Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.6.1 Utilizar las integrales dobles para localizar el centro de masa de un objeto bidimensional.
5.6.2 Utilizar las integrales dobles para calcular el momento de inercia de un objeto bidimensional.
5.6.3 Utilizar las integrales triples para localizar el centro de masa de un objeto tridimensional.

Ya hemos hablado de algunas aplicaciones de las integrales múltiples, como la búsqueda de áreas, volúmenes y el valor medio de una función en una región limitada. En esta sección desarrollamos técnicas computacionales para calcular el centro de masa y los momentos de inercia de varios tipos de objetos físicos, utilizando integrales dobles para una lámina (placa plana) e integrales triples para un objeto tridimensional con densidad variable. Se suele considerar que la densidad es un número constante cuando la lámina o el objeto son homogéneos; es decir, el objeto tiene una densidad uniforme.

Centro de masa en dos dimensiones

El centro de masa también se conoce como centro de gravedad si el objeto está en un campo gravitacional uniforme. Si el objeto tiene una densidad uniforme, el centro de masa es el centro geométrico del objeto, que se llama centroide. La Figura 5.64 muestra un punto $P$ como centro de masa de una lámina. La lámina está perfectamente equilibrada en torno a su centro de masa.

Una superficie está delicadamente equilibrada en una punta fina.

Figura 5.64 Una lámina está perfectamente equilibrada sobre un eje si el centro de masa de la lámina se asienta sobre el eje.

Para hallar las coordenadas del centro de masa $P (\overset{–}{x}, \overset{−}{y})$ de una lámina necesitamos hallar el momento $M_{x}$ de la lámina sobre el eje $x$ y el momento $M_{y}$ sobre el eje $y .$ También necesitamos calcular la masa $m$ de la lámina. Entonces

\overset{−}{x} = \frac{M_{y}}{m} y \overset{−}{y} = \frac{M_{x}}{m} .

Consulte en Momentos y centros de masa las definiciones y los métodos de integración simple para calcular el centro de masa de un objeto unidimensional (por ejemplo, una varilla delgada). Vamos a utilizar una idea similar aquí, excepto que el objeto es una lámina bidimensional y utilizamos una integral doble.

Si permitimos una función de densidad constante, entonces $\overset{−}{x} = \frac{M_{y}}{m} y \overset{−}{y} = \frac{M_{x}}{m}$ dan el centroide de la lámina.

Supongamos que la lámina ocupa una región $R$ en el plano $x y,$ y supongamos que $ρ (x, y)$ es su densidad (en unidades de masa por unidad de superficie) en cualquier punto $(x, y) .$ Por lo tanto, $ρ (x, y) = \underset{Δ A \to 0}{lím} \frac{Δ m}{Δ A},$ donde $Δ m$ y $Δ A$ son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene el punto $(x, y)$ y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo van a $0$ (vea la siguiente figura).

Se muestra una lámina R en el plano x y con un punto (x, y) rodeado por un pequeño rectángulo marcado como Masa = Delta m y Área = Delta A.

Figura 5.65 La densidad de una lámina en un punto es el límite de su masa por área en un pequeño rectángulo alrededor del punto a medida que el área se hace cero.

Al igual que antes, dividimos la región $R$ en pequeños rectángulos $R_{i j}$ con área $Δ A$ y elegimos $(x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*})$ como puntos de muestra. Entonces la masa $m_{i j}$ de cada $R_{i j}$ es igual a $ρ (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A$ (Figura 5.66). Supongamos que $k$ y $l$ son el número de subintervalos en $x$ como $y,$ respectivamente. También, observe que la forma puede no ser siempre rectangular, pero el límite funciona igualmente, como se ha visto en secciones anteriores.

Una lámina se muestra en el plano x y con un punto (x* subíndice ij, y* subíndice ij) rodeado por un pequeño rectángulo marcado R subíndice ij.

Figura 5.66 Subdivisión de la lámina en pequeños rectángulos

R_{i j},

cada uno de los cuales contiene un punto de muestra

(x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) .

Por lo tanto, la masa de la lámina es

m = \underset{k, l \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} m_{i j} = \underset{k, l \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} ρ (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A = \iint_{R} ρ (x, y) d A .

(5.13)

Veamos ahora un ejemplo para calcular la masa total de una lámina triangular.

Ejemplo 5.55

Hallar la masa total de una lámina

Consideremos una lámina triangular $R$ con vértices $(0, 0), (0, 3),$ $(3, 0)$ y con densidad $ρ (x, y) = x y {kg/m}^{2} .$ Calcule la masa total.

Solución

Un dibujo de la región $R$ siempre es útil, como se muestra en la siguiente figura.

Se muestra una lámina triangular en el plano x y limitada por los ejes x y y, y la línea x + y = 3. El punto (1, 1) está marcado y está rodeado por un pequeño cuadrado marcado d m = p(x, y) dA.

Figura 5.67 Una lámina en el plano

x y

con densidad

ρ (x, y) = x y .

Utilizando la expresión desarrollada para la masa, vemos que

\begin{matrix} m & = \iint_{R} d m = \iint_{R} ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 3} \int_{y = 0}^{y = 3 - x} x y d y d x = \int_{x = 0}^{x = 3} [{x \frac{y^{2}}{2} |}_{y = 0}^{y = 3 - x}] d x \\ = \int_{x = 0}^{x = 3} \frac{1}{2} x {(3 - x)}^{2} d x = {[\frac{9 x^{2}}{4} - x^{3} + \frac{x^{4}}{8}] |}_{x = 0}^{x = 3} \\ = \frac{27}{8} . \end{matrix}

El cálculo es sencillo, dando la respuesta $m = \frac{27}{8} kg .$

Punto de control 5.33

Considere la misma región $R$ como en el ejemplo anterior, y utilice la función de densidad $ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$ Calcule la masa total. Pista: Utilice la sustitución trigonométrica $\sqrt{x} = \sqrt{3} sen θ$ y luego utilice las fórmulas de reducción de potencia de las funciones trigonométricas.

