Gilbert Strang; Edwin “Jed” Herman

Objetivos de aprendizaje

2.2.1 Describir matemáticamente el espacio tridimensional.
2.2.2 Localizar puntos en el espacio mediante coordenadas.
2.2.3 Escribir la fórmula de la distancia en tres dimensiones.
2.2.4 Escribir las ecuaciones de planos y esferas simples.
2.2.5 Realizar operaciones vectoriales en $ℝ^{3} .$

Los vectores son herramientas útiles para resolver problemas bidimensionales. Sin embargo, la vida ocurre en tres dimensiones. Para ampliar el uso de los vectores a aplicaciones más realistas, es necesario crear un marco para describir el espacio tridimensional. Por ejemplo, si bien un mapa bidimensional es una herramienta útil para navegar de un lugar a otro, en algunos casos la topografía del terreno es importante. ¿Su ruta prevista pasa por las montañas? ¿Hay que cruzar un río? Para apreciar plenamente el impacto de estos accidentes geográficos, hay que utilizar las tres dimensiones. Esta sección presenta una extensión natural del plano de coordenadas cartesianas de dos dimensiones a tres dimensiones.

Sistemas de coordenadas tridimensionales

Como hemos aprendido, el sistema de coordenadas rectangulares bidimensional contiene dos ejes perpendiculares: el eje horizontal x y el eje vertical y. Podemos añadir una tercera dimensión, el eje z, que es perpendicular al eje x y al eje y. Llamamos a este sistema el sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales. Representa las tres dimensiones que encontramos en la vida real.

Definición

El sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales consta de tres ejes perpendiculares: el eje x, el eje y y el eje z. Como cada eje es una línea numérica que representa todos los números reales en $ℝ,$ el sistema tridimensional se suele denotar como $ℝ^{3} .$

En la Figura 2.23(a), el eje z positivo se muestra sobre el plano que contiene los ejes x y y. El eje x positivo aparece a la izquierda y el eje y positivo a la derecha. Una pregunta obvia que surge es: ¿Cómo se determinó esta disposición? El sistema que se muestra sigue la regla de la mano derecha. Si tomamos nuestra mano derecha y alineamos los dedos con el eje x positivo, luego curvamos los dedos para que apunten en la dirección del eje y positivo, nuestro pulgar apunta en la dirección del eje z positivo. En este texto, siempre trabajamos con sistemas de coordenadas establecidos de acuerdo con la regla de la mano derecha. Algunos sistemas siguen la regla de la mano izquierda, pero la regla de la mano derecha se considera la representación estándar.

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es un sistema de coordenadas tridimensional. El eje x va hacia adelante, el eje y es horizontal hacia la izquierda y la derecha y el eje z es vertical. La segunda imagen son los ejes del sistema de coordenadas tridimensionales con una mano derecha. El pulgar apunta hacia el eje z positivo con los dedos envolviendo el eje z desde el eje x positivo hasta el eje y positivo.

Figura 2.23 (a) Podemos ampliar el sistema de coordenadas rectangulares bidimensional añadiendo un tercer eje, el eje z, que es perpendicular tanto al eje x como al eje y. (b) La regla de la mano derecha se utiliza para determinar la ubicación de los ejes de coordenadas en el plano cartesiano estándar.

En dos dimensiones, describimos un punto en el plano con las coordenadas $(x, y) .$ Cada coordenada describe cómo se alinea el punto con el eje correspondiente. En tres dimensiones, una nueva coordenada, $z,$ se añade para indicar la alineación con el eje z: $(x, y, z) .$ Un punto en el espacio se identifica por las tres coordenadas (Figura 2.24). Para trazar el punto $(x, y, z),$ vaya x unidades a lo largo del eje x, luego $y$ unidades en la dirección del eje y, luego $z$ unidades en la dirección del eje z.

Esta figura es el octante positivo del sistema de coordenadas tridimensional. En el primer octante hay un sólido rectangular dibujado con líneas discontinuas. Una de las esquinas está marcada como (x, y, z). La altura de la caja se denomina "z unidades", el ancho se denomina "x unidades" y la longitud se denomina "y unidades".

Figura 2.24 Para trazar el punto

(x, y, z)

vaya

x

unidades a lo largo del eje x, luego

y

unidades en la dirección del eje y, luego

z

unidades en la dirección del eje z.

Ejemplo 2.11

Localización de puntos en el espacio

Dibuje el punto $(1, –2, 3)$ en el espacio tridimensional.

Solución

Para dibujar un punto, empiece por dibujar tres lados de un prisma rectangular a lo largo de los ejes de coordenadas: una unidad en la dirección de la $x$ positiva, $2$ unidades en la dirección de la $y$ negativa y $3$ unidades en la dirección de la $z$ positiva. Complete el prisma para trazar el punto (Figura 2.25).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. En el cuarto octante hay un sólido rectangular dibujado. Una de las esquinas está marcada como (1, -2, 3).

Figura 2.25 Dibujo del punto

(1, –2, 3) .

Punto de control 2.11

Dibuje el punto $(–2, 3, –1)$ en el espacio tridimensional.

En el espacio bidimensional, el plano de coordenadas está definido por un par de ejes perpendiculares. Estos ejes nos permiten nombrar cualquier lugar dentro del plano. En tres dimensiones, definimos los planos de coordenadas mediante los ejes de coordenadas, al igual que en dos dimensiones. Ahora hay tres ejes, por lo que hay tres pares de ejes que se cruzan. Cada par de ejes forma un plano de coordenadas: el plano xy, el plano xz y el plano yz (Figura 2.26). Definimos el plano xy formalmente como el siguiente conjunto: ${(x, y, 0) : x, y \in ℝ} .$ Del mismo modo, el plano xz y el plano yz se definen como ${(x, 0, z) : x, z \in ℝ}$ y ${(0, y, z) : y, z \in ℝ},$ respectivamente.

Para visualizarlo, imagine que está construyendo una casa y que se encuentra en una habitación con solo dos de las cuatro paredes terminadas. (Supongamos que las dos paredes terminadas son adyacentes entre sí). Si se coloca de espaldas a la esquina donde se juntan las dos paredes acabadas, mirando hacia el exterior de la habitación, el suelo es el plano xy, la pared a su derecha es el plano xz y la pared a su izquierda es el plano yz.

