios abiertos y conectados es precisamente el conjunto de campos vectoriales independientes de la trayectoria.

Teorema 6.9

Prueba de independencia de la trayectoria para los campos conservativos

Si F es un campo vectorial continuo independiente de la trayectoria y el dominio D de F es abierto y conectado, entonces F es conservativo.

Prueba

Demostramos el teorema para campos vectoriales en $ℝ^{2} .$ La prueba para campos vectoriales en $ℝ^{3}$ es similar. Para demostrar que $F = 〈 P, Q 〉$ es conservativo, debemos encontrar una función potencial $f$ para F. Para ello, supongamos que X es un punto fijo en D. Para cualquier punto $(x, y)$ en D, supongamos que C es una trayectoria de X a $(x, y) .$ Defina $f$ $(x, y)$ por medio de $f (x, y) = \int_{C} F . d r .$ (Observe que esta definición de $f$ solo tiene sentido porque F es independiente de la trayectoria. Si F no fuera independiente de la trayectoria, entonces sería posible encontrar otra trayectoria $C^{'}$ de X a $(x, y)$ de manera que $\int_{C} F . d r \neq \int_{C} F . d r,$ y en tal caso $f$ $(x, y)$ no sería una función) Queremos demostrar que $f$ tiene la propiedad $∇ f = F .$

Como el dominio D es abierto, es posible encontrar un disco centrado en $(x, y)$ de manera que el disco esté contenido por completo en D. Supongamos que $(a, y)$ con la $a < x$ es un punto en ese disco. Supongamos que C es una trayectoria de X a $(x, y)$ que consta de dos piezas: $C_{1}$ y $C_{2} .$ La primera pieza, $C_{1},$ es cualquier trayectoria de X a $(a, y)$ que se queda dentro de D; $C_{2}$ es el segmento de línea horizontal de $(a, y)$ al $(x, y)$ (Figura 6.30). Entonces

f (x, y) = \int_{C_{1}} F . d r + \int_{C_{2}} F . d r .

La primera integral no depende de x, por lo que

f_{x} = \frac{\partial}{\partial x} \int_{C_{2}} F . d r .

Si parametrizamos $C_{2}$ entre $r (t) = 〈 t, y 〉, a \leq t \leq x,$ entonces

\begin{matrix} f_{x} & = \frac{\partial}{\partial x} \int_{C^{2}} F . d r \\ = \frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{x} F (r (t)) . r^{'} (t) d t \\ = \frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{x} F (r (t)) . \frac{d}{d t} (〈 t, y 〉) d t \\ = \frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{x} F (r (t)) . 〈 1, 0 〉 d t \\ = \frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{x} P (t, y) d t . \end{matrix}

Según el teorema fundamental del cálculo (parte 1),

f_{x} = \frac{\partial}{\partial x} \int_{a}^{x} P (t, y) d t = P (x, y) .

Un diagrama de una región D en forma aproximada de una C al revés. Es una región simplemente conectada formada por una curva cerrada. Otra curva C_1 se dibuja dentro de D desde el punto X hasta (a,y). C_2 es un segmento de línea horizontal trazado desde (a,y) hasta (x,y). Las puntas de flecha apuntan a (a,y) en C_1 y a (x,y) en C_2.

Figura 6.30 Aquí,

C_{1}

es cualquier trayectoria de X a

(a, y)

que permanece dentro de D, y

C_{2}

es el segmento de línea horizontal de

(a, y)

al

(x, y) .

Un argumento similar utilizando un segmento de línea vertical en vez de un segmento de línea horizontal muestra que $f_{y} = Q (x, y) .$

Por lo tanto, $∇ f = F$ y F son conservativos.

□

Hemos dedicado mucho tiempo a discutir y demostrar la Independencia de la trayectoria de los campos conservativos y la Prueba de independencia de la trayectoria para los campos conservativos, pero podemos resumirlas de forma sencilla: un campo vectorial F en un dominio abierto y conectado es conservativo si y solo si es independiente de la trayectoria. Esto es importante saberlo porque los campos vectoriales conservativos son extremadamente importantes en las aplicaciones, y estos teoremas nos dan un punto de vista diferente sobre lo que significa ser conservativo usando la independencia de la trayectoria.

Ejemplo 6.30

Demostrar que un campo vectorial no es conservativo

Utilice la independencia de la trayectoria para demostrar que el campo vectorial $F (x, y) = 〈 x^{2} y, y + 5 〉$ no es conservativo.