Ahora que hemos establecido la expresión para la masa, tenemos las herramientas que necesitamos para calcular los momentos y los centros de masa. El momento $M_{x}$ alrededor del eje $x$ por $R$ es el límite de las sumas de momentos de las regiones $R_{i j}$ alrededor del eje $x .$ Por lo tanto

M_{x} = \underset{k, l \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (y_{_{i j}}^{*}) m_{i j} = \underset{k, l \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (y_{_{i j}}^{*}) ρ (x_{_{i j}}^{*}, y_{_{i j}}^{*}) Δ A = \iint_{R} y ρ (x, y) d A .

(5.14)

Del mismo modo, el momento $M_{y}$ sobre el eje $y$ por $R$ es el límite de las sumas de momentos de las regiones $R_{i j}$ alrededor del eje $y .$ Por lo tanto

M_{y} = \underset{k, l \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (x_{_{i j}}^{*}) m_{i j} = \underset{k, l \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (y_{_{i j}}^{*}) ρ (x_{_{i j}}^{*}, y_{_{i j}}^{*}) Δ A = \iint_{R} x ρ (x, y) d A .

(5.15)

Ejemplo 5.56

Calcular momentos

Considere la misma lámina triangular $R$ con vértices $(0, 0), (0, 3), (3, 0)$ y con densidad $ρ (x, y) = x y .$ Calcule los momentos $M_{x}$ y $M_{y} .$

Solución

Utilice integrales dobles para cada momento y calcule sus valores:

M_{x} = \iint_{R} y ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 3} \int_{y = 0}^{y = 3 - x} x y^{2} d y d x = \frac{81}{20},

M_{y} = \iint_{R} x ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 3} \int_{y = 0}^{y = 3 - x} x^{2} y d y d x = \frac{81}{20} .

El cálculo es bastante sencillo.

Punto de control 5.34

Considere la misma lámina $R$ como en el caso anterior, y utilice la función de densidad $ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$ Calcule los momentos $M_{x}$ y $M_{y} .$

Por último, estamos preparados para replantear las expresiones del centro de masa en términos de integrales. Denotamos la coordenada x del centro de masa por $\overset{−}{x}$ y la coordenada y por $\overset{−}{y} .$ Específicamente,

\overset{−}{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{\iint_{R} x ρ (x, y) d A}{\iint_{R} ρ (x, y) d A} y \overset{−}{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{\iint_{R} y ρ (x, y) d A}{\iint_{R} ρ (x, y) d A} .

(5.16)

Ejemplo 5.57

Calcular el centro de masa

Consideremos de nuevo la misma región triangular $R$ con vértices $(0, 0), (0, 3),$ $(3, 0)$ y con función de densidad $ρ (x, y) = x y .$ Calcule el centro de masa.

Solución

Utilizando las fórmulas que hemos desarrollado, tenemos

\overset{−}{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{\iint_{R} x ρ (x, y) d A}{\iint_{R} ρ (x, y) d A} = \frac{81 / 20}{27 / 8} = \frac{6}{5},

\overset{−}{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{\iint_{R} y ρ (x, y) d A}{\iint_{R} ρ (x, y) d A} = \frac{81 / 20}{27 / 8} = \frac{6}{5} .

Por lo tanto, el centro de masa es el punto $(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}) .$

Análisis

Si elegimos que la densidad sea $ρ (x, y)$ en vez de ser uniforme en toda la región (es decir, constante), como el valor 1 (cualquier constante servirá), entonces podemos calcular el centroide,

\begin{matrix} x_{c} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{\iint_{R} x d A}{\iint_{R} d A} = \frac{9 / 2}{9 / 2} = 1, \\ y_{c} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{\iint_{R} y d A}{\iint_{R} d A} = \frac{9 / 2}{9 / 2} = 1 . \end{matrix}

Observe que el centro de masa $(\frac{6}{5}, \frac{6}{5})$ no es exactamente lo mismo que el centroide $(1, 1)$ de la región triangular. Esto se debe a la densidad variable de $R .$ Si la densidad es constante, entonces simplemente utilizamos $ρ (x, y) = c$ (constante). Este valor se anula en las fórmulas, por lo que para una densidad constante, el centro de masa coincide con el centroide de la lámina.

Punto de control 5.35

De nuevo, utilice la misma región $R$ como arriba y la función de densidad $ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$ Calcule el centro de masa.

Una vez más, basándonos en los comentarios del final del Ejemplo 5.57, tenemos expresiones para el centroide de una región en el plano:

x_{c} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{\iint_{R} x d A}{\iint_{R} d A} y y_{c} = \frac{M_{x}}{m} \frac{\iint_{R} y d A}{\iint_{R} d A} .

Debemos utilizar estas fórmulas y verificar el centroide de la región triangular $R$ a la que se refieren los tres últimos ejemplos.

Ejemplo 5.58

Calcular la masa, los momentos y el centro de masa

Halle la masa, los momentos y el centro de masa de la lámina de densidad $ρ (x, y) = x + y$ que ocupa la región $R$ bajo la curva $y = x^{2}$ en el intervalo $0 \leq x \leq 2$ (vea la siguiente figura).

Se muestra una lámina R en el plano x y limitada por el eje x, la línea x = 2 y la línea y = x al cuadrado. Las esquinas de la forma son (0, 0), (2, 0) y (2, 4).

Figura 5.68 Ubicación del centro de masa de una lámina

R

con densidad

ρ (x, y) = x + y .

