Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

5.4.1 Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una caja rectangular.
5.4.2 Evaluar una integral triple expresándola como una integral iterada.
5.4.3 Reconocer cuándo una función de tres variables es integrable sobre una región cerrada y delimitada.
5.4.4 Simplificar un cálculo cambiando el orden de integración de una integral triple.
5.4.5 Calcular el valor medio de una función de tres variables.

En Integrales dobles sobre regiones rectangulares discutimos la integral doble de una función $f (x, y)$ de dos variables sobre una región rectangular en el plano. En esta sección definimos la integral triple de una función $f (x, y, z)$ de tres variables sobre una caja sólida rectangular en el espacio, $ℝ^{3} .$ Más adelante en esta sección ampliamos la definición a regiones más generales en $ℝ^{3} .$

Funciones integrables de tres variables

Podemos definir una caja rectangular $B$ en $ℝ^{3}$ como $B = {(x, y, z) | a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, e \leq z \leq f} .$ Seguimos un procedimiento similar al que hicimos en Integrales dobles sobre regiones rectangulares. Dividimos el intervalo $[a, b]$ en $l$ subintervalos $[x_{i - 1}, x_{i}]$ de igual longitud $Δ x = \frac{x_{i} - x_{i - 1}}{l},$ dividimos el intervalo $[c, d]$ en $m$ subintervalos $[y_{i - 1}, y_{i}]$ de igual longitud $Δ y = \frac{y_{j} - y_{j - 1}}{m},$ y dividimos el intervalo $[e, f]$ en $n$ subintervalos $[z_{i - 1}, z_{i}]$ de igual longitud $Δ z = \frac{z_{k} - z_{k - 1}}{n} .$ Entonces la caja rectangular $B$ se subdivide en $l m n$ subcajas $B_{i j k} = [x_{i - 1}, x_{i}] \times [y_{i - 1}, y_{i}] \times [z_{i - 1}, z_{i}],$ como se muestra en la Figura 5.40.

En el espacio x y z, existe una caja B con una subcaja Bijk con lados de longitud Delta x, Delta y, y Delta z.

Figura 5.40 Una caja rectangular en

ℝ^{3}

dividida en subcajas por planos paralelos a los planos de coordenadas.

Para cada $i, j, y k,$ considera un punto de muestra $(x_{i j k}^{*}, y_{i j k}^{*}, z_{i j k}^{*})$ en cada subcaja $B_{i j k} .$ Vemos que su volumen es $Δ V = Δ x Δ y Δ z .$ Forme la triple suma de Riemann

\sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} f (x_{i j k}^{*}, y_{i j k}^{*}, z_{i j k}^{*}) Δ x Δ y Δ z .

Definimos la integral triple en términos del límite de una suma triple de Riemann, como hicimos con la integral doble en términos de una suma doble de Riemann.

Definición

La integral triple de una función $f (x, y, z)$ sobre una caja rectangular $B$ se define como

\underset{l, m, n \to \infty}{lím} \sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} f (x_{i j k}^{*}, y_{i j k}^{*}, z_{i j k}^{*}) Δ x Δ y Δ z = \underset{B}{∭} f (x, y, z) d V

(5.10)

si existe este límite.

Cuando la integral triple existe en $B,$ la función $f (x, y, z)$ se dice que es integrable en $B .$ Además, la integral triple existe si $f (x, y, z)$ es continuo en $B .$ Por lo tanto, utilizaremos funciones continuas para nuestros ejemplos. Sin embargo, la continuidad es suficiente pero no necesaria; en otras palabras, $f$ está delimitada en $B$ y continua excepto posiblemente en el borde de $B .$ El punto de muestreo $(x_{i j k}^{*}, y_{i j k}^{*}, z_{i j k}^{*})$ puede ser cualquier punto de la subcaja rectangular $B_{i j k}$ y todas las propiedades de una integral doble se aplican a una integral triple. Al igual que la integral doble tiene muchas aplicaciones prácticas, la integral triple también tiene muchas aplicaciones, que trataremos en secciones posteriores.

Ahora que hemos desarrollado el concepto de integral triple, necesitamos saber cómo calcularla. Al igual que en el caso de la integral doble, podemos tener una integral triple iterada, y en consecuencia, existe una versión del teorema de Fubini para integrales triples.

Teorema 5.9

Teorema de Fubini para integrales triples

Si los valores de $f (x, y, z)$ es continua en una caja rectangular $B = [a, b] \times [c, d] \times [e, f],$ entonces

\underset{B}{∭} f (x, y, z) d V = \int_{e}^{f} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y, z) d x d y d z .

Esta integral también es igual a cualquiera de las otras cinco ordenaciones posibles para la integral triple iterada.

Para los números reales $a, b, c, d, e,$ y $f$ , la integral triple iterada puede expresarse en seis ordenamientos diferentes:

\begin{matrix} \int_{e}^{f} \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y, z) d x d y d z & = \int_{e}^{f} (\int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y, z) d x) d y) d z = \int_{c}^{d} (\int_{e}^{f} (\int_{a}^{b} f (x, y, z) d x) d z) d y \\ = \int_{a}^{b} (\int_{e}^{f} (\int_{c}^{d} f (x, y, z) d y) d z) d x = \int_{e}^{f} (\int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y, z) d y) d x) d z \\ = \int_{c}^{e} (\int_{a}^{b} (\int_{e}^{f} f (x, y, z) d z) d x) d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{e} (\int_{e}^{f} f (x, y, z) d z) d y) d x . \end{matrix}

Para una caja rectangular, el orden de integración no supone una diferencia significativa en el nivel de dificultad del cálculo. Calculamos las integrales triples utilizando el teorema de Fubini en vez de utilizar la definición de suma de Riemann. Seguimos el orden de integración de la misma manera que lo hicimos para las integrales dobles (es decir, de dentro a fuera).