Solución

Podemos indicar que F no es conservativo mostrando que F no es independiente de la trayectoria. Lo hacemos dando dos trayectorias diferentes, $C_{1}$ y $C_{2},$ las que comienzan en $(0, 0)$ y terminan en $(1, 1),$ sin embargo $\int_{C_{1}} F . d r \neq \int_{C_{2}} F . d r .$

Supongamos que $C_{1}$ es la curva con parametrización $r_{1} (t) = 〈 t, t 〉, 0 \leq t \leq 1$ y supongamos que $C_{2}$ es la curva con parametrización $r_{2} (t) = 〈 t, t^{2} 〉, 0 \leq t \leq 1$ (Figura 6.31). Entonces

\begin{matrix} \int_{C_{1}} F . d r & = \int_{0}^{1} F (r_{1} (t)) . r_{1}^{'} (t) d t \\ = \int_{0}^{1} 〈 t^{3}, t + 5 〉 . 〈 1, 1 〉 d t = \int_{0}^{1} (t^{3} + t + 5) d t \\ = {[\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{2}}{2} + 5 t]}_{0}^{1} = \frac{23}{4} \end{matrix}

y

\begin{matrix} \int_{C_{2}} F . d r & = \int_{0}^{1} F (r_{2} (t)) . r_{2}' (t) d t \\ = \int_{0}^{1} 〈 t^{4}, t^{2} + 5 〉 . 〈 1, 2 t 〉 d t = \int_{0}^{1} (t^{4} + 2 t^{3} + 10 t) d t \\ = {[\frac{t^{5}}{5} + \frac{t^{4}}{2} + 5 t^{2}]}_{0}^{1} = \frac{57}{10} . \end{matrix}

Dado que $\int_{C_{1}} F . d r \neq \int_{C_{2}} F . d r,$ el valor de una integral de línea de F depende de la trayectoria entre dos puntos dados. Por lo tanto, F no es independiente de la trayectoria, y F no es conservativo.

Un campo vectorial dibujado en dos dimensiones. Las flechas tienen aproximadamente la misma longitud. Apuntan directamente hacia arriba, pero tienden a desplazarse hacia la derecha en la parte superior derecha del cuadrante 1. Las curvas C_1 y C_2 unen el origen con el punto (1,1). Ambas son curvas simples, y sus puntas de flecha apuntan a (1,1).

Figura 6.31 Las curvas

C_{1}

y

C_{2}

están orientadas de izquierda a derecha.

Punto de control 6.27

Demuestre que $F (x, y) = 〈 x y, x^{2} y^{2} 〉$ no es independiente de la trayectoria al considerar el segmento de línea de $(0, 0)$ al $(2, 2)$ y el trozo del gráfico de $y = \frac{x^{2}}{2}$ que va desde $(0, 0)$ al $(2, 2) .$

Campos vectoriales conservativos y funciones potenciales

Como hemos aprendido, el teorema fundamental de las integrales de línea dice que si F es conservativo, entonces el cálculo de $\int_{C} F . d r$ tiene dos pasos: primero, encontrar una función potencial $f$ para F y, en segundo lugar, calcular $f (P_{1}) - f (P_{0}),$ donde $P_{1}$ es el punto final de C y $P_{0}$ es el punto de partida. Para utilizar este teorema para un campo conservativo F, debemos ser capaces de encontrar una función potencial $f$ para F. Por lo tanto, debemos responder la siguiente pregunta: dado un campo vectorial conservativo F, ¿cómo encontramos una función $f$ de manera que $∇ f = F ?$ Antes de dar un método general para hallar una función potencial, vamos a explicar el método con un ejemplo.

Ejemplo 6.31

Calcular una función potencial

Calcule una función potencial para $F (x, y) = 〈 2 x y^{3}, 3 x^{2} y^{2} + cos (y) 〉,$ demostrando así que F es conservativo.

Solución

Supongamos que $f (x, y)$ es una función potencial para F. Entonces, $∇ f = F,$ y por lo tanto

f_{x} = 2 x y^{3} y f_{y} = 3 x^{2} y^{2} + cos y .

Al integrar la ecuación $f_{x} = 2 x y^{3}$ con respecto a x se obtiene la ecuación

f (x, y) = x^{2} y^{3} + h (y) .

Observe que como estamos integrando una función de dos variables con respecto a x, debemos añadir una constante de integración que es una constante con respecto a x, pero que puede seguir siendo una función de y. La ecuación $f (x, y) = x^{2} y^{3} + h (y)$ se puede confirmar tomando la derivada parcial con respecto a x:

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y^{3}) + \frac{\partial}{\partial x} (h (y)) = 2 x y^{3} + 0 = 2 x y^{3} .

Dado que $f$ es una función potencial para F,

f_{y} = 3 x^{2} y^{2} + cos (y),

y por lo tanto

3 x^{2} y^{2} + h^{'} (y) = 3 x^{2} y^{2} + cos (y) .

Esto implica que $h' (y) = cos y,$ por lo que $h (y) = sen y + C .$ Por lo tanto, cualquier función de la forma $f (x, y) = x^{2} y^{3} + sen (y) + C$ es una función potencial. Tomando, en particular, $C = 0$ da la función potencial $f (x, y) = x^{2} y^{3} + sen (y) .$

Para verificar que $f$ es una función potencial, observe que $∇ f = 〈 2 x y^{3}, 3 x^{2} y^{2} + cos y 〉 = F .$

Punto de control 6.28

Calcule una función potencial para $F (x, y) = 〈 e^{x} y^{3} + y, 3 e^{x} y^{2} + x 〉 .$

La lógica del ejemplo anterior se extiende a encontrar la función potencial para cualquier campo vectorial conservativo en $ℝ^{2} .$ Así, tenemos la siguiente estrategia de resolución de problemas para encontrar funciones potenciales:

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia de resolución de problemas: Encontrar una función potencial para un campo vectorial conservativo $F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉$

Integre P con respecto a x. Esto da lugar a una función de la forma $g (x, y) + h (y),$ donde $h (y)$ es desconocido.
Tome la derivada parcial de $g (x, y) + h (y)$ con respecto a y, lo que da lugar a la función $g_{y} (x, y) + h^{'} (y) .$
Utilice la ecuación $g_{y} (x, y) + h^{'} (y) = Q (x, y)$ para calcular $h^{'} (y) .$
Integre $h^{'} (y)$ para calcular $h (y) .$
Cualquier función de la forma $f (x, y) = g (x, y) + h (y) + C,$ donde C es una constante, es una función potencial para F.