Solución

Primero calculamos la masa $m .$ Necesitamos describir la región entre el gráfico de $y = x^{2}$ y las líneas verticales $x = 0$ y $x = 2 :$

\begin{matrix} m & = \iint_{R} d m = \iint_{R} ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 2} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} (x + y) d y d x = \int_{x = 0}^{x = 2} [{x y + \frac{y^{2}}{2} |}_{y = 0}^{y = x^{2}}] d x \\ = \int_{x = 0}^{x = 2} [x^{3} + \frac{x^{4}}{2}] d x = {[\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{10}] |}_{x = 0}^{x = 2} = \frac{36}{5} . \end{matrix}

Ahora calculamos los momentos $M_{x}$ y $M_{y} :$

M_{x} = \iint_{R} y ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 2} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} y (x + y) d y d x = \frac{80}{7},

M_{y} = \iint_{R} x ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 2} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} x (x + y) d y d x = \frac{176}{15} .

Por último, evaluamos el centro de masa,

\begin{matrix} \overset{−}{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{\iint_{R} x ρ (x, y) d A}{\iint_{R} ρ (x, y) d A} = \frac{176 / 15}{36 / 5} = \frac{44}{27}, \\ \overset{−}{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{\iint_{R} y ρ (x, y) d A}{\iint_{R} ρ (x, y) d A} = \frac{80 / 7}{36 / 5} = \frac{100}{63} . \end{matrix}

Por lo tanto, el centro de masa es $(\overset{–}{x}, \overset{−}{y}) = (\frac{44}{27}, \frac{100}{63}) .$

Punto de control 5.36

Calcule la masa, los momentos y el centro de masa de la región entre las curvas $y = x$ como $y = x^{2}$ con la función de densidad $ρ (x, y) = x$ en el intervalo $0 \leq x \leq 1 .$

Ejemplo 5.59

Hallar un centroide

Halle el centro de la región bajo la curva $y = e^{x}$ en el intervalo $1 \leq x \leq 3$ (vea la siguiente figura).

En el plano x y se muestra la curva y = e a la x desde x = 0 hasta x = 3 (3, e al cubo). Los puntos (1, 0) y (3, 0) están marcados en los ejes x. Una línea discontinua sale de (1, 0) marcada con x = 1; del mismo modo, una línea sólida sale de (3, 0) marcada con x = 3.

Figura 5.69 Hallar el centro de una región por debajo de la curva

y = e^{x} .

Solución

Para calcular el centroide, suponemos que la función de densidad es constante y, por tanto, se anula:

\begin{matrix} x_{c} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{\iint_{R} x d A}{\iint_{R} d A} y y_{c} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{\iint_{R} y d A}{\iint_{R} d A}, \\ x_{c} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{\iint_{R} x d A}{\iint_{R} d A} = \frac{\int_{x = 1}^{x = 3} \int_{y = 0}^{y = e^{x}} x d y d x}{\int_{x = 1}^{x = 3} \int_{y = 0}^{y = e^{x}} d y d x} = \frac{\int_{x = 1}^{x = 3} x e^{x} d x}{\int_{x = 1}^{x = 3} e^{x} d x} = \frac{2 e^{3}}{e^{3} - e} = \frac{2 e^{2}}{e^{2} - 1}, \\ y_{c} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{\iint_{R} y d A}{\iint_{R} d A} = \frac{\int_{x = 1}^{x = 3} \int_{y = 0}^{y = e^{x}} y d y d x}{\int_{x = 1}^{x = 3} \int_{y = 0}^{y = e^{x}} d y d x} = \frac{\int_{x = 1}^{x = 3} \frac{e^{2 x}}{2} d x}{\int_{x = 1}^{x = 3} e^{x} d x} = \frac{\frac{1}{4} e^{2} (e^{4} - 1)}{e (e^{2} - 1)} = \frac{1}{4} e (e^{2} + 1) . \end{matrix}

Así, el centro de la región es

(x_{c}, y_{c}) = (\frac{2 e^{2}}{e^{2} - 1}, \frac{1}{4} e (e^{2} + 1)) .

Punto de control 5.37

Calcule el centroide de la región entre las curvas $y = x$ como $y = \sqrt{x}$ con densidad uniforme en el intervalo $0 \leq x \leq 1 .$

Momentos de inercia

Para entender claramente cómo calcular los momentos de inercia utilizando integrales dobles, tenemos que volver a la definición general de momentos y centros de masa de la Sección 6.6 del Volumen 1. El momento de inercia de una partícula de masa $m$ alrededor de un eje es $m r^{2},$ donde $r$ es la distancia de la partícula al eje. Podemos ver en la Figura 5.66 que el momento de inercia del subrectángulo $R_{i j}$ alrededor del eje $x$ ¿es ${(y_{i j}^{*})}^{2} ρ (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A .$ Asimismo, el momento de inercia del subrectángulo $R_{i j}$ alrededor del eje $y$ ¿es ${(x_{i j}^{*})}^{2} ρ (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A .$ El momento de inercia está relacionado con la rotación de la masa; concretamente, mide la tendencia de la masa a resistir un cambio en el movimiento de rotación alrededor de un eje.

El momento de inercia $I_{x}$ alrededor del eje $x$ para la región $R$ es el límite de la suma de los momentos de inercia de las regiones $R_{i j}$ alrededor del eje $x .$ Por lo tanto

I_{x} = \underset{k, l \to \infty}{lím} {\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (y_{i j}^{*})}^{2} m_{i j} = \underset{k, l \to \infty}{lím} {\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (y_{i j}^{*})}^{2} ρ (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A = \iint_{R} y^{2} ρ (x, y) d A .

Del mismo modo, el momento de inercia $I_{y}$ sobre el eje $y$ por $R$ es el límite de la suma de los momentos de inercia de las regiones $R_{i j}$ alrededor del eje $y .$ Por lo tanto

I_{y} = \underset{k, l \to \infty}{lím} {\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (x_{i j}^{*})}^{2} m_{i j} = \underset{k, l \to \infty}{lím} {\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{l} (x_{i j}^{*})}^{2} ρ (x_{i j}^{*}, y_{i j}^{*}) Δ A = \iint_{R} x^{2} ρ (x, y) d A .

