Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.7.1 Determinar la imagen de una región bajo una transformación de variables dada.
5.7.2 Calcular el jacobiano de una transformación dada.
5.7.3 Evaluar una integral doble utilizando un cambio de variables.
5.7.4 Evaluar una integral triple utilizando un cambio de variables.

Recordemos de la Regla de sustitución el método de integración por sustitución. Al evaluar una integral como $\int_{2}^{3} x {(x^{2} - 4)}^{5} d x,$ sustituimos $u = g (x) = x^{2} - 4 .$ Entonces $d u = 2 x d x$ o $x d x = \frac{1}{2} d u$ y los límites cambian a $u = g (2) = 2^{2} - 4 = 0$ y $u = g (3) = 9 - 4 = 5 .$ Así, la integral se convierte en $\int_{0}^{5} \frac{1}{2} u^{5} d u$ y esta integral es mucho más sencilla de evaluar. En otras palabras, al resolver problemas de integración, realizamos las sustituciones adecuadas para obtener una integral mucho más sencilla que la integral original.

También utilizamos esta idea cuando transformamos integrales dobles en coordenadas rectangulares a coordenadas polares y transformamos integrales triples en coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas o esféricas para simplificar los cálculos. De manera más general,

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{c}^{d} f (g (u)) g' (u) d u,

Donde $x = g (u), d x = g' (u) d u,$ y $u = c$ y $u = d$ satisfacen $c = g (a)$ y $d = g (b) .$

Un resultado similar ocurre en las integrales dobles cuando sustituimos $x = h (r, θ) = r cos θ,$ $y = g (r, θ) = r sen θ,$ y $d A = d x d y = r d r d θ .$ Entonces obtenemos

\iint_{R} f (x, y) d A = \iint_{S} f (r cos θ, r sen θ) r d r d θ

donde el dominio $R$ se sustituye por el dominio $S$ en coordenadas polares. Generalmente, la función que utilizamos para cambiar las variables y hacer la integración más sencilla se llama transformación o mapeo.

Transformaciones planares

Una transformación planar $T$ es una función que transforma una región $G$ en un plano en una región $R$ en otro plano mediante un cambio de variables. Tanto $G$ como $R$ son subconjuntos de $R^{2} .$ Por ejemplo, la Figura 5.71 muestra una región $G$ en el plano $u v$ transformado en una región $R$ en el plano $x y$ por el cambio de variables $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v),$ o a veces escribimos $x = x (u, v)$ y de $y = y (u, v) .$ Normalmente, supondremos que cada una de estas funciones tiene primeras derivadas parciales continuas, lo que significa $g_{u}, g_{v}, h_{u},$ y $h_{v}$ existen y también son continuas. La necesidad de este requisito se pondrá de manifiesto en breve.

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región G con el punto (u, v) dado en el plano cartesiano u v. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con x = g(u, v) y y = h(u, v). En el lado derecho de esta figura hay una región R con el punto (x, y) dado en el plano cartesiano xy.

Figura 5.71 La transformación de una región

G

en el plano

u v

en una región

R

en el plano

x y .

Definición

Una transformación $T : G \to R,$ definida como $T (u, v) = (x, y),$ se dice que es una transformación uno a uno si no hay dos puntos que correspondan al mismo punto de la imagen.

Para demostrar que $T$ es una transformación uno a uno, suponemos que $T (u_{1}, v_{1}) = T (u_{2}, v_{2})$ y demostramos que como consecuencia obtenemos $(u_{1}, v_{1}) = (u_{2}, v_{2}) .$ Si la transformación $T$ es biunívoca en el dominio $G,$ entonces la inversa $T^{–1}$ existe con el dominio $R$ de manera que $T^{−1} \circ T$ y $T \circ T^{−1}$ son funciones de identidad.

La Figura 5.71 muestra el mapeo $T (u, v) = (x, y)$ donde $x$ como $y$ están relacionados con $u$ y $v$ por las ecuaciones $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v) .$ La región $G$ es el dominio de $T$ y la región $R$ es el rango de $T,$ también conocida como la imagen de $G$ bajo la transformación $T .$

Ejemplo 5.65

Determinar cómo funciona la transformación

Supongamos una transformación $T$ se define como $T (r, θ) = (x, y)$ donde $x = r cos θ, y = r sen θ .$ Halle la imagen del rectángulo polar $G = {(r, θ) | 0 < r \leq 1, 0 \leq θ \leq π / 2}$ en el plano $r θ$ a una región $R$ en el plano $x y .$ Demuestre que $T$ es una transformación uno a uno en $G$ y halle $T^{−1} (x, y) .$

Solución

Dado que $r$ varía de 0 a 1 en el plano $r θ,$ tenemos un disco circular de radio 0 a 1 en el plano $x y .$ Dado que $θ$ varía de 0 a $π /2$ en el plano $r θ,$ acabamos obteniendo un cuarto de círculo de radio $1$ en el primer cuadrante del plano $x y$ (Figura 5.72). Por lo tanto, $R$ es un cuarto de círculo delimitado por $x^{2} + y^{2} = 1$ en el primer cuadrante.

En el lado izquierdo de esta figura, hay un rectángulo G con un subrectángulo dado marcado en el primer cuadrante del plano cartesiano como r theta. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura, marcada como x = r cos theta y y = r sen theta. En el lado derecho de esta figura hay un cuarto de círculo R con un subanillo marcado (análogo al rectángulo del otro gráfico) dado en el plano cartesiano x y.

Figura 5.72 Un rectángulo en el plano

r θ

se mapea en un cuarto de círculo en el plano

x y .

Para demostrar que $T$ es una transformación uno a uno, se supone que $T (r_{1}, θ_{1}) = T (r_{2}, θ_{2})$ y se muestra como consecuencia que $(r_{1}, θ_{1}) = (r_{2}, θ_{2}) .$ En este caso, tenemos

\begin{matrix} T (r_{1}, θ_{1}) & = & T (r_{2}, θ_{2}), \\ (x_{1}, y_{1}) & = & (x_{2}, y_{2}), \\ (r_{1} cos θ_{1}, r_{1} sen θ_{1}) & = & (r_{2} cos θ_{2}, r_{2} sen θ_{2}), \\ r_{1} cos θ_{1} & = & r_{2} cos θ_{2} \\ r_{1} sen θ_{1} & = & r_{2} sen θ_{2} \end{matrix}

Al dividir, obtenemos

\begin{matrix} \frac{r_{1} cos θ_{1}}{r_{1} sen θ_{1}} & = & \frac{r_{2} cos θ_{2}}{r_{2} sen θ_{2}} \\ \frac{cos θ_{1}}{sen θ_{1}} & = & \frac{cos θ_{2}}{sen θ_{2}} \\ tan θ_{1} & = & tan θ_{2} \\ θ_{1} & = & θ_{2} \end{matrix}

ya que la función tangente es una función unitaria en el intervalo $0 \leq θ \leq π / 2 .$ Además, como $0 < r \leq 1,$ tenemos $r_{1} = r_{2}, θ_{1} = θ_{2} .$ Por lo tanto, $(r_{1}, θ_{1}) = (r_{2}, θ_{2})$ y $T$ es una transformación uno a uno de $G$ en $R .$