Podemos adaptar esta estrategia para encontrar funciones potenciales para campos vectoriales en $ℝ^{3},$ como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.32

Encontrar una función potencial en $ℝ^{3}$

Calcule una función potencial para $F (x, y, z) = 〈 2 x y, x^{2} + 2 y z^{3}, 3 y^{2} z^{2} + 2 z 〉,$ por consiguiente demuestra que $F$ es conservativo.

Solución

Supongamos que $f$ es una función potencial. Entonces, $∇ f = F$ y por lo tanto $f_{x} = 2 x y .$ Al integrar esta ecuación con respecto a x se obtiene la ecuación $f (x, y, z) = x^{2} y + g (y, z)$ para alguna función g. Observe que, en este caso, la constante de integración respecto a x es función de y y z.

Dado que $f$ es una función potencial,

x^{2} + 2 y z^{3} = f_{y} = x^{2} + g_{y} .

Por lo tanto,

g_{y} = 2 y z^{3} .

Al integrar esta función con respecto a y se obtiene

g (y, z) = y^{2} z^{3} + h (z)

para alguna función $h (z)$ de z solamente. (Observe que, como sabemos que g es una función solo de y y z, no necesitamos escribir $g (y, z) = y^{2} z^{3} + h (x, z) .)$ Por lo tanto,

f (x, y, z) = x^{2} y + g (y, z) = x^{2} y + y^{2} z^{3} + h (z) .

Para hallar $f$ , ahora solo debemos hallar h. Dado que $f$ es una función potencial,

3 y^{2} z^{2} + 2 z = g_{z} = 3 y^{2} z^{2} + h^{'} (z) .

Esto implica que $h^{'} (z) = 2 z,$ por lo que $h (z) = z^{2} + C .$ Supongamos que $C = 0$ da la función potencial

f (x, y, z) = x^{2} y + y^{2} z^{3} + z^{2} .

Para verificar que $f$ es una función potencial, observe que $∇ f = 〈 2 x y, x^{2} + 2 y z^{3}, 3 y^{2} z^{2} + 2 z 〉 = F .$

Punto de control 6.29

Calcule una función potencial para $F (x, y, z) = 〈 12 x^{2}, cos y cos z, 1 - sen y sen z 〉 .$

Podemos aplicar el proceso de encontrar una función potencial a una fuerza gravitacional. Recordemos que, si un objeto tiene masa unitaria y está situado en el origen, entonces la fuerza gravitacional en $ℝ^{2}$ que ejerce el objeto sobre otro de masa unitaria en el punto $(x, y)$ viene dado por el campo vectorial

F (x, y) = − G 〈 \frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}}, \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} 〉,

donde G es la constante gravitacional universal. En el siguiente ejemplo, construimos una función potencial para F, confirmando así lo que ya sabemos: que la gravedad es conservativa.

Ejemplo 6.33

Calcular una función potencial

Calcule una función potencial $f$ por $F (x, y) = − G 〈 \frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}}, \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} 〉 .$

Solución

Supongamos que $f$ es una función potencial. Entonces, $∇ f = F$ y por lo tanto

f_{x} = \frac{− G x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} .

Para integrar esta función con respecto a x, podemos utilizar la sustitución en u. Si los valores de $u = x^{2} + y^{2},$ entonces $\frac{d u}{2} = x d x,$ así que

\begin{matrix} \int \frac{− G x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} d x & = \int \frac{− G}{2 u^{3 / 2}} d u \\ = \frac{G}{\sqrt{u}} + h (y) \\ = \frac{G}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + h (y) \end{matrix}

para alguna función $h (y) .$ Por lo tanto,

f (x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + h (y) .

Dado que $f$ es una función potencial para F,

f_{y} = \frac{− G y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} .

Dado que $f (x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + h (y),$ $f_{y}$ también es igual a $\frac{− G y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} + h^{'} (y) .$

Por lo tanto,

\frac{− G y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} + h' (y) = \frac{− G y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}},

lo que implica que $h^{'} (y) = 0 .$ Así, podemos tomar $h (y)$ para que sea cualquier constante; en particular, podemos dejar que $h (y) = 0 .$ La función

f (x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

es una función potencial para el campo gravitacional F. Para confirmar que $f$ es una función potencial, observe que

\begin{matrix} ∇ f & = 〈 - \frac{1}{2} \frac{G}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} (2 x), - \frac{1}{2} \frac{G}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} (2 y) 〉 \\ = 〈 \frac{− G x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}}, \frac{− G y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3 / 2}} 〉 \\ = F . \end{matrix}