A veces, necesitamos calcular el momento de inercia de un objeto en torno al origen, que se conoce como momento de inercia polar. Lo denotamos por $I_{0}$ y lo obtenemos sumando los momentos de inercia $I_{x}$ y $I_{y} .$ Por lo tanto

I_{0} = I_{x} + I_{y} = \iint_{R} (x^{2} + y^{2}) ρ (x, y) d A .

Todas estas expresiones se pueden escribir en coordenadas polares sustituyendo $x = r cos θ,$ $y = r sen θ,$ y $d A = r d r d θ .$ Por ejemplo, $I_{0} = \iint_{R} r^{2} ρ (r cos θ, r sen θ) d A .$

Ejemplo 5.60

Hallar los momentos de inercia de una lámina triangular

Utilice la región triangular $R$ con vértices $(0, 0), (2, 2),$ y $(2, 0)$ y con densidad $ρ (x, y) = x y$ como en los ejemplos anteriores. Halle los momentos de inercia.

Solución

Utilizando las expresiones establecidas anteriormente para los momentos de inercia, tenemos

\begin{matrix} I_{x} & = & \iint_{R} y^{2} ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 2} \int_{y = 0}^{y = x} x y^{3} d y d x = \frac{8}{3}, \\ I_{y} & = & \iint_{R} x^{2} ρ (x, y) d A = \int_{x = 0}^{x = 2} \int_{y = 0}^{y = x} x^{3} y d y d x = \frac{16}{3}, \\ I_{0} & = & \iint_{R} (x^{2} + y^{2}) ρ (x, y) d A = \int_{0}^{2} \int_{0}^{x} (x^{2} + y^{2}) x y d y d x \\ = & I_{x} + I_{y} = 8. \end{matrix}

Punto de control 5.38

De nuevo, utilice la misma región $R$ como arriba y la función de densidad $ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$ Halle los momentos de inercia.

Como se mencionó anteriormente, el momento de inercia de una partícula de masa $m$ alrededor de un eje es $m r^{2}$ donde $r$ es la distancia de la partícula al eje, también conocida como radio de giro.

Por lo tanto, los radios de giro con respecto al eje $x −eje,$ el eje $y −eje,$ y el origen son

R_{x} = \sqrt{\frac{I_{x}}{m}}, R_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{m}}, y R_{0} = \sqrt{\frac{I_{0}}{m}},

respectivamente. En cada caso, el radio de giro nos indica a qué distancia (distancia perpendicular) del eje de rotación puede concentrarse toda la masa de un objeto. Los momentos de un objeto son útiles para encontrar información sobre el equilibrio y el par del objeto alrededor de un eje, pero los radios de giro se utilizan para describir la distribución de la masa alrededor de su eje centroidal. Hay muchas aplicaciones en ingeniería y física. A veces es necesario calcular el radio de giro, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.61

Hallar el radio de giro de una lámina triangular

Considere la misma lámina triangular $R$ con vértices $(0, 0), (2, 2),$ y $(2, 0)$ y con densidad $ρ (x, y) = x y$ como en los ejemplos anteriores. Calcule los radios de giro con respecto al eje $x −eje,$ el eje $y −eje,$ y el origen.

Solución

Si calculamos la masa de esta región encontramos que $m = 2 .$ Hallamos los momentos de inercia de esta lámina en el Ejemplo 5.58. A partir de estos datos, los radios de giro con respecto a los ejes $x −eje,$ $y −eje,$ y el origen son, respectivamente,

\begin{matrix} R_{x} & = & \sqrt{\frac{I_{x}}{m}} = \sqrt{\frac{8 / 3}{2}} = \sqrt{\frac{8}{6}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \\ R_{y} & = & \sqrt{\frac{I_{y}}{m}} = \sqrt{\frac{16 / 3}{2}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \\ R_{0} & = & \sqrt{\frac{I_{0}}{m}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2 . \end{matrix}

Punto de control 5.39

Utilice la misma región $R$ del Ejemplo 5.61 y la función de densidad $ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$ Halle los radios de giro con respecto al eje $x −eje,$ el eje $y −eje,$ y el origen.

Centro de masa y momentos de inercia en tres dimensiones

Todas las expresiones de integrales dobles discutidas hasta ahora pueden modificarse para convertirse en integrales triples.

Definición

Si tenemos un objeto sólido $Q$ con una función de densidad $ρ (x, y, z)$ en cualquier punto $(x, y, z)$ en el espacio, entonces su masa es

m = \underset{Q}{∭} ρ (x, y, z) d V .

Sus momentos sobre el plano $x y,$ el plano $x z,$ y el plano $y z$ son

\begin{matrix} M_{x y} = \underset{Q}{∭} z ρ (x, y, z) d V, M_{x z} = \underset{Q}{∭} y ρ (x, y, z) d V, \\ M_{y z} = \underset{Q}{∭} x ρ (x, y, z) d V . \end{matrix}

Si el centro de masa del objeto es el punto $(\overset{–}{x}, \overset{−}{y}, \overset{−}{z}),$ entonces

\overset{−}{x} = \frac{M_{y z}}{m}, \overset{−}{y} = \frac{M_{x z}}{m}, \overset{−}{z} = \frac{M_{x y}}{m} .

Además, si el objeto sólido es homogéneo (con densidad constante), entonces el centro de masa se convierte en el centroide del sólido. Por último, los momentos de inercia en torno al plano $y z,$ el plano $x z,$ y el plano $x y$ son

\begin{matrix} I_{x} = \underset{Q}{∭} (y^{2} + z^{2}) ρ (x, y, z) d V, \\ I_{y} = \underset{Q}{∭} (x^{2} + z^{2}) ρ (x, y, z) d V, \\ I_{z} = \underset{Q}{∭} (x^{2} + y^{2}) ρ (x, y, z) d V . \end{matrix}

Ejemplo 5.62

Hallar la masa de un sólido

Supongamos que $Q$ es una región sólida limitada por $x + 2 y + 3 z = 6$ y los planos de coordenadas, y tiene densidad $ρ (x, y, z) = x^{2} y z .$ Calcule la masa total.