Esta figura es el primer octante de un sistema de coordenadas tridimensional. Además, está el plano xy representado con un rectángulo con los ejes x y y en el plano. También existe el plano xz en los ejes x y z y el plano yz en los ejes y y z.

Figura 2.26 El plano que contiene los ejes x y y se llama plano xy. El plano que contiene los ejes x y z se llama plano xz, y los ejes y y z definen el plano yz.

En dos dimensiones, los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Del mismo modo, los planos de coordenadas dividen el espacio entre ellos en ocho regiones alrededor del origen, llamadas octantes. Los octantes llenan $ℝ^{3}$ de la misma manera que los cuadrantes llenan $ℝ^{2},$ como se muestra en la Figura 2.27.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional con el primer octante marcado con un número romano I, I, II, III, IV, V, VI, VII y VIII. Además, para cada cuadrante están los signos de los valores de x, y y z. Son: I (+, +, +); 2.º (-, +, +); 3.º (-, -, +); 4.º (+, -, +); 5.º (+, +, -); 6.º (-, +, -); 7.º (-, -, -); y 8.º (+, -, -).

Figura 2.27 Los puntos que se encuentran en los octantes tienen tres coordenadas distintas de cero.

La mayor parte del trabajo en el espacio tridimensional es una cómoda extensión de los conceptos correspondientes en dos dimensiones. En esta sección, utilizamos nuestro conocimiento de los círculos para describir las esferas, y luego ampliamos nuestra comprensión de los vectores a las tres dimensiones. Para lograr estos objetivos, empezamos por adaptar la fórmula de la distancia al espacio tridimensional.

Si dos puntos se encuentran en el mismo plano de coordenadas, es fácil calcular la distancia entre ellos. Sabemos que la distancia $d$ entre dos puntos $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ en el plano de coordenadas xy está dada por la fórmula

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} .

La fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio es una extensión natural de esta fórmula.

Teorema 2.2

La distancia entre dos puntos en el espacio

La distancia $d$ entre los puntos $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ y $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ está dada por la fórmula

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} .

(2.1)

La demostración de este teorema se deja como ejercicio. (Pista: Primero halle la distancia $d_{1}$ entre los puntos $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ y $(x_{2}, y_{2}, z_{1})$ como se muestra en la Figura 2.28).

Esta figura es un prisma rectangular. En la esquina inferior izquierda de la parte trasera está marcada como "P sub 1=(x sub 1,y sub 1,z sub 1)". La esquina inferior derecha está marcada como "(x sub 2, y sub 2, z sub 1)". Hay una línea entre P sub 1 y P sub 2 y está marcada como "d sub 1". La esquina superior derecha está marcada como "P sub 2=(x sub 2,y sub 2,z sub 2)". Hay una línea que va de P sub 1 a P sub 2 y está marcada como "d (P sub 1,P sub 2)". La parte vertical delantera derecha está marcada como "|z sub 2-z sub 1|".

Figura 2.28 La distancia entre

P_{1}

y

P_{2}

es la longitud de la diagonal del prisma rectangular que tiene

P_{1}

y

P_{2}

como esquinas opuestas.

Ejemplo 2.12

Distancia en el espacio

Halle la distancia entre los puntos $P_{1} = (3, − 1, 5)$ y $P_{2} = (2, 1, − 1) .$

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos puntos. El primero está marcado como "P sub 1(3, -1, 5)" y el segundo como "P sub 2(2, 1, -1)". Hay un segmento de línea entre los dos puntos.

Figura 2.29 Halle la distancia entre los dos puntos.

Solución

Sustituya los valores directamente en la fórmula de la distancia:

\begin{matrix} d (P_{1}, P_{2}) & = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \\ = \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(1 - (–1))}^{2} + {(−1 - 5)}^{2}} \\ = \sqrt{(−1)^{2} + 2^{2} + {(−6)}^{2}} \\ = \sqrt{41} . \end{matrix}

Punto de control 2.12

Halle la distancia entre los puntos $P_{1} = (1, −5, 4)$ y $P_{2} = (4, –1, –1) .$

Antes de pasar a la siguiente sección, vamos a ver cómo $ℝ^{3}$ se diferencia de $ℝ^{2} .$ Por ejemplo, en $ℝ^{2},$ las líneas que no son paralelas siempre deben cruzarse. Este no es el caso en $ℝ^{3} .$ Por ejemplo, considere la línea mostrada en la Figura 2.30. Estas dos líneas no son paralelas, ni se cruzan.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay una línea trazada en z = 3. Es paralela al plano xy. También hay una línea trazada en y = 2. Es paralela al eje x.

Figura 2.30 Estas dos líneas no son paralelas, pero tampoco se cruzan.

También se pueden tener círculos interconectados pero sin puntos en común, como en la Figura 2.31.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos círculos dibujados. El primer círculo está centrado en el eje z, en z = 1. El segundo círculo tiene como diámetro el eje x positivo. Interseca el eje x en x = 0 y x = 6. Es vertical.

Figura 2.31 Estos círculos están interconectados, pero no tienen puntos en común.

Tenemos mucha más flexibilidad al trabajar en tres dimensiones que si nos limitamos a dos.

Escribir ecuaciones en ℝ³

Ahora que podemos representar puntos en el espacio y hallar la distancia entre ellos, podemos aprender a escribir ecuaciones de objetos geométricos como líneas, planos y superficies curvas en $ℝ^{3} .$ En primer lugar, empezamos con una ecuación sencilla. Compare los gráficos de la ecuación $x = 0$ en $ℝ, ℝ^{2}, y ℝ^{3}$ (Figura 2.32). A partir de estos gráficos, podemos ver que la misma ecuación puede describir un punto, una línea o un plano.

Esta figura tiene tres imágenes. La primera es un eje horizontal con un punto dibujado en 0. La segunda es el plano de coordenadas cartesianas bidimensional. La tercera es el sistema de coordenadas tridimensional. Está dentro de una caja y tiene una cuadrícula dibujada en el plano yz.

Figura 2.32 (a) En

ℝ,

la ecuación

x = 0

describe un punto único. (b) En

ℝ^{2},

la ecuación

x = 0

describe una línea, el eje y. (c) En

ℝ^{3},

la ecuación

x = 0

describe un plano, el plano yz.