Punto de control 6.30

Calcule una función potencial $f$ para la fuerza gravitacional tridimensional $F (x, y, z) = 〈 \frac{− G x}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3 / 2}}, \frac{− G y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3 / 2}}, \frac{− G z}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{3 / 2}} 〉 .$

Probar un campo vectorial

Hasta ahora, hemos trabajado con campos vectoriales que sabemos que son conservativos, pero si no nos dicen que un campo vectorial es conservativo, necesitamos poder comprobar si lo es. Recordemos que, si F es conservativo, entonces F tiene la propiedad parcial cruzada (La propiedad cruz de los campos vectoriales conservativo). Es decir, si $F = 〈 P, Q, R 〉$ es conservativo, entonces $P_{y} = Q_{x}, P_{z} = R_{x},$ y $Q_{z} = R_{y} .$ Entonces, si F tiene la propiedad parcial cruzada, ¿F es conservativo? Si el dominio de F es abierto y simplemente conectado, entonces la respuesta es sí.

Teorema 6.10

La prueba parcial cruzada para campos conservativos

Si los valores de $F = 〈 P, Q, R 〉$ es un campo vectorial en una región abierta y simplemente conectada D y $P_{y} = Q_{x}, P_{z} = R_{x},$ y $Q_{z} = R_{y}$ en todo D, entonces F es conservativo.

Aunque una demostración de este teorema está fuera del alcance del texto, podemos descubrir su poder con algunos ejemplos. Más adelante, veremos por qué es necesario que la región esté simplemente conectada.

Combinando este teorema con la propiedad transversal, podemos determinar si un campo vectorial dado es conservativo:

Teorema 6.11

Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores

Supongamos que $F = 〈 P, Q, R 〉$ es un campo vectorial sobre una región abierta y simplemente conectada D. Entonces $P_{y} = Q_{x}, P_{z} = R_{x},$ y $Q_{z} = R_{y}$ en todo D si y solo si F es conservativo.

La versión de este teorema en $ℝ^{2}$ también es cierto. Si los valores de $F = 〈 P, Q 〉$ es un campo vectorial en un dominio abierto y simplemente conectado en $ℝ^{2},$ entonces F es conservatorio si y solo si $P_{y} = Q_{x} .$

Ejemplo 6.34

Determinar si un campo vectorial es conservativo

Determine si el campo vectorial $F (x, y, z) = 〈 x y^{2} z, x^{2} y z, z^{2} 〉$ es conservativo.

Solución

Observe que el dominio de F es todo $ℝ^{2}$ y $ℝ^{3}$ está simplemente conectado. Por lo tanto, podemos utilizar Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores para determinar si F es conservativo. Supongamos que

P (x, y, z) = x y^{2} z, Q (x, y, z) = x^{2} y z, y R (x, y, z) = z^{2} .

Dado que $Q_{z} = x^{2} y$ y $R_{y} = 0,$ el campo vectorial no es conservativo.

Ejemplo 6.35

Determinar si un campo vectorial es conservativo

Determinar el campo vectorial $F (x, y) = 〈 x ln (y), \frac{x^{2}}{2 y} 〉$ es conservativo.

Solución

Observe que el dominio de F es la parte de $ℝ^{2}$ en la que $y > 0 .$ Por lo tanto, el dominio de F es parte de un plano sobre el eje x, y este dominio es simplemente conectado (no hay agujeros en esta región y esta región es conectada). Por lo tanto, podemos utilizar Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores para determinar si F es conservativo. Supongamos que

P (x, y) = x ln (y) y Q (x, y) = \frac{x^{2}}{2 y} .

Luego $P_{y} = \frac{x}{y} = Q_{x}$ y, por tanto, F es conservativo.

Punto de control 6.31

Determine si $F (x, y) = 〈 sen x cos y, cos x sen y 〉$ es conservativo.

Al utilizar la Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores, es importante recordar que un teorema es una herramienta, y como cualquier herramienta, solo puede aplicarse en las condiciones adecuadas. En el caso de la Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores, el teorema solo se puede aplicar si el dominio del campo vectorial es simplemente conectado.

Para ver lo que puede salir mal cuando se aplica mal el teorema, consideremos el campo vectorial:

F (x, y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}} i + \frac{− x}{x^{2} + y^{2}} j .

Este campo vectorial satisface la propiedad parcial cruzada, ya que

\frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{x^{2} + y^{2}}) = \frac{(x^{2} + y^{2}) - y (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

y

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{− x}{x^{2} + y^{2}}) = \frac{− (x^{2} + y^{2}) + x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} .

Dado que F satisface la propiedad parcial cruzada, podríamos estar tentados de concluir que F es conservatorio. Sin embargo, F no es conservatorio. Para ver esto, supongamos que

r (t) = 〈 cos t, sen t 〉, 0 \leq t \leq π

es una parametrización de la mitad superior de un círculo unitario orientado en sentido contrario a las agujas del reloj (denotemos esto $C_{1})$ y supongamos que

s (t) = 〈 cos t, − sen t 〉, 0 \leq t \leq π

es una parametrización de la mitad inferior de un círculo unitario orientado en el sentido de las agujas del reloj (denotemos esto $C_{2}) .$ Observe que $C_{1}$ y $C_{2}$ tienen el mismo punto de partida y de llegada. Dado que ${sen}^{2} t + {cos}^{2} t = 1,$

F (r (t)) . r^{'} (t) = 〈 sen (t), − cos (t) 〉 . 〈 − sen (t), cos (t) 〉 = –1

y

\begin{matrix} F (s (t)) . s' (t) & = 〈 − sen t, − cos t 〉 . 〈 − sen t, − cos t 〉 \\ = {sen}^{2} t + {cos}^{2} t \\ = 1 \end{matrix}

Por lo tanto,

\int_{C_{1}} F . d r = \int_{0}^{π} −1 d t = − π y \int_{C_{2}} F . d r = \int_{0}^{π} 1 d t = π .