Ejemplo 5.36

Evaluar una integral triple

Evalúe la integral triple $\int_{z = 0}^{z = 1} \int_{y = 2}^{y = 4} \int_{x = –1}^{x = 5} (x + y z^{2}) d x d y d z .$

Solución

El orden de integración se especifica en el problema, por lo que se integra con respecto a $x$ primero, luego y, después $z .$

\begin{matrix} \int_{z = 0}^{z = 1} \int_{y = 2}^{y = 4} \int_{x = –1}^{x = 5} (x + y z^{2}) d x d y d z \\ = \int_{z = 0}^{z = 1} \int_{y = 2}^{y = 4} [{\frac{x^{2}}{2} + x y z^{2} |}_{x = –1}^{x = 5}] d y d z & Integre con respecto a x . \\ = \int_{z = 0}^{z = 1} \int_{y = 2}^{y = 4} [12 + 6 y z^{2}] d y d z & Evalúe. \\ = \int_{z = 0}^{z = 1} [{12 y + 6 \frac{y^{2}}{2} z^{2} |}_{y = 2}^{y = 4}] d z & Integre con respecto a y . \\ = \int_{z = 0}^{z = 1} [24 + 36 z^{2}] d z & Evalúe. \\ = {[24 z + 36 \frac{z^{3}}{3}]}_{z = 0}^{z = 1} = 36 . & Integre con respecto a z . \end{matrix}

Ejemplo 5.37

Evaluar una integral triple

Evalúe la integral triple $\underset{B}{∭} x^{2} y z d V$ donde $B = {(x, y, z) | - 2 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 3, 1 \leq z \leq 5}$ como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio x y z, hay una caja dada con vértices (1, 0, 5), (1, 0, 1), (1, 3, 1), (1, 3, 5), (negativo 2, 0, 5), (negativo 2, 0, 1), (negativo 2, 3, 1) y (negativo 2, 3, 5).

Figura 5.41 Evaluar una integral triple sobre una caja rectangular dada.

Solución

No se especifica el orden, pero podemos utilizar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Elija, por ejemplo, integrar primero y, luego x y después z.

$\begin{matrix} \underset{B}{∭} x^{2} y z d V & = \int_{1}^{5} \int_{–2}^{1} \int_{0}^{3} [x^{2} y z] d y d x d z = \int_{1}^{5} \int_{–2}^{1} [{x^{2} \frac{y^{2}}{2} z |}_{0}^{3}] d x d z \\ = \int_{1}^{5} \int_{–2}^{1} \frac{9}{2} x^{2} z d x d z = \int_{1}^{5} [{\frac{9}{2} \frac{x^{3}}{3} z |}_{−2}^{1}] d z = \int_{1}^{5} \frac{27}{2} z d z = {\frac{27}{2} \frac{z^{2}}{2} |}_{1}^{5} = 162. \end{matrix}$

Ahora trate de integrar en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elija integrar con respecto a $x$ primero, luego $z,$ y luego $y .$

\begin{matrix} \underset{B}{∭} x^{2} y z d V & = \int_{0}^{3} \int_{1}^{5} \int_{–2}^{1} [x^{2} y z] d x d z d y = \int_{0}^{3} \int_{1}^{5} [{\frac{x^{3}}{3} y z |}_{−2}^{1}] d z d y \\ = \int_{0}^{3} \int_{1}^{5} 3 y z d z d y = \int_{0}^{3} [{3 y \frac{z^{2}}{2} |}_{1}^{5}] d y = \int_{0}^{3} 36 y d y = {36 \frac{y^{2}}{2} |}_{0}^{3} = 18 (9 - 0) = 162. \end{matrix}

Punto de control 5.23

Evalúe la integral triple $\underset{B}{∭} z sen x cos y d V$ donde $B = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq π, \frac{3 π}{2} \leq y \leq 2 π, 1 \leq z \leq 3} .$

Integrales triples sobre una región limitada general

Ahora ampliamos la definición de la integral triple para calcular una integral triple sobre una región limitada general $E$ en $ℝ^{3} .$ Las regiones limitadas generales que consideraremos son de tres tipos. En primer lugar, supongamos que $D$ es la región limitada que es una proyección de $E$ en el plano $x y$ . Supongamos que la región $E$ en $ℝ^{3}$ tiene la forma

E = {(x, y, z) | (x, y) \in D, u_{1} (x, y) \leq z \leq u_{2} (x, y)} .

Para dos funciones $z = u_{1} (x, y)$ y $z = u_{2} (x, y),$ tal que $u_{1} (x, y) \leq u_{2} (x, y)$ para todos los $(x, y)$ en $D$ como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio x y z, existe una forma E con superficie superior z = u2(x, y) y superficie inferior z = u1(x, y). El fondo se proyecta sobre el plano x y como región D.

Figura 5.42 Podemos describir la región

E

como el espacio entre

u_{1} (x, y)

y

u_{2} (x, y)

por encima de la proyección

D

de

E

en el plano

x y

.

Teorema 5.10

Integral triple sobre una región general

La integral triple de una función continua $f (x, y, z)$ sobre una región general tridimensional

E = {(x, y, z) | (x, y) \in D, u_{1} (x, y) \leq z \leq u_{2} (x, y)}

en $ℝ^{3},$ donde $D$ es la proyección de $E$ en el plano $x y$ , es

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \iint_{D} [\int_{u_{1} (x, y)}^{u_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z] d A .