Para hallar $T^{−1} (x, y)$ resolver para $r, θ$ en términos de $x, y .$ Ya sabemos que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ y $tan θ = \frac{y}{x} .$ Así que $T^{−1} (x, y) = (r, θ)$ se define como $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ y $θ = {tan}^{–1} (\frac{y}{x}) .$

Ejemplo 5.66

Hallar la imagen bajo $T$

Supongamos que la transformación $T$ se define por $T (u, v) = (x, y)$ donde $x = u^{2} - v^{2}$ y $y = u v .$ Halle la imagen del triángulo en el plano $u v$ con vértices $(0, 0), (0, 1),$ y $(1, 1) .$

Solución

El triángulo y su imagen se muestran en la Figura 5.73. Para entender cómo se transforman los lados del triángulo, llame al lado que une $(0, 0)$ y $(0, 1)$ el lado $A,$ el lado que une $(0, 0)$ y $(1, 1)$ el lado $B,$ y el lado que se une $(1, 1)$ y $(0, 1)$ el lado $C .$

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región triangular dada en el plano cartesiano uv con los límites A, B y C representados por el eje v, la línea u = v y la línea v = 1, respectivamente. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con x = u al cuadrado menos v al cuadrado y y = u v. En el lado derecho de esta figura hay una región compleja dada en el plano cartesiano x y con límites A', B' y C' dados por el eje x, el eje y y una línea que se curva desde (negativo 1, 0) a través de (0, 1), es decir x = y al cuadrado menos 1, respectivamente.

Figura 5.73 Una región triangular en el plano

u v

se transforma en una imagen en el plano

x y .

Para el lado $A : u = 0, 0 \leq v \leq 1$ se transforma en $x = − v^{2}, y = 0$ así que este es el lado $A'$ que une $(–1, 0)$ y $(0, 0) .$

Para el lado $B : u = v, 0 \leq u \leq 1$ se transforma en $x = 0, y = u^{2}$ así que este es el lado $B^{'}$ que une $(0, 0)$ y $(0, 1) .$

Para el lado $C : 0 \leq u \leq 1, v = 1$ se transforma en $x = u^{2} - 1, y = u$ (por lo tanto $x = y^{2} - 1)$ así que este es el lado $C^{'}$ que hace que la mitad superior del arco parabólico una $(–1, 0)$ y $(0, 1) .$

Todos los puntos de toda la región del triángulo en el plano $u v$ están mapeados dentro de la región parabólica en el plano $x y .$

Punto de control 5.43

Supongamos que una transformación $T$ se define como $T (u, v) = (x, y)$ donde $x = u + v, y = 3 v .$ Halle la imagen del rectángulo $G = {(u, v) : 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 2}$ del plano $u v$ después de la transformación en una región $R$ en el plano $x y .$ Demuestre que $T$ es una transformación de uno a uno y halle $T^{−1} (x, y) .$

Jacobianos

Recordemos que hemos mencionado al principio de esta sección que cada una de las funciones componentes debe tener primeras derivadas parciales continuas, lo que significa que $g_{u}, g_{v}, h_{u},$ y $h_{v}$ existen y también son continuas. Una transformación que tiene esta propiedad se llama transformación $C^{1}$ (aquí $C$ denota continuidad). Supongamos que $T (u, v) = (g (u, v), h (u, v)),$ donde $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v),$ es una transformación uno a uno $C^{1}$ . Queremos ver cómo transforma una pequeña región rectangular $S,$ $Δ u$ unidades por $Δ v$ unidades, en el $u v$ (vea la siguiente figura).

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región S con el vértice inferior derecho (u subíndice 0, v subíndice 0), altura Delta v, y longitud Delta u dada en el plano cartesiano u v. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con T. En el lado derecho de esta figura hay una región R con el punto (x subíndice 0, y subíndice 0) dado en el plano cartesiano x y con los lados r(u, v subíndice 0) por la parte inferior y r(u subíndice 0, v) por la izquierda.

Figura 5.74 Un pequeño rectángulo

S

en el plano

u v

se transforma en una región

R

en el plano

x y .

Dado que $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v),$ tenemos el vector de posición $r (u, v) = g (u, v) i + h (u, v) j$ de la imagen del punto $(u, v) .$ Supongamos que $(u_{0}, v_{0})$ es la coordenada del punto de la esquina inferior izquierda que se mapea en $(x_{0}, y_{0}) = T (u_{0}, v_{0}) .$ La línea $v = v_{0}$ mapea a la curva de la imagen con la función vectorial $r (u, v_{0}),$ y el vector tangente en $(x_{0}, y_{0})$ a la curva de la imagen es

r_{u} = g_{u} (u_{0}, v_{0}) i + h_{u} (u_{0}, v_{0}) j = \frac{\partial x}{\partial u} i + \frac{\partial y}{\partial u} j .

Del mismo modo, la línea $u = u_{0}$ mapea a la curva de la imagen con la función vectorial $r (u_{0}, v),$ y el vector tangente en $(x_{0}, y_{0})$ a la curva de la imagen es

r_{v} = g_{v} (u_{0}, v_{0}) i + h_{v} (u_{0}, v_{0}) j = \frac{\partial x}{\partial v} i + \frac{\partial y}{\partial v} j .

Ahora bien, observe que

r_{u} = \underset{Δ u \to 0}{lím} \frac{r (u_{0} + Δ u, v_{0}) - r (u_{0}, v_{0})}{Δ u} por lo que r (u_{0} + Δ u, v_{0}) - r (u_{0}, v_{0}) \approx Δ u r_{u} .

De la misma manera,

r_{v} = \underset{Δ v \to 0}{lím} \frac{r (u_{0}, v_{0} + Δ v) - r (u_{0}, v_{0})}{Δ v} por lo que r (u_{0}, v_{0} + Δ v) - r (u_{0}, v_{0}) \approx Δ v r_{v} .

Esto nos permite estimar el área $Δ A$ de la imagen $R$ hallando el área del paralelogramo formado por los lados $Δ v r_{v}$ y $Δ u r_{u} .$ Utilizando el producto vectorial de estos dos vectores sumando el componente k−ésimo como $0,$ el área $Δ A$ de la imagen $R$ (consulte El producto vectorial) es aproximadamente $| Δ u r_{u} \times Δ v r_{v} | = | r_{u} \times r_{v} | Δ u Δ v .$ En forma de determinante, el producto vectorial es

r_{u} \times r_{v} = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0 \end{matrix} | = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | k = (\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}) k .