Solución

La región $Q$ es un tetraedro (Figura 5.70) que encuentra los ejes en los puntos $(6, 0, 0), (0, 3, 0),$ y $(0, 0, 2) .$ Para calcular los límites de la integración, supongamos que $z = 0$ en el plano inclinado $z = \frac{1}{3} (6 - x - 2 y) .$ Entonces para $x$ como $y$ halle la proyección de $Q$ en el plano $x y,$ que está limitada por los ejes y la línea $x + 2 y = 6 .$ Por lo tanto, la masa es

m = \underset{Q}{∭} ρ (x, y, z) d V = \int_{x = 0}^{x = 6} \int_{y = 0}^{y = 1 / 2 (6 - x)} \int_{z = 0}^{z = 1 / 3 (6 - x - 2 y)} x^{2} y z d z d y d x = \frac{108}{35} \approx 3,086 .

En el espacio x y z, el sólido Q se muestra con las esquinas (0, 0, 0), (0, 0, 2), (0, 3, 0) y (6, 0, 0). Alternativamente, puede considerar que el sólido está limitado por los planos x y, x z y y z y el plano x + 2y + 3z = 6, formando un tetraedro irregular.

Figura 5.70 Calcular la masa de un sólido tridimensional

Q .

Punto de control 5.40

Considere la misma región $Q$ (Figura 5.70) y utilice la función de densidad $ρ (x, y, z) = x y^{2} z .$ Halle la masa.

Ejemplo 5.63

Hallar el centro de masa de un sólido

Supongamos que $Q$ es una región sólida limitada por el plano $x + 2 y + 3 z = 6$ y los planos de coordenadas con densidad $ρ (x, y, z) = x^{2} y z$ (vea la Figura 5.70). Halle el centro de masa utilizando la aproximación decimal. Utilice la masa del Ejemplo 5.62.

Solución

Ya hemos utilizado este tetraedro y conocemos los límites de integración, por lo que podemos proceder a los cálculos de inmediato. Primero, tenemos que hallar los momentos sobre el plano $x y,$ el plano $x z,$ y el plano $y z :$

\begin{matrix} M_{x y} = \underset{Q}{∭} z ρ (x, y, z) d V = \int_{x = 0}^{x = 6} \int_{y = 0}^{y = 1 / 2 (6 - x)} \int_{z = 0}^{z = 1 / 3 (6 - x - 2 y)} x^{2} y z^{2} d z d y d x = \frac{54}{35} \approx 1,543, \\ M_{x z} = \underset{Q}{∭} y ρ (x, y, z) d V = \int_{x = 0}^{x = 6} \int_{y = 0}^{y = 1 / 2 (6 - x)} \int_{z = 0}^{z = 1 / 3 (6 - x - 2 y)} x^{2} y^{2} z d z d y d x = \frac{81}{35} \approx 2,314, \\ M_{y z} = \underset{Q}{∭} x ρ (x, y, z) d V = \int_{x = 0}^{x = 6} \int_{y = 0}^{y = 1 / 2 (6 - x)} \int_{z = 0}^{z = 1 / 3 (6 - x - 2 y)} x^{3} y z d z d y d x = \frac{243}{35} \approx 6,943 . \end{matrix}

Por lo tanto, el centro de masa es

\begin{matrix} \overset{−}{x} = \frac{M_{y z}}{m}, \overset{−}{y} = \frac{M_{x z}}{m}, \overset{−}{z} = \frac{M_{x y}}{m}, \\ \overset{−}{x} = \frac{M_{y z}}{m} = \frac{243 / 35}{108 / 35} = \frac{243}{108} = 2,25, \\ \overset{−}{y} = \frac{M_{x z}}{m} = \frac{81 / 35}{108 / 35} = \frac{81}{108} = 0,75, \\ \overset{−}{z} = \frac{M_{x y}}{m} = \frac{54 / 35}{108 / 35} = \frac{54}{108} = 0,5 . \end{matrix}

El centro de masa del tetraedro $Q$ es el punto $(2,25, 0,75, 0,5) .$

Punto de control 5.41

Considere la misma región $Q$ (Figura 5.70) y utilice la función de densidad $ρ (x, y, z) = x y^{2} z .$ Calcule el centro de masa.

Concluimos esta sección con un ejemplo de búsqueda de momentos de inercia $I_{x}, I_{y},$ y $I_{z} .$

Ejemplo 5.64

Hallar los momentos de inercia de un sólido

Supongamos que $Q$ es una región sólida y está limitada por $x + 2 y + 3 z = 6$ y los planos de coordenadas con densidad $ρ (x, y, z) = x^{2} y z$ (vea la Figura 5.70). Halle los momentos de inercia del tetraedro $Q$ sobre el plano $y z,$ el plano $x z,$ y el plano $x y .$

Solución

Una vez más, podemos escribir casi inmediatamente los límites de integración y, por tanto, podemos proceder rápidamente a evaluar los momentos de inercia. Utilizando la fórmula anterior, los momentos de inercia del tetraedro $Q$ alrededor del eje $x y,$ el plano $x z,$ y el plano $y z$ son

\begin{matrix} I_{x} = \underset{Q}{∭} (y^{2} + z^{2}) ρ (x, y, z) d V, \\ I_{y} = \underset{Q}{∭} (x^{2} + z^{2}) ρ (x, y, z) d V, \end{matrix}

y

I_{z} = \underset{Q}{∭} (x^{2} + y^{2}) ρ (x, y, z) d V con ρ (x, y, z) = x^{2} y z .