Del mismo modo, podemos considerar una región limitada general $D$ en el plano $x y$ y dos funciones $y = u_{1} (x, z)$ y de $y = u_{2} (x, z)$ de manera que $u_{1} (x, z) \leq u_{2} (x, z)$ para todos los $(x, z)$ en $D .$ Entonces podemos describir la región sólida $E$ en $ℝ^{3}$ como

E = {(x, y, z) | (x, z) \in D, u_{1} (x, z) \leq y \leq u_{2} (x, z)}

donde $D$ es la proyección de $E$ en el plano $x y$ y la integral triple es

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \iint_{D} [\int_{u_{1} (x, z)}^{u_{2} (x, z)} f (x, y, z) d y] d A .

Por último, si $D$ es una región limitada general en el plano $y z$ y tenemos dos funciones $x = u_{1} (y, z)$ y $x = u_{2} (y, z)$ de manera que $u_{1} (y, z) \leq u_{2} (y, z)$ para todos los $(y, z)$ en $D,$ entonces la región sólida $E$ en $ℝ^{3}$ puede describirse como

E = {(x, y, z) | (y, z) \in D, u_{1} (y, z) \leq x \leq u_{2} (y, z)}

donde $D$ es la proyección de $E$ en el plano $y z$ y la integral triple es

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \iint_{D} [\int_{u_{1} (y, z)}^{u_{2} (y, z)} f (x, y, z) d x] d A .

Tenga en cuenta que la región $D$ en cualquiera de los planos puede ser de Tipo I o de Tipo II, como se describe en Integrales dobles sobre regiones generales. Si los valores de $D$ en el plano $x y$ es de Tipo I (Figura 5.43), entonces

E = {(x, y, z) | a \leq x \leq b, g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x), u_{1} (x, y) \leq z \leq u_{2} (x, y)} .

En el espacio x y z, existe una forma compleja E con superficie superior z = u2(x, y) y superficie inferior z = u1(x, y). El fondo se proyecta en el plano xy como región D con límites x = a, x = b, y = g1(x) y y = g2(x).

Figura 5.43 Una caja

E

donde la proyección

D

en el plano

x y

es de Tipo I.

Entonces la integral triple se convierte en

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} \int_{u_{1} (x, y)}^{u_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z d y d x .

Si los valores de $D$ en el plano $x y$ es de Tipo II (Figura 5.44), entonces

E = {(x, y, z) | c \leq x \leq d, h_{1} (x) \leq y \leq h_{2} (x), u_{1} (x, y) \leq z \leq u_{2} (x, y)} .

Figura 5.44 Una caja

E

donde la proyección

D

en el plano

x y

es de Tipo II.

Entonces la integral triple se convierte en

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \int_{y = c}^{y = d} \int_{x = h_{1} (y)}^{x = h_{2} (y)} \int_{z = u_{1} (x, y)}^{z = u_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z d x d y .

Ejemplo 5.38

Evaluar una integral triple en una región limitada general

Evalúe la integral triple de la función $f (x, y, z) = 5 x - 3 y$ sobre el tetraedro sólido delimitado por los planos $x = 0, y = 0, z = 0,$ y $x + y + z = 1 .$

Solución

La Figura 5.45 muestra el tetraedro sólido $E$ y su proyección $D$ en el plano $x y$ .

En el espacio x y z, existe un sólido E cuyos límites son los planos x y, z y, y x z, y z = 1 menos x menos y. Los puntos son el origen, (1, 0, 0), (0, 0, 1) y (0, 1, 0). Su superficie en el plano x y se muestra como un rectángulo marcado D con la línea y = 1 menos x. Además, se muestra una línea vertical en D.

Figura 5.45 El sólido

E

tiene una proyección

D

en el plano

x y

de Tipo I.

Podemos describir el tetraedro de la región sólida como

E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 - x, 0 \leq z \leq 1 - x - y} .

Por lo tanto, la integral triple es

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = 1 - x} \int_{z = 0}^{z = 1 - x - y} (5 x - 3 y) d z d y d x .

Para simplificar el cálculo, primero evaluamos la integral $\int_{z = 0}^{z = 1 - x - y} (5 x - 3 y) d z .$ Tenemos

\int_{z = 0}^{z = 1 - x - y} (5 x - 3 y) d z = (5 x - 3 y) (1 - x - y) .

Ahora evaluamos la integral $\int_{y = 0}^{y = 1 - x} (5 x - 3 y) (1 - x - y) d y,$ obteniendo

\int_{y = 0}^{y = 1 - x} (5 x - 3 y) (1 - x - y) d y = \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} (6 x - 1) .

Por último, evaluamos

\int_{x = 0}^{x = 1} \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} (6 x - 1) d x = \frac{1}{12} .

Si lo juntamos todo, tenemos

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = 1 - x} \int_{z = 0}^{z = 1 - x - y} (5 x - 3 y) d z d y d x = \frac{1}{12} .

Al igual que utilizamos la integral doble $\iint_{D} 1 d A$ para hallar el área de una región limitada general $D,$ podemos utilizar $\underset{E}{∭} 1 d V$ para hallar el volumen de una región limitada general sólida $E .$ El siguiente ejemplo ilustra el método.

Ejemplo 5.39

Hallar un volumen evaluando una integral triple

Halle el volumen de una pirámide recta que tiene la base cuadrada en el plano $x y$ $[−1, 1] \times [−1, 1]$ y vértice en el punto $(0, 0, 1)$ como se muestra en la siguiente figura.

En el espacio x y z, existe una pirámide de base cuadrada centrada en el origen. El vértice de la pirámide es (0, 0, 1).

Figura 5.46 Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada.

Solución

En esta pirámide el valor de $z$ cambia de $0 para 1,$ y en cada altura $z,$ la sección transversal de la pirámide para cualquier valor de $z$ es el cuadrado $[–1 + z, 1 - z] \times [–1 + z, 1 - z] .$ Por lo tanto, el volumen de la pirámide es $\underset{E}{∭} 1 d V$ donde

E = {(x, y, z) | 0 \leq z \leq 1, −1 + z \leq y \leq 1 - z, −1 + z \leq x \leq 1 - z} .