Así, $C_{1}$ y $C_{2}$ tienen el mismo punto de partida y de llegada, pero $\int_{C_{1}} F . d r \neq \int_{C_{2}} F . d r .$ Por lo tanto, F no es independiente de la trayectoria y F no es conservativo.

Para resumir: F satisface la propiedad parcial cruzada y, sin embargo, F no es conservativo. ¿Qué falló? ¿Esto contradice la Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores? La asunto es que el dominio de F es todo $ℝ^{2}$ , excepto el origen. En otras palabras, el dominio de F tiene un agujero en el origen y, por lo tanto, el dominio no es simplemente conectado. Como el dominio no es simplemente conectado, la Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores no aplica para F.

Cerramos esta sección con un ejemplo de la utilidad del teorema fundamental de las integrales de línea. Ahora que podemos comprobar si un campo vectorial es conservativo, siempre podemos decidir si el teorema fundamental de las integrales de línea puede utilizarse para calcular una integral de línea vectorial. Si se nos pide calcular una integral de la forma $\int_{C} F . d r,$ entonces nuestra primera pregunta debería ser: ¿F es conservativo? Si la respuesta es afirmativa, entonces debemos encontrar una función potencial y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea para calcular la integral. Si la respuesta es negativa, entonces el teorema fundamental de las integrales de línea no puede ayudarnos y tenemos que utilizar otros métodos, como por ejemplo usar la Ecuación 6.9.

Ejemplo 6.36

Usar el teorema fundamental de las integrales de línea

Calcule la integral de línea $\int_{C} F . d r,$ donde $F (x, y, z) = 〈 2 x e^{y} z + e^{x} z, x^{2} e^{y} z, x^{2} e^{y} + e^{x} 〉$ y C es cualquier curva suave que va desde el origen hasta $(1, 1, 1) .$

Solución

Antes de intentar calcular la integral, debemos determinar si F es conservativa y si el dominio de F es simplemente conectado. El dominio de F es todo $ℝ^{3},$ que está conectado y no tiene agujeros. Por tanto, el dominio de F es simplemente conectado. Supongamos que

P (x, y, z) = 2 x e^{y} z + e^{x} z, Q (x, y, z) = x^{2} e^{y} z, y R (x, y, z) = x^{2} e^{y} + e^{x}

para que $F = 〈 P, Q, R 〉 .$ Como el dominio de F es simplemente conectado, podemos comprobar los parciales cruzados para determinar si F es conservativo. Observe que

\begin{matrix} P_{y} & = & 2 x e^{y} z = Q_{x} \\ P_{z} & = & 2 x e^{y} + e^{x} = R_{x} \\ Q_{z} & = & x^{2} e^{y} = R_{y} . \end{matrix}

Por lo tanto, F es conservativo.

Para evaluar $\int_{C} F . d r$ utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea, necesitamos hallar una función potencial $f$ para F. Supongamos que $f$ es una función potencial para F. Entonces, $∇ f = F,$ y por lo tanto $f_{x} = 2 x e^{y} z + e^{x} z .$ Integrando esta ecuación con respecto a x se obtiene $f (x, y, z) = x^{2} e^{y} z + e^{x} z + h (y, z)$ para alguna función h. Al diferenciar esta ecuación con respecto a y se obtiene $x^{2} e^{y} z + h_{y} = Q = x^{2} e^{y} z,$ lo que implica que $h_{y} = 0 .$ Por lo tanto, h es una función de z solamente, y $f (x, y, z) = x^{2} e^{y} z + e^{x} z + h (z) .$ Para hallar h, observe que $f_{z} = x^{2} e^{y} + e^{x} + h' (z) = R = x^{2} e^{y} + e^{x} .$ Por lo tanto, $h' (z) = 0$ y podemos tomar $h (z) = 0 .$ Una función potencial para F es $f (x, y, z) = x^{2} e^{y} z + e^{x} z .$

Ahora que tenemos una función potencial, podemos utilizar el Teorema fundamental de las integrales de línea para evaluar la integral. Según el teorema,

\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{C} ∇ f . d r \\ = f (1, 1, 1) - f (0, 0, 0) \\ = 2 e . \end{matrix}

Análisis

Observe que si no hubiéramos reconocido que F es conservativo, habríamos tenido que parametrizar C y utilizar la Ecuación 6.9. Como la curva C es desconocida, utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea es mucho más sencillo.