Continuando con los cálculos, tenemos

\begin{matrix} I_{x} = \underset{Q}{∭} (y^{2} + z^{2}) x^{2} y z d V = \int_{x = 0}^{x = 6} \int_{y = 0}^{y = \frac{1}{2} (6 - x)} \int_{z = 0}^{z = \frac{1}{3} (6 - x - 2 y)} (y^{2} + z^{2}) x^{2} y z d z d y d x = \frac{117}{35} \approx 3,343, \\ I_{y} = \underset{Q}{∭} (x^{2} + z^{2}) x^{2} y z d V = \int_{x = 0}^{x = 6} \int_{y = 0}^{y = \frac{1}{2} (6 - x)} \int_{z = 0}^{z = \frac{1}{3} (6 - x - 2 y)} (x^{2} + z^{2}) x^{2} y z d z d y d x = \frac{684}{35} \approx 19,543, \\ I_{z} = \underset{Q}{∭} (x^{2} + y^{2}) x^{2} y z d V = \int_{x = 0}^{x = 6} \int_{y = 0}^{y = \frac{1}{2} (6 - x)} \int_{z = 0}^{z = \frac{1}{3} (6 - x - 2 y)} (x^{2} + y^{2}) x^{2} y z d z d y d x = \frac{729}{35} \approx 20,829. \end{matrix}

Así, los momentos de inercia del tetraedro $Q$ sobre el plano $y z,$ el plano $x z,$ y el plano $x y$ son $117 / 35, 684 / 35, y 729 / 35,$ respectivamente.

Punto de control 5.42

Considere la misma región $Q$ (Figura 5.70) y utilice la función de densidad $ρ (x, y, z) = x y^{2} z .$ Halle los momentos de inercia alrededor de los tres planos de coordenadas.

Sección 5.6 ejercicios

En los siguientes ejercicios, la región $R$ ocupada por una lámina se muestra en un gráfico. Calcule la masa de $R$ con la función de densidad $ρ .$

297.

$R$ es la región triangular con vértices $(0, 0), (0, 3),$ y $(6, 0); ρ (x, y) = x y .$

Un triángulo rectángulo limitado por los ejes x y y, y la línea y = x/2 negativo + 3.

298.

$R$ es la región triangular con vértices $(0, 0), (1, 1),$ $(0, 5); ρ (x, y) = x + y .$

Un triángulo limitado por el eje y, la línea x = y y la línea y = negativo 4x + 5.

299.

$R$ es la región rectangular con vértices $(0, 0), (0, 3), (6, 3),$ y $(6, 0);$ $ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$

Un rectángulo limitado por los ejes x y y, y las líneas x = 6 y y = 3.

300.

$R$ es la región rectangular con vértices $(0, 1), (0, 3), (3, 3),$ y $(3, 1);$ $ρ (x, y) = x^{2} y .$

Un rectángulo delimitado por el eje y, las líneas y = 1 y 3 y la línea x = 3.

301.

$R$ es la región trapezoidal determinada por las líneas $y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{2}, y = 0, y = 2,$ y $x = 0;$ $ρ (x, y) = 3 x y .$

Trapecio limitado por los ejes x y y, la línea y = 2 y la línea y = x/4 negativo + 2,5.

302.

$R$ es la región trapezoidal determinada por las líneas $y = 0, y = 1, y = x,$ y $y = − x + 3; ρ (x, y) = 2 x + y .$

Un trapecio limitado por el eje x, la línea y = 1, la línea y = x y la línea y = negativo x + 3.

303.

$R$ es el disco de radio $2$ centrado en $(1, 2);$ $ρ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5 .$

Una circunferencia de radio 2 centrada en (1, 2), que es tangente al eje x en (1, 0).

304.

$R$ es el disco de la unidad $ρ (x, y) = 3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} .$

Una circunferencia con radio 1 y centro en el origen.

305.

$R$ es la región delimitada por la elipse $x^{2} + 4 y^{2} = 1; ρ (x, y) = 1 .$

Una elipse con centro en el origen, eje mayor 2 y eje menor 0,5.

306.

$R = {(x, y) | 9 x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0};$ $ρ (x, y) = \sqrt{9 x^{2} + y^{2}} .$

El cuarto de sección de una elipse en el primer cuadrante con centro en el origen, eje mayor 2 y eje menor aproximadamente 0,64.

307.

$R$ es la región delimitada por $y = x, y = − x, y = x + 2, y = − x + 2;$ $ρ (x, y) = 1 .$

Un cuadrado de lado raíz cuadrada de 2 girado 45 grados, con vértices en el origen, (2, 0), (1, 1) y (negativo 1, 1).

308.

$R$ es la región delimitada por $y = \frac{1}{x}, y = \frac{2}{x}, y = 1,$ y $y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y) .$

Una región compleja entre 2 y 1 que barre hacia abajo y hacia la derecha con límites y = 1/x y y = 2/x.

En los siguientes ejercicios, considere una lámina que ocupa la región $R$ y que tiene la función de densidad $ρ$ que se dio en el grupo de ejercicios anterior. Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para responder las siguientes preguntas.

Calcule los momentos $M_{x}$ y $M_{y}$ sobre el plano $x$ y $y −eje,$ respectivamente.
Calcule y trace el centro de masa de la lámina.
[T] Utilice un CAS para localizar el centro de masa en el gráfico de $R .$

309.

[T] $R$ es la región triangular con vértices $(0, 0), (0, 3),$ y $(6, 0); ρ (x, y) = x y .$

310.

[T] $R$ es la región triangular con vértices $(0, 0), (1, 1), y (0, 5); ρ (x, y) = x + y .$

311.

[T] $R$ es la región rectangular con vértices $(0, 0), (0, 3), (6, 3), y (6, 0);$ $ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$

312.

[T] $R$ es la región rectangular con vértices $(0, 1), (0, 3), (3, 3), y (3, 1);$ $ρ (x, y) = x^{2} y .$

313.

[T] $R$ es la región trapezoidal determinada por las líneas $y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{2}, y = 0,$ $y = 2, y x = 0;$ $ρ (x, y) = 3 x y .$

314.