Por lo tanto, tenemos

\underset{E}{∭} 1 d V = \int_{z = 0}^{z = 1} \int_{y = –1 + z}^{y = 1 - z} \int_{x = 1 + z}^{x = 1 - z} 1 d x d y d z = \int_{z = 0}^{z = 1} \int_{y = –1 + z}^{y = 1 - z} (2 - 2 z) d y d z = \int_{z = 0}^{z = 1} {(2 - 2 z)}^{2} d z = \frac{4}{3} .

Por lo tanto, el volumen de la pirámide es $\frac{4}{3}$ unidades cúbicas.

Punto de control 5.24

Considere la esfera sólida $E = {(x, y, z) | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9} .$ Escriba la integral triple $\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V$ para una función arbitraria $f$ como una integral iterada. A continuación, evalúe esta integral triple con $f (x, y, z) = 1 .$ Observe que esto da el volumen de una esfera utilizando una integral triple.

Cambiar el orden de la integración

Como ya hemos visto en las integrales dobles sobre regiones limitadas generales, cambiar el orden de la integración se hace con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una integral triple sobre una caja rectangular, el orden de integración no cambia el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una integral triple sobre una región limitada general, la elección de un orden de integración adecuado puede simplificar bastante el cálculo. A veces, hacer el cambio a coordenadas polares también puede ser muy útil. Aquí mostramos dos ejemplos.

Ejemplo 5.40

Cambiar el orden de la integración

Considere la integral iterada

\int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} \int_{z = 0}^{z = {y^{2}}^{}} f (x, y, z) d z d y d x .

El orden de integración aquí es primero con respecto a z, luego a y, y después a x. Exprese esta integral cambiando el orden de integración para que sea primero con respecto a x, luego a z, y después a $y .$ Compruebe que el valor de la integral es el mismo si dejamos $f (x, y, z) = x y z .$

Solución

La mejor manera de hacer esto es dibujar la región $E$ y sus proyecciones sobre cada uno de los tres planos de coordenadas. Por lo tanto, supongamos que

E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^{2}, 0 \leq z \leq y^{2}} .

y

\int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} \int_{z = 0}^{z = y^{2}} f (x, y, z) d z d y d x = \underset{E}{∭} f (x, y, z) d V .

Tenemos que expresar esta integral triple como

\int_{y = c}^{y = d} \int_{z = v_{1} (y)}^{z = v_{2} (y)} \int_{x = u_{1} (y, z)}^{x = u_{2} (y, z)} f (x, y, z) d x d z d y .

Conociendo la región $E$ podemos dibujar las siguientes proyecciones (Figura 5.47):

en el plano $x y$ es $D_{1} = {(x, y) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x^{2}} = {(x, y) | 0 \leq y \leq 1, \sqrt{y} \leq x \leq 1},$

en el plano $y z$ es $D_{2} = {(y, z) | 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq y^{2}},$ y

en el plano $x z$ es $D_{3} = {(x, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq z \leq x^{2}} .$

Se muestran tres versiones similares del siguiente gráfico: En el plano x y, una región D1 está delimitada por el eje x, la línea x = 1 y la curva y = x al cuadrado. En la segunda versión, se muestra la región D2 en el plano z y con la ecuación z = y al cuadrado. Y en la tercera versión, se muestra la región D3 en el plano x z con la ecuación z = x al cubo.

Figura 5.47 Las tres secciones transversales de

E

en los tres planos de coordenadas.

Ahora podemos describir la misma región $E$ cuando ${(x, y, z) | 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq y^{2}, \sqrt{y} \leq x \leq 1},$ y, en consecuencia, la integral triple se convierte en

\int_{y = c}^{y = d} \int_{z = v_{1} (y)}^{z = v_{2} (y)} \int_{x = u_{1} (y, z)}^{x = u_{2} (y, z)} f (x, y, z) d x d z d y = \int_{y = 0}^{y = 1} \int_{z = 0}^{z = x^{2}} \int_{x = \sqrt{y}}^{x = 1} f (x, y, z) d x d z d y .

Supongamos ahora que $f (x, y, z) = x y z$ en cada una de las integrales. Entonces tenemos

\begin{matrix} \int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} \int_{z = 0}^{z = y^{2}} x y z d z d y d x \\ = \int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} [{x y \frac{z^{2}}{2} |}_{z = 0}^{z = y^{2}}] d y d x = \int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = x^{2}} (x \frac{y^{5}}{2}) d y d x = \int_{x = 0}^{x = 1} [{x \frac{y^{6}}{12} |}_{y = 0}^{y = x^{2}}] d x = \int_{x = 0}^{x = 1} \frac{x^{13}}{12} d x = \frac{1}{168}, \\ \int_{y = 0}^{y = 1} \int_{z = 0}^{z = y^{2}} \int_{x = \sqrt{y}}^{x = 1} x y z d x d z d y \\ = \int_{y = 0}^{y = 1} \int_{z = 0}^{z = y^{2}} [{y z \frac{x^{2}}{2} |}_{\sqrt{y}}^{1}] d z d y \\ = \int_{y = 0}^{y = 1} \int_{z = 0}^{z = y^{2}} (\frac{y z}{2} - \frac{y^{2} z}{2}) d z d y = \int_{y = 0}^{y = 1} [{\frac{y z^{2}}{4} - \frac{y^{2} z^{2}}{4} |}_{z = 0}^{z = y^{2}}] d y = \int_{y = 0}^{y = 1} (\frac{y^{5}}{4} - \frac{y^{6}}{4}) d y = \frac{1}{168} . \end{matrix}

Las respuestas coinciden.

Punto de control 5.25

Escriba cinco integrales iteradas diferentes iguales a la integral dada

\int_{z = 0}^{z = 4} \int_{y = 0}^{y = 4 - z} \int_{x = 0}^{x = \sqrt{y}} f (x, y, z) d x d y d z .

