4.1 Funciones de varias variables

El gráfico de una función de dos variables es una superficie en $ℝ^{3}$ y puede estudiarse mediante curvas de nivel y trazas verticales.
Un conjunto de curvas de nivel se denomina mapa de líneas de contorno.

4.2 Límites y continuidad

Para estudiar los límites y la continuidad de las funciones de dos variables, utilizamos un disco $δ$ centrado en un punto determinado.
Una función de varias variables tiene un límite si para cualquier punto en una bola $δ$ centrada en un punto $P,$ el valor de la función en ese punto se acerca arbitrariamente a un valor fijo (el valor límite).
Las leyes de límites establecidas para una función de una variable tienen extensiones naturales a funciones de más de una variable.
Una función de dos variables es continua en un punto si el límite existe en ese punto, la función existe en ese punto y el límite y la función son iguales en ese punto.

Una derivada parcial es una derivada que implica una función de más de una variable independiente.
Para calcular una derivada parcial con respecto a una variable dada, trate todas las demás variables como constantes y utilice las reglas de diferenciación habituales.
Las derivadas parciales de orden superior se pueden calcular de la misma manera que las derivadas de orden superior.

El análogo de una línea tangente a una curva es un plano tangente a una superficie para funciones de dos variables.
Los planos tangentes pueden utilizarse para aproximar los valores de las funciones cerca de los valores conocidos.
Una función es diferenciable en un punto si es “regular" en ese punto (es decir, no existen esquinas o discontinuidades en ese punto).
La diferencial total puede utilizarse para aproximar el cambio de una función $z = f (x_{0}, y_{0})$ en el punto $(x_{0}, y_{0})$ para determinados valores de $Δ x$ y $Δ y .$

La regla de la cadena para funciones de más de una variable implica las derivadas parciales con respecto a todas las variables independientes.
Los diagramas de árbol son útiles para derivar fórmulas de la regla de la cadena para funciones de más de una variable, donde cada variable independiente también depende de otras variables.

Una derivada direccional representa la tasa de cambio de una función en cualquier dirección.
El gradiente puede utilizarse en una fórmula para calcular la derivada direccional.
El gradiente indica la dirección del mayor cambio de una función de más de una variable.

Un punto crítico de la función $f (x, y)$ es cualquier punto $(x_{0}, y_{0})$ en el que $f_{x} (x_{0}, y_{0}) = f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0,$ o al menos uno de $f_{x} (x_{0}, y_{0})$ y $f_{y} (x_{0}, y_{0})$ no existen.
Un punto de silla es un punto $(x_{0}, y_{0})$ donde $f_{x} (x_{0}, y_{0}) = f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0,$ pero $(x_{0}, y_{0})$ no es ni un máximo ni un mínimo en ese punto.
Para hallar los extremos de las funciones de dos variables, primero hay que hallar los puntos críticos, luego calcular el discriminante y aplicar la prueba de la segunda derivada.

Una función objetivo combinada con una o varias restricciones es un ejemplo de problema de optimización.
Para resolver los problemas de optimización, aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange utilizando una estrategia de resolución de problemas en cuatro pasos.