Punto de control 6.32

Calcule la integral $\int_{C} F . d r,$ donde $F (x, y) = 〈 sen x sen y, 5 - cos x cos y 〉$ y C es un semicírculo con punto de partida $(0, π)$ y punto final $(0, − π) .$

Ejemplo 6.37

Trabajo realizado en una partícula

Supongamos que $F (x, y) = 〈 2 x y^{2}, 2 x^{2} y 〉$ es un campo de fuerza. Supongamos que una partícula comienza su movimiento en el origen y lo termina en cualquier punto de un plano que no esté en el eje x o en el eje y. Además, el movimiento de la partícula puede modelarse con una parametrización suave. Demuestre que F realiza un trabajo positivo sobre la partícula.

Solución

Demostramos que F realiza un trabajo positivo sobre la partícula mostrando que F es conservativo y luego utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea.

Para demostrar que F es conservativo, supongamos que $f (x, y)$ fuera una función potencial para F. Entonces, $∇ f = F = 〈 2 x y^{2}, 2 x^{2} y 〉$ y por lo tanto $f_{x} = 2 x y^{2}$ y $f_{y} = 2 x^{2} y .$ La ecuación $f_{x} = 2 x y^{2}$ implica que $f (x, y) = x^{2} y^{2} + h (y) .$ Derivando ambos lados con respecto a y se obtiene $f_{y} = 2 x^{2} y + h^{'} (y) .$ Por lo tanto, $h^{'} (y) = 0$ y podemos tomar $h (y) = 0 .$

Si $f (x, y) = x^{2} y^{2},$ entonces, observe que $∇ f = 〈 2 x y^{2}, 2 x^{2} y 〉 = F,$ y por lo tanto $f$ es una función potencial para F.

Supongamos que $(a, b)$ es el punto en el que se detiene el movimiento de la partícula, y supongamos que C denota la curva que modela el movimiento de la partícula. El trabajo realizado por F sobre la partícula es $\int_{C} F . d r .$ Según el teorema fundamental de las integrales de línea,

\begin{matrix} \int_{C} F . d r & = \int_{C} ∇ f . d r \\ = f (a, b) - f (0, 0) \\ = a^{2} b^{2} . \end{matrix}

Dado que $a \neq 0$ y $b \neq 0,$ por suposición, $a^{2} b^{2} > 0 .$ Por lo tanto, $\int_{C} F . d r > 0,$ y F hacen un trabajo positivo sobre la partícula.

Análisis

Observe que este problema sería mucho más difícil sin utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea. Para aplicar las herramientas que hemos aprendido, tendríamos que dar una parametrización de la curva y utilizar la Ecuación 6.9. Como la trayectoria del movimiento C puede ser tan exótica como queramos (siempre que sea suave), puede ser muy difícil parametrizar el movimiento de la partícula.

Punto de control 6.33

Supongamos que $F (x, y) = 〈 4 x^{3} y^{4}, 4 x^{4} y^{3} 〉,$ y supongamos que una partícula se mueve desde el punto $(4, 4)$ al $(1, 1)$ a lo largo de cualquier curva suave. ¿El trabajo realizado por F sobre la partícula es positivo, negativo o nulo?

Sección 6.3 ejercicios

99.

¿Verdadero o falso? Si el campo vectorial F es conservativo en la región abierta y conectada D, entonces las integrales de línea de F son independientes de la trayectoria en D, independientemente de la forma de D.

100.

¿Verdadero o falso? La función $r (t) = a + t (b - a),$ donde $0 \leq t \leq 1,$ parametriza el segmento de línea recta de $a para b .$

101.

¿Verdadero o falso? El campo vectorial $F (x, y, z) = (y sen z) i + (x sen z) j + (x y cos z) k$ es conservativo.

102.

¿Verdadero o falso? El campo vectorial $F (x, y, z) = y i + (x + z) j - y k$ es conservativo.

103.

Justificar el teorema fundamental de las integrales de línea para $\int_{C} F . d r$ en el caso cuando $F (x, y) = (2 x + 2 y) i + (2 x + 2 y) j$ y C son una porción del círculo orientado positivamente $x^{2} + y^{2} = 25$ de (5, 0) a (3, 4).

104.

[T] halle $\int_{C}^{} F . d r,$ donde $F (x, y) = (y e^{x y} + cos x) i + (x e^{x y} + \frac{1}{y^{2} + 1}) j$ y C son una parte de la curva $y = sen x$ de $x = 0$ hasta $x = \frac{π}{2} .$

105.

[T] Evalúe la integral de línea $\int_{C}^{} F . d r,$ donde $F (x, y) = (e^{x} sen y - y) i + (e^{x} cos y - x - 2) j,$ y C es la trayectoria dada por $r (t) = [t^{3} sen \frac{π t}{2}] i - [\frac{π}{2} cos (\frac{π t}{2} + \frac{π}{2})] j$ por $0 \leq t \leq 1 .$

Un campo vectorial en tres dimensiones. Las flechas tienen más o menos la misma longitud y todas apuntan hacia el plano z. Se dibuja una curva aparentemente paralela al plano (x,y). En el plano (x,y), se vería como una curva cóncava descendente en el cuadrante 1.

En los siguientes ejercicios, determine si el campo vectorial es conservativo y, si lo es, halle la función potencial.

106.

$F (x, y) = 2 x y^{3} i + 3 y^{2} x^{2} j$

107.