Ejemplo 5.41

Modificar el orden de integración y de los sistemas de coordenadas

Evalúe la integral triple $\underset{E}{∭} \sqrt{x^{2} + z^{2}} d V,$ donde $E$ es la región limitada por el paraboloide $y = x^{2} + z^{2}$ (Figura 5.48) y el plano $y = 4 .$

El paraboloide y = x al cuadrado + z al cuadrado se muestra abriéndose a lo largo del eje y hasta y = 4.

Figura 5.48 Integración de una integral triple sobre un paraboloide.

Solución

La proyección de la región sólida $E$ en el plano $x y$ es la región limitada arriba por $y = 4$ y abajo por la parábola $y = x^{2}$ como se muestra.

En el plano x y, se muestra el gráfico de y = x al cuadrado con la línea y = 4 que interseca el gráfico en (negativo 2, 4) y (2, 4).

Figura 5.49 Sección transversal en el plano

x y

del paraboloide en la Figura 5.48.

Por lo tanto, tenemos

E = {(x, y, z) | - 2 \leq x \leq 2, x^{2} \leq y \leq 4, − \sqrt{y - x^{2}} \leq z \leq \sqrt{y - x^{2}}} .

La integral triple se convierte en

\underset{E}{∭} \sqrt{x^{2} + z^{2}} d V = \int_{x = –2}^{x = 2} \int_{y = x^{2}}^{y = 4} \int_{z = − \sqrt{y - x^{2}}}^{z = \sqrt{y - x^{2}}} \sqrt{x^{2} + z^{2}} d z d y d x .

Esta expresión es difícil de calcular, así que considere la proyección de $E$ en el plano $x z$ . Se trata de un disco circular $x^{2} + z^{2} \leq 4 .$ Así que obtenemos

\underset{E}{∭} \sqrt{x^{2} + z^{2}} d V = \int_{x = –2}^{x = 2} \int_{y = x^{2}}^{y = 4} \int_{z = − \sqrt{y - x^{2}}}^{z = \sqrt{y - x^{2}}} \sqrt{x^{2} + z^{2}} d z d y d x = \int_{x = –2}^{x = 2} \int_{z = – \sqrt{4 - x^{2}}}^{z = \sqrt{4 - x^{2}}} \int_{y = x^{2} + z^{2}}^{y = 4} \sqrt{x^{2} + z^{2}} d y d z d x .

Aquí el orden de integración cambia de ser el primero con respecto a $z,$ entonces $y,$ y luego $x$ a ser el primero con respecto a $y,$ entonces a $z,$ y luego a $x .$ Pronto se verá cómo este cambio puede ser beneficioso para la computación. Tenemos

\int_{x = –2}^{x = 2} \int_{z = – \sqrt{4 - x^{2}}}^{z = \sqrt{4 - x^{2}}} \int_{y = x^{2} + z^{2}}^{y = 4} \sqrt{x^{2} + z^{2}} d y d z d x = \int_{x = –2}^{x = 2} \int_{z = – \sqrt{4 - x^{2}}}^{z = \sqrt{4 - x^{2}}} (4 - x^{2} - z^{2}) \sqrt{x^{2} + z^{2}} d z d x .

Ahora utilice la sustitución polar $x = r cos θ, z = r sen θ,$ y $d z d x = r d r d θ$ en el plano $x z$ . Esto es esencialmente lo mismo que cuando usamos coordenadas polares en el plano $x y$ , excepto que estamos reemplazando $y$ entre $z .$ En consecuencia, los límites de la integración cambian y tenemos, utilizando $r^{2} = x^{2} + z^{2},$

\begin{matrix} \int_{x = –2}^{x = 2} \int_{z = – \sqrt{4 - x^{2}}}^{z = \sqrt{4 - x^{2}}} (4 - x^{2} - z^{2}) \sqrt{x^{2} + z^{2}} d z d x & = \int_{θ = 0}^{θ = 2 π} \int_{r = 0}^{r = 2} (4 - r^{2}) r r d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} [{\frac{4 r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5} |}_{0}^{2}] d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{64}{15} d θ = \frac{128 π}{15} . \end{matrix}

Valor promedio de una función de tres variables

Recordemos que hallamos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la integral doble sobre una región del plano y luego dividiendo entre el área de la región. Del mismo modo, podemos encontrar el valor promedio de una función de tres variables evaluando la integral triple sobre una región sólida y dividiendo después entre el volumen del sólido.

Teorema 5.11

Valor promedio de una función de tres variables

Si los valores de $f (x, y, z)$ es integrable en una región limitada sólida $E$ con volumen positivo $V (E),$ entonces el valor medio de la función es

f_{ave} = \frac{1}{V (E)} \underset{E}{∭} f (x, y, z) d V .

Observe que el volumen es $V (E) = \underset{E}{∭} 1 d V .$

Ejemplo 5.42

Hallar una temperatura promedio

La temperatura en un punto $(x, y, z)$ de un sólido $E$ limitado por los planos de coordenadas y el plano $x + y + z = 1$ ¿es $T (x, y, z) = (x y + 8 z + 20) ° C .$ Calcule la temperatura promedio sobre el sólido.

Solución

Utilice el teorema anterior y la integral triple para encontrar el numerador y el denominador. Entonces haga la división. Observe que el plano $x + y + z = 1$ tiene las intersecciones $(1, 0, 0), (0, 1, 0),$ y $(0, 0, 1) .$ La región $E$ se parece a

E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 - x, 0 \leq z \leq 1 - x - y} .

Por lo tanto, la integral triple de la temperatura es

\underset{E}{∭} f (x, y, z) d V = \int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = 1 - x} \int_{z = 0}^{z = 1 - x - y} (x y + 8 z + 20) d z d y d x = \frac{147}{40} .