Dado que $| k | = 1,$ tenemos $Δ A \approx | r_{u} \times r_{v} | Δ u Δ v = (\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}) Δ u Δ v .$

Definición

El jacobiano de la transformación $C^{1}$ , $T (u, v) = (g (u, v), h (u, v))$ se denota por $J (u, v)$ y está definido por el determinante $2 \times 2$

J (u, v) = | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | = (\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}) .

Utilizando la definición, tenemos

Δ A \approx J (u, v) Δ u Δ v = | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | Δ u Δ v .

Observe que el jacobiano se suele denotar simplemente por

J (u, v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} .

Observe también que

| \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | = (\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}) = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | .

De ahí la notación $J (u, v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)}$ sugiere que podemos escribir el determinante jacobiano con parciales de $x$ en la primera fila y los parciales de $y$ en la segunda fila.

Ejemplo 5.67

Hallar el jacobiano

Halle el jacobiano de la transformación dada en el Ejemplo 5.65.

Solución

La transformación en el ejemplo es $T (r, θ) = (r cos θ, r sen θ)$ donde $x = r cos θ$ y $y = r sen θ .$ Por lo tanto, el jacobiano es

\begin{matrix} J (r, θ) & = \frac{\partial (x, y)}{\partial (r, θ)} = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial θ} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial θ} \end{array} | = | \begin{array}{l} cos θ & - r sen θ \\ sen θ & r cos θ \end{array} | \\ = r {cos}^{2} θ + r {sen}^{2} θ = r ({cos}^{2} θ + {sen}^{2} θ) = r . \end{matrix}

Ejemplo 5.68

Hallar el jacobiano

Halle el jacobiano de la transformación dada en el Ejemplo 5.66.

Solución

La transformación en el ejemplo es $T (u, v) = (u^{2} - v^{2}, u v)$ donde $x = u^{2} - v^{2}$ y $y = u v .$ Por lo tanto, el jacobiano es

J (u, v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | = | \begin{array}{l} 2 u & v \\ - 2 v & u \end{array} | = 2 u^{2} + 2 v^{2} .

Punto de control 5.44

Halle el jacobiano de la transformación dada en el punto de control anterior $T (u, v) = (u + v, 2 v) .$

Cambio de variables para integrales dobles

Ya hemos visto que, bajo el cambio de variables $T (u, v) = (x, y)$ donde $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v),$ una pequeña región $Δ A$ en el plano $x y$ está relacionado con el área formada por el producto $Δ u Δ v$ en el plano $u v$ por la aproximación

Δ A \approx J (u, v) Δ u, Δ v .

Ahora volvamos a la definición de integral doble por un minuto:

\iint_{R} f (x, y) d A = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i j}, y_{i j}) Δ A .

Consultando la Figura 5.75, observe que hemos dividido la región $S$ en el plano $u v$ en pequeños subrectángulos $S_{i j}$ y dejamos que los subrectángulos $R_{i j}$ en el plano $x y$ sean las imágenes de $S_{i j}$ bajo la transformación $T (u, v) = (x, y) .$

En el lado izquierdo de esta figura, hay un rectángulo S con un óvalo rojo inscrito y un subrectángulo con el punto de la esquina inferior derecha (u subíndice ij, v subíndice ij), altura Delta v y longitud Delta u dados en el plano cartesiano u v. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con T. En el lado derecho de esta figura hay una región R con óvalo rojo inscrito (deformado) y un subrectángulo R subíndice ij con punto de esquina (x subíndice ij, y subíndice ij) dado en el plano cartesiano x y. El subrectángulo se amplía y se muestra con vectores que apuntan a lo largo del borde desde el punto de la esquina.

Figura 5.75 Los subrectángulos

S_{i j}

en el plano

u v

se transforman en subrectángulos

R_{i j}

en el plano

x y .

Entonces la integral doble se convierte en

\iint_{R} f (x, y) d A = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (x_{i j}, y_{i j}) Δ A = \underset{m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} f (g (u_{i j}, v_{i j}), h (u_{i j}, v_{i j})) | J (u_{i j}, v_{i j}) | Δ u Δ v .

Observe que esto es exactamente la suma doble de Riemann para la integral

\iint_{S} f (g (u, v), h (u, v)) | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | d u d v .

Teorema 5.14

Cambio de variables para integrales dobles

Supongamos que $T (u, v) = (x, y)$ donde $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v)$ es una transformación uno a uno $C^{1}$ , con un jacobiano no nulo en el interior de la región $S$ en el plano $u v;$ mapea $S$ en la región $R$ en el plano $x y .$ Si $f$ es continuo en $R,$ entonces

\iint_{R} f (x, y) d A = \iint_{S} f (g (u, v), h (u, v)) | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | d u d v .

Con este teorema para integrales dobles, podemos cambiar las variables de $(x, y)$ al $(u, v)$ en una integral doble simplemente sustituyendo

d A = d x d y = | \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} | d u d v

cuando utilizamos las sustituciones $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v)$ y luego cambiar los límites de integración en consecuencia. Este cambio de variables suele simplificar mucho los cálculos.

Ejemplo 5.69

Cambiar variables de coordenadas rectangulares a polares

Considere la integral

\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x - x^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d y d x .

Utilice el cambio de variables $x = r cos θ$ y $y = r sen θ,$ y calcule la integral resultante.

Solución

Primero tenemos que hallar la región de integración. Esta región está delimitada por $y = 0$ y es superior por $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ (vea la siguiente figura).

Un semicírculo en el primer cuadrante del plano xy con radio 1 y centro (1, 0). La ecuación de esta curva viene dada por y = la raíz cuadrada de (2x menos x al cuadrado)

Figura 5.76 Cambiar una región de coordenadas rectangulares a polares.

Elevando al cuadrado y juntando los términos, encontramos que la región es la mitad superior del círculo $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0,$ es decir, $y^{2} + {(x - 1)}^{2} = 1 .$ En coordenadas polares, el círculo es $r = 2 cos θ$ por lo que la región de integración en coordenadas polares está limitada por $0 \leq r \leq cos θ$ y $0 \leq θ \leq \frac{π}{2} .$

El jacobiano es $J (r, θ) = r,$ como se muestra en el Ejemplo 5.67. Dado que $r \geq 0,$ tenemos $| J (r, θ) | = r .$

La integración $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ camba a $r$ en coordenadas polares, por lo que la integral doblemente iterada es

\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x - x^{2}}} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d y d x = \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{2 cos θ} r | J (r, θ) | d r d θ = \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{2 cos θ} r^{2} d r d θ .

Punto de control 5.45

Considerando la integral $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} (x^{2} + y^{2}) d y d x,$ utilice el cambio de variables $x = r cos θ$ y $y = r sen θ,$ y calcule la integral resultante.

Observe en el siguiente ejemplo que la región sobre la que vamos a integrar puede sugerir una transformación adecuada para la integración. Esta es una situación común e importante.