[T] $R$ es la región trapezoidal determinada por las líneas $y = 0, y = 1, y = x,$ y $y = − x + 3; ρ (x, y) = 2 x + y .$

315.

[T] $R$ es el disco de radio $2$ centrado en $(1, 2);$ $ρ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5 .$

316.

[T] $R$ es el disco de la unidad $ρ (x, y) = 3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} .$

317.

[T] $R$ es la región delimitada por la elipse $x^{2} + 4 y^{2} = 1; ρ (x, y) = 1 .$

318.

[T] $R = {(x, y) | 9 x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0};$ $ρ (x, y) = \sqrt{9 x^{2} + y^{2}} .$

319.

[T] $R$ es la región delimitada por $y = x, y = − x, y = x + 2,$ y $y = − x + 2;$ $ρ (x, y) = 1 .$

320.

[T] $R$ es la región delimitada por $y = \frac{1}{x},$ $y = \frac{2}{x}, y = 1, y y = 2;$ $ρ (x, y) = 4 (x + y) .$

En los siguientes ejercicios, considere una lámina que ocupa la región $R$ y que tiene la función de densidad $ρ$ que se dan en los dos primeros grupos de ejercicios.

Halle los momentos de inercia $I_{x}, I_{y},$ y $I_{0}$ alrededor del eje $x,$ $y,$ y origen, respectivamente.
Calcule los radios de giro con respecto a los ejes $x,$ $y,$ y origen, respectivamente.

321.

$R$ es la región triangular con vértices $(0, 0), (0, 3),$ y $(6, 0); ρ (x, y) = x y .$

322.

$R$ es la región triangular con vértices $(0, 0), (1, 1),$ y $(0, 5); ρ (x, y) = x + y .$

323.

$R$ es la región rectangular con vértices $(0, 0), (0, 3), (6, 3),$ y $(6, 0); ρ (x, y) = \sqrt{x y} .$

324.

$R$ es la región rectangular con vértices $(0, 1), (0, 3), (3, 3),$ y $(3, 1); ρ (x, y) = x^{2} y .$

325.

$R$ es la región trapezoidal determinada por las líneas $y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{2}, y = 0, y = 2,$ y $x = 0; ρ (x, y) = 3 x y .$

326.

$R$ es la región trapezoidal determinada por las líneas $y = 0, y = 1, y = x,$ y $y = − x + 3; ρ (x, y) = 2 x + y .$

327.

$R$ es el disco de radio $2$ centrado en $(1, 2);$ $ρ (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5 .$

328.

$R$ es el disco de la unidad $ρ (x, y) = 3 x^{4} + 6 x^{2} y^{2} + 3 y^{4} .$

329.

$R$ es la región delimitada por la elipse $x^{2} + 4 y^{2} = 1; ρ (x, y) = 1 .$

330.

$R = {(x, y) | 9 x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0}; ρ (x, y) = \sqrt{9 x^{2} + y^{2}} .$

331.

$R$ es la región delimitada por $y = x, y = − x, y = x + 2, y y = − x + 2;$ $ρ (x, y) = 1 .$

332.

$R$ es la región delimitada por $y = \frac{1}{x}, y = \frac{2}{x}, y = 1, y y = 2; ρ (x, y) = 4 (x + y) .$

333.

Supongamos que $Q$ es el cubo sólido de la unidad. Calcule la masa del sólido si su densidad $ρ$ es igual al cuadrado de la distancia de un punto arbitrario de $Q$ al plano $x y .$

334.

Supongamos que $Q$ es el hemisferio sólido de la unidad. Calcule la masa del sólido si su densidad $ρ$ es proporcional a la distancia de un punto arbitrario de $Q$ al origen.

335.

El sólido $Q$ de densidad constante $1$ se encuentra dentro de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ y fuera de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 .$ Demuestre que el centro de masa del sólido no se encuentra dentro del mismo.

336.

Halle la masa del sólido $Q = {(x, y, z) | 1 \leq x^{2} + z^{2} \leq 25, y \leq 1 - x^{2} - z^{2}}$ cuya densidad es $ρ (x, y, z) = k,$ donde $k > 0 .$

337.

[T] El sólido $Q = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} \leq 9, 0 \leq z \leq 1, x \geq 0, y \geq 0}$ tiene una densidad igual a la distancia al plano $x y .$ Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para responder las siguientes preguntas.

Encuentre la masa de $Q .$
Calcule los momentos $M_{x y}, M_{x z}, y M_{y z}$ sobre los planos $x y,$ $x z$ y $y z,$ respectivamente.
Calcule el centro de masa de $Q .$
Grafique $Q$ y ubique su centro de masa.

338.

Considere el sólido $Q = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3}$ con la función de densidad $ρ (x, y, z) = x + y + 1 .$

Encuentre la masa de $Q .$
Calcule los momentos $M_{x y}, M_{x z}, y M_{y z}$ sobre los planos $x y,$ $x z$ y $y z,$ respectivamente.
Calcule el centro de masa de $Q .$

339.

[T] El sólido $Q$ tiene la masa dada por la integral triple $\int_{–1}^{1} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{1} r^{2} d r d θ d z .$ Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para responder las siguientes preguntas.

Demuestre que el centro de masa de $Q$ se encuentra en el plano $x y .$
Grafique $Q$ y ubique su centro de masa.

340.

El sólido $Q$ está delimitado por los planos $x + 4 y + z = 8, x = 0, y = 0, y z = 0 .$ Su densidad en cualquier punto es igual a la distancia al plano $x z .$ Halle los momentos de inercia $I_{y}$ del sólido sobre el plano $x z .$

341.

El sólido $Q$ está delimitado por los planos $x + y + z = 3,$ $x = 0, y = 0,$ y $z = 0 .$ Su densidad es $ρ (x, y, z) = x + a y,$ donde $a > 0 .$ Demuestre que el centro de masa del sólido está situado en el plano $z = \frac{3}{5}$ para cualquier valor de $a .$

342.