La evaluación del volumen es $V (E) = \underset{E}{∭} 1 d V = \int_{x = 0}^{x = 1} \int_{y = 0}^{y = 1 - x} \int_{z = 0}^{z = 1 - x - y} 1 d z d y d x = \frac{1}{6} .$

Por lo tanto, el valor promedio es $T_{ave} = \frac{147 / 40}{1 / 6} = \frac{6 (147)}{40} = \frac{441}{20}$ grados Celsius.

Punto de control 5.26

Calcule el valor promedio de la función $f (x, y, z) = x y z$ sobre el cubo con lados de longitud $4$ unidades en el primer octante con un vértice en el origen y aristas paralelas a los ejes de coordenadas.

Sección 5.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la caja sólida rectangular $B .$

181.

$\underset{B}{∭} (2 x + 3 y^{2} + 4 z^{3}) d V,$ donde $B = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3}$

182.

$\underset{B}{∭} (x y + y z + x z) d V,$ donde $B = {(x, y, z) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2, 1 \leq z \leq 3}$

183.

$\underset{B}{∭} (x cos y + z) d V,$ donde $B = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq π, −1 \leq z \leq 1}$

184.

$\underset{B}{∭} (z sen x + y^{2}) d V,$ donde $B = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq 1, −1 \leq z \leq 2}$

En los siguientes ejercicios, cambie el orden de integración integrando primero con respecto a $z,$ entonces $x,$ entonces $y .$

185.

$\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \int_{2}^{3} (x^{2} + ln y + z) d x d y d z$

186.

$\int_{0}^{1} \int_{–1}^{1} \int_{0}^{3} (z e^{x} + 2 y) d x d y d z$

187.

$\int_{−1}^{2} \int_{1}^{3} \int_{0}^{4} (x^{2} z + \frac{1}{y}) d x d y d z$

188.

$\int_{1}^{2} \int_{−2}^{−1} \int_{0}^{1} \frac{x + y}{z} d x d y d z$

189.

Supongamos que $F, G, y H$ son funciones continuas sobre $[a, b], [c, d],$ y $[e, f],$ respectivamente, donde $a, b, c, d, e, y f$ son números reales de modo que $a < b, c < d, y e < f .$ Demuestre que

\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{e}^{f} F (x) G (y) H (z) d z d y d x = (\int_{a}^{b} F (x) d x) (\int_{c}^{d} G (y) d y) (\int_{e}^{f} H (z) d z) .

190.

Supongamos que $F, G, y H$ son funciones diferenciales sobre $[a, b], [c, d],$ y $[e, f],$ respectivamente, donde $a, b, c, d, e, y f$ son números reales de modo que $a < b, c < d, y e < f .$ Demuestre que

\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \int_{e}^{f} F^{'} (x) G^{'} (y) H^{'} (z) d z d y d x = [F (b) - F (a)] [G (d) - G (c)] [H (f) - H (e)] .

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada $E = {(x, y, z) | a \leq x \leq b, h_{1} (x) \leq y \leq h_{2} (x), e \leq z \leq f} .$

191.

$\underset{E}{∭} (2 x + 5 y + 7 z) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq - x + 1, 1 \leq z \leq 2}$

192.

$\underset{E}{∭} (y ln x + z) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 1 \leq x \leq e, 0 \leq y \leq ln x, 0 \leq z \leq 1}$

193.

$\underset{E}{∭} (sen x + sen y) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq \frac{π}{2}, − cos x \leq y \leq cos x, −1 \leq z \leq 1}$

194.

$\underset{E}{∭} (x y + y z + x z) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, − x^{2} \leq y \leq x^{2}, 0 \leq z \leq 1}$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada indicada $E .$

195.

$\underset{E}{∭} (x + 2 y z) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x, 0 \leq z \leq 5 - x - y}$

196.

$\underset{E}{∭} (x^{3} + y^{3} + z^{3}) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2 x, 0 \leq z \leq 4 - x - y}$

197.

$\underset{E}{∭} y d V,$ donde $E = {(x, y, z) | - 1 \leq x \leq 1, − \sqrt{1 - x^{2}} \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}, 0 \leq z \leq 1 - x^{2} - y^{2}}$

198.

$\underset{E}{∭} x d V,$ donde $E = {(x, y, z) | - 2 \leq x \leq 2, - \sqrt{4 - x^{2}} \leq y \leq \sqrt{4 - x^{2}}, 0 \leq z \leq 4 - x^{2} - y^{2}}$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada $E$ de la forma $E = {(x, y, z) | g_{1} (y) \leq x \leq g_{2} (y), c \leq y \leq d, e \leq z \leq f} .$

199.

$\underset{E}{∭} x^{2} d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 1 - y^{2} \leq x \leq y^{2} - 1, −1 \leq y \leq 1, 1 \leq z \leq 2}$

200.

$\underset{E}{∭} (sen x + y) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | - y^{4} \leq x \leq y^{4}, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 4}$

201.

$\underset{E}{∭} (x - y z) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | - y^{6} \leq x \leq \sqrt{y}, 0 \leq y \leq 1, −1 \leq z \leq 1}$

202.

$\underset{E}{∭} z d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 2 - 2 y \leq x \leq 2 + \sqrt{y}, 0 \leq y \leq 1 x, 2 \leq z \leq 3}$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada

E = {(x, y, z) | g_{1} (y) \leq x \leq g_{2} (y), c \leq y \leq d, u_{1} (x, y) \leq z \leq u_{2} (x, y)} .

203.

$\underset{E}{∭} z d V,$ donde $E = {(x, y, z) | - y \leq x \leq y, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1 - x^{4} - y^{4}}$

204.