$F (x, y) = (− y + e^{x} sen y) i + [(x + 2) e^{x} cos y] j$

108.

$F (x, y) = (e^{2 x} sen y) i + [e^{2 x} cos y] j$

109.

$F (x, y) = (6 x + 5 y) i + (5 x + 4 y) j$

110.

$F (x, y) = [2 x cos (y) - y cos (x)] i + [− x^{2} sen (y) - sen (x)] j$

111.

$F (x, y) = [y e^{x} + sen (y)] i + [e^{x} + x cos (y)] j$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de línea utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea.

112.

$\oint_{C} (y i + x j) . d r,$ donde C es cualquier trayectoria de (0, 0) a (2, 4)

113.

$\oint_{C} (2 y d x + 2 x d y),$ donde C es el segmento de línea de (0, 0) a (4, 4)

114.

[T] $\oint_{C} [arctan \frac{y}{x} - \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}] d x + [\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + e^{− y} (1 - y)] d y,$ donde C es cualquier curva suave de (1, 1) a $(–1, 2)$

115.

Halle el campo vectorial conservativo para la función potencial

f (x, y) = 5 x^{2} + 3 x y + {10 y}^{2} .

En los siguientes ejercicios, determine si el campo vectorial es conservativo y, en caso afirmativo, halle una función potencial.

116.

$F (x, y) = (12 x y) i + 6 (x^{2} + y^{2}) j$

117.

$F (x, y) = (e^{x} cos y) i + 6 (e^{x} sen y) j$

118.

$F (x, y) = (2 x y e^{x^{2} y}) i + 6 (x^{2} e^{x^{2} y}) j$

119.

$F (x, y, z) = (y e^{z}) i + (x e^{z}) j + (x y e^{z}) k$

120.

$F (x, y, z) = (sen y) i - (x cos y) j + k$

121.

$F (x, y, z) = (- \frac{1}{y}) i + (\frac{x}{y^{2}}) j + (2 z - 1) k$

122.

$F (x, y, z) = 3 z^{2} i - cos y j + 2 x z k$

123.

$F (x, y, z) = (2 x y) i + (x^{2} + 2 y z) j + y^{2} k$

124.

$F (x, y) = (e^{x} cos y) i + 6 (e^{x} sen y) j$

125.

$F (x, y) = (2 x y e^{x^{2} y}) i + (x^{2} e^{x^{2} y}) j$

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea.

126.

Evalúe $\int_{C} \nabla f . d r,$ donde $f (x, y, z) = cos (π x) + sen (π y) - x y z$ y C es cualquier trayectoria que comienza en $(1, \frac{1}{2}, 2)$ y termina en $(2, 1, –1) .$

127.

[T] Evalúe $\int_{C} \nabla f . d r,$ donde $f (x, y) = x y + e^{x}$ y C es una línea recta de $(0, 0)$ al $(2, 1) .$

128.

[T] Evalúe $\int_{C} \nabla f . d r,$ donde $f (x, y) = x^{2} y - x$ y C es cualquier trayectoria en un plano desde (1, 2) hasta (3, 2).

129.

Evalúe $\int_{C} \nabla f . d r,$ donde $f (x, y, z) = x y z^{2} - y z$ y C tiene punto inicial (1, 2, 3) y punto terminal (3, 5, 1).

En los siguientes ejercicios, supongamos que $F (x, y) = 2 x y^{2} i + (2 y x^{2} + 2 y) j$ y $G (x, y) = (y + x) i + (y - x) j,$ y supongamos que C₁ es la curva consistente en la circunferencia de radio 2, centrada en el origen y orientada en sentido contrario a las agujas del reloj, y C₂ es la curva consistente en un segmento de línea de (0, 0) a (1, 1) seguido de un segmento de línea de (1, 1) a (3, 1).

Se muestra un campo vectorial en dos dimensiones. Tiene flechas cortas cerca del origen. Las flechas más largas están en la esquina superior derecha del cuadrante 1 y algo en la parte inferior derecha del cuadrante 4, en la parte superior izquierda del cuadrante 2 y en la parte inferior izquierda del cuadrante 3. Todas las flechas se alejan del origen a unos 90 grados en sus respectivos cuadrantes. Una circunferencia unitaria con centro en el origen se dibuja como C_1. La curva C_2 une el origen, (1,1) y (3,1) con puntas de flecha que apuntan en ese orden.

Un campo vectorial tiene las mismas curvas C_1 y C_2. Sin embargo, las flechas son diferentes. Aquí, las flechas salen en espiral desde el origen en el sentido de las agujas del reloj. Cuanto más lejos estén del origen, más largas serán. Son mayoritariamente horizontales en los cuadrantes 1 y 3 y mayoritariamente verticales en los cuadrantes 2 y 4.

130.

Calcule la integral de línea de F sobre C₁.

131.

Calcule la integral de línea de G sobre C₁.

132.

Calcule la integral de línea de F sobre C₂.

133.

Calcule la integral de línea de G sobre C₂.

134.

[T] Supongamos que $F (x, y, z) = x^{2} i + z sen (y z) j + y sen (y z) k .$ Calcule $\oint_{C} F . d r,$ donde C es una trayectoria desde $A = (0, 0, 1)$ al $B = (3, 1, 2) .$

135.