Ejemplo 5.70

Cambiar variables

Considere la integral $\iint_{R} (x - y) d y d x,$ donde $R$ es el paralelogramo que une los puntos $(1, 2),$ $(3, 4), (4, 3),$ y $(6, 5)$ (Figura 5.77). Haga los cambios de variables apropiados y escriba la integral resultante.

Un paralelogramo R con los vértices (1, 2), (3, 4), (6, 5) y (4, 3).

Figura 5.77 La región de integración para la integral dada.

Solución

En primer lugar, tenemos que entender la región en la que vamos a integrar. Los lados del paralelogramo son $x - y + 1 = 0, x - y - 1 = 0,$ $x - 3 y + 5 = 0, y x - 3 y + 9 = 0$ (Figura 5.78). Otra forma de verlos es $x - y = −1, x - y = 1,$ $x - 3 y = −5,$ y $x - 3 y = - 9 .$

Es evidente que el paralelogramo está limitado por las líneas $y = x + 1, y = x - 1, y = \frac{1}{3} (x + 5),$ y $y = \frac{1}{3} (x + 9) .$

Observe que si hiciéramos $u = x - y$ y $v = x - 3 y,$ entonces los límites de la integral serían $−1 \leq u \leq 1$ y $–9 \leq v \leq - 5 .$

Para resolver $x$ como $y,$ multiplicamos la primera ecuación por $3$ y restamos la segunda ecuación, $3 u - v = (3 x - 3 y) - (x - 3 y) = 2 x .$ Entonces tenemos $x = \frac{3 u - v}{2} .$ Además, si simplemente restamos la segunda ecuación de la primera, obtenemos $u - v = (x - y) - (x - 3 y) = 2 y$ y $y = \frac{u - v}{2} .$

Un paralelogramo R con los vértices (1, 2), (3, 4), (6, 5) y (4, 3) formado por las líneas y = x + 1, y = x menos 1, y = (x + 9)/3 y y = (x + 5)/3.

Figura 5.78 Un paralelogramo en el plano

x y

que queremos transformar mediante un cambio de variables.

Así, podemos elegir la transformación

T (u, v) = (\frac{3 u - v}{2}, \frac{u - v}{2})

y calcular el jacobiano $J (u, v) .$ Tenemos

J (u, v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | = | \begin{array}{l} 3 / 2 & - 1 / 2 \\ 1 / 2 & - 1 / 2 \end{array} | = - \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{2} .

Por lo tanto, $| J (u, v) | = \frac{1}{2} .$ Además, la integración original se convierte en

x - y = \frac{1}{2} [3 u - v - u + v] = \frac{1}{2} [3 u - u] = \frac{1}{2} [2 u] = u .

Por lo tanto, mediante el uso de la transformación $T,$ la integral cambia a

\iint_{R} (x - y) d y d x = \int_{−9}^{−5} \int_{–1}^{1} J (u, v) u d u d v = \int_{−9}^{−5} \int_{–1}^{1} (\frac{1}{2}) u d u d v,

que es mucho más sencillo de calcular. De hecho, es fácil que sea cero. Y esto es solo un ejemplo de por qué transformamos las integrales así.

Punto de control 5.46

Realice los cambios adecuados de las variables en la integral $\iint_{R} \frac{4}{{(x - y)}^{2}} d y d x,$ donde $R$ es el trapecio limitado por las líneas $x - y = 2, x - y = 4, x = 0, y y = 0 .$ Escriba la integral resultante.

Estamos preparados para dar una estrategia de resolución de problemas de cambio de variables.

Estrategia de resolución de problemas

Estrategia para la resolución de problemas: Cambio de variables

Dibuje la región dada por el problema en el plano $x y$ y luego escriba las ecuaciones de las curvas que forman el borde.
En función de la región o de la integración, elija las transformaciones $x = g (u, v)$ y de $y = h (u, v) .$
Determine los nuevos límites de integración en el plano $u v .$
Halle el jacobiano $J (u, v) .$
En la integración, sustituya las variables para obtener el nuevo integrando.
Sustituya $d y d x$ o $d x d y,$ lo que ocurra, por $J (u, v) d u d v .$

En el siguiente ejemplo, hallamos una sustitución que hace que la integración sea mucho más sencilla de calcular.

Ejemplo 5.71

Evaluar una integral

Utilizando el cambio de variables $u = x - y$ y $v = x + y,$ evalúe la integral

\iint_{R} (x - y) e^{x^{2} - y^{2}} d A,

donde $R$ es la región delimitada por las líneas $x + y = 1$ y $x + y = 3$ y las curvas $x^{2} - y^{2} = –1$ y $x^{2} - y^{2} = 1$ (vea la primera región en la Figura 5.79).

Solución

Como antes, primero hay que hallar la región $R$ e imaginar la transformación para que sea más fácil obtener los límites de integración después de realizar las transformaciones (Figura 5.79).

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región compleja R en el plano cartesiano x y limitada por x al cuadrado menos y al cuadrado = negativo 1, x al cuadrado menos y al cuadrado = 1, x + y = 3, y x + y = 1. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con x = (u + v)/2 y y = (v menos u)/2. En el lado derecho de esta figura hay una región más simple S en el plano cartesiano u v delimitada por u v = negativo 1, u v = 1, v = 1 y v = 3.

Figura 5.79 Transformación de la región

R

en la región

S

para simplificar el cálculo de una integral.

Dados $u = x - y$ y $v = x + y,$ tenemos $x = \frac{u + v}{2}$ y $y = \frac{v - u}{2}$ y por lo tanto la transformación a utilizar es $T (u, v) = (\frac{u + v}{2}, \frac{v - u}{2}) .$ Las líneas $x + y = 1$ y $x + y = 3$ se convierten en $v = 1$ y $v = 3,$ respectivamente. Las curvas $x^{2} - y^{2} = 1$ y $x^{2} - y^{2} = −1$ se convierten en $u v = 1$ y $u v = −1,$ respectivamente.

Así, podemos describir la región $S$ (vea la segunda región, Figura 5.79) como

S = {(u, v) | 1 \leq v \leq 3, \frac{−1}{v} \leq u \leq \frac{1}{v}} .

El jacobiano de esta transformación es

J (u, v) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} | = | \begin{array}{l} 1 / 2 & - 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 / 2 \end{array} | = \frac{1}{2} .

Por lo tanto, utilizando la transformación $T,$ la integral cambia a

\iint_{R} (x - y) e^{x^{2} - y^{2}} d A = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \int_{−1 / v}^{1 / v} u e^{u v} d u d v .

Haciendo la evaluación, tenemos

\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \int_{−1 / v}^{1 / v} u e^{u v} d u d v = \frac{4}{3 e} \approx 0,490 .

Punto de control 5.47

Usando las sustituciones $x = v$ y $y = \sqrt{u + v},$ evalúe la integral $\iint_{R} y sen (y^{2} - x) d A$ donde $R$ es la región delimitada por las líneas $y = \sqrt{x}, x = 2, y y = 0 .$

Cambiar variables para integrales triples

Cambiar variables en las integrales triples funciona exactamente igual. Las sustituciones de coordenadas cilíndricas y esféricas son casos especiales de este método, que demostramos aquí.