$\underset{E}{∭} (x z + 1) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq \sqrt{y}, 0 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 1 - x^{2} - y^{2}}$

205.

$\underset{E}{∭} (x - z) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | - \sqrt{1 - y^{2}} \leq x \leq 0, 0 \leq y \leq \frac{1}{2} x, 0 \leq z \leq 1 - x^{2} - y^{2}}$

206.

$\underset{E}{∭} (x + y) d V,$ donde $E = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq \sqrt{1 - y^{2}}, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1 - x}$

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples sobre la región limitada

$E = {(x, y, z) | (x, y) \in D, u_{1} (x, y) x \leq z \leq u_{2} (x, y)},$ donde $D$ es la proyección de $E$ en el plano $x y$ .

207.

$\iint_{D} (\int_{1}^{2} (x + z) d z) d A,$ donde $D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 1}$

208.

$\iint_{D} (\int_{1}^{3} x (z + 1) d z) d A,$ donde $D = {(x, y) | x^{2} - y^{2} \geq 1, 1 \leq x \leq \sqrt{5}}$

209.

$\iint_{D} (\int_{0}^{10 - x - y} (x + 2 z) d z) d A,$ donde $D = {(x, y) | y \geq 0, x \geq 0, x + y \leq 10}$

210.

$\iint_{D} (\int_{0}^{4 x^{2} + 4 y^{2}} y d z) d A,$ donde $D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 4, y \geq 1, x \geq 0}$

211.

El sólido $E$ limitado por $y^{2} + z^{2} = 9, z = 0, x = 0,$ y $x = 5$ se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral $\underset{E}{∭} z d V$ integrando primero con respecto a $z,$ entonces $y, y luego x .$

Una forma sólida arqueada que alcanza su máximo a lo largo del eje y con z = 3. La forma llega a cero en y = más o menos 3, y el gráfico se trunca en x = 0 y 5.

212.

El sólido $E$ limitado por $y = \sqrt{x},$ $x = 4,$ $y = 0,$ y $z = 1$ se muestra en la siguiente figura. Evalúe la integral $\underset{E}{∭} x y z d V$ integrando primero con respecto a $x,$ entonces $y,$ y luego $z .$

Un cuarto de sección de un cilindro ovalado con z de negativo 2 a positivo 1. El sólido está limitado por y = 0 y x = 4, y la parte superior de la forma va de (0, 0, 1) a (4, 2, 1) en un arco suave.

213.

[T] El volumen de un sólido $E$ está dada por la integral $\int_{−2}^{0} \int_{x}^{0} \int_{0}^{x^{2} + y^{2}} d z d y d x .$ Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar $E$ y hallar su volumen. Redondee su respuesta a dos decimales.

214.

[T] El volumen de un sólido $E$ está dada por la integral $\int_{−1}^{0} \int_{− x^{2}}^{0} \int_{0}^{1 + \sqrt{x^{2} + y^{2}}} d z d y d x .$ Utilice un CAS para graficar $E$ y hallar su volumen $V .$ Redondee su respuesta a dos decimales.

En los siguientes ejercicios, utilice dos permutaciones circulares de las variables $x, y, y z$ para escribir nuevas integrales cuyos valores sean iguales al valor de la integral original. Una permutación circular de $x, y, y z$ es la disposición de los números en uno de los siguientes órdenes $y, z, y x o z, x, y y .$

215.

$\int_{0}^{1} \int_{1}^{3} \int_{2}^{4} (x^{2} z^{2} + 1) d x d y d z$

216.

$\int_{1}^{3} \int_{0}^{1} \int_{0}^{− x + 1} (2 x + 5 y + 7 z) d y d x d z$

217.

$\int_{0}^{1} \int_{− y}^{y} \int_{0}^{1 - x^{4} - y^{4}} ln x d z d x d y$

218.

$\int_{–1}^{1} \int_{0}^{1} \int_{− y^{6}}^{\sqrt{y}} (x + y z) d x d y d z$

219.

Establezca la integral que da el volumen del sólido $E$ limitado por $y^{2} = x^{2} + z^{2}$ y $y = a^{2},$ donde $a > 0 .$

220.

Establezca la integral que da el volumen del sólido $E$ limitado por $x = y^{2} + z^{2}$ y $x = a^{2},$ donde $a > 0 .$

221.

Calcule el valor promedio de la función $f (x, y, z) = x + y + z$ sobre el paralelepípedo determinado por $x = 0, x = 1, y = 0, y = 3, z = 0,$ y $z = 5 .$

222.

Calcule el valor promedio de la función $f (x, y, z) = x y z$ sobre el sólido $E = [0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ situado en el primer octante.

223.

Calcule el volumen del sólido $E$ que se encuentra debajo del plano $x + y + z = 9$ y cuya proyección sobre el plano $x y$ está limitado por $x = \sqrt{y - 1}, x = 0,$ y $x + y = 7 .$

224.

Halle el volumen del sólido E que se encuentra bajo el plano $2 x + y + z = 8$ y cuya proyección sobre el plano $x y$ está limitado por $x = {sen}^{−1} y, y = 0,$ y $x = \frac{π}{2} .$

225.

Considere la pirámide con la base en el plano $x y$ de $[−2, 2] \times [−2, 2]$ y el vértice en el punto $(0, 0, 8) .$

Demuestre que las ecuaciones de los planos de las caras laterales de la pirámide son $4 y + z = 8,$ $4 y - z = –8,$ $4 x + z = 8,$ y $–4 x + z = 8 .$
Calcule el volumen de la pirámide.

226.

Considere la pirámide con la base en el plano $x y$ de $[−3, 3] \times [−3, 3]$ y el vértice en el punto $(0, 0, 9) .$

Demuestre que las ecuaciones de los planos de las caras laterales de la pirámide son $3 x + z = 9, - 3 x + z = 9, - 3 y + z = 9, y 3 y + z = 9$
Calcule el volumen de la pirámide.