En el espacio, la ecuación $x = 0$ describe todos los puntos $(0, y, z) .$ Esta ecuación define el plano yz. Del mismo modo, el plano xy contiene todos los puntos de la forma $(x, y, 0) .$ La ecuación $z = 0$ define el plano xy y la ecuación $y = 0$ describe el plano xz (Figura 2.33).

Esta figura tiene dos imágenes. La primera es el sistema de coordenadas tridimensional. Está dentro de una caja y tiene una cuadrícula dibujada en el plano xy. La segunda es el sistema de coordenadas tridimensional. Está dentro de una caja y tiene una cuadrícula dibujada en el plano xz.

Figura 2.33 (a) En el espacio, la ecuación

z = 0

describe el plano xy. (b) Todos los puntos del plano xz satisfacen la ecuación

y = 0 .

Entender las ecuaciones de los planos de coordenadas nos permite escribir una ecuación para cualquier plano que sea paralelo a uno de los planos de coordenadas. Cuando un plano es paralelo al plano xy, por ejemplo, la coordenada z de cada punto del plano tiene el mismo valor constante. Solo las coordenadas x y y de los puntos de ese plano varían de un punto a otro.

Regla: ecuaciones de los planos paralelos a los planos de coordenadas

El plano en el espacio que es paralelo al plano xy y contiene el punto $(a, b, c)$ se puede representar mediante la ecuación $z = c .$
El plano en el espacio que es paralelo al plano xz y contiene el punto $(a, b, c)$ se puede representar mediante la ecuación $y = b .$
El plano en el espacio que es paralelo al plano yz y contiene el punto $(a, b, c)$ se puede representar mediante la ecuación $x = a .$

Ejemplo 2.13

Escritura de ecuaciones de planos paralelos a planos de coordenadas

Escriba una ecuación del plano que pasa por el punto $(3, 11, 7)$ que es paralelo al plano yz.
Halle una ecuación del plano que pasa por los puntos $(6, –2, 9),$ $(0, –2, 4),$ y $(1, –2, −3) .$

Solución

Cuando un plano es paralelo al plano yz, solo pueden variar las coordenadas y y z. La coordenada x tiene el mismo valor constante para todos los puntos de este plano, por lo que este plano se puede representar mediante la ecuación $x = 3 .$
Cada uno de los puntos $(6, –2, 9),$ $(0, –2, 4),$ y $(1, –2, −3)$ tiene la misma coordenada y. Este plano puede representarse mediante la ecuación $y = –2 .$

Punto de control 2.13

Escriba una ecuación del plano que pasa por el punto $(1, –6, –4)$ que es paralelo al plano xy.

Como hemos visto, en $ℝ^{2}$ la ecuación $x = 5$ describe la línea vertical que pasa por el punto $(5, 0) .$ Esta línea es paralela al eje y. En una extensión natural, la ecuación $x = 5$ en $ℝ^{3}$ describe el plano que pasa por el punto $(5, 0, 0),$ que es paralelo al plano yz. Otra extensión natural de una ecuación conocida se encuentra en la ecuación de una esfera.

Definición

Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo, el centro de la esfera (Figura 2.34), al igual que el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan del centro representa un círculo. En una esfera, al igual que en un círculo, la distancia del centro a un punto de la esfera se llama radio.

Esta imagen es una esfera. Tiene centro en (a, b, c) y tiene un radio representado con una línea discontinua desde el punto central (a, b, c) hasta el borde de la esfera en (x, y, z). El radio está marcado como "r".

Figura 2.34 Cada punto

(x, y, z)

en la superficie de una esfera está

r

unidades alejadas del centro

(a, b, c) .

La ecuación de un círculo se obtiene mediante la fórmula de la distancia en dos dimensiones. Del mismo modo, la ecuación de una esfera se basa en la fórmula tridimensional de la distancia.

Regla: ecuación de una esfera

La esfera con centro $(a, b, c)$ y radio $r$ puede representarse mediante la ecuación

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = r^{2} .

(2.2)

Esta ecuación se conoce como la ecuación estándar de una esfera.

Ejemplo 2.14

Hallar la ecuación de una esfera

Halle la ecuación estándar de la esfera con centro $(10, 7, 4)$ y punto $(–1, 3, –2),$ como se muestra en la Figura 2.35.

Esta figura es una esfera centrada en el punto (10, 7, 4) de un sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un radio igual a la raíz cuadrada de 173 y pasa por el punto (-1, 3, -2).

Figura 2.35 La esfera centrada en

(10, 7, 4)

que contiene el punto

(–1, 3, –2) .

Solución

Utilice la fórmula de la distancia para hallar el radio $r$ de la esfera:

\begin{matrix} r & = \sqrt{{(−1 - 10)}^{2} + {(3 - 7)}^{2} + {(−2 - 4)}^{2}} \\ = \sqrt{{(−11)}^{2} + {(–4)}^{2} + {(−6)}^{2}} \\ = \sqrt{173} . \end{matrix}

La ecuación estándar de la esfera es

{(x - 10)}^{2} + {(y - 7)}^{2} + {(z - 4)}^{2} = 173 .

Punto de control 2.14

Halle la ecuación estándar de la esfera con centro $(–2, 4, −5)$ que contiene el punto $(4, 4, –1) .$

Ejemplo 2.15

Hallar la ecuación de una esfera

Supongamos que $P = (−5, 2, 3)$ y $Q = (3, 4, –1),$ y suponga que el segmento de línea $P Q$ forma el diámetro de una esfera (Figura 2.36). Halle la ecuación de la esfera.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Hay dos puntos marcados. El primer punto es P = (-5, 2, 3). El segundo punto es Q = (3, 4, -1). Hay un segmento de línea trazado entre los dos puntos.

Figura 2.36 Segmento de línea

P Q .

Solución

Dado que $P Q$ es un diámetro de la esfera, sabemos que el centro de la esfera es el punto medio de $P Q .$ Entonces,

\begin{matrix} C & = (\frac{−5 + 3}{2}, \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + (–1)}{2}) \\ = (–1, 3, 1) . \end{matrix}

Además, sabemos que el radio de la esfera es la mitad de la longitud del diámetro. Esto da

\begin{matrix} r & = \frac{1}{2} \sqrt{{(−5 - 3)}^{2} + {(2 - 4)}^{2} + {(3 - (–1))}^{2}} \\ = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 4 + 16} \\ = \sqrt{21} . \end{matrix}

Entonces, la ecuación de la esfera es ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 21 .$

Punto de control 2.15

Halle la ecuación de la esfera con diámetro $P Q,$ donde $P = (2, –1, −3)$ y $Q = (–2, 5, –1) .$

Ejemplo 2.16

Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Describa el conjunto de puntos que satisface $(x - 4) (z - 2) = 0,$ y grafique el conjunto.