Supongamos que $G$ es una región en el espacio $u v w$ y se asigna a $D$ en el espacio $x y z$ (Figura 5.80) por una transformación uno a uno $C^{1}$ , $T (u, v, w) = (x, y, z)$ donde $x = g (u, v, w),$ $y = h (u, v, w),$ y $z = k (u, v, w) .$

En el lado izquierdo de esta figura, hay una región G en el espacio u v w. Entonces hay una flecha desde este gráfico a la derecha de la figura marcada con x = g(u, v, w), y = h(u, v, w) y z = k(u, v, w). En la parte derecha de esta figura hay una región D en el espacio xyz.

Figura 5.80 Una región

G

en

u v w

asignada a una región

D

en el espacio

x y z .

Entonces cualquier función $F (x, y, z)$ definida en $D$ puede considerarse como otra función $H (u, v, w)$ que se define en $G :$

F (x, y, z) = F (g (u, v, w), h (u, v, w), k (u, v, w)) = H (u, v, w) .

Ahora tenemos que definir el jacobiano para tres variables.

Definición

El determinante jacobiano $J (u, v, w)$ en tres variables se define como sigue:

J (u, v, w) = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{matrix} | .

Esto es también lo mismo que

J (u, v, w) = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{matrix} | .

El jacobiano también se puede denotar simplemente como $\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} .$

Con las transformaciones y el jacobiano para tres variables, estamos listos para establecer el teorema que describe el cambio de variables para integrales triples.

Teorema 5.15

Cambiar variables para integrales triples

Supongamos que $T (u, v, w) = (x, y, z)$ donde $x = g (u, v, w), y = h (u, v, w),$ y $z = k (u, v, w),$ es una transformación uno a uno $C^{1}$ , con un jacobiano no nulo, que mapea la región $G$ en el plano $u v w$ en la región $D$ en el plano $x y z .$ Como en el caso bidimensional, si $F$ es continuo en $D,$ entonces

\begin{matrix} \underset{R}{∭} F (x, y, z) d V & = \underset{G}{∭} F (g (u, v, w), h (u, v, w), k (u, v, w)) | \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v, w)} | d u d v d w \\ = \underset{G}{∭} H (u, v, w) | J (u, v, w) | d u d v d w . \end{matrix}

Veamos ahora cómo los cambios en las integrales triples para coordenadas cilíndricas y esféricas se ven afectados por este teorema. Esperamos obtener las mismas fórmulas que en Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Ejemplo 5.72

Obtener fórmulas en integrales triples para coordenadas cilíndricas y esféricas

Derive la fórmula en integrales triples para

coordinadas cilíndrica y
coordenadas esféricas.

Solución

Para coordenadas cilíndricas, la transformación es $T (r, θ, z) = (x, y, z)$ del plano cartesiano $r θ z$ al plano cartesiano $x y z$ (Figura 5.81). Aquí $x = r cos θ,$ $y = r sen θ,$ y $z = z .$ El jacobiano de la transformación es

$\begin{matrix} J (r, θ, z) & = \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, θ, z)} = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial θ} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial θ} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial θ} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{array} | \\ = | \begin{array}{l} cos θ & - r sen θ & 0 \\ sen θ & r cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | = r {cos}^{2} θ + r {sen}^{2} θ = r ({cos}^{2} θ + {sen}^{2} θ) = r . \end{matrix}$

Sabemos que $r \geq 0,$ así que $| J (r, θ, z) | = r .$ Entonces la integral triple es

$\underset{D}{∭} f (x, y, z) d V = \underset{G}{∭} f (r cos θ, r sen θ, z) r d r d θ d z .$

Figura 5.81 La transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas puede tratarse como un cambio de variables de la región $G$ en $r θ z$ a la región $D$ en el espacio $x y z .$
Para las coordenadas esféricas, la transformación es $T (ρ, θ, φ) = (x, y, z)$ del plano cartesiano $p θ φ$ al plano cartesiano $x y z$ (Figura 5.82). Aquí $x = ρ sen φ cos θ,$ $y = ρ sen φ sen θ,$ y $z = ρ cos φ .$ El jacobiano de la transformación es

$J (ρ, θ, φ) = \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (ρ, θ, φ)} = | \begin{array}{l} \frac{\partial x}{\partial ρ} & \frac{\partial x}{\partial θ} & \frac{\partial x}{\partial φ} \\ \frac{\partial y}{\partial ρ} & \frac{\partial y}{\partial θ} & \frac{\partial y}{\partial φ} \\ \frac{\partial z}{\partial ρ} & \frac{\partial z}{\partial θ} & \frac{\partial z}{\partial φ} \end{array} | = | \begin{array}{l} sen φ cos θ & - ρ sen φ sen θ & ρ cos φ cos θ \\ sen φ sen θ & - ρ sen φ cos θ & ρ cos φ sen θ \\ cos θ & 0 & - ρ sen φ \end{array} | .$

Expandiendo el determinante con respecto a la tercera fila

$\begin{matrix} = cos φ | \begin{array}{l} - ρ sen φ sen θ & ρ cos φ cos θ \\ ρ sen φ sen θ & ρ cos φ sen θ \end{array} | - ρ sen φ | \begin{array}{l} sen φ cos θ & - ρ sen φ sen θ \\ sen φ sen θ & ρ sen φ cos θ \end{array} | \\ = cos φ (− ρ^{2} sen φ cos φ {sen}^{2} θ - ρ^{2} sen φ cos φ {cos}^{2} θ) \\ - ρ sen φ (ρ {sen}^{2} φ {cos}^{2} θ + ρ {sen}^{2} φ {sen}^{2} θ) \\ = − ρ^{2} sen φ {cos}^{2} φ ({sen}^{2} θ + {cos}^{2} θ) - ρ^{2} sen φ {sen}^{2} φ ({sen}^{2} θ + {cos}^{2} θ) \\ = − ρ^{2} sen φ {cos}^{2} φ - ρ^{2} sen φ {sen}^{2} φ \\ = − ρ^{2} sen φ ({cos}^{2} φ + {sen}^{2} φ) = − ρ^{2} sen φ . \end{matrix}$

Dado que $0 \leq φ \leq π,$ debemos tener $sen φ \geq 0 .$ Así que $| J (ρ, θ, φ) | = | − ρ^{2} sen φ | = ρ^{2} sen φ .$

Figura 5.82 La transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas puede tratarse como un cambio de variables de la región $G$ en $ρ θ φ$ a la región $D$ en el espacio $x y z .$

Entonces la integral triple se convierte en

$\underset{D}{∭} f (x, y, z) d V = \underset{G}{∭} f (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ^{2} sen φ d ρ d φ d θ .$

Intentemos otro ejemplo con una sustitución diferente.