227.

El sólido $E$ limitado por la esfera de la ecuación $x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$ con la $r > 0$ y situado en el primer octante se representa en la siguiente figura.

La octava parte de una esfera de radio 2 con centro en el origen para x, y, y z positivos.

Escriba la integral triple que da el volumen de $E$ integrando primero con respecto a $z,$ entonces con $y,$ y luego con $x .$
Reescriba la integral de la parte a. como una integral equivalente en otros cinco órdenes.

228.

El sólido $E$ limitado por la ecuación $9 x^{2} + 4 y^{2} + z^{2} = 1$ y situado en el primer octante se representa en la siguiente figura.

En el primer octante se muestra una forma compleja que es aproximadamente un ovoide sólido con centro en el origen, altura 1, anchura 0,5 y longitud 0,35.

Escriba la integral triple que da el volumen de $E$ integrando primero con respecto a $z,$ entonces con $y,$ y luego con $x .$
Reescriba la integral de la parte a. como una integral equivalente en otros cinco órdenes.

229.

Calcule el volumen del prisma con vértices $(0, 0, 0), (2, 0, 0), (2, 3, 0),$ $(0, 3, 0), (0, 0, 1), y (2, 0, 1) .$

230.

Calcule el volumen del prisma con vértices $(0, 0, 0), (4, 0, 0), (4, 6, 0),$ $(0, 6, 0), (0, 0, 1), y (4, 0, 1) .$

231.

El sólido $E$ limitado por $z = 10 - 2 x - y$ y situado en el primer octante se presenta en la siguiente figura. Calcule el volumen del sólido.

Un tetraedro limitado por los planos x y, y z, y x z, y un triángulo con vértices (0, 0, 10), (5, 0, 0) y (0, 10, 0).

232.

El sólido $E$ limitado por $z = 1 - x^{2}$ y situado en el primer octante se presenta en la siguiente figura. Calcule el volumen del sólido.

Una forma compleja en el primer octante con altura 1, anchura 5 y longitud 1. La forma parece ser una cuarta parte ligeramente deformado de un cilindro de radio 1 y anchura 5.

233.

La regla del punto medio para la integral triple $\underset{B}{∭} f (x, y, z) d V$ sobre la caja sólida rectangular $B$ es una generalización de la regla del punto medio para integrales dobles. La región $B$ se divide en subcajas de igual tamaño y la integral se aproxima mediante la triple suma de Riemann $\sum_{i = 1}^{l} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} f (\bar{x_{i}}, \bar{y_{j}}, \bar{z_{k}}) Δ V,$ donde $(\bar{x_{i}}, \bar{y_{j}}, \bar{z_{k}})$ es el centro de la caja $B_{i j k}$ y $Δ V$ es el volumen de cada subcaja. Aplique la regla del punto medio para aproximar $\underset{B}{∭} x^{2} d V$ sobre el sólido $B = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1}$ utilizando una partición de ocho cubos de igual tamaño. Redondee su respuesta a tres decimales.

234.

[T]

Aplique la regla del punto medio para aproximar $\underset{B}{∭} e^{– x^{2}} d V$ sobre el sólido $B = {(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1}$ utilizando una partición de ocho cubos de igual tamaño. Redondee su respuesta a tres decimales.
Utilice un CAS para mejorar la aproximación integral anterior en el caso de una partición de $n^{3}$ cubos de igual tamaño, donde $n n = 3, 4,…, 10 .$

235.

Supongamos que la temperatura en grados Celsius en un punto $(x, y, z)$ de un sólido $E$ limitado por los planos de coordenadas y $x + y + z = 5$ ¿es $T (x, y, z) = x z + 5 z + 10 .$ Calcule la temperatura promedio sobre el sólido.

236.

Supongamos que la temperatura en grados Fahrenheit en un punto $(x, y, z)$ de un sólido $E$ limitado por los planos de coordenadas y $x + y + z = 5$ ¿es $T (x, y, z) = x + y + x y .$ Calcule la temperatura promedio sobre el sólido.

237.

Demuestre que el volumen de una pirámide cuadrada recta de altura $h$ y longitud del lado $a$ ¿es $v = \frac{h a^{2}}{3}$ utilizando integrales triples.

238.

Demuestre que el volumen de un prisma regular hexagonal recto de longitud de arista $a$ ¿es $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$ utilizando integrales triples.

239.

Demuestre que el volumen de una pirámide hexagonal recta regular de longitud de arista $a$ ¿es $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ utilizando integrales triples.

240.

Si la densidad de carga en un punto arbitrario $(x, y, z)$ de un sólido $E$ viene dada por la función $ρ (x, y, z),$ entonces la carga total dentro del sólido se define como la integral triple $\underset{E}{∭} ρ (x, y, z) d V .$ Supongamos que la densidad de carga del sólido $E$ encerrado por los paraboloides $x = 5 - y^{2} - z^{2}$ y $x = y^{2} + z^{2} - 5$ es igual a la distancia desde un punto arbitrario de $E$ al origen. Establezca la integral que da la carga total dentro del sólido $E .$

5.4 Integrales triples

Funciones integrables de tres variables

Teorema de Fubini para integrales triples

Evaluar una integral triple

Solución

Evaluar una integral triple

Solución

Integrales triples sobre una región limitada general

Integral triple sobre una región general

Evaluar una integral triple en una región limitada general

Solución

Hallar un volumen evaluando una integral triple

Solución

Cambiar el orden de la integración

Cambiar el orden de la integración

Solución

Modificar el orden de integración y de los sistemas de coordenadas

Solución

Valor promedio de una función de tres variables

Valor promedio de una función de tres variables

Hallar una temperatura promedio

Solución

Sección 5.4 ejercicios