Solución

Debemos tener $x - 4 = 0$ o $z - 2 = 0,$ para que el conjunto de puntos forme los dos planos $x = 4$ y $z = 2$ (Figura 2.37)

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dibujados dos planos que se intersecan. El primero es el plano xy. El segundo es el plano yz. Son perpendiculares entre sí.

Figura 2.37 El conjunto de puntos que satisfacen

(x - 4) (z - 2) = 0

forma los dos planos

x = 4

y

z = 2 .

Punto de control 2.16

Describa el conjunto de puntos que satisface $(y + 2) (z - 3) = 0,$ y grafique el conjunto.

Ejemplo 2.17

Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Describa el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4,$ y grafique el conjunto.

Solución

Las coordenadas x y y forman un círculo en el plano xy de radio $2,$ centrado en $(2, 1) .$ Como no hay ninguna restricción en la coordenada z, el resultado tridimensional es un cilindro circular de radio $2$ centrado en la línea con $x = 2 y y = 1 .$ El cilindro se extiende indefinidamente en la dirección z (Figura 2.38).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un cilindro vertical paralelo al eje z y centrado en la línea paralela al eje z con x = 2 y y = 1.

Figura 2.38 El conjunto de puntos que satisfacen

{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4 .

Se trata de un cilindro de radio

2

centrado en la línea con

x = 2 y y = 1 .

Punto de control 2.17

Describa el conjunto de puntos en el espacio tridimensional que satisface $x^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16,$ y grafique la superficie.

Trabajar con vectores en ℝ³

Al igual que los vectores bidimensionales, los vectores tridimensionales son cantidades con magnitud y dirección, y se representan mediante segmentos rectilíneos dirigidos (flechas). Con un vector tridimensional, utilizamos una flecha tridimensional.

Los vectores tridimensionales también pueden representarse en forma de componentes. La notación $v = 〈 x, y, z 〉$ es una extensión natural del caso bidimensional, representando un vector con el punto inicial en el origen, $(0, 0, 0),$ y punto terminal $(x, y, z) .$ El vector cero es $0 = 〈 0, 0, 0 〉 .$ Así, por ejemplo, el vector tridimensional $v = 〈 2, 4, 1 〉$ está representado por un segmento rectilíneo dirigido desde el punto $(0, 0, 0)$ al punto $(2, 4, 1)$ (Figura 2.39).

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un vector dibujado. El punto inicial del vector es el origen. El punto terminal del vector es (2, 4, 1). El vector está marcado como "v = <2, 4, 1>."

Figura 2.39 El vector

v = 〈 2, 4, 1 〉

está representado por un segmento rectilíneo dirigido desde el punto

(0, 0, 0)

al punto

(2, 4, 1) .

La suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de forma análoga al caso bidimensional. Si los valores de $v = 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉$ y $w = 〈 x_{2}, y_{2}, z_{2} 〉$ son vectores, y $k$ es un escalar, entonces

v + w = 〈 x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2} 〉 y k v = 〈 k x_{1}, k y_{1}, k z_{1} 〉 .

Si los valores de $k = −1,$ entonces $k v = (–1) v$ se escribe como $− v,$ y la sustracción de vectores se define mediante $v - w = v + (− w) = v + (–1) w .$

Los vectores normales unitarios se extienden fácilmente a tres dimensiones también, $i = 〈 1, 0, 0 〉,$ $j = 〈 0, 1, 0 〉,$ y $k = 〈 0, 0, 1 〉$ , y los utilizamos del mismo modo que los vectores normales unitarios en dos dimensiones. Por lo tanto, podemos representar un vector en $ℝ^{3}$ de las siguientes maneras:

v = 〈 x, y, z 〉 = x i + y j + z k .

Ejemplo 2.18

Representaciones vectoriales

Supongamos que $\vec{P Q}$ es el vector con punto inicial $P = (3, 12, 6)$ y punto terminal $Q = (−4, −3, 2)$ como se muestra en la Figura 2.40. Exprese $\vec{P Q}$ tanto en forma de componentes como utilizando vectores normales unitarios.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dos puntos marcados. El primer punto es P = (3, 12, 6). El segundo punto es Q = (-4, -3, 2). Hay un vector de P a Q.

Figura 2.40 El vector con punto inicial

P = (3, 12, 6)

y punto terminal

Q = (−4, −3, 2) .

Solución

En forma de componente,

\begin{matrix} \vec{P Q} & = 〈 x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1} 〉 \\ = 〈 −4 - 3, −3 - 12, 2 - 6 〉 = 〈 −7, −15, −4 〉 . \end{matrix}

En forma de unidad estándar,

\vec{P Q} = −7 i - 15 j - 4 k .

Punto de control 2.18

Supongamos que $S = (3, 8, 2)$ y $T = (2, –1, 3) .$ Exprese $\vec{S T}$ en forma de componente y en forma de unidad estándar.

Como se ha descrito anteriormente, los vectores en tres dimensiones se comportan de la misma manera que los vectores en un plano. La interpretación geométrica de la suma de vectores, por ejemplo, es la misma tanto en el espacio bidimensional como en el tridimensional (Figura 2.41).

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene tres vectores en posición estándar. El primer vector está marcado como "A". El segundo vector está marcado como "B". El tercer vector está marcado como "A + B". Este vector se encuentra entre los vectores A y B.

Figura 2.41 Para sumar vectores en tres dimensiones, seguimos los mismos procedimientos que aprendimos para dos dimensiones.

Ya hemos visto cómo algunas de las propiedades algebraicas de los vectores, como la suma de vectores y la multiplicación escalar, pueden extenderse a tres dimensiones. Otras propiedades pueden ampliarse de forma similar. Se resumen aquí para nuestra referencia.

Regla: propiedades de los vectores en el espacio

Supongamos que $v = 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉$ y $w = 〈 x_{2}, y_{2}, z_{2} 〉$ son vectores y que $k$ es un escalar.