Supongamos que $Q$ es el sólido situado fuera de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = z$ y dentro del hemisferio superior $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2},$ donde $R > 1 .$ Si la densidad del sólido es $ρ (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}},$ calcule $R$ tal que la masa del sólido es $\frac{7 π}{2} .$

343.

La masa de un sólido $Q$ viene dada por $\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{n} d z d y d x,$ donde $n$ es un número entero. Determine $n$ tal la masa del sólido es $(2 - \sqrt{2}) π .$

344.

Supongamos que $Q$ es el sólido limitado sobre el cono $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ y por debajo de la esfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z = 0 .$ Su densidad es una constante $k > 0 .$ Halle $k$ de manera que el centro de masa del sólido se sitúe $7$ unidades desde el origen.

345.

El sólido $Q = {(x, y, z) | 0 \leq x^{2} + y^{2} \leq 16, x \geq 0, y \geq 0, 0 \leq z \leq x}$ tiene la densidad $ρ (x, y, z) = k .$ Demuestre que el momento $M_{x y}$ sobre el plano $x y$ es la mitad del momento $M_{y z}$ alrededor del eje $y z .$

346.

El sólido $Q$ está limitado por el cilindro $x^{2} + y^{2} = a^{2},$ el paraboloide $b^{2} - z = x^{2} + y^{2},$ y la intersección en $x y,$ donde $0 < a < b .$ Halle la masa del sólido si su densidad viene dada por $ρ (x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

347.

Supongamos que $Q$ es un sólido de densidad constante $k,$ donde $k > 0,$ que se encuentra en el primer octante, dentro del cono circular $x^{2} + y^{2} = 9 {(z - 1)}^{2},$ y por encima del plano $z = 0 .$ Demuestre que el momento $M_{x y}$ sobre el plano $x y$ es lo mismo que el momento $M_{y z}$ sobre los planos $x z .$

348.

El sólido $Q$ tiene la masa dada por la integral triple $\int_{0}^{1} \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{r^{2}} (r^{4} + r) d z d θ d r .$

Calcule la densidad del sólido en coordenadas rectangulares.
Calcule el momento $M_{x y}$ sobre el plano $x y .$

349.

El sólido $Q$ tiene el momento de inercia $I_{x}$ alrededor del eje $y z$ dada por la integral triple $\int_{0}^{2} \int_{− \sqrt{4 - y^{2}}}^{\sqrt{4 - y^{2}}} \int_{\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})}^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} (y^{2} + z^{2}) (x^{2} + y^{2}) d z d x d y .$

Halle la densidad de $Q .$
Halle el momento de inercia $I_{z}$ sobre los planos $x y .$

350.

El sólido $Q$ tiene la masa dada por la integral triple $\int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{2 s θ} \int_{0}^{1} (r^{3} cos θ sen θ + 2 r) d z d r d θ .$

Calcule la densidad del sólido en coordenadas rectangulares.
Calcule el momento $M_{x z}$ sobre los planos $x z .$

351.

Supongamos que $Q$ es el sólido limitado por el plano $x y,$ el cilindro $x^{2} + y^{2} = a^{2},$ y el plano $z = 1,$ donde $a > 1$ es un número real. Calcule el momento $M_{x y}$ del sólido sobre el plano $x y$ si su densidad dada en coordenadas cilíndricas es $ρ (r, θ, z) = \frac{d^{2} f}{d r^{2}} (r),$ donde $f$ es una función diferenciable con las derivadas primera y segunda continuas y diferenciables en $(0, a) .$

352.

Un sólido $Q$ tiene un volumen dado por $\iint_{D} \int_{a}^{b} d A d z,$ donde $D$ es la proyección del sólido sobre el plano $x y$ y $a < b$ son números reales, y su densidad no depende de la variable $z .$ Demuestre que su centro de masa se encuentra en el plano $z = \frac{a + b}{2} .$

353.

Considere el sólido encerrado por el cilindro $x^{2} + z^{2} = a^{2}$ y los planos $y = b$ y $y = c,$ donde $a > 0$ y $b < c$ son números reales. La densidad de $Q$ viene dada por $ρ (x, y, z) = f' (y),$ donde $f$ es una función diferencial cuya derivada es continua en $(b, c) .$ Demuestre que si $f (b) = f (c),$ entonces el momento de inercia alrededor del plano $x z$ de $Q$ es nulo.

354.

[T] La densidad media de un sólido $Q$ se define como $ρ_{a v e} = \frac{1}{V (Q)} \underset{Q}{∭} ρ (x, y, z) d V = \frac{m}{V (Q)},$ donde $V (Q)$ y $m$ son el volumen y la masa de $Q,$ respectivamente. Si la densidad de la bola unitaria centrada en el origen es $ρ (x, y, z) = e^{– x^{2} - y^{2} - z^{2}},$ utilice un CAS para calcular su densidad media. Redondee su respuesta a tres decimales.

355.

Demuestre que los momentos de inercia $I_{x}, I_{y}, y I_{z}$ alrededor del eje $y z,$ $x z$ y $x y,$ respectivamente, de la bola unitaria centrada en el origen cuya densidad es $ρ (x, y, z) = e^{– x^{2} - y^{2} - z^{2}}$ son los mismos. Redondee su respuesta a dos decimales.

5.6 Cálculo de centros de masa y momentos de inercia

Centro de masa en dos dimensiones

Hallar la masa total de una lámina

Solución

Calcular momentos

Solución

Calcular el centro de masa

Solución

Análisis

Calcular la masa, los momentos y el centro de masa

Solución

Hallar un centroide

Solución

Momentos de inercia

Hallar los momentos de inercia de una lámina triangular

Solución

Hallar el radio de giro de una lámina triangular

Solución

Centro de masa y momentos de inercia en tres dimensiones

Hallar la masa de un sólido

Solución

Hallar el centro de masa de un sólido

Solución

Hallar los momentos de inercia de un sólido

Solución

Sección 5.6 ejercicios