Ejemplo 5.73

Evaluar una integral triple con cambio de variables

Evalúe la integral triple

\int_{0}^{3} \int_{0}^{4} \int_{y / 2}^{(y / 2) + 1} (x + \frac{z}{3}) d x d y d z

en $x y z$ utilizando la transformación

u = (2 x - y) / 2, v = y / 2, y w = z / 3 .

A continuación, integre sobre una región apropiada en el espacio $u v w .$

Solución

Como antes, algún tipo de esbozo de la región $G$ en $x y z$ sobre la que tenemos que realizar la integración puede ayudar a identificar la región $D$ en $u v w$ (Figura 5.83). Claramente $G$ en $x y z$ está delimitado por los planos $x = y / 2, x = (y / 2) + 1, y = 0,$ $y = 4,$ $z = 0, y z = 4 .$ También sabemos que tenemos que utilizar $u = (2 x - y) / 2, v = y / 2, y w = z / 3$ para las transformaciones. Tenemos que resolver para $x, y, y z .$ Aquí encontramos que $x = u + v,$ $y = 2 v,$ y $z = 3 w .$

Utilizando el álgebra elemental, podemos hallar las superficies correspondientes para la región $G$ y los límites de la integración en $u v w .$ Es conveniente enumerar estas ecuaciones en una tabla.

Ecuaciones en $x y z$ para la región $D$	Las ecuaciones correspondientes en $u v w$ para la región $G$	Límites para la integración en $u v w$
$x = y / 2$	$u + v = 2 v / 2 = v$	$u = 0$
$x = y / 2$	$u + v = (2 v / 2) + 1 = v + 1$	$u = 1$
$y = 0$	$2 v = 0$	$v = 0$
$y = 4$	$2 v = 4$	$v = 2$
$z = 0$	$3 w = 0$	$w = 0$
$z = 3$	$3 w = 3$	$w = 1$

En el lado izquierdo de esta figura, hay una caja G con lados 1, 2 y 1 a lo largo de los ejes u, v y w, respectivamente. Entonces hay una flecha desde este gráfico hasta el lado derecho de la figura marcada con x = u + v, y = 2v y z = 3w. En el lado derecho de esta figura hay una región D en el espacio xyz que es una caja rotada con los lados 1, 4 y 3 a lo largo de los ejes x, y y z. En el plano posterior se marca x = y/2 o y = 2x. En el plano frontal se marca x = y/2 + 1 o y = 2x menos 2.

Figura 5.83 La región

G

en

u v w

se transforma en región

D

en el espacio

x y z .

Ahora podemos calcular el jacobiano de la transformación:

J (u, v, w) = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} | = 6 .

La función a integrar pasa a ser

f (x, y, z) = x + \frac{z}{3} = u + v + \frac{3 w}{3} = u + v + w .

Ahora estamos listos para poner todo junto y completar el problema.

\begin{matrix} \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} \int_{y / 2}^{(y / 2) + 1} (x + \frac{z}{3}) d x d y d z \\ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (u + v + w) | J (u, v, w) | d u d v d w = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (u + v + w) | 6 | d u d v d w \\ = 6 \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (u + v + w) d u d v d w = 6 {\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} [\frac{u^{2}}{2} + v u + w u]}_{0}^{1} d v d w \\ = 6 \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (\frac{1}{2} + v + w) d v d w = 6 {\int_{0}^{1} [\frac{1}{2} v + \frac{v^{2}}{2} + w v]}_{0}^{2} d w \\ = 6 \int_{0}^{1} (3 + 2 w) d w = 6 {[3 w + w^{2}]}_{0}^{1} = 24. \end{matrix}

Punto de control 5.48

Supongamos que $D$ es la región en el espacio $x y z$ definidas por $1 \leq x \leq 2, 0 \leq x y \leq 2, y 0 \leq z \leq 1 .$

Evalúe $\underset{D}{∭} (x^{2} y + 3 x y z) d x d y d z$ utilizando la transformación $u = x, v = x y,$ y $w = 3 z .$

Sección 5.7 ejercicios

En los siguientes ejercicios, la función $T : S \to R, T (u, v) = (x, y)$ en la región $S = {(u, v) | 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1}$ delimitado por el cuadrado unitario, donde $R \subset R^{2}$ es la imagen de $S$ bajo $T .$

Justifique que la función $T$ es una matriz $C^{1}$ .
Halle las imágenes de los vértices del cuadrado unitario $S$ a través de la función $T .$
Determine la imagen $R$ del cuadrado de la unidad $S$ y grafique.

356.

$x = 2 u, y = 3 v$

357.

$x = \frac{u}{2}, y = \frac{v}{3}$

358.

$x = u - v, y = u + v$

359.

$x = 2 u - v, y = u + 2 v$

360.

$x = u^{2}, y = v^{2}$

361.

$x = u^{3}, y = v^{3}$

En los siguientes ejercicios, determine si las transformaciones $T : S \to R$ son uno a uno o no.

362.

$x = u^{2}, y = v^{2}, donde S$ es el rectángulo de vértices $(–1, 0), (1, 0), (1, 1), y (–1, 1) .$

363.

$x = u^{4}, y = u^{2} + v, donde S$ es el triángulo de vértices $(–2, 0), (2, 0), y (0, 2) .$

364.

$x = 2 u, y = 3 v, donde S$ es el cuadrado de los vértices $(–1, 1), (–1, –1), (1, –1), y (1, 1) .$

365.

$T (u, v) = (2 u - v, u),$ donde $S$ es el triángulo de vértices $(–1, 1), (–1, –1), y (1, –1) .$

366.

$x = u + v + w, y = u + v, z = w,$ donde $S = R = R^{3} .$

367.

$x = u^{2} + v + w, y = u^{2} + v, z = w,$ donde $S = R = R^{3} .$

En los siguientes ejercicios, las transformaciones $T : S \to R$ son uno a uno. Halle sus transformaciones inversas relacionadas $T^{−1} : R \to S .$

368.

$x = 4 u, y = 5 v,$ donde $S = R = R^{2} .$

369.

$x = u + 2 v, y = − u + v,$ donde $S = R = R^{2} .$

370.

$x = e^{2 u + v}, y = e^{u - v},$ donde $S = R^{2}$ y $R = {(x, y) | x > 0, y > 0}$

371.

$x = ln u, y = ln (u v),$ donde $S = {(u, v) | u > 0, v > 0}$ y $R = R^{2} .$

372.

$x = u + v + w, y = 3 v, z = 2 w,$ donde $S = R = R^{3} .$

373.

$x = u + v, y = v + w, z = u + w,$ donde $S = R = R^{3} .$

En los siguientes ejercicios, la transformación $T : S \to R, T (u, v) = (x, y)$ y la región $R \subset R^{2}$ están dados. Halle la región $S \subset R^{2} .$

374.

$x = a u, y = b v, R = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq a^{2} b^{2}},$ donde $a, b > 0$

375.