[T] Halle la integral de línea $\oint_{C} F . d r$ de campo vectorial $F (x, y, z) = 3 x^{2} z i + z^{2} j + (x^{3} + 2 y z) k$ a lo largo de la curva C parametrizada por $r (t) = (\frac{ln t}{ln 2}) i + t^{3 / 2} j + t cos (π t), 1 \leq t \leq 4 .$

En los siguientes ejercicios, demuestra que los siguientes campos vectoriales son conservativos utilizando una computadora. Calcule $\int_{C} F . d r$ para la curva dada.

136.

$F = (x y^{2} + 3 x^{2} y) i + (x + y) x^{2} j;$ C es la curva formada por los segmentos de línea de $(1, 1)$ al $(0, 2)$ al $(3, 0) .$

137.

$F = \frac{2 x}{y^{2} + 1} i - \frac{2 y (x^{2} + 1)}{{(y^{2} + 1)}^{2}} j;$ C está parametrizado por $x = t^{3} - 1, y = t^{6} - t, 0 \leq t \leq 1 .$

138.

[T] $F = [cos (x y^{2}) - x y^{2} sen (x y^{2})] i - 2 x^{2} y sen (x y^{2}) j;$ C es la curva $(e^{t}, e^{t + 1}), −1 \leq t \leq 0 .$

139.

La masa de la Tierra es aproximadamente $6 \times 10^{27} g$ y la del Sol es 330 000 veces mayor. La constante gravitacional es $6,7 \times 10^{−8} {cm}^{3} / s^{2} . g .$ La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente $1,5 \times 10^{12} cm .$ Calcule, aproximadamente, el trabajo necesario para aumentar la distancia de la Tierra al Sol en $1 cm .$

140.

[T] Supongamos que $F = (x, y, z) = (e^{x} sen y) i + (e^{x} cos y) j + z^{2} k .$ Evalúe la integral $\int_{C} F . d s,$ donde $c (t) = (\sqrt{t}, t^{3}, e^{\sqrt{t}}), 0 \leq t \leq 1 .$

141.

[T] Supongamos que $c : [1, 2] \to ℝ^{2}$ viene dada por $x = e^{t - 1}, y = sen (\frac{π}{t}) .$ Utilice una computadora para calcular la integral $\int_{C} F . d s = \int_{C} 2 x cos y d x - x^{2} sen y d y,$ donde $F = (2 x cos y) i - (x^{2} sen y) j .$

142.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional para encontrar la masa de un cable que se encuentra a lo largo de la curva $r (t) = (t^{2} - 1) j + 2 t k, 0 \leq t \leq 1,$ si la densidad es $\frac{3}{2} t .$

143.

Halle la circulación y el flujo del campo $F = − y i + x j$ alrededor y a través de la trayectoria semicircular cerrada que consiste en un arco semicircular $r_{1} (t) = (a cos t) i + (a sen t) j, 0 \leq t \leq π,$ seguido de un segmento de línea $r_{2} (t) = t i, − a \leq t \leq a .$

Un campo vectorial en dos dimensiones. Las flechas son más cortas cuanto más cerca están del origen. Rodean el origen en un patrón radial en sentido contrario a las agujas del reloj. Se dibuja la mitad superior de una circunferencia de radio 2 y centro en el origen. (-2,0) y (2,0) se marcan como -a y a, respectivamente, y la curva se marca como r_1.

144.

Calcule $\int_{C} cos x cos y d x - sen x sen y d y,$ donde $c (t) = (t, t^{2}), 0 \leq t \leq 1 .$

145.

Complete la prueba de la Prueba de independencia de la trayectoria para los campos conservativos demostrando que $f_{y} = Q (x, y) .$

6.3 Campos vectoriales conservativos

Curvas y regiones

Determinar si una curva es simple y cerrada

Solución

Teorema fundamental de las integrales de línea

Evaluar una integral de línea y las antiderivadas de los extremos

Solución

Teorema fundamental de las integrales de línea

Prueba

Aplicar el teorema fundamental

Solución

Independencia de la trayectoria de los campos conservativos

Prueba

Prueba de independencia de la trayectoria para los campos conservativos

Prueba

Demostrar que un campo vectorial no es conservativo

Solución

Campos vectoriales conservativos y funciones potenciales

Calcular una función potencial

Solución

Estrategia de resolución de problemas: Encontrar una función potencial para un campo vectorial conservativo F(x,y)=〈P(x,y),Q(x,y)〉F(x,y)=〈P(x,y),Q(x,y)〉

Encontrar una función potencial en ℝ3ℝ3

Solución

Calcular una función potencial

Solución

Probar un campo vectorial

La prueba parcial cruzada para campos conservativos

Propiedad parcial cruzada de los campos conservadores

Determinar si un campo vectorial es conservativo

Solución

Determinar si un campo vectorial es conservativo

Solución

Usar el teorema fundamental de las integrales de línea

Solución

Análisis

Trabajo realizado en una partícula

Solución

Análisis

Sección 6.3 ejercicios

Estrategia de resolución de problemas: Encontrar una función potencial para un campo vectorial conservativo $F (x, y) = 〈 P (x, y), Q (x, y) 〉$

Encontrar una función potencial en $ℝ^{3}$