Multiplicación escalar: $k v = 〈 k x_{1}, k y_{1}, k z_{1} 〉$

Suma de vectores: $v + w = 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉 + 〈 x_{2}, y_{2}, z_{2} 〉 = 〈 x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2} 〉$

Resta de vectores: $v - w = 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉 - 〈 x_{2}, y_{2}, z_{2} 〉 = 〈 x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}, z_{1} - z_{2} 〉$

Magnitud del vector: $‖ v ‖ = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}$

Vector unitario en la dirección de v: $\frac{1}{‖ v ‖} v = \frac{1}{‖ v ‖} 〈 x_{1}, y_{1}, z_{1} 〉 = 〈 \frac{x_{1}}{‖ v ‖}, \frac{y_{1}}{‖ v ‖}, \frac{z_{1}}{‖ v ‖} 〉,$ si $v \neq 0$

Hemos visto que la suma de vectores en dos dimensiones satisface las propiedades conmutativa, asociativa y aditiva inversa. Estas propiedades de las operaciones vectoriales son válidas también para los vectores tridimensionales. La multiplicación escalar de vectores satisface la propiedad distributiva, y el vector cero actúa como identidad aditiva. Las pruebas para verificar estas propiedades en tres dimensiones son extensiones directas de las pruebas en dos dimensiones.

Ejemplo 2.19

Operaciones vectoriales en tres dimensiones

Supongamos que $v = 〈 –2, 9, 5 〉$ y $w = 〈 1, –1, 0 〉$ (Figura 2.42). Halle los siguientes vectores.

$3 v - 2 w$
$5 ‖ w ‖$
$‖ 5 w ‖$
Un vector unitario en la dirección de $v$

Figura 2.42 Los vectores $v = 〈 –2, 9, 5 〉$ y $w = 〈 1, –1, 0 〉 .$

Solución

Primero, use la multiplicación escalar de cada vector, y luego reste:

$\begin{matrix} 3 v - 2 w & = 3 〈 –2, 9, 5 〉 - 2 〈 1, –1, 0 〉 \\ = 〈 –6, 27, 15 〉 - 〈 2, –2, 0 〉 \\ = 〈 −6 - 2, 27 - (−2), 15 - 0 〉 \\ = 〈 −8, 29, 15 〉 . \end{matrix}$
Escriba la ecuación de la magnitud del vector y luego utilice la multiplicación escalar

$5 ‖ w ‖ = 5 \sqrt{1^{2} + {(–1)}^{2} + 0^{2}} = 5 \sqrt{2} .$
Primero, utilice la multiplicación escalar, luego halle la magnitud del nuevo vector. Observe que el resultado es el mismo que el de la parte b.:

$‖ 5 w ‖ = ‖ 〈 5, −5, 0 〉 ‖ = \sqrt{5^{2} + {(−5)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} .$
Recordemos que para hallar un vector unitario en dos dimensiones, dividimos un vector entre su magnitud. El procedimiento es el mismo en tres dimensiones:

$\begin{matrix} \frac{v}{‖ v ‖} & = \frac{1}{‖ v ‖} 〈 –2, 9, 5 〉 \\ = \frac{1}{\sqrt{{(−2)}^{2} + 9^{2} + 5^{2}}} 〈 –2, 9, 5 〉 \\ = \frac{1}{\sqrt{110}} 〈 –2, 9, 5 〉 \\ = 〈 \frac{−2}{\sqrt{110}}, \frac{9}{\sqrt{110}}, \frac{5}{\sqrt{110}} 〉 . \end{matrix}$

Punto de control 2.19

Supongamos que $v = 〈 –1, –1, 1 〉$ y $w = 〈 2, 0, 1 〉 .$ Halle un vector unitario en la dirección de $5 v + 3 w .$

Ejemplo 2.20

Lanzar un pase hacia adelante

Un mariscal de campo está de pie en el campo de fútbol americano preparándose para lanzar un pase. Su receptor está parado 20 yardas adelante y 15 yardas a la izquierda del mariscal de campo. El mariscal de campo lanza el balón a una velocidad de 60 mph hacia el receptor con un ángulo ascendente de $30 °$ (vea la siguiente figura). Escriba el vector velocidad inicial de la pelota, $v,$ en forma de componentes.

Esta figura es una imagen de dos jugadores de fútbol americano con el primero lanzando el balón al segundo. Hay un segmento de línea desde cada jugador hasta la parte inferior de la imagen. La distancia desde el primer jugador hasta el fondo de la imagen es de 20 yardas. La distancia del segundo jugador al mismo punto en la parte inferior de la imagen es de 15 yardas. Los dos segmentos de línea son perpendiculares. Hay un segmento de línea discontinua desde el primer jugador hasta el segundo. Hay un vector del primer jugador. El ángulo entre la línea discontinua y el vector es de 30 grados.

Solución

Lo primero que queremos hacer es hallar un vector en la misma dirección que el vector velocidad de la pelota. A continuación, escalamos el vector adecuadamente para que tenga la magnitud correcta. Considere el vector $w$ que se extiende desde el brazo del mariscal de campo hasta un punto directamente por encima de la cabeza del receptor en un ángulo de $30 °$ (vea la siguiente figura). Este vector tendría la misma dirección que $v,$ pero puede que no tenga la magnitud adecuada.

Esta figura es la imagen de dos jugadores de fútbol americano con el primer jugador lanzando el balón al segundo. La distancia entre los dos jugadores se representa con un segmento de línea discontinua. Hay un vector del primer jugador. El ángulo entre el vector y el segmento de línea discontinua es de 30 grados. Hay un segmento de línea vertical discontinua desde el segundo jugador. Además, se forma un triángulo rectángulo a partir de los dos segmentos de línea discontinua y el vector del primer jugador se denomina "w" y es la hipotenusa.

El receptor está a 20 yardas adelante y a 15 yardas a la izquierda del mariscal de campo. Por lo tanto, la distancia en línea recta del mariscal de campo al receptor es

Dist. del mariscal de campo al receptor = \sqrt{15^{2} + 20^{2}} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 yd .

Tenemos $\frac{25}{‖ w ‖} = cos 30 ° .$ Entonces la magnitud de $w$ está dada por

‖ w ‖ = \frac{25}{cos 30 °} = \frac{25.2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} yd

y la distancia vertical del receptor al punto terminal de $w$ es

Distancia vertical desde el receptor hasta el punto terminal de w = ‖ w ‖ sen 30 ° = \frac{50}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2} = \frac{25}{\sqrt{3}} yd .