$x = a u, y = b v, R = {(x, y) | \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1},$ donde $a, b > 0$

376.

$x = \frac{u}{a}, y = \frac{v}{b}, z = \frac{w}{c},$ $R = {(x, y) | x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1},$ donde $a, b, c > 0$

377.

$x = a u, y = b v, z = c w, R = {(x, y) | \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1, z > 0},$ donde $a, b, c > 0$

En los siguientes ejercicios, halle el jacobiano $J$ de la transformación.

378.

$x = u + 2 v, y = − u + v$

379.

$x = \frac{u^{3}}{2}, y = \frac{v}{u^{2}}$

380.

$x = e^{2 u - v}, y = e^{u + v}$

381.

$x = u e^{v}, y = e^{− v}$

382.

$x = u cos (e^{v}), y = u sen (e^{v})$ grandes.

383.

$x = v sen (u^{2}), y = v cos (u^{2})$ grandes.

384.

$x = u cosh v, y = u senoh v, z = w$

385.

$x = v cosh (\frac{1}{u}), y = v senoh (\frac{1}{u}), z = u + w^{2}$

386.

$x = u + v, y = v + w, z = u$

387.

$x = u - v, y = u + v, z = u + v + w$

388.

La región triangular $R$ con los vértices $(0, 0), (1, 1), y (1, 2)$ se muestra en la siguiente figura.

Un triángulo con vértices en el origen, (1, 1) y (1, 2).

Calcule una transformación $T : S \to R,$ $T (u, v) = (x, y) = (a u + b v, c u + d v),$ donde $a, b, c,$ y $d$ son números reales con $a d - b c \neq 0$ de manera que $T^{−1} (0, 0) = (0, 0), T^{−1} (1, 1) = (1, 0),$ y $T^{−1} (1, 2) = (0, 1) .$
Utilice la transformación $T$ para calcular el área $A (R)$ de la región $R .$

389.

La región triangular $R$ con los vértices $(0, 0), (2, 0), y (1, 3)$ se muestra en la siguiente figura.

Un triángulo con vértices en el origen, (2, 0) y (1, 3).

Calcule una transformación $T : S \to R,$ $T (u, v) = (x, y) = (a u + b v, c u + d v),$ donde $a, b, c$ y $d$ son números reales con $a d - b c \neq 0$ de manera que $T^{−1} (0, 0) = (0, 0),$ $T^{−1} (2, 0) = (1, 0),$ y $T^{−1} (1, 3) = (0, 1) .$
Utilice la transformación $T$ para calcular el área $A (R)$ de la región $R .$

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación $u = y - x, v = y,$ para evaluar las integrales en el paralelogramo $R$ de vértices $(0, 0), (1, 0), (2, 1), y (1, 1)$ que se muestra en la siguiente figura

Un rombo con vértices en el origen, (1, 0), (1, 1) y (2, 1).

390.

$\iint_{R} (y - x) d A$

391.

$\iint_{R} (y^{2} - x y) d A$

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación $y - x = u, x + y = v$ para evaluar las integrales en el cuadrado $R$ determinado por las líneas $y = x, y = − x + 2, y = x + 2,$ y $y = − x$ que se muestra en la siguiente figura

Un cuadrado con longitudes de lado raíz cuadrada de 2 girado 45 grados con una esquina en el origen y otra en (1, 1).

392.

$\iint_{R} e^{x + y} d A$

393.

$\iint_{R} sen (x - y) d A$

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación $x = u, 5 y = v$ para evaluar las integrales en la región $R$ delimitada por la elipse $x^{2} + 25 y^{2} = 1$ que se muestra en la siguiente figura

Una elipse con centro en el origen, eje mayor 2 y menor 0,4.

394.

$\iint_{R} \sqrt{x^{2} + 25 y^{2}} d A$

395.

${\iint_{R} (x^{2} + 25 y^{2})}^{2} d A$

En los siguientes ejercicios, utilice la transformación $u = x + y, v = x - y$ para evaluar las integrales en la región trapezoidal $R$ determinado por los puntos $(1, 0), (2, 0), (0, 2)., y (0, 1)$ que se muestra en la siguiente figura

Un trapecio con vértices en (1, 0), (0, 1), (0, 2) y (2, 0).

396.

$\iint_{R} (x^{2} - 2 x y + y^{2}) e^{x + y} d A$

397.

$\iint_{R} (x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}) d A$

398.

El sector circular anular $R$ delimitado por los círculos $4 x^{2} + 4 y^{2} = 1$ y $9 x^{2} + 9 y^{2} = 64,$ la línea $x = y \sqrt{3},$ y la intersección $y$ se muestra en la siguiente figura. Calcule una transformación $T$ de una región rectangular $S$ en el plano $r θ$ a la región $R$ en el plano $x y .$ Gráfico $S .$

En el primer cuadrante, una sección de un anillo descrito por un radio interior de 0,5, radio exterior ligeramente superior a 2,5, y centro el origen. Hay una línea que divide este anillo que viene de un ángulo de aproximadamente 30 grados. La parte correspondiente a 60 grados está sombreada.

399.

El sólido $R$ delimitado por el cilindro circular $x^{2} + y^{2} = 9$ y los planos $z = 0, z = 1,$ $x = 0, y y = 0$ se muestra en la siguiente figura. Calcule una transformación $T$ de una caja cilíndrica $S$ en $r θ z$ al sólido $R$ en $x y z .$

Un cuarto de cilindro con altura 1 y radio 3. El eje central es el eje z.

400.

Demuestre que $\iint_{R} f (\sqrt{\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{3}}) d A = 2 π \sqrt{15} \int_{0}^{1} f (ρ) ρ d ρ,$ donde $f$ es una función continua en $[0, 1]$ y $R$ es la región limitada por la elipse $5 x^{2} + 3 y^{2} = 15 .$

401.

Demuestre que $\underset{R}{∭} f (\sqrt{16 x^{2} + 4 y^{2} + z^{2}}) d V = \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (ρ) ρ^{2} d ρ,$ donde $f$ es una función continua en $[0, 1]$ y $R$ es la región delimitada por el elipsoide $16 x^{2} + 4 y^{2} + z^{2} = 1 .$

402.

[T] Calcule el área de la región delimitada por las curvas $x y = 1, x y = 3, y = 2 x,$ y $y = 3 x$ utilizando la transformación $u = x y$ y $v = \frac{y}{x} .$ Utilizar un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar las curvas límite de la región $R .$

403.

[T] Calcule el área de la región delimitada por las curvas $x^{2} y = 2, x^{2} y = 3, y = x,$ y $y = 2 x$ utilizando la transformación $u = x^{2} y$ y $v = \frac{y}{x} .$ Utilizar un CAS para graficar las curvas límite de la región $R .$

404.