Entonces $w = 〈 20, 15, \frac{25}{\sqrt{3}} 〉,$ y tiene la misma dirección que $v .$

Recordemos, sin embargo, que hemos calculado la magnitud de $w$ para que sea $‖ w ‖ = \frac{50}{\sqrt{3}},$ y $v$ tenga una magnitud $60$ mph. Por lo tanto, necesitamos multiplicar el vector $w$ por una constante adecuada, $k .$ Queremos hallar un valor de $k$ por lo que $‖ k w ‖ = 60$ mph. Tenemos

‖ k w ‖ = k ‖ w ‖ = k \frac{50}{\sqrt{3}} mph,

por lo que queremos

\begin{matrix} k \frac{50}{\sqrt{3}} & = & 60 \\ k & = & \frac{60 \sqrt{3}}{50} \\ k & = & \frac{6 \sqrt{3}}{5} . \end{matrix}

Entonces

v = k w = k 〈 20, 15, \frac{25}{\sqrt{3}} 〉 = \frac{6 \sqrt{3}}{5} 〈 20, 15, \frac{25}{\sqrt{3}} 〉 = 〈 24 \sqrt{3}, 18 \sqrt{3}, 30 〉 .

Comprobemos que $‖ v ‖ = 60 .$ Tenemos

‖ v ‖ = \sqrt{{(24 \sqrt{3})}^{2} + {(18 \sqrt{3})}^{2} + {(30)}^{2}} = \sqrt{1728 + 972 + 900} = \sqrt{3.600} = 60 mph .

Así, hemos hallado los componentes correctas para $v .$

Punto de control 2.20

Supongamos que el mariscal de campo y el receptor están en el mismo lugar que en el ejemplo anterior. Esta vez, sin embargo, el mariscal de campo lanza el balón a una velocidad de $40$ mph y un ángulo de $45 ° .$ Escriba el vector de velocidad inicial de la pelota, $v,$ en forma de componentes.

Sección 2.2 ejercicios

61.

Considere una caja rectangular con uno de los vértices en el origen, como se muestra en la siguiente figura. Si el punto $A (2, 3, 5)$ es el vértice opuesto al origen, entonces halle

las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y
la longitud de la diagonal de la caja determinada por los vértices $O$ y $A .$

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene dibujado un punto marcado como "A(2, 3, 5)".

62.

Halle las coordenadas del punto $P$ y determine su distancia al origen.

Esta figura es el primer octante del sistema de coordenadas tridimensional. Tiene un punto dibujado en (2, 1, 1). El punto está marcado como "P".

En los siguientes ejercicios, describa y grafique el conjunto de puntos que satisface la ecuación dada.

63.

$(y - 5) (z - 6) = 0$

64.

$(z - 2) (z - 5) = 0$

65.

${(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$

66.

${(x - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 4$

67.

Escriba la ecuación del plano que pasa por el punto $(1, 1, 1)$ que es paralelo al plano xy.

68.

Escriba la ecuación del plano que pasa por el punto $(1, −3, 2)$ que es paralelo al plano xz.

69.

Halle una ecuación del plano que pasa por los puntos $(1, −3, –2),$ $(0, 3, –2),$ y $(1, 0, –2) .$

70.

Halle una ecuación del plano que pasa por los puntos $(1, 9, 2),$ $(1, 3, 6),$ y $(1, –7, 8) .$

En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la esfera en forma estándar que satisfaga las condiciones dadas.

71.

Centro $C (–1, 7, 4)$ y radio $4$

72.

Centro $C (−4, 7, 2)$ y radio $6$

73.

Diámetro $P Q,$ donde $P (–1, 5, 7)$ y $Q (−5, 2, 9)$ grandes.

74.

Diámetro $P Q,$ donde $P (−16, −3, 9)$ y $Q (–2, 3, 5)$

En los siguientes ejercicios, halle el centro y el radio de la esfera con la ecuación en forma general indicada.

75.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 z + 3 = 0$

76.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 8 y - 10 z + 25 = 0$

En los siguientes ejercicios, exprese el vector $\vec{P Q}$ con el punto inicial en $P$ y el punto terminal en $Q$

en forma de componentes y
utilizando vectores normales unitarios.

77.

$P (3, 0, 2)$ y $Q (–1, –1, 4)$

78.

$P (0, 10, 5)$ y $Q (1, 1, −3)$ grandes.

79.

$P (–2, 5, −8)$ y $M (1, –7, 4),$ donde $M$ es el punto medio del segmento de línea $P Q$

80.

$Q (0, 7, –6)$ y $M (–1, 3, 2),$ donde $M$ es el punto medio del segmento de línea $P Q$

81.

Halle el punto terminal $Q$ del vector $\vec{P Q} = 〈 7, –1, 3 〉$ con el punto inicial en $P (–2, 3, 5) .$

82.

Halle el punto inicial $P$ del vector $\vec{P Q} = 〈 −9, 1, 2 〉$ con el punto terminal en $Q (10, 0, –1) .$

En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados $a$ y $b$ para hallar y expresar los vectores $a + b,$ $4 a,$ y $−5 a + 3 b$ en forma de componentes.

83.

$a = 〈 –1, –2, 4 〉,$ $b = 〈 −5, 6, −7 〉$

84.

$a = 〈 3, –2, 4 〉,$ $b = 〈 −5, 6, −9 〉$

85.

$a = − k,$ $b = − i$

86.

$a = i + j + k,$ $b = 2 i - 3 j + 2 k$

En los siguientes ejercicios, se dan los vectores u y v. Calcule las magnitudes de los vectores $u - v$ y $−2 u .$

87.

$u = 2 i + 3 j + 4 k,$ $v = − i + 5 j - k$

88.

$u = i + j,$ $v = j - k$

89.

$u = 〈 2 cos t, −2 sen t, 3 〉,$ $v = 〈 0, 0, 3 〉,$ donde $t$ es un número real.

90.

$u = 〈 0, 1, senoh t 〉,$ $v = 〈 1, 1, 0 〉,$ donde $t$ es un número real.

En los siguientes ejercicios, halle el vector unitario en la dirección del vector dado $a$ y expréselo mediante vectores normales unitarios.

91.

$a = 3 i - 4 j$

92.

$a = 〈 4, −3, 6 〉$

93.

$a = \vec{P Q},$ donde $P (–2, 3, 1)$ y $Q (0, −4, 4)$ grandes.

94.

$a = \vec{O P},$ donde $P (–1, –1, 1)$ grandes.

95.

$a = u - v + w,$ donde $u = i - j - k,$ $v = 2 i - j + k,$ y $w = − i + j + 3 k$

96.

$a = 2 u + v - w,$ donde $u = i - k,$ $v = 2 j,$ y $w = i - j$

97.

Determine si $\vec{A B}$ y $\vec{P Q}$ son vectores equivalentes, donde $A (1, 1, 1), B (3, 3, 3), P (1, 4, 5),$ y $Q (3, 6, 7) .$

98.

Determinar si los vectores $\vec{A B}$ y $\vec{P Q}$ son equivalentes, donde $A (1, 4, 1),$ $B (–2, 2, 0),$ $P (2, 5, 7),$ y $Q (−3, 2, 1) .$

En los siguientes ejercicios, halle el vector $u$ con una magnitud dada y que satisface las condiciones dadas.

99.

$v = 〈 7, –1, 3 〉,$ $‖ u ‖ = 10,$ $u$ y $v$ tienen la misma dirección

100.

$v = 〈 2, 4, 1 〉,$ $‖ u ‖ = 15,$ $u$ y $v$ tienen la misma dirección

101.

$v = 〈 2 sen t, 2 cos t, 1 〉,$ $‖ u ‖ = 2,$ $u$ y $v$ tienen direcciones opuestas para cualquier $t,$ donde $t$ es un número real

102.

$v = 〈 3 senoh t, 0, 3 〉,$ $‖ u ‖ = 5,$ $u$ y $v$ tienen direcciones opuestas para cualquier $t,$ donde $t$ es un número real

103.

Determine un vector de magnitud $5$ en la dirección del vector $\vec{A B},$ donde $A (2, 1, 5)$ y $B (3, 4, –7) .$

104.

Halle un vector de magnitud $2$ que apunte en la dirección opuesta al vector $\vec{A B},$ donde $A (–1, –1, 1)$ y $B (0, 1, 1) .$ Exprese la respuesta en forma de componentes.

105.

Considere los puntos $A (2, α, 0), B (0, 1, β),$ y $C (1, 1, β),$ donde $α$ y $β$ son números reales negativos. Halle $α$ y $β$ tal que $‖ \vec{O A} - \vec{O B} + \vec{O C} ‖ = ‖ \vec{O B} ‖ = 4 .$

106.

Considere los puntos $A (α, 0, 0), B (0, β, 0),$ y $C (α, β, β),$ donde $α$ y $β$ son números reales positivos. Halle $α$ y $β$ tal que $‖ \overset{—}{O A} + \overset{—}{O B} ‖ = \sqrt{2} y ‖ \overset{—}{O C} ‖ = \sqrt{3} .$

107.

Supongamos que $P (x, y, z)$ es un punto situado a igual distancia de los puntos $A (1, –1, 0)$ y $B (–1, 2, 1) .$ Muestre que el punto $P$ se encuentra en el plano de la ecuación $−2 x + 3 y + z = 2 .$

108.

Supongamos que $P (x, y, z)$ es un punto situado a igual distancia del origen y del punto $A (4, 1, 2) .$ Demuestre que las coordenadas del punto $P$ satisfacen la ecuación $8 x + 2 y + 4 z = 21 .$

109.

Los puntos $A, B,$ y $C$ son colineales (en este orden) si la relación $‖ \vec{A B} ‖ + ‖ \vec{B C} ‖ = ‖ \vec{A C} ‖$ se satisface. Demuestre que $A (5, 3, –1),$ $B (−5, −3, 1),$ y $C (−15, −9, 3)$ son puntos colineales.

110.

Demuestre que los puntos $A (1, 0, 1),$ $B (0, 1, 1),$ y $C (1, 1, 1)$ no son colineales.

111.

[T] Una fuerza $F$ de $50 N$ actúa sobre una partícula en la dirección del vector $\vec{O P},$ donde $P (3, 4, 0) .$

Exprese la fuerza como un vector en forma de componentes.
Halle el ángulo entre la fuerza $F$ y la dirección positiva del eje x. Exprese la respuesta en grados redondeados al entero más cercano.

112.

[T] Una fuerza $F$ de $40 N$ actúa sobre una caja en la dirección del vector $\vec{O P},$ donde $P (1, 0, 2) .$

Exprese la fuerza como un vector utilizando vectores normales unitarios.
Halle el ángulo entre la fuerza $F$ y la dirección positiva del eje x.

113.

Si los valores de $F$ es una fuerza que mueve un objeto desde un punto $P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ a otro punto $P_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2}),$ entonces el vector de desplazamiento se define como $D = (x_{2} - x_{1}) i + (y_{2} - y_{1}) j + (z_{2} - z_{1}) k .$ Se levanta un contenedor metálico $10$ m verticalmente mediante una fuerza constante $F .$ Exprese el vector de desplazamiento $D$ utilizando vectores normales unitarios.

114.

Se tira de una caja $4$ yardas horizontalmente en la dirección x mediante una fuerza constante $F .$ Halle el vector de desplazamiento en forma de componentes.

115.

La suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto se llama fuerza resultante o neta. Se dice que un objeto está en equilibrio estático si la fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Supongamos que $F_{1} = 〈 10, 6, 3 〉,$ $F_{2} = 〈 0, 4, 9 〉,$ y $F_{3} = 〈 10, −3, −9 〉$ son tres fuerzas que actúan sobre una caja. Calcule la fuerza $F_{4}$ que actúa sobre la caja de manera que esta se encuentre en equilibrio estático. Exprese la respuesta en forma de componentes.

116.

[T] Supongamos que $F_{k} = 〈 1, k, k^{2} 〉,$ $k = 1,..., n$ son $n$ fuerzas que actúan sobre una partícula, con $n \geq 2 .$

Calcule la fuerza neta $F = \sum_{k = 1}^{n} F_{k} .$ Exprese la respuesta utilizando vectores normales unitarios.
Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para calcular n tal que $‖ F ‖ < 100 .$

117.