Evalúe la integral triple $\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \int_{z}^{z + 1} (y + 1) d x d y d z$ utilizando la transformación $u = x - z,$ $v = 3 y, y w = \frac{z}{2} .$

405.

Evalúe la integral triple $\int_{0}^{2} \int_{4}^{6} \int_{3 z}^{3 z + 2} (5 - 4 y) d x d z d y$ utilizando la transformación $u = x - 3 z, v = 4 y, y w = z .$

406.

Una transformación $T : R^{2} \to R^{2}, T (u, v) = (x, y)$ de la forma $x = a u + b v, y = c u + d v,$ donde $a, b, c, y d$ son números reales, se llama lineal. Demuestre que una transformación lineal para la que $a d - b c \neq 0$ mapea paralelogramos a paralelogramos.

407.

La transformación $T_{θ} : R^{2} \to R^{2}, T_{θ} (u, v) = (x, y),$ donde $x = u cos θ - v sen θ,$ $y = u sen θ + v cos θ,$ se llama una rotación de ángulo $θ .$ Demuestre que la transformación inversa de $T_{θ}$ satisface $T_{θ}^{−1} = T_{− θ},$ donde $T_{− θ}$ es la rotación del ángulo $− θ .$

408.

[T] Halle la región $S$ en el plano $u v$ cuya imagen a través de una rotación de ángulo $\frac{π}{4}$ es la región $R$ encerrado en la elipse $x^{2} + 4 y^{2} = 1 .$ Utilice un CAS para responder las siguientes preguntas.

Graficar la región $S .$
Evalúe la integral $\iint_{S} e^{−2 u v} d u d v .$ Redondee su respuesta a dos decimales.

409.

[T] Las transformaciones $T_{i} : ℝ^{2} \to ℝ^{2},$ $i = 1,…, 4,$ definidas por $T_{1} (u, v) = (u, − v),$ $T_{2} (u, v) = (− u, v), T_{3} (u, v) = (− u, − v),$ y $T_{4} (u, v) = (v, u)$ se llaman reflexiones sobre el $x, y,$ origen, y la línea $y = x,$ respectivamente.

Hallar la imagen de la región $S = {(u, v) | u^{2} + v^{2} - 2 u - 4 v + 1 \leq 0}$ en el plano $x y$ a través de la transformación $T_{1} \circ T_{2} \circ T_{3} \circ T_{4} .$
Utilizar un CAS para hacer un gráfico $R .$
Evalúe la integral $\iint_{S} sen (u^{2}) d u d v$ utilizando un CAS. Redondee su respuesta a dos decimales.

410.

[T] La transformación $T_{k, 1, 1} : ℝ^{3} \to ℝ^{3}, T_{k, 1, 1} (u, v, w) = (x, y, z)$ de la forma $x = k u,$ $y = v, z = w,$ donde $k \neq 1$ es un número real positivo, se llama tramo si $k > 1$ y una compresión si $0 < k < 1$ en el plano $x .$ Utilice un CAS para evaluar la integral $\underset{S}{∭} e^{− (4 x^{2} + 9 y^{2} + 25 z^{2})} d x d y d z$ en el sólido $S = {(x, y, z) | 4 x^{2} + 9 y^{2} + 25 z^{2} \leq 1}$ considerando la compresión $T_{2, 3, 5} (u, v, w) = (x, y, z)$ definidas por $x = \frac{u}{2}, y = \frac{v}{3},$ y $z = \frac{w}{5} .$ Redondee su respuesta a cuatro decimales.

411.

[T] La transformación $T_{a, 0} : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, T_{a, 0} (u, v) = (u + a v, v),$ donde $a \neq 0$ es un número real, se llama cizalla en la dirección $x .$ La transformación, $T_{b, 0} : R^{2} \to R^{2}, T_{i, b} (u, v) = (u, b u + v),$ donde $b \neq 0$ es un número real, se llama cizalla en la dirección $y .$

Hallar transformaciones $T_{0, 2} \circ T_{3, 0} .$
Halle la imagen $R$ de la región trapezoidal $S$ limitada por $u = 0, v = 0, v = 1,$ y $v = 2 - u$ a través de la transformación $T_{0, 2} \circ T_{3, 0} .$
Utilice un CAS para graficar la imagen $R$ en el plano $x y .$
Calcule el área de la región $R$ utilizando el área de la región $S .$

412.

Utilice la transformación, $x = a u, y = a v, z = c w$ y coordenadas esféricas para demostrar que el volumen de una región limitada por el esferoide $\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ ¿es $\frac{4 π a^{2} c}{3} .$

413.

Halle el volumen de un balón de fútbol cuya forma es un esferoide $\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ cuya longitud de punta a punta es $11$ pulgadas y la circunferencia en el centro es $22$ pulgadas. Redondee su respuesta a dos decimales.

414.

[T] Los óvalos de Lamé (o superelipses) son curvas planas de ecuaciones ${(\frac{x}{a})}^{n} + {(\frac{y}{b})}^{n} = 1,$ donde a, b y n son números reales positivos.

Utilice un CAS para graficar las regiones $R$ delimitada por los óvalos de Lamé para $a = 1, b = 2, n = 4$ y $n = 6,$ respectivamente.
Halle las transformaciones que mapean la región $R$ limitado por el óvalo de Lamé $x^{4} + y^{4} = 1,$ también llamado ardilla y graficado en la siguiente figura, en el disco de la unidad
Utilice un CAS para hallar una aproximación del área $A (R)$ de la región $R$ limitado por $x^{4} + y^{4} = 1 .$ Redondee su respuesta a dos decimales.

415.

[T] Los diseñadores y arquitectos han utilizado constantemente los óvalos de Lamé. Por ejemplo, Gerald Robinson, un arquitecto canadiense, ha diseñado un aparcamiento en un centro comercial de Peterborough, Ontario, con la forma de una superelipse de la ecuación ${(\frac{x}{a})}^{n} + {(\frac{y}{b})}^{n} = 1$ con la $\frac{a}{b} = \frac{9}{7}$ y $n = e .$ Utilice un CAS para hallar una aproximación del área del estacionamiento en el caso $a = 900$ yardas, $b = 700$ yardas, y $n = 2,72$ yardas.

5.7 Cambio de variables en integrales múltiples

Transformaciones planares

Determinar cómo funciona la transformación

Solución

Hallar la imagen bajo TT

Solución

Jacobianos

Hallar el jacobiano

Solución

Hallar el jacobiano

Solución

Cambio de variables para integrales dobles

Cambio de variables para integrales dobles

Cambiar variables de coordenadas rectangulares a polares

Solución

Cambiar variables

Solución

Estrategia para la resolución de problemas: Cambio de variables

Evaluar una integral

Solución

Cambiar variables para integrales triples

Cambiar variables para integrales triples

Obtener fórmulas en integrales triples para coordenadas cilíndricas y esféricas

Solución

Evaluar una integral triple con cambio de variables

Solución

Sección 5.7 ejercicios

Hallar la imagen bajo $T$