La fuerza de la gravedad $F$ que actúa sobre un objeto está dada por $F = m g,$ donde m es la masa del objeto (expresada en kilogramos) y $g$ es la aceleración resultante de la gravedad, con $‖ g ‖ = 9,8$ $N/kg .$ Una bola de discoteca de 2 kg cuelga del techo de una habitación mediante una cadena.

Calcule la fuerza de gravedad $F$ que actúa sobre la bola de discoteca y calcule su magnitud.
Calcule la fuerza de tensión $T$ en la cadena y su magnitud.
Exprese las respuestas utilizando vectores normales unitarios.

Esta figura muestra una bola de discoteca suspendida del techo

Figura 2.43 (créditos: modificación del trabajo de Kenneth Lu, Flickr).

118.

Un candelabro colgante de 5 kg está diseñado de manera que el cuenco de alabastro está sostenido por cuatro cadenas de igual longitud, como se muestra en la siguiente figura.

Calcule la magnitud de la fuerza de gravedad que actúa sobre el candelabro.
Calcule las magnitudes de las fuerzas de tensión para cada una de las cuatro cadenas (suponga que las cadenas son esencialmente verticales).

Esta figura muestra un aparato de iluminación colgado del techo, sostenido por 4 cadenas desde el mismo punto del techo hasta cuatro puntos repartidos uniformemente alrededor del aparato.

119.

[T] Un bloque de cemento de 30 kg está suspendido por tres cables de igual longitud que están anclados en puntos $P (–2, 0, 0),$ $Q (1, \sqrt{3}, 0),$ y $R (1, − \sqrt{3}, 0) .$ La carga se encuentra en $S (0, 0, −2 \sqrt{3}),$ como se muestra en la siguiente figura. Supongamos que $F_{1},$ $F_{2},$ y $F_{3}$ son las fuerzas de tensión resultantes de la carga en los cables $R S, Q S,$ y $P S,$ respectivamente.

Calcule la fuerza gravitacional $F$ que actúa sobre el bloque de cemento que contrarresta la suma $F_{1} + F_{2} + F_{3}$ de las fuerzas de tensión en los cables.
Calcule las fuerzas $F_{1},$ $F_{2},$ y $F_{3} .$ Exprese la respuesta en forma de componentes.

Esta figura es el sistema de coordenadas tridimensional. Tiene 4 puntos dibujados. El primer punto está marcado como "P(-2, 0, 0)". El segundo punto está marcado como "R(1, -raíz cuadrada de 3, 0)". El tercer punto está marcado como "S(0, 0, -2 raíces cuadradas de 3)". El cuarto punto está marcado como "Q(1, raíz cuadrada de 3, 0)". Hay segmentos de línea de P a S, de R a S y de Q a S. En el punto S hay una caja marcada como "30 k g".

120.

Dos jugadoras de fútbol están practicando para un próximo partido. Una de ellas recorre 10 m desde el punto A hasta el punto B. Luego gira a la izquierda $90 °$ y recorre 10 m hasta llegar al punto C. Luego patea la pelota con una velocidad de 10 m/s en un ángulo ascendente de $45 °$ a su compañera de equipo, que se encuentra en el punto A. Escriba la velocidad de la pelota en forma de componentes.

Esta figura es la imagen de dos jugadoras de fútbol. La primera jugadora de fútbol está en el punto A. La segunda jugadora está en el punto C. Hay un segmento de línea de A a C. Hay un vector de la jugadora C hacia arriba marcado como "v". Hay un vector desde la jugadora A hasta el fondo de la imagen. El punto de la parte inferior está marcado como "B". Este vector está marcado como "10m". Hay un vector de C a B marcado como "10m".

121.

Supongamos que $r (t) = 〈 x (t), y (t), z (t) 〉$ es el vector de posición de una partícula en el tiempo $t \in [0, T],$ donde $x, y,$ y $z$ son funciones sencillas en $[0, T] .$ La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo $t$ se define mediante el vector $v (t) = 〈 x ′ (t), y ′ (t), z ′ (t) 〉,$ con componentes que son las derivadas con respecto a $t,$ de las funciones x, y y z, respectivamente. La magnitud $‖ v (t) ‖$ del vector velocidad instantánea se denomina velocidad de la partícula en el tiempo t. El vector $a (t) = 〈 x ″ (t), y ″ (t), z ″ (t) 〉,$ con componentes que son las segundas derivadas con respecto a $t,$ de las funciones $x, y,$ y $z,$ respectivamente, da la aceleración de la partícula en el tiempo $t .$ Considere que $r (t) = 〈 cos t, sen t, 2 t 〉$ es el vector de posición de una partícula en el tiempo $t \in [0, 30],$ donde los componentes de $r$ se expresan en centímetros y el tiempo se expresa en segundos.

Calcule la velocidad instantánea, la velocidad y la aceleración de la partícula después del primer segundo. Redondee su respuesta a dos decimales.
Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula, es decir, el conjunto de todos los puntos de coordenadas $(cos t, sen t, 2 t),$ donde $t \in [0, 30] .$

122.

[T] Supongamos que $r (t) = 〈 t, 2 t^{2}, 4 t^{2} 〉$ es el vector de posición de una partícula en el tiempo $t$ (en segundos), donde $t \in [0, 10]$ (aquí los componentes de $r$ se expresan en centímetros).

Calcule la velocidad instantánea, la velocidad y la aceleración de la partícula después de los dos primeros segundos. Redondee su respuesta a dos decimales.
Utilice un CAS para visualizar la trayectoria de la partícula definida por los puntos $(t, 2 t^{2}, 4 t^{2}),$ donde $t \in [0, 60] .$

2.2 Vectores en tres dimensiones

Sistemas de coordenadas tridimensionales

Localización de puntos en el espacio

Solución

La distancia entre dos puntos en el espacio

Distancia en el espacio

Solución

Escribir ecuaciones en ℝ3

Escritura de ecuaciones de planos paralelos a planos de coordenadas

Solución

Hallar la ecuación de una esfera

Solución

Hallar la ecuación de una esfera

Solución

Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Solución

Graficar otras ecuaciones en tres dimensiones

Solución

Trabajar con vectores en ℝ3

Representaciones vectoriales

Solución

Operaciones vectoriales en tres dimensiones

Solución

Lanzar un pase hacia adelante

Solución

Sección 2.2 ejercicios

Escribir ecuaciones en ℝ³

Trabajar con vectores en ℝ³